专题67 反比例函数背景下的全等、相似问题（解析版）.docx

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1、反比例rf,教皆景下的全芋、相似河题例题精讲A1反比例西复与金等三角爵尊合问题0).点B在反【例1】.如图.把一个等腰宜角三角形放在平面直角坐标系中，AC8=90.点C(-.比例函数y=三的图象上，且y轴平分NMG则A的值是,解：如图.过点3作ZMX1.rWlfD,在04上截取。=&连接如.:.co=.ACO=EO=I.：.NCEo-45.CE-2；用IC为等腰J角：角形,I1AC8=9(),：.BCAC.NoCA+NDCB孙.ZCAH45,.VZOCA+ZfMC=90.二ZOCZBCD.住ZXOAC和4DC8中NoAC=NBDCZaoc=Zcdb.AC=BCOCDC(AS).AO=CD，OC

2、=BD=轴平分/MC.二/CAO=22.5，：ZCEO=ZCEA+ZOAC=4S.二/AC=22.5.J.CE=AE=y2Af-l+2-CD.do-2.二点8坐标为(E,-1).小84反比例函数Y-K的图飘I,.X1.k=-12=-2.A变式训练【变17.如图.在平面直角坐标系中,RtAWC的斜边A8在X轴上,点C在F轴上,NZMC=30.点A的坐标为(3,0).将AABC沿出线AC翻折，点8的时应点。恰好落在反比例函数y(kO)A.23B.-23C.43D.-43解：如图.过点Q作OE1.y轴于点由时林UJ知CO=BC易证ZDC%A8C0(/US).：.CE=CO,DE=OB,VZRAC=3

3、0.Q4=3.,.OC=-OA=3.5ZOCB：.OB=争Ci：.DE=OB=,CE=OC=gOE=23.k=l)E()E-I23=23；反比例函数图象在第二象限,-23故选：B.【变1-2.如图，点八是反比例函数尸支图象上的一动点，连接八。井延长交图象的另一支于点正在点X八的运动过程中，若存在点C（m，）,使得八C1.8C八C=BC则孙满足（填等量关系）蝌：如图,连接Oc过点八作八1.r轴于点,过点C作CF_1.y釉干点凡VlllfiriiB）反比例的数产3的7：.：制Ur知A,H点火rO-：.AO=BO.又YACtBC,ACBC,：.COAB.CO=-AR=OA.2VZOE+ZOf=90,

4、ZOF+ZCOF=90ZAOE=ZCOF.XVZAO=90,.ZCK)-90.OECOF1sBOMB9.S,w=4,SDv=9,:DB1.OB.MHlOB.OH_OMOB_3三=HBDMAD2）H=WcB.S.“（）=WS/,oaw=-.k一27*25故选：BA变式训练【变2-1.如图，已知第,象限内的点A在反比例函数、=，上，第.象限的点8在反比例函数V=K上,XXHO1OB,=,则K的值为（）OA4B,D.-3c.-24解：作AC1r卜点C.作即X轴于点D.则/A。=/ACG=90.则8H”初)一90”.VOAlOfi.80AoC=90.：,ZBOD=NAOC：.AOBDS&AOC，.沁=

5、(0B2=(%-aSocOA416ZVS)(f=-4=2.,-3.5O)的图象经过点A.若SMEC=8,则等于()X愀BD为RiZSAfiC的斜边AC匕的中线,：BD二DC/DBC=ZACB.又DBC=NEBO,：.NEBC=ZACB-乂80E=NcKA=90.：.ABoESMBA、IlllBCOE=BOAB.BCAB又.Sjjec=8,即BCOE=28=l6=Ofl=W.又由于反比例函数图象在笫一型限，A0.所以大等于16.故选：B.【变2-3.如图,在等腰&W8中.Ao=A从顶点A为反比例函数产区(x()图象匕一点.点8在KX轴的正半轴上，过点B作BC.08,交反比例函数Y=区的图望上于点

6、C,连接。C交A8于点若4X8C。的面枳为2,则人的值为解：如图，过点A作AF_1.08交X轴F尸，交OC于点E,OA=B.AF1.OB,：.CF=F2VBClOfi.：.AF/BC.UADESABDC,OEEFOFlOCBeOB=2：.RC=2EF,SOP=a.W()B=2a.A(.a)C(.2a)a2a.AF=-.HC-.a2a：.AF=IBC=AEF.AE=AF-EF=3EF,：XADF.sRnc,DEAE3EF_3DCxBC2EFT.SnADEAE,_9SbdCBC4,.88的面枳为2,S.U=-3-51-2=述ECOEOC：.ECOE.DEJ.IOE5.SaADE3=T,bA0E5S

7、.f.AF4EF_4,AE3EF3,s三AF4sOEAE3tSAOb=?SAOE=仔小。,-*=o.0,4=2O.故选：B.实战演练1 .如图,AB1.r轴.8为垂足.双曲线y=K(QO)与的两条边OA.A8分别相交于CQ两点.XOC=4rCA,且的面积为3,则R等于()解：连接W.过点C作CMORT-M.s0BCQC1SZiBACCA2又.A8C的面枳为3,又CW八8,.OC_OM_1,CAHB2somc_OM_isBNCMB2st1.s0.解：作AElHe于连接。4.cID.42 .如图，在八8C中,八8=八。点A在反比例函数F=K(Jl0,0)的图象上，点/tCS1.r轴上,D.连接以若

8、48C。的面枳等于I,则K的值为()：AB-AC.CE=BE.,-OC=I-OB.oc=c=42Cf=-C.442：AE/OD.,.CODCEA.21.=，里2sCODC,.,8CO的面枳等于I.OC-OB.*.5(w=-.S,Ben.,.5ce4=44=I,4VOC=-CE.2.,-S.0),=3.故选：A.3 .如图所示，RtAA08中，ZAOB=90a,顶点A,B分别在反比例函数.、，=1(*0与y=-王(VO)的图象上,则lan/ZMO的值为（）解：作/W1.1.x轴于。DxFD.如图.：顶点A,B分别在反比例函IkyO(JO=-反(XVO)的图歌I.XX.SAOC=Ii=.SM=-5

9、=.Inboanaoc=W,：ZOC+ZOACW.：.ZOAC=Z.BOD,：.AAOCsAOBD.沁=10A样=工SXBDOB52-5.OA6：Rt.O-I.tan.HAO典JGOA4 .如图,函数V=-(x0)的图般经过RtAO斜边OH的中点。.与直知边AB相交于C.连接AD.若XAD=3,则4A80的周长为(解：如图.过点/)作。ElAOPE.C.6+210D.6+211；点D足BO的中烈,：.AD=BD=Do=3.：.BO=6.DElAO.BO.：.AB/DE.DODE_E0_1F而R=TAB=2DE,O=2EO.YSDg=争EXEO=：.Sabo=-BO=2.27AB2+a1=OB2

10、=36.：.0)的图象上,X对角线。8的延长交.*轴于点E,连接A&已如SM在=1,则大的值是)A.iB.2耨：延长比与X轴交于点F.C.2D.4；ABCD是矩彬.D=BC.DBCOE.：.AABMAOBE,.AD_ABOE三即：ADOB=ABOE.VOP=10.,m2+(m+2)2=解得卅=,，”2=-3（不合理意舍去）,二点P(1.3).3=K解得上=3.故答案为：3.7.已知一次函数)=24的图象分别交X釉、F轴于八、8两点，若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在笫一象限交于点C,且A8=28C,则这个反比例函数的表达式为三X斜：一次函数)=lr4的图象分别交轴、F轴于小3两点.A

11、.B(0.4).过C作CD1.r粕于O,：.()R/CD.0BAOAB2而ACTCD=6.D=3.二。D二1.设反比例函数的解析式为V=K,XJ2比例函数的解析式为V=28.在平面且角坐标系KO),中，点A8在反比例函数=2X(x0的图象上，且点A与点B关于直线yX对称,。为A8的中点，若A8=4,则线段OC的长为=:点A与点8关于也践y=而称.：.R./).tV=4.,./-)2+-r)2=*tt即，-2=蚯或，-2=.22,tt*Ir-=-22.得，=-板-2(由点八任第一象限.2.-2+2).：C为A8的中点，C(2.2).OC-=y22+222V2-故答案为2i9 .如图.是边长为10

12、的等边三角形,反比例函数T=X(X0的图望与边分别交于点X八、(点8不与点M重合),若八8,OM于点8,则长的值为上行解：过点B作AC1.rll于点C,过点A作A),x轴于点如图,OMN是边长为IO的等边二角形，OM=ON=MN=10,ZMON=NM=NMNo=60设OC=期BC=Fb.OB2b.：.BM=OM-OB=IO-2h.B(h.3fr.VZf=60.AB1.OM,.AM=2BM=2O-4b.AN=MN-AM=10-=4b-10.4N)=60,AD1V-Ian=2A7,ADK号N=#b.53.OD=ON-DN=15-2b.(l5-2fr.23-53)./a,8两点都外反比例函数)=Ka

13、o)的图象I,.X：.k=15-2fr)-53=A3.解得6=3或5.当6=5时，OB=2b=iO.此时。与M用合,不符题.窗.舍去，.b=3.：.kh3b-3故答案为：9i10 .如图.在RtZXA8C中,NABC=90。.C(0.-3),CO=3AO,点A在反比例函数=区图象匕且XF轴平分NACM求*=_空?_.解：过A作AE1.X轴，垂足为VC(0.-3).AOC=3.ZAED=ZCOD=90.ADE=ZCDOADECDO,.AEDEAD_1cobcbI.AE=hJCC轴平分/AC/CO1RD.：.HO-OD.VZAC-90o.：.ZOCD=ZDE=ZBE,.BEDCO.AE.BEODO

14、C设CE=”，则JO=OO=3n,BE=In,.17n二3n37n=OE=4n=-A呼)MX产7711 .如图.矩形（M8C的两边落在坐标轴上.反比例函数V=区的图象在第一象限的分支过A8的中点。交X。8于点，连接EC若AOfC的面枳为12,Wl=I22.解:如图.过点。、E分别作X轴的班线.或足分别为人（；.则SdOBC=S4.om=2SOtG=k,又TEGBC,：.&oegmobgcecOECsoSOOBOEBcEGsceso.A=22.收笞案为I2&.12 .如图,在平面直角坐标系中Na48=6()”,ZAO=9OM=.()图纵上,连结八C并延长AC交X轴正半轴于点。I1AC=3CD.连

15、结8C,若的面积为3,则A的108用足分别为M，.F.：.BE/CF/AM.：.OB-OA=BE:M=OE:OM=I：3,CD：AD=DF:DM=CF:AM=I:4.设点B的坐标为（小/）.：.OE=a.BE=h.：.AM=3BE=3b,OM=3OE=3a,.CF=-AM=-h,44,C12m仔），.,OF=Afllf-fW-OF-.：.DFFMfl.397.,.ODOM-DF-r.9MBCD的面枳为3,：.AABC的面积=3XB(7)的面积=9,的面积=12.,.HOD的面枳=XAABC的固松:6.-ODBE-fr-6.解得上=0,x0)的图望上，过点八作X轴的垂线，X与函数,V=-K(x0

16、)的图象交于点C，连接8C交X轴于点。.若点八的懂坐标为I,BC=3RD.则X点8的横坐标为2.解:作BR1.x轴于心.ACBE,：.MDFs&BDE,.CF=DF=CDBEDEBDVC=3D.CF_DF_2-BEDE1：.CF=2BE.DF=2DE,设R（区.）,C(I.-2),：My=-K(0的图象交于点CX-*=l(-2)=-2b:k=2b2.bb故答案为：2.如图，在AABC中，边AB在X轴上，边AC交Y轴于点从反比例函数y=区(xO)的图象恰好羟X过点C，马边Be交于点fX,AE=CE,CD=2BD.SoBC=6,则=_监_.3解：如图.作CM1.ur卜点K。N，八8千点AlWlCM

17、=K.mVOE/7CW,AE=CE,.AOAE1*0MBCAO=mVDVCW.CD2BD.BN_DN_BD_1三三一三三-三三.BMCHBC3：.DN-.3m./）的汉中标74-3m.k_k=T=3m.WJQN=3m,.MV=2mr=m.：.AB=5m.VXyUJC=6.5r-=6.m2.k=12Fk5放涔案为：D16.如图，八为反比例函数y=K（其中x0）图象上的一点,在X轴正半轴上有一点8,08=4.连接O八,AH.且OA=A8=21U.过点H作HC1.OB.交反比例函数丫工（其中x0的图取于点C.连接OC交AB于点/）.I喘的值为一曰_解：过点A作八1.r轴,乖足为点,八交Oe于点M,如

18、图所示.9JO=AH.AHOB.：.OHhBHToBr2,2a-oa2-oh2(2Io)2-226，点A的坐标为2,6).VA为反比例函数yq：XiuX)图&上的点.A=26=12.8C1.r轴.08=4.点C作反比例函数丫二卫1.XABC=3.：Al1BcOH=BH.f-C-.22：.AM-AH-MH=冬.2VAM/BC.：.ADMS&BDC.AD一纯/DBBC2,故答案呜.17.如图，已知菱形ABCTJ的对角线相交于坐标原点0,四个顶点分别在双曲规Y=和y=KU0DNOD:八点花如和&V=生空=号.,XBD3.cc_1/iOA_2、，”,4-22OD3-=旁）、b0DH3*S.onv=.。

19、点在双前线V-区(JK()I.,X平行于X轴的直线。两双曲线分别交于点E，F.:.SOEFy49故答案为呈.18 .如图，已知直线/：Y=-X+4分别与X轴、)轴交于点A.B,双曲线y=X(*0.xO)与比线/不相X交，月为双曲线上一动点，过点E作EG1.x轴于点G,E凡1.轴于点户.分别与互线/交于点C,D,且NCoD=45.则=8.解：点A、8的坐标分别为(4.0)、0.4).即：OA=OB,：.Z0=45-ZCOD.ZOD=ZOD,二ODCDO.ODt=CDDA.设点E(.n),则点。(4-”.n),点C/,4-m),则OCr=2+w2=22-8+16.CD=2(m+-4).DA=211

20、.W2/r-8mI6=2=8=3故答案为8.19 .如图，平行四边形A8CC的顶点C在,V轴正半轴上，。平行于N轴，H战AC交X轴于点E,CC.连接8反比例函数产区(QO)的图象经过点。.已知Ske=2,则K的值是4.解：（解法一）过点。作。尺1.r轴于点E如图所示.；四边形八8。是平行四边形，AD.BC=AD.XVflC1.AG：.DAS.AC.；C。平行于X轴.；.NACD=NCEO.YCO-OE，DA1.AC,/.ZECO=ZD.设卢。的坐标为(m0).m则C/)=，”.()C=DF=-.m在RlZiCAQ中，CD=m,NcAz)=90,D=wrcosZD.(RCOEI1.()C=.ZC

21、OE=Wc,CE=9-7-.mcosZECOmcosZD1 Ik1、，“，-CEHC-!-wcosZD=4a=2.2 2mcosZD2解汨；A=4：0.0）.则CD=m,OC=n,X轴，.,.ZACD=ZOEC.：四边形ABeD为平行四边形.BClAC.D1AC.D=BC.：.ZDAC=ZCOE=W,:ZoES2DAC,CE.,jpJ1.-CEiADCDBCm：.in=BC*CE.：SBCEwBCCE=2.1.mn=ISdBCE=A.,I)6.o(图l.XA=m)=4.20 .如图，A为反比例函数=区（其中x0）图象上的一点,在N轴正半轴上有一点从08=4.连接。八，XAH.且“A=A8.过点

22、8作8C1.08,交反比例函数V=K（其中x0）的图象于点C连接。交A8X解:过点人作M1.轴,乖足为，A交。干点M如图9JO=AH.AHOB.：.OH-J-X42,22VRHBC.AMAH-f=-.288VAM/BC：ADMS2BDC.21 .如图，点A在反比例函数y*第象限内图象上，点8在反比例函数y第三象限内图象上，ACA.v轴于点C,BZx1.F轴于点&，AC=BD=号，AB,CD交于点,TiBO=CE.则Jl的值为解：过点A作AP1.轴尸点P，过点B作BQ1.x轴于点Q.二点A的横中标为圣/8的帙坐标为.33V.,.A在反比例函数y/巴第象限内图象匕点A在反比例函教y=K第二条山内图

23、XX：.点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为-3.VACyttl.Dry1t.,.CD=APBQ=9.OD=3.C/BD.：.ZCAE=ZDBE.ZACE=ZBDE.：.Aacembdeaas),CE=JE=0)的图象经过线段比的中点N若8/)=4.则A旭的长为4-W解：花芟形八8。）中.A8=8C.BDC.O8=OD=jBD：2,NBC=2NOBC,二点“（0.2）.设点C（林0）.；点N为CD的中点,反比例函数y嚓即点C(雪，0).二点N号，1)(0)的图像经过点MAC=-tan/OBC席斗oUdO：.ZOBC-=W.ZBC-60.4BC为等边三角形,二BC=AC=华，5VAflfiG,BE=

24、yBC=-EH=BEtanZ0BC=.故答案为：4W23 .如图，平面坐标系中，A8交矩形QVCM于RF,若粤二(nl),且双曲线y=K也过R广两BFmX耨：过点F作血)轴于点G,如图所示:VCWyll.AGyl.：.CM/FG.MC=FG.：.ABMEs4BGF，.NE_NE_BE_1MCGFBFm设点C的5标为小介）,则E（且.）,F（.物mm2二Sl=X-（6-=-glVab-.2mm2m24.如图.在平面直角坐标系中,点P、Q在函数V=卫(x0)的图象上.加、Q8分别垂直X轴于点A、X8,PC.。分别垂克轴于点CD.设点P的横坐标为如点Q的纵坐标为小APCO的面积为Si,QA8的面积为

25、S2.当/=2.”=3时，求ShSiffjft:VWXxWl.PCvW,：.PCOA=2.PA-OC=t.；当m=3时.X=孕一4,5：.Q,?.k+b=2fif=1.，解得产-2k1+b=-lIb=I工一次函数的解析式为y=+hk9-的K的取值范围是-21：X设?x,xl),S.yAOPzS匕BOP=4.：.APzPB=4,即PB=4以.2+2,解得内=g，n=2).“点坐标为(.卷).26.如图.在走形QA8(?中.OA=3.OC=S.分别以A、OC所在直线为X轴、y轴,建立平面口角坐标系，。是边CO上的一个动点(不与C、。重合)，反比例函数y=K0)的图象经过点Ofl与边X交千点连接。1

26、连接若的面积为2.|k=4；连接CA,DE与C4是否平行?请说明理由1(3是否存在点。，使得点B关于CE的对际点在OC上？若存在，求出点。的坐标：若不存在，谢说明理由.备用SI茶：连接OE,如图I.：RtA1AOE的面积为2.k=22=4.、江接Aa如图1,5,E3.-zJeBD=3-X,FE=5-BD3-x3BC3BETI75,AB5b3x.BDBC二一BEABXVZB=Zfi,:ZDES&BCA.：./RED=/BAC，.DEAC.3)兼设存在点。满足条件.设。(.5).E3,x).则CQ=X.VHI)-3-X.IiE-5X4=春.作EFOC,垂足为F,如图2,易证48CDs4EFB.Bz

27、EBFITI32zFBDCD3-xX：.HF=-：.OB=BF+OF=B尸+八E=堤J=芈x，.,.CB=OC-OB=5斗,3A:.Rt,CD,CB=5-4xCD=x，BD=BD=3-x,O由勾股定理得,CB,2+CD2=,D2.2+2=(3-2.3解这个方程将，Xl=1.5(舍去)，2=0.96,二满足条件的点。存在.。的坐标为O(0.96.5).27.如图,点八和点(2.1)是反比例函数V=-(x0)图象上的两点,点8在反比例函数y=XX的图象匕分别过点4、8作,较的垂线,垂足分别为点GD,AC=HD,连接A8交.v轴于点F(1)求后设点八的横坐标为“，点尸的纵坐标为用，求证：“/=-2.

28、连接C、DE.当NCEO=W时，求A的坐标.*=l2=2:证明？Y点4的横坐标为如.点八的纵小标为2.ae：AC=BD.:B,/.)aXAC/BD.：.ZCAFZDBF.ZCF=ZBDF.V4C=)CF2BDF.：.CFDF.一2.W-ajm=-2：(3)解：VZCED=90,.CF=DF.CD=2E.-222+(-m)2.Ill知，=-ona-4w-222+(l-m)2耨得m=l或-当m=l时.=-2(舍去)，当n=-惠时.a：-.acT328.已知在平面直角坐标系X。丫中，点.4是反比例函数Y=-(x0图族上的一个动点，连结AO.AOX的延长线交反比例函数y=0,XVO)的图象于点8,过点

29、八作八EJ_v轴于点XV=图I图2如图I,过点B作RF1.x轴.于点F,连接EF.若Jl=I,求证：四边形足平行四边形：连结若Jt=4,求A80K的面枳.如图2,过点E作尸八8,交反比例函数产区*0,XVO)的图象于点R连结。P.试探先X对于确定的实效3动点A在运动过程中APOE的面积是否会发生变化？请说明理由.”匕证明；设点A的型卜为：“.),则节点4=1时，点8的q”小为(-1),aa：.AE=OF=a,Vfj,：.AE/OF.四边形AEF。是平行四边形：解：过点R作BD.V轴于点D,FfI,图1YAjy轴：.AE/fil).AEOBDO.1赳Eo=喘iBD0DU_1_.,.当k=4时.喘T即也BO2:SaBOE=ZSr人OE=I;不改变.理由如下:过点P作轴干点H,PEX轴交于点G.则AE=小OE=-,PH=-ab；四边形4GO船平行四边形，1.neao=NEGO,AE=Og,ZEGO=NPGH,：.ZFAO=ZPGH.乂；NPHG=NAEO.AEOGHP.AEEO一GHPH;GH=OhOG=-b-0.b_l-Vl4kG=2小,Vm-Axoex(-b)=-()=-=1*+4k.22a2a4.对飞定的实4UM点,“HjiJMI.位面枳个公发生变化.