专题73 四边形中的新定义问题（原卷版）.docx

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1、例题精讲【例1.定义：有组对角互余的四边形叫做对余四边形,如图，在对余四边形ABCD中,AB=BC,ADA变式训练【变17.定义:只有一俎对角是直角的四边形叫做损矩形,连接它的两个非直角顶点的践段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接回的直径.如图，ABC中，/ABC=90。，以AC为一边向形外作菱形ACEF.点。是菱形八CTf对角城的交点，连接30.若NO8C=6r,ZCfl=I5,D=23.则菱形ACEF变1-2.定义:有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”,例如：四边形Abe。中,若NA+NC=180或N8+NO=18T,则四边形八8C。是“对补四边形”.【概念理解】（1如图I,四边形48

2、C。是“对补四边形二若NA：ZB：NC=3：2：I.则ND=度.若N8=90.且A8=3.A=2时.WlCD2-CB2=.【类比应用】（2如图2,在四边形A8CC中，AB=CB.BD平分NADe求证：四边形48。是“对补四边形”.【例2.定义:行组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形.如图.在RtZUfiC中,ZABC=W.AB=2,BC=I,将八BC沿NA8C的平分线3ZT的方向平移，得到AB。，连接AC,CC,若四边形八8CC是等斜边四边形，则平移距离8/T的长度是.A变式训练【变2-1.已知在RI八8C中，ZC=90,.AC=6,BC=3.我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形

3、的内接正方形如图I四边形C)K户是的内接正方形，则正方形C/),的边长。1等于：如图2,四边形5；/是(1)中的内接正方形，那么第2个正方形以加/的边长记为e：继续在图2中的4“GA中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，则第”个内接正方形的边长a,=.(n为正整数)变2-2.定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等,且相写轨边的夹角为直角，像这样的图形称为“直向等邻对补”四边形,简为“直等补”四边形.根据以上定义.解决下列问题：I如图1,正方形BCD中E是CD上的点，将CE绕8点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在OA的延长规上，则四边形8ECF_（填“是或不是”）面等补”四边形

4、；AB,过点B作BEUO于E过。作CR1.8产于点匕试证明：BE=DE,并求8E的长：若M是八。边上的动点，求ABCM冏长的最小值.BB备用图实战演练1.如图，四边形AeE是证明勾股定理时用到的一个图形，“，b.C是RtAABC和RlABEC边长，易知AE=2c.这时我们把关于X的形如Fx&Ct+=O的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.请解决下列问即：判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：2+胡用=0（填“是”或“不是）；婷+5r+4=0_（填“是”或“不是”求证：关于X的“勾系一元二次方程”“r2r历Cm=0必有实数根：若X=-1是“勾系一元二次方程”+cx+Z=O的一个根，且四边形A

5、CQE的周长是12.求4ABC面枳.2 .我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于-条对的线的平方，则称这个四边形为勾股四边形.这两条相邻的边称为这个四边形的勾般边.写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：如图1.已知格点(小正方彬的顶点)0(O,0.A(3,0),B,请你画出以格点为顶点.OA.OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形QAM8；(3)如图2,将AASC绕顶点8按顺时针方向旋转60,得到AD8E,连接AC,DC.NDCB=W.求证：O6+BC2=AC2,即四边形A8C。是勾股四边形.3 .定义：有两个相邻内丽互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的央边

6、称为邻余投.如图/.在AABC中，AR=AC,AOAA8C的角平分线.E.尸分别於81).AO上的点.求证：四边形A是邻氽四边形：如图2,在5X4的方格纸中.A.8在格点上,请施出一个符合条件的邻氽四边形ABW.使A8足转余线，,在格点上；如图3,已知四边形八BCC是以AB为邻余战的邻余四边形，AB=I5,AD=6,BC=3,ZADC=135,求CC的长度.4 .定义：我们把组对边平行另一组对边机等且不平行的四边形叫做等腰梯形.【性城初探】如图1,已知.iABCD.ZR=SO1.点E是边A。上-点，连结CE四边形ABCE恰为等版梯形.求N8CE的度数：【性质再探】如图2,己知四边形八8CO是矩

7、形，以8C为一边作等腰梯形8CF,BF=CE,连结BE、CF.求证：HE=CF-.【拓展应用】如图3,EW8CO的对角线AC、BD交于60,AB=2,ABC=45c,过点。作4C的麻线交8C的廷长级于点G,连结OG.若C7）G=9b,求8C的长.5 .给出如下定义：有两个相邻内向互余的四边形称为“邻余四边形”.这两个角的夹边称为“邻余线二（1如图1.格点四边形A8C/）是“邻氽四边形”,指出它的“邻余线”：如图2,tilBClt.Ab=ACA。是ZUBC的角平分线,E,尸分别是80,八。上的点.求证：四边形ABE/是“邻余四边形”；如图3,四边形A8CC是“邻余四边形”，八8为“邻余战”，E,

8、尸分别是AB,CO的中点，连接EF，AD=4,BC=6.求E尸的氏.6 .定义：我们知道，四边形的条时角城杷这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线1如图1.2A8C的三个顶点均在正方形网格中的格点上.若四边形A8C/）是以Ae为“相似对角线”的四边形,请只用无刻度的四尺,就可以在网格中画出点。,请你在图I中找出满足条件的点D,保谕画图痕迹（找出2个即可）（2如图2,在四边形A8C7）中，NDA8=90,NZ）CB=I35,对角线AC平分NOAB.请问AC是四边形A8C/）的“相似对角线”吗?请说明理由:若AC=AfiI求八。八8

9、的值.如图3,在（2）的条件下，若ND=Nae8=90时，将AAOC以A为位似中心，位似比为遥：加缩小如到44KF连楂CRIiF,在川沪绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于A尸时，谛你百接写出8F的长.Ml图2图37.我们定义:有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四文形”1）概念理解:请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；2）同题探究:如图I,在等邻角四边形A8C。中，NDAB=NABgAD.8C的中垂戏恰好交于八B边上一点P,连接AC,BD,试探究AC与8P的数fit关系,并说明理由：应用拓展：如图2,在Rt2A8C与Rt八8。中,NC=ND=90.HC-BD=3.B-5.符Rt2

10、A8O烧着点A南I时针旋游角（OZZBC）得到RlZX18D（如图3，当凸四边形八。8C为等匏角四边形时，求出它的面积.8 .定义：长宽比为五：1（“为正整数）的矩形称为R矩形.下面，我们通过折费的方式折出一个&矩形,如图所示操作I：将正方形八8C。沿过点B的直线折叠,使折登百的点C落在对用线BD上的点G处,折痕为BH.操作2：将八。沿过点G的H找折段，使点A,点。分别落在边八8,CDAz,折黑为立可以证明四边形BCEF为&矩形. I）在图中.能的依为: II）已知四边形8C“为近矩形,仿照上述操作.得到四边形BCMN.为小矩形，则的值是.25三图c图如图.可以证明四边形BCMN9 .我们定义

11、：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”,例如：如图I,/B=NC则四边形AHC/)为等邻角四边形.E为等邻角四边形：若A+C+E=300,ZffDC=ZG请判断的形状，并明理由.(3)深入探究：如图3,在等邻角四边形48Cf)中，B=NBCD,CEIA8,垂足为E,点尸为边BC上的一动点,过点P作PM,A8.PN1.CD.垂足分别为M.M在点的运动过程中,判断PM+PN与C的数M关系？请说明理出.4迁移拓展：如图4,是一个航模的截面示意图.四边形八8C。是等邻角四边形，ZA=ZBC.E为AB边上的一点.EDlAD.EC1.CH,垂足分别为。、C.4213mAD=idn.D=37Jmj./

12、.N分别为AE、8E的中点，连接DW、GV,求/EM与ACEN的周长之和.10 .同SS情景:如图I.我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂关垂直形四按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“亚美四边形”,“筝形”也是“垂美四边形”.概念珅解：如图2,已知等禊梯形八8CD是垂美四边形“，八8=6,CD=S,求八。的长.性质探究：如图3,已知四边形ABCQ是“垂美四边形二试探究其两组对边A/1.C/）与8C，A）之间的数麻关系，井写出证明过程.问题解决：如图4,分别以RlAUJC的宜角边AC和斜边八8为边向外作正方形八CFG与正方形八连接CE.BG.GE.CE与8G交于点O,QlC=

13、3.AB=S.求AOGE的中城O”的长.HIl.定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂关四边形特例感知:(1)如图I,四边形八8。是“垂美四边形，%OA=OD=4BOB=2.NO8C=60,MD2+BC2=,ab2+cd2=.猜想论证2)如图1，如果四边形48C7)是“东美四边形”，猫想它的两组时边八B,CDBC.八。之间的数收关系并给予证明.拓屣应用：3)如图2,分别以RtZlACB的直角边AC和斜边A8为边向外作正方形AepG和正方形八8/)连接CE.BG.GE.已知AC=4.ZHAC=60.求GE长.Q(X!,W)是平面面角坐标系中不同的两个点，且mh,若存在一个正数3使点P，Q

14、的坐标满足M-F=处1.m.则称P.Q为一对“限料点”，A叫做点P.Q的“限斜系数”，记作A P.).由定义可知，k(.P.Q)=k(Q,P).例：若1,0)，Q3,/),有0-=!l-31，所以点P.Q为一对“限斜点”，且“限科系数”H-已知点A(l,O).B(2,O).C(2,-2).D(2.-). 1)在点4.B.C.。中.找出一对“限制点”：.它们的“限斜系数”为： 2)若存在点,使得点E,A是一对“限制点”,点从8也是一对“限斜点”,且它们的“限斜系数”均为I.求点的坐标：(3正方形对角线的交点叫做中心，己却正方形EFGH的各边与坐标轴平行，边长为2,中心为点M(0,/)-点7为正方

15、形上任意一点，若所有点了都与点C是一对“限斜点”，且播满足A(T,Ob互接写出点M的纵坐标m的取值范围.备用图3定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做像四边形的“中点四边形”.l果原四边形的中点四边形是个正方形,我们把这个原四边形叫做“中方四边形”.概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是.A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形性质探究：如图1,四边形A8CO是“中方四边形”,观察图形,写出关于四边形A8。）的两条结论:问题解决：如图2,以锐角ZUBC的两边AB,AC为边长，分别向外则作正方形A8DE和正方形ACFG，连结8E.EG.GC求证：四边形BCG月

16、是“中方四边形”：拓展应用：如图3,已知四边形AHa）是“中方四边形”，M,N分别是AB,CD的中点, 1）试探索AC与MN的数肽关系,并说明理由. 2）若AC=2.求A8+C。的最小值.14.对于平面直角坐标系3。丫中的图形WI和图形W2给出如下定义：在图形Wl上存在两点A,8（点儿8可以近合），在图形怛上存在两点MN（点M、N可以曳合）使得4W=2W,则称图形Wl和图形W2满足限距关系.如图1.点C（l.0）,D-I.0）.E如图2,正方形A8MN的边长为2,直线。0分别与X轴.）轴交于点0.P,且与X轴正方向的央角始终是30“，若戏段。与正方形A8MN满足限距关系，求点P的纵坐标“（0的

17、取值范附；0）.G,是正方形边上两点，分别以G,”为中心作边长为1的正方形，与正方形48MN的四边分别平行.若对于任意的点G,H,以G,H为中心的正方形都满足限距关系,直接写Hl/，的取值衽IH图I图315 .定义：长宽比为4：I（为正整数）的矩形称为VR矩形.下面，我们通过折衣的方式折出一个2矩形，如图所示.操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折蜃,使折叠后的点C常在对用线BD上的点G处,折痕为BH.愫作2：将AC沿过点G的出线折扑，使点A,点。分别落在边AB,CDE.折痕为EE则四边形8。7为灰龙形.证明：设正方形A8C/）的边长为I,则Bh2n2=瓜由折登性质可知8G=8C=l,AFE

18、=8FE=90,则四边形BCEF为矩形.A=NBFE.BCtBF=I：M,.四边形8CEf为&矩形.阅读以上内容.阿答下列同理:1）在图中,所有与CH相等的线段是.tanN48C的值是2己知四边形8CEF为E矩形，模仿上述操作，得到四边形8CMM如图，求证：四边形8CMN是g矩形:3招图中的日足形8CMN沿用（2）中的方式操作3次后,得到一个“日矩形”.则”的值是图图16 .定义：长宽比为爪：I5为正整数的矩形称为地形.卜面，我们通过折费的方式折出一个&矩形,如图所示.操作1：将正方形八8EF沿过点的宜线折狡，使折存后的点B落在对角线AE上的点G处,折痕为八.愫作2：将FE沿过点G的口践折科，

19、使点八点E分别落在边AF,BEk.折痕为CZX则四边形A8CD为形.点M是边AB上一动点.如图.”是对角线AC的中点.若点N在边8C卜.”f1.ON.连接MM求tanf.N的值：若AM=A。，点N在边SC上，当aOMN的周长川小时，求噌的值：连接CM,作8R_1.CM,垂足为凡TAfl=22.则。R的以小价=.17.定义：有两个内角分别是它们对角的半的四的四叫做半对角四边四.(如图1.在半对角四边形八8C。中，NB=ND,ZC=-ZA.则NB+NC=i222如图2,蜕角ZkA8C内接于Oo.若边A8上存在一点。,使得8。=8”.在OA上取点使得DE=OE,连接。E并延长交AC干点厂.ZAED=

20、3ZEAF.求证：四边形BCfO是半对角四边形：如图3,在(2)的条件卜，过点。作OG_1.O于点,交Bef点G,0/=2.Dll=6.连接OC，若将扇形08。国成,个圆锥的恻面，则该01锥的底面半径为；求AABC的面积.18.在平面直角坐标系x6中,点A在直线/上，以A为圆心，OA为半径的圆与轴的另一个交点为之给出如下定义:若线段0E,QA和直线I上分别存在点从点C和点。,使得四边形ABCD是矩形（点A.B.C.D顺时针排列）.则称矩形A8C。为宜线/的“理想矩形”.例如，下图中的矩形A8CC为Il线/的“理想矩形1若点八（7,2.四边形A8C。为直线X=-I的“理想矩形”，则点。的坐标为：若点4（3,4）.求直线y=代+1SKO）的“理想矩形”的面积：（3若点A（1.-3.直规/的“理想矩形”面枳的最大值为，此时点/）的坐标为.