2023数列大题热点50题训练（带解析）.docx

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1、11. （2023江苏模拟）已知等比数列的各项均为正数.且4+。、+4=39,6=3,+加,.求的通项公式：数列的）满足以工，求也的前”项和.12. （2023太原模拟已知等差数列SJ中,ql,S,为（小的前项和，且也是等差数列.求alt:2）设。=二一（”eV）,求数列也的前”项和Tx.13.（2023春湖北月考）已知数列凡的前项和为5，且Sx=S,+q+1,.请在&+%=20：,%,成等比数列；Ss,230.这三个条件中任选一个补充在上面题干中,并解答下面问题.1）求数列UU的通项公式：2若a=4-1,求数列2”的前”项和7；.注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.14.（2Q2

2、3漳州模拟已知5.为等差数列的前nj和.ef,%-q=6S（I=54.求数列Uu的通项公式：2若色乎=求数列的前“项和乙.2an15.（2Q23新城区校线模拟）已知数列的各项均为正数，且满足出4+4+。,+4）=0（。+1）.证明：数列SJ是等差数列：2求数列的前”项和工.16.（2023抚州模拟已知等差数列SJ的前“项和为S/S4-5,.fl,-211t+l.求与工：在下列两个条件中选一个，求数列（bj的前30项和.瓦一；,=o.l注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17.（2023抚顺模拟）已知S,是等差数列（q的前项和，7；.是等比数列4的前”项和,且a,=0.4=I.）证明数

3、列也J是等比数列,并未数列的通项公式:的前”项和5。,求使”+S.V42成立的正整数”的最大值.24.（2023昆明一模已知数列SJ的前项和为SJ,=1.且满足（T）Sj2%0.I设。=&，证明：协是等比数列:n设4=-；一,数列的前”和为7；,证明：T2.4K25.（2023春番禺区校级月考）已知公基不为宅的等差数列Mij满足6=3,且q,a,生成等比数列.求数列SJ的通项公式：2设数列的）满足“一.的前项和为S-求证：S.上.的“226. （2023广陵区校级模拟）已知数列4的前项和为S“，且为+S“-1.求数列5的通项公式：（2）若数列出）湎足4-l2+k4.设。岫1+也1+也|,求27

4、. （2023高新区校级模拟）记Z为数列（“的前”项的和，己知qI.闱是公差为g的等号数列.求数列S.J的通项公式：三2*.记数列尼的前”项和为7试求1.T除以3的氽数.28. （2023春浙江月考）已如数列也J是公比大于O的等比数列，+,12,其前4项的和为120. I）求数列通项公式： ID记q=忆+!，”AT,求数列（-c,J前”项和.29. 20234浙;I力考已知数列a.,也）满足=1,&=JaE=24%（”.2）,4=与g*）.39、2,q+色见+6+.+（30.（2O23JE台模拟已知数列七的防顶和为工，满足q+S,.=S,+（-lf.（2）若（j）（3-I）,数列（bj前”项的

5、和为S,求-q36（2023汕头一模己知7；为正项数列（4的前“膜的柒积，且4=3,2=,.求数列Uu的通项公式：（2）设/,=上1,数列仍J的曲”项和为5.,求5nc,K我示不超过X的最大整数）.4+137.（2023广东模拟已知数列匕的曲”项和为且S+2S2+3S,+砾=/.求改列SJ的通项公式：2若a=n.,且数列他的前”项和为7求证：当3时，口电妇+-4.2/-I38 .（2023济宁一模）已知数列的前项和为S,且满足：4=1,2,+”（wM）.（求证：数列（胃为常数列：（2设7；=旦+生+&+幺.求7；.3井rr39 .（2023国王分区校级模拟）在各项均为正数的数列M“中.4=2,

6、.尸“式4”+2”“）.1）求S/的通项公式：isbn=.I-=,1）的前”项和为S.,证明：三反“S.*4啊承7+&4240. （2023辽宁一模）等差数列（q）的首项4=10,公差dw,数列出中.A=瓦=5.=17.已知数列4为等比数列.1）求应J的通项公式：2）记S.为“）的前”顶和，求S.-a的以大值.41. （2023湖北模拟已知各项均为正数的数列血）的前”项和为S且S.片为等号数列.求数列WJ的通项公式；（2若，”为正整数，记集合：4lg+Z,.，的元素个数为丸，求数列色）的前50项和.42.（2023沙坪坝区校级模拟己知（%）与向）都是正项数列，（4的徜”项和为S,nwN、旦满足

7、2(1-32).=4I=4-3-2w-41-32C!”1当n为奇为时，S=El-a-=43-2(“+1)-4-(23-3)=23-2”-3,.C_4于-2”-4,”为奇数珠.S11=“.I23*r-2-3n为偶数【点评】本即主要考查了数列的递推关系及数列求和方法的应用,属于中档SS.2.(2023冏至县二模)在S11=2+2：q3,%+%18：43.S48这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知S.为等号数列4的前项和，若.1)求数列SJ的通项公式：设/,=/一(),求数列屹的前”项和7；.anl注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【分析I)在选和条件的情况下根据题干己

8、知条件并结合公式冉=SBS.1,i.2即可计算出数列“J的通项公式：在选择条件的情况下先设等差数列(“,的公差为，再结合等差数列的通项公式列出关于公差d的方程,解出d的值,即可计算出数列4的通项公武：在选择条件的情况下先设等基数列IaJ的公差为4,再结合等差数列的前”项和公式列出关于公差d的方程，解出d的侑，即可计算出数列”“的通项公式.2)先根据第遨的结果计算出数列的通项公式,再运刖裂项相消法即可计算出前“项和【解答】解；(1方案一：选择条件由Sfi意，当”=1时，rtl=5,=3.当旭,2时，q=S11-Si=+2-(n-l)-2(-l)=2+l,;当=1时，4=3也满足上式，方案二，选择

9、条件2_II123411+l-=+=7+F+7+*g1.=2g)2+3gf+“(+m+l)g产，两式和M，-rj,11_21I1+1可得,(=7+-+FrJ1_=1+三三空!.12o,l23”+3=Q-yr，33-甯.【点评】本题主要考套数列求通项公式，以及运用错位相减法求前“项和何SS考杳了分类讨论思翅，转化与化归思想，等比数列的判定，等比数列求和公式的运用，以及选辑推理能力和数学运算能力，属中档鹿.5.(2023潮州模拟已知Uu是首项为I的等差数列，公差0.g/是首项为2的等比数列，仇=么，q=(1)求(4,UJ的通项公式；(2若数列也J的第m项/，涌足(在中任选一个条件)，V,则将其去掠

10、，数列也J剩余的各项按原顺序组成一个新的数列j，求(0,是首项为2的等比数列，=，可得1+3J-%,l+7rf=2,解得d,q.即可得出q,b.3+01-)4+(-4)(-r+(rt-3)(一),3。、33、两式相战可得：十：=+(：)+(；)+(；)+(；)-(-3)(g)”2.9l,r,(n,jxJr.=-+j(w-3)(一)-I3所以片T-CT/【点评】本题主要考杳了数列的递推关系在数列项的求解中的应用，还考我了等比数列的通项公式，错位相减求和,属于中档途.7.2023春商丘月考)已知数列(中,rtl=-K-=+-().13.13I)证明：，-是等比数列：0.所以q.q.所以“是等比数列

11、.I1.的前”月i和S,-.(1】求数列SJ,“的通项公式;(2设数列G=一，(c.)的前”项和为7；,证明：&-.一.【分析】在纥=”盘中,分别令=1和=2,可得数列应)型首项为2,公比为2的等比数列,从而知”=2*,再利用0,Z-SS.2)的方法，求得也=2YwM*)进而知qm=所以,=4，4故数列是首项为2.公比为2的等比数列，所以=22=2,因为aibl+“也+也=(n-1)2+2,所以当.2时，afy+3+“=(”-2)2+2.两式相战得，A=n2(n2),又”=1时.“占=2,满足上式.所以aj)n=it-2n(neN*).因为=2,所以q明二数列gIj的曲项和为=皆+9Wa=2。

12、-i+,2-12.数列区）为单调递增数列，当儿.5时,4.=2-1+5=56.因此结论成立.【点评】本也考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性考查了推理能力与计算能力.阿于中档题.11.（2023江苏模拟）已知等比数列aj的各项均为正数，且/+4+q=39,as=2at+3ay.求5的通项公式；数列曲）满足“=工,求也J的前”项和t.a.【分析】（1）根掘等比数列基本破的运算可得01,g，即可汨数列的速项公式：11mn.然后利用格位相减法求解即可：域利用裂项相消法求和即得.【解答】解：.gT+39,.卜（1.+f）=39g,Iqg=2alq+M.S.,=5,+4+I,41.SJaIt

13、7，y*+l,数列UU是首项为4.公差为1的等差数列,若选：由q+%20,得4+2J+q+14d20,即加20-16d,ftjl=2.二可=+(-IW=2+(-1)x1=+1即数列SJ的通JS公式为4+1;若选：由4巴成等比数列.褥(+4d1二(q+d.+I(W)解得q2Iqal*(n7)d2(-1)1w+1:若选：.S9,=20m+竺炉x=204+I90=230,好得q=2,.,.av三al(n-l)rf三2(-1)11：以=4-l=2三2h.=l-2,+2-2z+3-2,+n-2,2,三l22+223+324+.+n-2,l.两式相减得：-7；=2+2：+2+2+2-小2”=型二空-小2”

14、，1 2.T=2+(n-l)2.【点评】本时考杳等差数列的通项公式，错位相M法求和，化归转化思想，/中档SS.14. (2023漳州模拟已知S.为等差数列(小的前”攻和，wejV,32-6.Sf.54.求数列”“的通项公式:所以为IJl+3+5+(2-1)2X业生心2/.mi8828所以Q=1.i%.I=1.q必=，因此竺(1.J_),cec04l8Mw)81/1/1+1力In64八1111、Mn81223n+8l(+l)【点评】本题考查数列的逋项公式与前“项和公式,熟练掌樨等差、等比数列的通项公式.裂项求和法是解密的关键，考森设辑推理能力和运算能力，典F中档鹿.18. (2023浙江模拟已知

15、数列SiJ是以d为公差的等差数列.dO.SIl为SJ的前”项和.(若&=6,=1,求数列4的通JS公式：若4中的部分项组成的数列9是以4为首项，4为公比的等比数列，且生，如，求数列的前顶和t分析】tl5b-5=6.可得&=2,后由等差数列性质可得公差，即可得通项公式:(2出即可得j44.”4=1.后由是以d为公差的等差数列,6=4q可得数列叫足以:为百项.4为公比的等比数列.可求得数列(”3的通项公式，后由分组求和法可得，”的前“项和二.【解答】解：(I)因为2-S1=6,所以a+w+q=6,所以q+6+缘=35=6n4=2所以d二生=!=4=w+(11-3)J.3“一：，则数列4的通项公式为

16、因为数列%.是以首项为q,公比为4等比数列，所以。Q=4n,1%=6n明=I因为数列j是等差数列，所以4+(叫-IW=4g(mu.l-1)y+6n【点评】木胭主要考杳等差数列的通项公式及前“顶和公式，等比数列的求和公式，考食运算求解能力，w于中档题.19.(2023河南模拟己知等比数列UJ的前项和为S“，a,=-2.2S,=l+l(0fi-2). 1)求数列匕的通项公式：iV=-(H+)rt,求数列也)的前项和7；.(分析(1)数列风)是等比数列,设公比为9,由2Sn=ar,l+1UO-2),11.2时.2an=2S-25o.l.化简代入”=1，-2(i,=a1+14=尤-2联立即可得出4,.

17、qbn=T”+1MI,=(0+1)32.利用锚位相减法即可得出数列(“J的前项和Z【解答】解：(1.2S,=a*+lGiO且尤=-2),.20b2a*=25,-IS2=antl+l-(+l).化为也=22.数列匕:是等比数列.设公比为g.”=1时也成立，幺=1；二二g,而”=I时，2a、=az+1.at=-2.联立解得4=-3三l.公比g=3,以=Y+1M,=(n+l)31.数列山)的前项和4=2+33+432+(+l)31.法,考雀了推理他力与计算能力,属于中档题.22(2023广西模拟记S.为等比数列(4的前nJ和.已知工=4=3凡.求：2设=H”为令;:妁求数列%)的前2“顶和.,i+1

18、1.JV8X【分析】(1)设等比数列(4的公比为q，根据胚!目条件列方程组求解即可：H他就可得=：.为.然后利用分组求和法求解即可.3J+为我数【解答】?:(1)根据遨意可犯?+：=：ISM)-=3.7解得=；.19=3.w,-3r三rls2由题设及可知；当”为奇数时，hl=ar=y-,当”为偶数时,b=hfl.1+n=r-l+w=3v+n.=13t.”为奇数“廿为儡数7,+,+ft,+b2n(l+*._,)+(/.+bt+%)=(3o+32+34+32,r2)+(30+32+34+322+2+4+6+2”)-2(3+32+3*+.+321)+(2+4+6+.+2”)C1-3rt(2rt+2)

19、9-I-14=2+=+11(m+1).1-924【点评】本题考查等比数列的通项公式.等比数列的求和公式的应用方程思想.分类讨论思想M中档SS.满足题意的正整数”的域大值为3.【点评】本题考杳等比数列的定义与通项公式的应用，累加法求数列的通项公式，不等式思想，屈中档时.24.(2023昆明一模已知数列匕的前”项和为S“.1=1,且满足(，r-l)S.+2”4“=0.(1设纥耳,证明：也J是等比数列：n2设C(I=h，数列j的前”项和为7；,证明：T,2.【分析】(D由即设可得5T)S.+2(Se-SJ=0,整理变形得aUN22,结合等比数列定义即可证n+12it结论：根据”,S,的关系求%通项公

20、式，进而可得,-二，在-2上放缩C,V一，结合裂项求和证结/rrt(n-l)论.【解答】证明：(1由题设，(”-1电+2，值“-5,)=0,则2,电“=(”+1电.所以H*即&=；/而a=”；，故仍，是首项与公比都为g的等比数列：Itl(1)2=(J-即*=(3,当儿.2时，/=S“-S.,=n(；)n-l)(r,=(2-w)()n.显然4=!满足上式，2所以=(2-).则C,2=(2-2)(11=rri4i,22WlCu=1.=-；=又”.2时cn=-V-=-4,u,24,tn-4-in-nM-l)m-1n所以7；1+(1+，+.“+一-)=2-,223/J-IMn又因为儿,2,故g.【点评

21、】本超主要考变了等比数列的定义，考查了巴，S.的关系，以及利用放缩法证明不等式，属于中档膜25.(2023春番禺区校级月考)已知公差不为零的等差数列Uu涧足6=3,且4,出，的成等比数列.1)求数列1q的通项公式:则想和运算能力、推理能力,属于中档题.28. (2023春浙江月考)已知数列也J是公比大于0的等比数列，4+也12,其前4项的和为120.Q,.bi+4=12,其前4项的和为120.利用通项公式与求和公式可得关于4，q的方界组,解得q，可得以.0,4+412,其前4项的和为120，.(1+)=12.4(l+r2r3)=l2O.解得4q,-311. Il)q=9+*,=81+(/+25

22、-181+($=2x3，二数列d-c,o前项和=23-3-=3”-3.31【点评】本题考查/等比数列的通项公式与求和公式.考查了推理能力与计算能力属于中档题.29. (2023春浙江月考)己知数列(,.(a满足q=1，4n,，4.二4-0*52),三-(11jV).3392,ai+cx+2时,只要证明S-2(4+/)0即可证明结论.【解答】解：(I).*=U%(m2).q=各W).g*=l+3+211-D=11(l+2-1)=*，即%,=r.(2)证明：A,-.当“=1时，bl2.SIlln当n.2时，-=-nn(n-1)”一1nHlbl+b,+by+VI+(1-g)+(g-；)+(-J-)=

23、22-综上，nN.，+8+仇+112.1点评】本题主要考爸数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属千中档题.31.（2022秋宜城期末）已如数列是公差不为零的等差数列，4，1且%，%,成等比数列.（1）求数列SJ的通项公式:设数列仍“）的前n项和为S,，在5,=2-1,”M：S,=纹,-1,：5,“=2S,+1，这三个条件中任选一个.将序号补充在下面横线处并根据题意解决问题.何翘：若4=1,且.求数列a“也的前n项和兀.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.【分析】（I）根据等比中项性质,结合等I数列通项公式得4=2,再求通项公式即可:根据题意求得设等差数列的公差为d0因为的,%

24、,”“成等比数列，所以C=Aa2即（q+4=（,+JXal+l3rf）.解得d=2或d=0（舍去），又q-l,所以数列（0.1的遨项公式为=l+2（rt-l）=2-l.解：选，由1=2-I,nnN.当儿.2时.b,=S-S,.1=21,当”=1时等式也成立.所以A=2,.则见也=(2“-1)2”,与4之间插入2个2.2_a此时共有11+(1+2+.+2)=11+1=1034项，在4的后面再插入2023-1034989个2即可.21数列dn的前2023Jfi的和7mj=(l+2+.+1l)+(l+2+23+.+2m+989)2=+989)x2=4090.【点评】本也考查了数列递推关系、等差数列与

25、等比数列的通项公式及求和公式、分组求和方法,考查了推理能力与计算能力，希于中档题.34.(2022秋永州期末)设数列4的前”项之积为7且涧足27；=l-q(WV).(”证明：数列匕:是等差数列，并求数列(qj的通项公式：(2)记，=罕+”+片，证明:S-.4T,.n=l【分析】(1)法一：根据4=IT,、，得到/=上生，变形后得到一!-=l(w.2),证明出112-FI-Ql结论，并求出通项公式；法二：由应口条件得到2乙=-(n,.2)1得到十);以3为首项，以2为公差的等整数列,求出T11=-,%E2+l进而求出q=誓,并证明出数列匕：是等差数列：(2利用放缩法得到空/(1._1.),裂项相

26、消法求和，得到S.1.4十|4【解答】证明：(1)方法一：当”=1,得4=：，当几.2时加小4”q，211g。I。1，两式相除可得：见上&,1 -0.1即一!=工.又卫=s=1.IflU1II1-是等差数列.2 )T=ala,-i=-=!-T：=；!=(-)，352w+l2“+14，+4+14M+1)4n+1s三i+7?+.+rsl(i-l)+(l-l)+.+(l_1.)j三l(i-1.),4223n+14+1因为OVln+1所以s.1.【点评】本题主要考查等差数列的证明，等差数列通项公式的求法,考杳数列的求和，考查运算求解能力,属于中档SS.35.(2022秋怀化期末)已知数列的首J4=2,

27、且满足q.=：&(2.).出SC=3-3+，”=1时.Ol=SI=1：儿.2时,=5”-51，即可得出巴.=1时.b1l,.2时,=m=3w+1-=3一.利用求和公式即可得出当儿.3时,数列11-l11-lWlJ的前”项和7；,结合分析法、数列的堪调性即可证明结论.【解答】解：(1)/5,+25,35t+w5v=././1.2BbS1+2S2.(r-l)So.l三(11-l).相减可得：S11=I-S-D,可得S,=3-3+J,nH=I时，q=5=1.n.2B*t.h=Jk1.=3w+13n,11-111-1当”.3时，数列的前”项和为？；-1+6-1+3(3+4+.+”-d+23n-八.(i

28、-2Xj+3)I1I、=6+3(.-)22311-l3w(11+l)./IV=3-(-+-+)f223W-I要证明当”.3时.兀,叫+%-42-1II17即证明1.3时，1.+1-923-2/1-1rr=3时，/(3)=0成立，而f()的调递增,因此当”.3时，14+1+!一+二一成立，23-2即当”.3时，呵空1)+-4.2一I【点评】本题考食了数列通推关系、等荽数列的通项公式与求和公式、数列的总调性、分析法，考性了推理能力与计算能力限于中档起.39.(2023禹王台区校级模拟)在各项均为正数的数列“J中,4=2,1=11n(n.l+2n).求的通项公式；i=.1色)的前”项和为S.,证明：

29、2Z2&.S,Vl.卜欢&h44.)&与”,0%42【分析】I由“=q,(J+2qJ,因式分解为(1-24J(%+”“)0.根据a“0，11N,即可得出：t+l=2a.,利用等比数列的通项公式即可得出.,利用裂项求和方法可得的的前为项和.利用数列(SJ的总网性，即可证明结论.【解答】解：；a：”=0.(%+2.).(,l-2O，rN,2%，.数列WJ为等比数列.公比为2.首成为2.ar=2.2)证明：=71.=1Jr=7=-j2,+平&。*zrJ+l+(11+l)nr+I.也)的前“项和邑1-3+%-*可番数列S/单诩递增,S.0当=I时，2S=2%=+。：，可得力，：当他.2时，2(S-Sn

30、.,)=2a“=a.+a：-%-a1.,则3+t,.l)=,；-故凡-%=I，所以I。是首项为l.公差均为1的等差数列,故4=.nt922mm所以能使月+2“切成立的”的以大例为2，-/,2n所以bn=2n-l(n.3)所以也的前50项和为0+1+5+7+.+99=0+1+色”生丝-2497.（iT）本题主要考查递推数列应用，根据等差数列的性麻，建立方程，求出首项和公益是斜决本题的关则数列MJ是一个总调递增数列，M,1282,M11546.则满足M,520的的最小值为8.【点评】本题主要考荏递推数列的应用.根据等差等比数列的通项公式,以及利用分组求和法进行求和是解决本SS的关键，是中档题.43

31、.(2022秋慈溪市期末)记之七=8+F+&+凡，qAi=XIXAjXXsXXX=，”,已知数列“.)和Uu分别满足,=”：.,(/)心.fl(1求14,应J的通项公武: 2)求之。也.【分析】(D由=，儿彳=(6)3,利用逋推关系即可得出生,b,.1-I也.=(2n-0r,利用错位相减法、求和公式即可得册结论.【解答】解：(l.taalni,=(3),trI.”.2时，=n2-(m-I)2=2n-.bA=-.-=(3r=3r.=1时，4=1,=3,满足上式，q=2-1,=3.nfer三(211-l)3r././,=7；t=3+3x3-+5x35+.+(2n-l)337；=3+33j+.+(2n-3)r+(2r-l)3n,.相减可得：-27；=3+2(3?+T+.+3)-(2-W=3+2*,-1-1.w.31化为：7i=(-l)rt,+3.BP0A-2,进而可得&g4046(63+62,利用1+2+-l-,可得12l2j-a；4042,4046(63+g/，a：2n-2(zr2).；.a：.o：+2+5,2-24042+(,十嘉)id+4042+(+