2023解三角形热点50题训练（带解析）.docx

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1、)求角A的大小:(2记ABC的面枳为S.若HM=-MC.求四上的加小值.2S25.(2023盐亭县校级模拟)在AABC中,八C=而.。为Z8C的角平分线上一点.且与A分别位于边Ac的两侧，XiZDCI5(P,/10=2.1)求ZAA。的面枳:某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个:角形促储活动区域(即ABC区域).地面形状如图所示.己知己有两面墙的夹珀NAC8=：,NaA为锐角，假设墙C4,6的可利用长度(单位：米)足够长.(1)在AA5C中，边上的高等于BCRsinZCtfi:4求该活动区域面枳的加大值.28. (2023桃城区校级模拟)记A4H?的内角八，B.C的对边分别为“，b.-,已知

2、(cosB+cosC)+(b+c)cos(H+C)=0.(1)求人；2若。为戏段比、任长战上的一点，II.HA1.AD.BD=3CD,求SinNAa).29. (2023春海珠区月考t(Dcos+2cossin(C+-)三0.bsin*cinCasin八-SinC,向量6加(2+cm)a=(8$A8S。，汾1.讨这三个条件中任选一个，补充在卜面问题中,并解答.）若+c=4,求A4WC的面积：求&8C周K/的取值范附.47. （2022秋深圳期末）如图，有一个小矩形公园A/：其中=20m,AD=l（n.现过点C修建一条宅宜的围墉（不计宽度与AB和AD的廷长线分别交于点.F，现物小矩形公园扩建为:

3、角形公园AEF.当AE多长时，才能使扩建后的公园&怔五的面枳及小？并求出AAEF的以小面积.2当扩建后的公园A的面积最小时,要对其进行规划,要求中间为三角形嫌地（图中阴影部分）,同也是等宽的公园健步道，如图所示.若要保证绿地面积不小于总面枳的求他步道宽度的以大侑.小教点后保刷三位小数参考数据：31732,5N2.236.153.873.tan2=2tan1-ta0参考公式:48. (2022秋长沙期末)如图.4Ctl.角A.H-C的对边分别为a.c.(b+c+a)(b+c-a=ihc.求人的大小:2若A8C内点P满足ZPAH=NPBC=ZPCA=ZPAC.求ZbPC的大小.49. （2023红

4、河州-一模在+=I,CcOScSinA=（2-c）sinCcosA这两个条件中任选sin4+sin+c一个，补充到下面横线上，井解答.记AAflC的内角A.C的对边分别为.b,c,且求4:Q对用线AC的长为7,圆。的半径为半若fiC=5,AD=CD.求四边形AeC/）的面枳：求ABC周长的圾大值.1分析】（1在MOC中利用余弦定理求得NOC=g从而证得A4CO为等边三角形求得其面枳,再在MBC中利用余弦定理求得人83,从而利用三角形面枳公式求汨BC的面积，由此得解;利用余弦定理也到（+cf=49+r.从而利用基本不等式推得+g,巴杏，由此得解.【解答】裤：（1如图所示，连结。A,OC.在A4O

5、C中.OA=OC=.AC=T.所以cos/AOC=因为0NAOC0.在2S=bA84C,2co仪C=l+cos2A，c=SinC-8SA这三个条件中任选一个，补充在上面的问SS中，并根据这个条件解决下面的闫SS积的运算，同角三角函数基本关系式可求UUI八结合人e(0.),即可求解A的假：若选，利用二倍角公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式可得2coA+8sA-1=0,结合zte(O.11,).可得CaSA=J,即可求斛A的值：2若选，利用正弦定理,两痢差的正弦公式化简已知等式Sin(A-)=：可求八-军(-军,进而即62666可求解A的伯.2由遨意可知AD=g(A8+AC),两边平方，

6、利用平面向家数髭积的运算可求4A)=S-0+%根据OVbVG利用二次函数的性质即可求解AD的范困.t解答】解：若选，因为2S=/八8AC.所以2I6CSin八GccosA,可得Ian八不.2COSA又因为八w(O.r).所以八一2.3若选.因为2cos生C=l+cos2A.2所以2巴丁2si?1=l-cosA=2cA，整理可得2coA+cosA-1=0,22解得COSA=1.或T.2又因为Aw(0,11),可得CaSAw(-l,D,所以CaSA=-.2所以A=X.3若选.因为cJQisinC02bc因为是BC是说知-：知形，所以a2+c2-b1cosB=0Iab/r+0即(+c2-fe:=36

7、+(10-b)20.?Wh05-l6，3b所以sinC=Vl-cos2C=所以S3杖=-ahsidC=Afr2+l(-16.fe-554(-2K8-)i()=-j+IOv-16=-x-5)+9(x9,当X=?时.R(X)=吟.X-5M-5.DJJ所以K(X)Wdk，9,即-b，+l(H-16e(H,9.所以-Z+10/,-16e(=.3,25255所以55、皿、,12.即&3。的面枳5的取值范围是（5，121【点评】本期主要考竹正余弦定理在解三角形中的应用，考锂转化思想与运算求蚱能力，希手中档题.7.（2023山东模拟）在AWC中，AU=IAC.。足边8C上一点，ZCAD=IZliAD.若AC

8、=1,求AD的取值范围.【分析】（1）首先求舟NfiAZ）、ZCAD,再在A4B/）、MC7、MBC中分别利用正弦定理计算可得:设4W=a,则NCAD=2a,N4C=3a,由面枳公式表示出SA但、SS皿、Ssiat,即可得到sin3a=AZXsin+sinacos).从而得到AD=es-.令l+cos=r,则AD=4/+-8.设Icos0,t/)=+3-8利用导数说明函数的单调性，即可求出/的值域，即可得解.It解答(1)解：由/8AC=卫.NCAO=2Z4D4可得NZMO=巴，ZCW=-.42【分析】(I)根据已知条件,结合向盘平行的性质,结合正弦定理即可求解:-e)cos4.由正弦定理可得

9、，sincosC=(2sin-sinC)cos,.,.sinAcosC+sinCcasA=sn(A+C)=sin=2sincosA.(O,y),.sinZO.2xsA=1.即CoSzI-,2由(1)可得.A=J.+C=y.BC为蜕角.()C-,2，解得JVc()a-C62.bJnBsM(行-C)/COSC+ynC点JcSinCsinCsinC2tanC2.tanC(.)二工-(0,3即,e(1.2),2tanC22JanC22涂上所述，-的取值范围为(1.2).c2【点词】本Si主要考直第三角形,考查转化能力,属于中档题.11.(2023湖曲模拟)已知C的内角八，B,C的时边分别为,b,c,且

10、VWRSC+1.C.求A的人小:(2若48C为跳角W角形，求的取位范困.【分析M用用正弦定理进行边角互换，然后利用诱杼公式、和差公式和辅助角公式化简得到sin(A-)=1.【分析】（1）利用余弦定理角化边即可求解:=2x丝=C即2/+仅，=a2+/-/,整理可得/=-c,所以Ed=J关T因为0Vt，所以A=g:如图所示:由Sfi意可得AM是角A的平分线,A=,NBAMJ在中，由正弦定理UJ得,BW=H,sinBMsinB即也=把，解张in8=文鲁，3sinB47在A4CW中，由正弦定理可得-CM-=WfSinZCMfSinCAA/斛得SinC=工,所以SinC2sin由正弦定理边角互化得C2h

11、.在AAfiC中由余弦定理(67)2=6+4-2b*2(-3,解得=6.c=l2,所以Cos8=；a2+-b2(67r+12-6:5267I2iTF在AAfiW由余弦定理得AM:=c2+Bf2-2eBMcos=I2;+所以SinC=*=1.得：C=-.所以8=三小262所以Sin八sin。，3n8=2sinC,ft1aJc.b=2c.即：a2-c2x-.点评】本SS综合考在了正弦定理，余弦定理，情助角公式在三角化简证明中的应用，限于中竹题.14.（2023桃城区校级模拟）记M8c的内角A.C的对边分别为.c.已知A=包,。是边8C.Ntrl11sinBDsinZCAD3C:的一点，且/JC.h

12、c2a1证明：AD=i2)若8=2BD,求O)SzADC.【分析】（1）由Jg意利用正眩定理得sin8V）=g*,sinZCO=cpSinC.代入等式即可证明.DAD2）由。2BD-得8。“，由余弦定理及8s4DC+esZAD=0,2-b2=2c2.33XAC=-.在4C中.Hl余弦定理褥4=4+/-2n8s把=：+/+冬,联立即可求解.66【解答】裤：（I证明：因为AABC的内角A,8,C的对边分别为“，b，c,。是边8C上的点,在MfiD中,由正雌理得号=嘴，=勺在AAa)中.由正弦定理得号=有，可得M3爷,所以MNZMO,MnNCN_/WrinU_CinC_/WrinN/AC,inNAA

13、C_下_5“_13_frcADhDcAO1+ADaAOaAD2AD-2d所以AD；“，得证.JfiJCD=j.RD=a.乂因为A。1a,(!4+熹-从所以在4C”中,由余弦定理可得COSNAOC=H-22x-0x二。33-cos8sinB=，一CoSCsinCa2+r-b2h则、2qcJ,l2a2(h-c)2(b2-c2)2(h+c)(h-c).r+3-1.ca2ab因为b/c所以b+c；证明：由已知窗,sinB=sin2C=2sinCcosC又由正弦定理，一=三可得，b=2ccsC.snsine因为8SCVl,所以Z8HC*S4nC2*inCco%CcmC(2C-J)%inC又b=2ccsC

14、,将“一J以及C.，一代入a+c可得，(!2oosC-l2cosC2cosC-l整理可加(台)(金)2cosCW1+2COSC2cosC-l因为8=2C,A+8+C=所以OVCV.则1.conCl.32令r=2cosC.WlI2,b=()=-(-l-),=-j-/一-I+/-It-r-t+l-(/-l)(2(+J)则八分二，、,，(,-r-r+l)所以当IVff=,即；,综上所述，2cb*.3【点评】本SS主要考我解三角形，考性转化能力，M于中档题.18.(2023广东模拟已知&4BC中，内比A.B.C的对边分别为.b.c,且，=#.A=.(2-J(an=3. 1)求相： 2若A丽与&WC在同

15、一个平面内，且NO8=E,求8的最大值.4【分析】(1)过C作A3边上的高CW.其中M为垂足,显然AAf=GW=6.进而求得8.可求B:，4/)(2当CD取窗最大位时，C与。分别位于Ae两侧,在AABD中,由正弦定埋有一二一一若一，在sin-sin(-044Me中,由余弦定埋可得CD2=6+%M0+8s欲-4#(3n。+COs)cos(6+H)计算可求C力的以大位.4【解答】解：(1过C作他边上的高CW,其中M为垂足，显然AA/CM3.又因为Ian8-丸.2-3所以从RtACMB可知2-3.AB=AW+CM=T+2-G=2; 2当CD取得最大值时，C与。分别位AB曲网.此时设NBA。=。.则4

16、8。=3-J，4囚此在A48/)中，由正弦定埋书所以AD2-/1sin（-0三2（sin0+cos04在AA6力中,III余弦定理可得CTy=6+4sin9+cos-4#（Sin。+CaS夕）cos（，+）421.(2022秋安账期末从CoSCCOS4=0：sinA-sin+sinC+sinsinC=O：s+cos-=0,这三个条件中任选一个，补充在下面向鹿中，并加以解答.2l4C.a.h.C分别是用A.,C的对边.若选.求角8的大小；(2若点。在AC边上，满足AC=4AD,ftA=4.BD=3,求8C边的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】(1)；先利用正弦定理进行边

17、化角，再结合三角恒等变换化简求值；先利用正弦定理进行角化边.再结合余弦定理化筒求值：利用二倍用公式的余弦公式运算求解：(2根据向量的线性运算可得3M1sC再结合数状积的运算律运算求解.44【解答】解：(1若选；fccosC+(24+c)eos=0由正弦定理可得sinRCgC+(2sinA+sinC)cosB=0,则sin。CoSCcosSinC2sins?=sin(C)+2sinAcosB=SinA+2sinAcos4=OAW(O.不)，/.sin40.,.l+2cos=0.*.cosAJ=-.XZ(O.-).2若选：sin2A-sinr+sirCsinAsinC=O由正弦定理可得：-/+c=

18、0,BPfl2c2-fc2=jc./-+-#JrIoos=，Xe(O.).2ac2d2k8=彳：B若选：,cosU+CoS-=O.则2c0s29-1+cos?=O.解得CaSe=-I或122又BW(0,r)，二4w(0.；)，工/BICOS=22.-.AW=A8+；（AC-A8）=；A8+：AC,二IAHF=士痴+!AC+aABAC=2/+%+2t6.2J（外）-r+-bc=-bc,999999v9993当口仅当2=!护，即=勿时，等号成立，99S=1.ZKSinA=立c,242he.空工Yj-=吧.当且仅当6=2C时,等号成立.SF9故四械小伯为逆.S9【点评】本啊主要考含就三角形，考杳转化

19、能力，典干中档题.25.（2023盐亭县校城横拟）在,MBC中,八C=JmQ为48C的角平分线上一点.且与A分别位于边Ac的两侧，ZjXDC15（P,AD=2.求ZMC的面积：2若44C=l20a.求的氏.AB【分析】（I）根据已知条件,结合余弦定理,求出8,再结合三角形的面积公式,即可求解:根据已知条件，结合三角形中角之间的关系，以及正弦定理，推I面枳公式,即可求解.【解答】解：（DfrZMCI,AC2=AD2+CD2-2ADCDcosZADC,即134+5+2辰7）,解得CD3（负值台去），故SAftw=gQesinDC=*2#X；=冬ZABC2f./?/）平分NABC,.ZD4=ZZWC

20、=WJ3.又ZAz）C=I50,嗜二疏=k再结合三角形的4C=I3ZADC=I5O3./10=2./.DAB+NDeB=36(尸-120o-15(,=9(F.【解答】解：(I)由已知得(cosS+8sC)=(b+c)cosA由正弦定理，得sin4(oos+cosC)=(sinB+sinC)CaSA,M1IsinACoSB-CoSAjiinB=SinCCOSA-COSCSinA即sin(A-B)=sin(C-)，所以C-Zr二不舍去或8+(7二2八,故一人=2人，所以八一三.3(2)设NAa=d在MCD1I.由正弦定理,sinSin(O-)66，由正弦定理，得旦=,所以WCoSaltangV3$

21、in，-、cos，lan-sintf所以金2解得lan。.Jcos6又sin,O+cos?。=,所以sin0=,即sinZACD=.【点评】本题考自了三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考管了计算能力和转化思想.IW于中档题.所以Sina=Sin(W-A).因为,5(0,y),y-(0,),所以a=-，则+7=C,所以ZAPH=(+?)=-：2在V8中，由余弦定理得知：Ali-6*-3.623【点评】本题主要考查解三角形.考查转化能力.属于中档题.32.(2023广州:模在&3C中，ff,8,C所对的边分别为“，b,JlZsi11+-osin.2求角A的大小:若角A

22、的平分线交BC于。且D=2,求的最小值.【分析】(1)化简得到比OSd=sin,根据正弦定理计算得到Sind=，得到角度：222(2设=x，=x,确定A2)=-aA+1.AC，计算0j=(F+!+1.可利用均也不bACDCl+x+x3X1X等式计算得到答案.【解答】?:(Ifrsin=dsinB即Sin=sinBWlfecos=wsin.22由IE弦定理得sinIi-s=sin.4-sinH.2lie(0.11).sinO故COSfsinA2sin-cos-.222=APz+BPz-2APHPcosZAPIi,即12=AP2+4+2AA因为APO,所以AP=2,因为ZAPS+ZflH:+ZAP

23、C2”，所以N8jC=2r-g-6=f?.cos(+C)=-cosA.2cos7A-I-CosA=O.,.(2cosA+icos-l)=0.解得Co6八=一1或8s4=1.*.OvAvzrvMBC的面枳是6J，-3.-sinA=(yjy.解得Ac=24.BC=yl),BD=C=AC-R.2 1二八。八8+8。-Afi-AC-3 3二两边平方可得，AD=(-B+-ACf=-Ali+-BAC+-AC.33999,=y内知八.H-C所对的边分别是a，b,c,.Iflc.IC三fe./.BAC=becos一-be，2:.AD=2=-b2+c2-ft=2时.993故AD取得最小值手.【点评】本鹿主要考吉

24、解三角形，考杳粒化能力,属于中档题.34.(2023叶县模拟如图,为半圆(A8为直径)上一动点,OAAOfi.C=Q8=2,记U=.当。=15。时，求OP的长；当MO面枳呆大时，求0.【点评】本题写行正弦定理、余弦定理及基本不等式求等基础知识,考查运算求解能力.是中档起.35.（2023福州模拟记AABC的内角A,B.C的对边分别为“,.f.已知乂-4=2.1）求出土的值:tanAN.根据余弦定理，cosC=a+t,-c2=斗+2,再结合基本不等式汨到8SC的最小值,2ab4h4a迸而求解为泉。的最大值即可.【解答】（1因为IanA=迎AcosArSinB(anB=cos8月(以tanHsin

25、BcosAUinAeosBsinA根据正弦定理，余弦定理，6一/二%二可知,/+c7tanB.SinBCaSAIanACosHsinA2c护+I-/舒a2+C1-b2a2+c2-b2-C2a2ac2因为-O?=2/,则，=TZ-),根据余弦定理,COSC=鎏?丁=二=+-2j-=*，2ab242当且仅当，J%时取等号，所以8sC的双小值为日，C（O.ff）.则。的最大值为.6【点评】本题考查解三角形的应用,考查计算能力属于中档趣.36.（2023湖北模拟在&WC中，Afl9，点。在边8C上，AD7.1若CoS8=.求8/）的（ft,（2若cxN8A。=-：,且点。是边8C的中点，求AC的值.由

26、正弦定理可得2sinCsinB=(2sinA-sinC)SMC,cosC即2sinBssC=2sin八-SinCXhsinA=sin11,-(+0=sin(0=sinBCOaC+cosBsinC可知2cosBsinC=SinC,因为Ce(Q*)，可得Sinc。,所以CoSB=，2又因为86(0.幻.可得8-1.、(2)选：因为c=2,=7.由余弦定理可得cos8=U二=-=!.2ac而2整理汨O2-Nr+1=0,解得a=1,因为CK为ZACR的平分线,令ZACE=/HCE=O.则S1=CCEsin9=llCEsinO,S,=ACCEsin6=3CEsin.所以冬=J=无，故员的值为史.5,33

27、Sl3选：S、Ite=哼.=7.ACillSww-=csinM,siny=.解得-3,又由=近，Hl氽弦定理可得：=/+/-2讹COS8.即7=C,可得qc,所以(a+y=+/+24、=10+2x3=16,即+c=4.联立方程祖卜F=Io,解得“=3,C=1,10+C=4IheK为ZACB的平分线,令ZACE=/RCE=0.所以SlBCCEsinO3CEsintf.S,八。CEsin1J1CEsinO.,22-22所以兴=W=革，故园的伯为力5S,77S27点评】本SS主要考杏解三角形，考杳正余弦定理的应用，考宜转化思物与运算求解能力，僦于中档题.故3A=C.o,可知/在4，*)单调通机.JH

28、)W(2,+00).(1-222故关的取货范用为Gw).【点评】本题主要考查正弦定理的应用,考查利用导数求函数的取优范阚,国中档时.44.(2022秋道里区校欲期末)在MBC中，,b.，分别为角人，B,C的对边，JlV3tsin+a-c0求用A的大小：(2)若一+一=二一，且正,求AC的面枳.IanflIanCIan人【分析】口)由余弦定理，正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得Sin(A-三)=1.可求范62A-e(-,).进而可求A的值.666+tanC3,联立方程可求得IanBtanCUnA3ITan6tanClll3sinCsincossinCsinC0因为SinCHO,可用

29、VJHinA-CoSA-I=0,11sin(A-)=.62因为八e(0,n),A-G(-.).可得A-F=军，66666223忑F所以A=；.(2由(1)及己知可得一!一+：=-tanBtanCtanA，解得tan=VJUinC=小因为tanA=tan,-(+C)=-EfnC_y1-tan/ytanC所以tanBtanCtanB+tanCI-IanfitanC因为8s(0,m,CW(O),所以B=C=X,可得AARC为等边三角形.3又O=6,所以AAftC的而枳5=，csinA=，X4X4X=.2224【点评】东膻考查了正弦定理.余弦定理，：角形面枳公式，三用函数恒等变换在解三角形中的标合应用

30、.考杏了计算能力和转化思想，园F中档题.45.(2O23合肥模拟已知AA8C的内向A,B.C所对边的长分别为“，b.c.II.2+2ci-2r0.(I若IanC=1，求A的大小；3 2)当八-。取得最大值时，试判断C的形状.【分析卜I)根据即意利用正弦定埋、余弦定理进行边化角结合：角恒等变换化简整埋可知UnA=3lanC,运算求解即可得结果：根据题总结合tanA=3tanC化筒整理得Ian(A-C)=-j,再利用基本不等式运算求解.t解答】解：.e+2J22=O,【解答】ft?：若选条件，由6s-Z8sC=c3nH及正弦定理,可得3(sinAsinBcosC)sinCsinB.T3sin(+C

31、)-sincosC=sinCsinB,CosflsinCSinCSiri，ZOCc化的得+r2-/=q,.由余弦定理得COSB=1.-,即COS8=.2(K2X011.B=-,3故三个条件,都能得到8=5.3由余弦定理用fe=u2+r2-2ccos=(r)*-2ac-2accsK,即12=4-2uc-2ac-解得=:23BC的面枳Sv；址SinB-sin223h2/.8巴，由正弦定理得一3SinA(/+e=4(sin4+sinC)=4(sinAsin(-A)=43(-cosA+sinA)=43sin(4-).3226X,04-.z.-A+.sin(A+-)e(-J)366662rt+re(2T

32、.43h又匕=2J(z+frc(43.6,.8C周长/的取伯范第为（4l6J.【点评】本题考也正弦定理与余弦定理的应用，三角函数公式的应用，三角函数的性鲂，函数思切，化归转化思想.属中档遨.47.（2022秋深圳期末）如图,有一个小矩形公园A8Q,其中A8=20a,AD=IOw.现过点C修建一条生宜的困墙（不计宽度）与AZJ和A。的廷长线分别交于点，P,现将小矩杉公园扩建为三角形公园AEF.1）当AE多长时,才能使扩建后的公园.的面枳最小？并求出A4F的最小面枳.20）,由几何关系表示出AAfF的面积函数，结合法本不等式求最小伯；2如图所示.三角形绿地为AAE/;,过A作鸟E尸交小、Ah-TE

33、2.FT廷长与A交A尸于G.设健步道宽度为K,由几何关系求得儿上式中巴耳上的高A=r-x-ftj4为4A与鸟中E,K上的而），即可市相似比表示出：角形绿地A4&的向枳函数不等式,从而求得结果.【解答】W：(1设AE=X(K20),CDHAE-ERRCX-20IOIOaEFXFX-20C1IOx5x35(-4(IO)+2(XK)2X-20x-20-202D00IO(YY)三5(x-20)+-=+2.2J5(x-20)-=2=400.X-20Vx-2O当且仅当尔-20)理”=行40时，等号成立，X-20二行八二40/时，公园AAfF的面积址小，垃小做为400病：0.SI15/5+?由公=(7可得5.W1=/必仃=烦解得.G1.024,故健步道宽度的最大值为1.024,”.【点评】本即考告解三角形同区.函数建模.函数思想.装本不等式的应用,不等式思想，属中档超.48.（2022秋长沙期末）如图，MfiC中，角4,B,C的对边分别为,b,c,（b+c+aXb+c-a）=c-1）求A的大小：若48C内点/满足48=NA5C=NFAC.求NBPC的大小.【分析】（I）利用平方（和）差公式化他已知等式可得从+ci-j