模型05 相似三角形中的常见五种基本模型（解析版）.docx

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1、大招相似角形的常见五种模型模型探究相似三角形考杳范用广，绘合性强，其模型种类多，其中行关线三垂门模型在前面的专遨已经很详细的讲解.这里就不在弱不.m-.a字at相似A字型（平行反A字型（不平行U二、8字St与反8字St相似口模0三、AXat相似械（A字0及X字0两看相结合）。四、共边窗相IGUUl（子号&硬也五、手拉手相似模型例题精讲考点一、A字相似模型0111.如图.在八8C中.ZA=78.AB=4.AC=6,将Z1A8C沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（解:小阴影部分的:角形与原：角形有两个角相等,故两三角形相似,故木选已镉误:8、阴影部分的三角形与原三角形有两个角

2、相等,故两三角形相似,故本选项镉误;C、两:角形的对应边不成比例,故两：角形不相似,故本选项正确.。、两：的形对应边成比例且夹角和等，故两.知形相似，故本选项错误;故选：C.A变式训练【变式1-1.如图，在八8C中,DE/BC./VU8C于点儿与。E交于点G.若黑=-T-GH2BC5：DE/BC.ADEABC.DEAG3BCAH故;搭.【变式1-2.如图，在八8C中，M是八C的中点，E是AB上一点，E=-B.连接EM并延长，交8C解：如图.过C点作CPA8,交.DE于P.,.PCAE.VAt-.4.44VW足AC的中点，.AM=CM,：CP/RE.：.AdcpsADBE.bebd4-bd=3c

3、d:.8(7=28.H嗡=2【变式1-3.如图.fl.ABCM1.点D在边ABI：.AO=9.BD=I.AC=12.的角平分线八&交CD于点HI）求证：CDABC;若=8,求AE的长度.解：（1）AD=9.BD=I.AC=I2,：.AB-Al）+HD=f.abacABAc-16-4AC_12_4-M三KK-MBB,三三三.123AD93一AC.AD：/RAC=ZCAD,4CDCDH.GE=CG.EG=DHDHCH,CGCHABCD,-CH=DH.DH=DFCBDF,CHCB=e.S=CO.故本选项不符合册H要求：CGCBFDCB：AB/CD.EDF,.四边形AEo尸是平行四边形，.AF=：AE

4、/DF.二寿爷二萼-器收本选如、符介超I展求：CECGCECG。、VAEDF./8ABAG.,.粤熹故本选项符合题目耍求:故选:AGBA【变式2-2.如图.在平行四边形ABCD中,E为边AD的中点,连接Ae8交于点尸.着八7的面枳为2.则ZA8C的面枳为()A.8B.IOC.12D.14解，如图.Y四边形A8CO是平行四边形.：EA/HC.AEFEf-S.ABtSMeC二看Altt【变式2-3】.如图.锐角三角形ABe中，ZA=W).BE1ACTE.(7)JM8于/),则。曰HC=I;2.解：如图.VADC,NA=60.CQ_1.A8于点Zh.Z4CD=30i.AD_1.AC2又：在2XA84

5、中.ZA=60,.HEI.ACrFE.：.ZABE=3(.AEABADAc-12,AEAB,又.A=NA.4DEAC/y.：.DE：BC=AD:C=:2.故答窠是：I：2.考点三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）【例3】如图，在C中,点。和E分别是边Ab和八C的中点，连接。EOC与8E交于点。，若E的面枳为I,则AASC的面积为（）D.13.5A.6B.9C.12耨：；点/)和E分别是边RB和AC的中点.二。点为ZA8C的心.,.OB=2OE.二5o=2Sx)C=2I=2.：S.BDE=3.：D=BD.,S.Atif.=2S；Jilu:=6,：AE=CE.S,BC=2S.Bf.=2X

6、6=12.故选UA变式训练【变式3-11.如图，DE是AABC的中位线,尸为OE中点，连接八尸井延长交8C于点G,若SAEFG=I，则S-ABC=24.解：方法一：:DE是aABC的中(淳KD.E分别为48.8C的中点.如图过“作DM/BC交AG于点/.：DM/BC.NDMF=NEGF,：点F为。E的小点，ADF=EF.jftDF和Ndmf=NEGFZdfm=Zgfe.DF=EF：.ADMFgAEGF(A5).二S.u=S-EUF-1.G-Af.DM-GE.；点D为AR的中点，且DM/BC,：.AM=MG.-Iaa/.2,S,3CM=2S-w,=2,VDM为AABG的中位线.DM.1.-,BG

7、2.S.i=4Sm=42=8,工SOMGB=S-AfiG-S/UW=8-2=6.,5wm=5h)MG=6是AABC的中位缥:SABC4S.MH4624.方法连接A：.DE/AC.DE4C.2“是/龙的中点，.EF_1,AC4.SEFGEF21SZkACGAC216VSiKrc=1.SACC=16.EFC,.GE_EF_1GCAC1.sAEG_GE_1S4,.SAEGVACG-4.4：SACE=StACG-S3AEC=12.Sw=2S,s=2%故答案为：24.【变式3-2.如图：AOEG8C.EG交.DB于煎F.已知AO=6.8C=8.AE=6.EFI）求E8的长：2）求FG的长.：.ABADs

8、ABEF.幽=雪即E_=2.BAADBE+66.M8=3.2)：EG/BC.：.AEGABC.EG_AE,1EG_6*BCABfjT63,二卬=学*5【变式3-3.如图，已知八8CD,AC与8/）相交于点E,点尸在践段3C上，.”士CD2CF2求证：八8：I证明：BCD.ABBE1*CDED2.BF1*CFs2,.BE_BFEDFC,J.EFCD,J.ABEF.(2)解：设aAJ的面枳为m：AH/CD.:必ABESACDE.sABE_.AB：=J_SZKCD4:S=CDE=4m、.AEAB_1,CECD7-SK2m.S4偏：SWsSaecin2n:4m=1：2：4.模型四子母型相似模型旦/B=

9、120,求证:【例4】.如图,点C,。在筏段48上，ZSPCQ是等边三角形,CPPD.CDr=ACBD.证明：(I)YAPCD是哥边:角形.ZPCD=ZPDC=ZCPD=60t,.ZACP=ZPDB=i2O.：/APB=120,二/APC+/8尸。一60”.VZCAP7APC=f：.NBPD=NCAP.ACPPDH:2）由（1）CP”.,PI_OI.2PB=OP=2.22APl-PB-AP+PI.22.1IA.。、/在一条“线上时.八巴号收小.作E1.48FE./ZMfiO=45*,MEBl零81.2.AE=B-BE=i,.=32+12=VlO.AP-PBMl/W=10:近PNPB=近t*PB

10、3,.加用尸8的Ml小伙足5=5xl25故答案是2.模型五手拉手相似模型【例5】.如图,C与/)EF均为等边:.用形，。为HC、的中点,则A/)：花的值为_如_.解：连接OA.on.A8C与均为等边:角形.()为BC、7的中点.：.A()A.BC.DO1.EF.NED)=30.ZBAO=3tio.：.ODtOE=OAiPH=3:I./DOE。EOA=NBoANEOA即ZDOA=NEOB,：.DOAS&EOB.：.OD：OE=O:OB-D:8=如：I一匾,故答案为：3.”变式训练【变式5-1.如图，在八8C与八OE中，ZBC=ZDE.ZBC=ZADE.求证：(I),4C-DE;(2)BADCAE

11、.证明：(I)VZftlC=ZDE,ZADC=ZADE.BACDAEz.CAE.【变式5-2.如图，点D是八BC内一点，且N8OC=9(Tad=jt-/解：如图，过点A作A8的正线，过点。作A。的乖线，.B=2,AC=U3.1BD=ZCBD=3Q,两乖戏交于点M，连接8M,A4MVZAD=30s,ZM=6o,ZWD=30o：.NAMD=NDBC.又YNADM=NBDC=90*,DC-W4,.BD_DCHDDA又NBDC=NMDA,：.N8DC+NO)M=ZADMZCDM.即/8/)M=/C/M.：.ABDMS4CDA.MJ1-3.CAADvc=3.6R(Afl/,l,.M=JbR2.ab2y2

12、2-2y,.4)-.4【变式5-3.如图.在四边形A8C/)中.AE1.BC.垂足为NBAE二NADC.BE=CE=2,CD=5.AD=MBa为常数），则8D的长为_416卜2+25（用含*的式子表示）.,.AB=AC,将八8。绕点A逆时针旋转得到AACG,连接DG.则BD=CG.二ZBAC-ZDAG.：AB=AC,D=G,：.ZABC=NACB=ZADG=/AG。，MBCDG.：AD=kAR,：.DG=UiC=4k,：BAE+Z.ABC9(.ZZMfc-ZADC.Z4DG+ZDC=90,INGDC=90：,cg=dg2C=3,则ZU8C与/)(的面积比为C. 4：9D. 2:3解：ADBC,

13、ZACR=ZDAC又；/8=NAC0=90.：.4CBAsMCDBC-AC=AB-IACADDC3;沁=SZkDCA39.48C与Z0CA的面积比为4：9.故选：C.3.如图，缓形A8C。中，E点在BC上，尸点在CC上，G点、，点在AD上，B.AE/HC/GF.若A=A.CF8.HG=5,GD=A,则下列选IS中的戏段，何者长度最长？D.EC解：VAH=8.HG=5.GD=4,AZJ=8+5+4=17.；四边形.48。为菱形，C-CD=D-7,JAEHC,DBC,二四边形AECH为平行网功形.：.BE=BC-CE=VI-8=9,：HC/GF.DF=DG.,DF_4FCGHi7-DF5,解得：O

14、F=号，.FC=17-黑=毕，.型98毁，99.c长段最长.故选：A.4.如图.(-.ABCMj.BC=6,分别是A8.AC的中点.动点?在射线EF.匕BP交.CE干点、D,NCBp的平分戏交CE于点Q，当CQ=CE时，EP+BP的侑为(ABCA.6B,9C.12D.18朴如图，延长8Q交射线EFFM,、尸分别是A8、AC的中点,.,.EFC.二/M=ZCHM.：80是NCW的平分线.NPBM=ZCBM.：.NM=NPBM.BP=PM,：.EPBP=EP+PM=EM.0=J(Z.：.EQ=2CQ.IllEF/BCti.E2.解得：=4（负值舍去）,.8C=4,C=ab246c2三211.；将4

15、A8C绕点C顺时针方向加转后科人8C.：.ZDBC=ZC=90.BC=BC,A,C=AC.NACA=N8CB.NC1.ACBzCBC.,CABCB.AAAC,lAzA211BBBC24A.4=H.故选：A.6 .如图，已知，ZXABC中边AB上一点P.RNACP=NB.AC=4,P=2,则BP=6解：.,Z=Z,ZACP=Zfl,CP-C.AC2=APAB,BHAB=AC2AP=162=8.BP=AR-AP=f.7 .如图，在E)A8C。中，AC、BC相交于点。，点E是。人的中点，岷结8井廷长交4。于点F,如果AEF的面积是4,那么ABCE的面枳是36.二点E是OA的中点,：.AECE.3,J

16、ADBC.AF.AE-IM-11，BCCE3.s-ah4.虹一bceBC98 .如图.在2X48C中,点G为A8。的重心.过点G作。EAC分别交边A8、8C于点。、E,过点。作DFBC交八C于点F,如果。=4.那么84的长为8.解：连接8G并延长交AC于从：G为A8C的篁心，.82.HG：DE/AC,DF/BC.二四边形DECF是平行四边形.ICE=DF=A.：GE/CH.BEGCBH.BEBGT*CE=GH,.8E=8.故件案为：8.A9.如图，己如RlAA8C中，两条II角边八8=3,BC=A,将RlZSASC绕口角顶点B旋转定的角度得到解；将RlZiABC绕口角顶点8旋转定的知度得到R.

17、BD=AR.BC=BE,/ABD=/CBE./DEB=NACB.：.ZD=ZBAC=ZBAD(180,-ZAHD).2/.ZtfEC-i(8(-ZCHE).2IND=NBEC.V ZABC=ZDBE=9，：.NDEB+NBEC-R.二/AEC=90.V ZAGB=ZEGC.ZACE=NABE,.RlBC,AB=3.BC=A,；.AC=DE=5,过H作BHJDE干H.HJDH=AH.BDi=DHDE.，。，=4=,55310.如图，在RI中，NAC8=90,ABAC=W.AC=6,八。平分ZZMG交边8C于点。，过点。作CA的平行线，交边八8十点E求线段OE的长；2取税段八。的中点M,联结84,

18、交线段。万于点匕廷长投段交边AC于点G,求瞿的（ftDF解：(I)TA。平分8AC.NZMC=&)：.ZDAC=W.fl:RlACD.ZCD=90,.ZDC=30,.AC=6.：.CD23.在Rt2AC8中，AC8=90,/BAC=MV.AC=6,.HC=(3.Z)=C-CD=43.：DE/CA.DEBD2二-二,CABC3DE-4;2）如图,；点M是战段AD的中点，.,.DM=AM.VDE/CA,.DFDM,agah：.DF=AG,：D1./CA.EFJFBF_BD“AG-BG*BGBC,.EFBDAGBe.fiD=43.C-63.DF=AG.EF2-DfT11.如图，在菱形A8C/）中.Z

19、ADE.NCoF分别交8CA8于点从户,山.交对角纹AC于点M,且NADE=ZCDF.求证：CE=AF:：.ADCD./DAh/ZX.又YNADE=NCDF、：./ADE-ZEDF=ZCDF-/EDF.：.ZADF=ZCDE.(i.DF1CDE,ZaDF=ZCDFAD=CD，ZDAF=ZrcE.MDFJCDE.：.CE=AF.(2)；四边形ABC。是菱形.IhWtCE=AF=2.设BE=BF=x,.CECDA,._.Kr=zz,A=2.BECE2三x+2解得X=遥X/IBE=BF5-1v=.HCE=4F,BECE.CE_CD_CDBECEAF,：ZCMD=NAMF,ZDCM=Z,WF,：.1.

20、amfmcmd,.CDCMAFAM1.ab=aeAFAHBE.48CSAMEC：.NCA8=NGWE=ZACfl/.ME=CE=212.问题背景I(1)如图，已知AA8CsZiAOE.求证：AtfDACE.尝试应Hl)(2)如图,在八8C和中.ZBAC=ZDAE=M,ZABC=ZADe=W.AC与0相交于点R点。在SC边上，=3.m空：绘=_i_：BD求告的值.1)证明：如图，VABC*)E.：.ZliACZDAE.容：./HAC-ZCAD=/DAE-ZCAl).器=畏，ZBAD=ZCAE,4BDCE.2)W：如图，；/ME=90,ZADE=30*,：.DE=2AE.d=de2-ae2-(2A

21、E)2-AE23e,v=3.BD.,.AD=y3BD,.3Af=3D.迪=1.BD故答案为：I.如图,连接C，；NBAC=NDAE=90,ZABC=ZADE,:ZACSMAE.AB_ACADAE,.ABADACAE,：ZRAD=ZCAE=W-ZCAD.E4DCAfc.：.ABC-ZACE.：.ZADE=ZACE.：/AFD=NEFJ.AFDEFC,.DF_ADCFCEIlKD得A/)-爽AE,.4)43Bl).四=池=如，CEAEHI)43CE.D-33CE-3Cf.岖=3.CE叵=3,CF券的他.足3.CF13.如图，在正方形ABCz）中，AB=4,E、F分别是8C、CC上的点，且NEF=4

22、5,AE.AF分别交Br）于点、M、N.连接硒、EF.求证：ABNsAA/BE：2求证：RM2+N11r=MN2i求4f=45Mf.V ZEAF=45,.NBAN=NW+8AM=45+8Af.：.NBAN=NBME：.AABNsAMBE.2)证明：如图I,将4)可绕点八顺时针旋转90得到八8儿ilMH,：./HAH=ZDAN.AH=AN.HR=NI).V ZMAjV=ZEF=45),二ZMAH=ZBAH+ZOAM-ZDAN+ZHAM=45.ZMH=ZMN.AM=AM.SMAHeAMAN(SAS).,.MH=MN.VZARH=ZADiV=45,：.NMBH=NA8D+A8=90.：.HM2HR2

23、=MH2.BM2+NIJr=MN-.DF=BE+BK=EK=EF.：CR=CD=AB=A.CE+tA+C=CE+8E+DF+CF=CH+CD-4+4=8.二(?/,的周长是8.如图2.足。的中点.：.CF=DF=-CD=Z.2VZC=90.二2+2=；EF=BE+DF=BE2.CE=CB-RE=4-BE,.,.22*2=(BE+2I解得8哼.410.r+2.33：/MRE=ZMAN=Ay,NBMe=NAMN.HMEAMN.KBjEMMN.NBNA*MENN/AMB=NNME、：.AMBSNME.二/MEW=A845,二/ENF=NAM5+Z,EV-90,.YG是4的中点,1rt.IyIO5G=

24、-A=-.2233问即背景如图1),已知AABCsZiAOE求证：ZubdsZsace尝试应用如图(2.在2A8C和44。E中,ZBAC=ZDAE=90,.ZBC=ZADE=3(.ACljDE相交于点八点。在BC边上，黑=G,求/的值:BDCF拓展创新如图(3.。是AA8C内一点，8AO=NC8C=30,ZBDC=90j,AB=4.AC=23.直接写出A。的长.(1)问题背景证明：V4C-Df,.里岑./HAC=ZDAE.ADAE整嗤.ABDACEz尝试应用解：如图I.连接EG,.ZBC=ZDE=90m,ZC=ZADE=30*.4BC4DE.由=y.J=515.如图I,四边形八8C。是正方形，

25、G是CC边上的一个动点（点G与C。不重合,以CG为-边在正方形ABCC外作正方形CEFG,连接8G,。我们探究下列图中线段8G、戏段。E的长度关系及所在fl线的位置关系：HXD猜想如图I中线段伙；、践段。的数盘关系BG=DE及所在直线的位置关系BGlDE:将图1中的正方形C阳线着点C按顺时针（或逆时针方向旋转任意角度得到如图2.如图3情形.请你通过观察、测出等方法判新中得到的结论是否仍然成立.并选取图2证明你的判断：2将原题中正方形改为矩形（如图4-6）,且AB=,BC=b,CE=ka,CG=kl（ab,k0）,则线段BG、莲段。斤的数量关系黑=也及所在出线的位就关系8G,DE:-ED-a-图

26、4图5图6解：（D猜想：BGDE.BG=DEt故答案为：BG=DE.HClDEi结论成立.Fflil:如图2中，Y四边形八8C。和四边形CErG是正方形.IBC=DCCG=CE,ZfiCD=ZfCG=W4,-.ZfiCG=ZDCE,CGDCE（S45）.IiG-DE./CHG=/CDE.又：ZCB（KNBHc=佻.：.ZCDE+DHG=W,AfiGlDE.,B=a.BC=b,CE=ka,CG=kb,.BCCGb.DCCEa乂：，BCG=/DCE,IABCGsADCE,：.NCBGrNCDE,黑,DECDa又：NCB（KZBHC=9G；/CDE+NDHG=W：.BGA.DE,故答案为：-=-BG1.DE.DEa3）连接BE、W.根据麴意.得A8=%BC=3.CE=2.CG=1.5.：BGDE,NBCD=NECG=90：.BE1DG2=BO2OE2+DO2+OG2=BC2CD2+CE2+CG2=9+16+2.25+4=-.SJl图2