模型29 圆内最大张角之米勒角问题（解析版）.docx

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1、网内最大张角之米勒角问题模型介绍故事背景；米勒问题和米勒定理1471年,德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现圾长？即在什么部位，视角最大？最大视角问巡是数学史上100个著名的极值问物中第一个极值间网而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问甥又称之为“米勒问巡”.米勒向A1.已知点A,B是/MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时,ZACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题米勒定理：已知点AB是/MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形

2、ABC的外圆与边OM相切F点C时，/ACB最大.证明：如图1,设C是边OM上不同于点C的任意一点，连结A,B,因为NACB是网外角，ZACB是圆周角，易证ACB小于/ACB,故/ACB最大。M在DAO8=Z4C。+/。AC所以NAD8Z4CO又因为/ACB=乙”用所以ACBZ4CZ)米勒定理在解题中的应用常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破.思维瓶颈、大大减少运莫量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的道难题甚至筹英展，即使解出也费时化力。00三)例题精讲【例1】.平面

3、直痢坐标系内，已知点A1,O),B0时，若/4C8最大，则tC.5D.耨：如图作过A、8两点的OM1.jy轻川切于点C.：ZCBZAPB,ZACBZACH.OM与釉和切广点C时，ZACfl.如图,作M/1.11连接OfA伍MZt；0M与）轴相切于点CZOCM=QO5,VA（1.0）.B（5.0）,1.=4.：MH1.AB.AH=AB2,2O=l+2=3.fC=M=tf=3,KH=32-22=5.0C=5t=5故选：C.圉”变式训练【变式1-1.如图，在正方形48CD中.边长为4.是CO的中点,点。是8C上一个动点，当NDPM的度数最大时，则BP=4-/.解：（VP.fD的外接BI,则圆心O在D

4、M的中乖线上移动,；NDoM=2NDPM,：.当/DoM圾大时，ZDPMhi,当QO与BC相切时.ZZXJAfft大.,二”是CO的中点.CD=4.：.CM=DM=2.连接OR则OR1.SeVZC=90t.ON1.CD,二四边形OPCN是矩形,：.OP=NC=2+1=3=OM-在RtAJfON中，由勾IR定理得.av0JI2-MN2V32-l222即尸C=2,IBP=BC-PC=A-22-故答案为：4-3反.【变式1-2.如图，408=60：M,N是08上的点，0M=4,MN=H.NA1DN；2若尸是0人上的动点，求/MW的最大值.（1证明：当C在AfD上或在MCI时.如图.显然NMeNNMD

5、N（;角形的外向大F不相然的内角）,当C不在上或在MC上时，如图.设M。与上交于E点，连接NE,WJ/MEV=/MC（V（同弧上的Bil周角相等），而MENM）MMCNZ.WJ,:2).解：设过W,N作IMI尸与QI相切于点。,由1)知：/AfQN即为所求角，作MV的乖直平分线分别交Q1.OBTG、H,则囤1心户在GH上，设FQ=FM=八：A0B=t.OG=90.：.ZOGH=W,FG=2r,wf=kf2-hh2=2-(3)2则G=2-3+2=3+43,解汨=23MlZf=-ZfW=30.MW的最火值为30.【例2】.在直角坐标系中,给定两点M(1.4,N(-l.2).在K轴的正半轴匕求前P,

6、使NMPN解：过点MMp：点的制的圆心在线段MV的中垂线：y=-x+3上./M/W为弦MN所对应的网周角.：.当矶的半径J小时有N.MPN呆大.；。在X轴上运动，二当Bfl与X轴相切时,IH的半径最小,即此时NA/W最大.设此时P点坐标为：(/，,0),则圆心Q的坐标为p.-p+3),：MQ-PQ.：.2+/1)2=(3-P)2.解得:P=I或P=-6).点坐标为（I,o）.故答案为：（I.0）.A变式训练【变式2-1.如图，某雕塑MN位于河段“八上.游客P在步道上由点。出发沿”8方向行走.已知/AC8=30s.MN=IOM=Wm.当观般视角/MPN/大时，游客产行走的矩离。尸是，0_米.解：

7、如图，取MN的中点F,过点尸作F1.08于E,以口径MY作。E,：MN-IOM-AHm.F是MN的中点.：.MF=FN=X加.O-4()m.VZzIOB=30*.EFlOB,：.EF=20,OK=43EF=2(3*nXEF=MF,又,；EF：.OR,：.OB是OU的切线.切点为.当点P与点ft台时.观景视角ZMPN段大.此时OP=2()3mk故答案为：2(3【变式2-2.如图，在矩形八8C。中，八8=6,八。=8,点F分别是边CD,8C上的动点，RN八五E=90ABFs色FCE：2）当取何值时.N/U7）最大.证明；四边形ABCC是矩形.二8=C=90，.E=9（）,.AF8+N2C=90.7

8、ZEFC+ZFEC-W.NFBrNFEGFCE.2取AE的中点O,连接OD.OF.：ZAFE=ZADE=90（对角互补），A,D、E、尸四点共B1.ZAED=ZAbD.二当0。与BC相切时,NAH）的值坡大,易知BF=CF=%ABFFCE,.AB=BFFCEC,.6_44EC.EC哈3:.1）1.DC-Cl.6-4r，当OE=时,ZAED3330l实战演练I.在平面五角坐标系中，点A(0.2)、R,C(.0)(0.&0),若A8=4EAC8最大时，b的值为A.2+26B.-2+26C.2+42D.-2+42解：VB(.e+2)二点8在F=A2这条直线匕又AB=4&.A(0.2).：.B(,4.

9、6).如图,ABC的外接四与X轴相切时，ZACB有大值.取点G为A8中点.AG(2,4).过点G且垂II于八B的且畿为：=-a6.设KI心F(历，w+6).VFC=FB.2=Im-42.工QH=Moh=4003+3(，)，NOQH=30，：.TQ=2PT=2r.,7w=AT2+AH2=2-(1OO3)22+2-(1003)24(X35.整理汨：3r-(IMX3*2(XrWXXXX)+24()()fX3=O：.-2=().=2X3(舍弁)，4T-2(X3h.AT=2AH,：.Z47W=30s.AB=2An/=60,Z,-Z4B-30,.2AOPOQ-PQ8(X)+2(M3-MX)-(2(XH-2

10、(X)3)(/).6.某商场引进消毒机器人每天进行全场消毒工作,该机涔人采取精准直线喷射技术,实现准确、快速和节约的目标,在设置参数的时候,工作人员通过对商场门口身形高大的“大黄蜂”进行多次消毒试脸发现：如图，若对八点进行消毒，适当调整机器人C。到八8的距离，使得Sin()的值尽可能的大,能提裔消毒的效率.已知“大黄蜂”AB身高25米，机涔入CD高0.4米.则当sin(-)最大时，机渊人CD和“大黄iAli之间即为8C等于号米.如图，过点C作CF1.AE于点F.设8C=x米，根据现始得：CDlBE.B1BE，A8=2.5米，CO=0.4米,J.CDAR.SEsABAE,.CDCE,l,0.4C

11、EABBETTxCE+x解得:CE=割米,.4=+ZCF.ZCAF=?-当Sin(-)圾大时.SinNCv.最大2.z400x2J，XYXJ,400x2r炜、等或Yl1.个工，H4o启喈县最小,即当sin(-Q最大时.机器人CD和“大黄蜂”AB之间距离RC哼米.故答案为：I1.米.27,已知八（2.O）.B（6.0）.C8，x轴干点Z1.连接八C画图操作：（I）在）轴正半轴上求作点R使得NAP8=/ACB（尺规作图，保用作图痕迹理解应用：（2在（D的条件下，若Uin/4P8=*求点。的坐标：当点P的坐标为（0.23）_时,NAPB最大拓展延伸：（3）若在直线y=x“上存在点R使得/4P/?坡大

12、，求点尸的坐标.3解：（I）/APB如图所示:.ianAC8IanNA08=&2BCVA（2.O）.B（6.0）.Aff=4.C=8.：.C（6.8）.AC的中点K（4.4,以K为圆心八K为半径iBfi圆.交）轴于P和P,易知P（0.2）.P（0.6）.当。K与相相切时，乙APB的依域大，此时AK=PK=4.AC=8-AC2-AB2-.3如图3中,当经过A8的IMl与直线相切时，且点尸在K轴的上方时，/八。8减大./.ZMZMBP.：APMA8fP.,.PMA/ACB（域“问题探究2）如图，在IE方形八8C。中，。为C。边上的一个动点，当点P位于何处时，NAPBgX?并说明FPlh:何典解决如

13、图，在一幢大楼A/）上装有一块矩形广告牌.其侧面上、下边沿和距6米（即八8=6米）,下边沿到地面的距离J=ll.6米.如果小刚的眼隔距离地面的高位EF为1.6米，他从远处正时广告牌走近时,在户处看广告效果最好视角最大）,请你在图中找到点P的位置并计算此时小刚与大楼AO之间的距禹.如图I,过点E作EF1.AB于点F,;在矩形ABCV中,AB=2AD.E为CD中点,二四边形AZ是正方形.Z4EF=45,.同理，N8EF=4S,.,.ZAE=90,.而在直角ZiABC中，ZAC=90u,Z4CZACB.故答案为：:ZAEti.：NAFB=NAPB,：.NAPBNAEB.故点P位于CD的中点时，/AP

14、8最大：（3）如图3,过点作CE。广交A。于点G作线段A8的垂直平分雄，乖足为点Q,并在乖在平分线上取点。，使OA=CQ.“P图3r以点。为园心，OA长为半径作即，则。切CE于点G,连接OG,并延长交。尸于点H此时点P即为小阳所站的位置，山.型急知DP=OQ=Voa2-AQ21：OA=CQ=RlQB-CD=HrAB-CD.8。=11.6米,八8=3米，CO=EF=I.6米,JQ=11.6+3-1.6=13米，w=132-32=4T0*即小刚1.jX搂八。之W的小需为4l米壮件,N效果公好.9.如图，在平面直角坐标系6中，点八与点8的坐标分别是(1,0).7,0).DG=3+2.：.E0.3-2

15、).D0,32).由正半轴上右线段AB的“完美点”,“充关点”的型M为，0.3E，或0.3-&)：ZQB.：.ZPBZAQB.当P运动到OC与y轴相切时，NAP8的度数泉大.连接尸C并延氏交OC于点E,连接AE如图,；OP是0C的切战.CP1.()P.，/0例+/八8=90”.；尸为OC的内径.Zf=904,ZPE+ZE=90j,：.ZOP=ZE,二NE=ZOBP.ZOPA-NOPB.：AOP=Z.POB=WSPsoPB,.OAOP*0P=OB.op2=oob.0=OAOB=T7=7.,.p（0,-7）.故答案为（0.-7）.10.问即提出（I如图，ZXABC内接于0。，过点A作。的切线/.在

16、/上任取一点/）,连接8。、CD.VAxtiAC与/BDC的大小关系为/BACBDC:问题探究如图，在矩形八8C。中，B=6,Se=8,点E为A。边上点，当N8EC加大时,求COs8EC的值:问题解决如图，某商场在都向下运行的手扶电梯8C的终点C的正上方将出悬挂那高RCE=4m的广告画.已知广告画的最低点。到地面AC的距漓为6.5，.该电梯的高AB为4,它所占水平地面的长AC为8,”.小明从点8出发,站在该电梯上现看广告而i其现看视处为NOPE.已知小明的眼肪户到脚底的距离PQ为l$n,电梯在轻HB方向上的下降速度为20c,ns,求当小明站在电梯上多长时间时，NoPE取得最大值.ZfttC-Z

17、BEG：N8ECiiBDE的外角.：,NBEo乙BDC,：.7HAONBDC.当点与点八电合时.ZBAC=ZRIX./8ACNZBtXi故答案为：Z4CZDC:2作8C的星直平分线00交8C千点0,交AO于点A连接8儿CP.作4P8（.的外接网网网O与直线PQ交于另一点M如图.WlPB=PC,即心。在尸N上，；四边形A8C/）是矩形，二人。BGOPAD.H0与4）柑切于点九：.PQ=AB=6,SQ弓8C=4,:PQBQ.ZPC+OQi=Off2.42+0e2=（6-OQ）2,.o=A,W.p=43，cos/8EC=COl唱;（3）过点P作AC的平行线,交C于点M,作E的外接或恻O.连接PO井位

18、长与圆O交于另点M连接DM如图.根据(2)的结论得,WIo与PM相切时，/OPE最人.此时O,PM.即NMPN=90二/MPD+/Z)PN=90,；尸N是网。的宜径.zmv=9(),：.DNP+NDPN=Wt.NDNP=NMPD,：NDNP=ZDEP.：.NMPD=ZDNP,；NPMD=NEMP,Apmdsemp,二OM：PM-PMtEA/.WDjWE/.：MC=PQ=ISm,ZW=CD-fC=5w.EM=ED+DM=9，,PMDMEM5935/),：.QC=PM=#小(I.RtAC.根据勾股定理得BC=/5(m),IBQ=BC-CQ=Jm.VBC：4B=45:4=5.二小明站在电悌上，从点8

19、到点Q时，沿骅IlA8方向下降的距圉为I”，,二下降时间为100：20=5（s）,即小明站在电悌1.55时./MK取得城大值.I1.问遨背景如图（1ZXA8C内接于。过A作。的切线/.在/上任取一个不同于点八的点P,连接PB、PC比较/8PC与NiMe的大小，并说明理由.问题解决如图,A（0,2）,B（0,4）,在X轴正半轴上是否存在一点儿使汨8$NAP8G小？若存在,求出P点坐标,若不存在，请说明理由.拓展应用如图（3）,在四边形AB（V）中，AB/CD.A。1.（。于/）,E是A8上一点,AE=AD.P是DE右若A8=8,CD=Il.tanZC=2,SaDtT=9,求SinNAPB的以大位

20、.符合条件的点尸附该是以八8%米丽在BB恰好。过JV匚I，AV垂仃.的巨线和切时的见3.（D问起首状:如图I,设直线8夕交CX）干点A.连接CT,图I则abzp.而/CAB=CB.：.BPC.则点CX,3）,:点儿B都是圆上的点,1.CB=CP.2+（4-3）2=32,解得；x=+22（舍去父伯，故点。的坐标为：0）；3）拓展应用；过*B作BHCDF.!?.H.过点A作AMDE点Af.延KAAf到点N使MN=AM.过点N作DE的平行线I.过点F作FGJJT点G,FG交DE于点Q,以A8为口.径作。尸交H战/F点在梯形ABC7)中,AB=H.CD=W,HlCM=11-8=3.VtanC,-z2.

21、解得：BH6ADAE.在等腰直用f)E.,W=9,;出线/ED=SlQ=9=5SDr,从面积看,点/符合点。的条件，即点尸可以和点尸束合，VFGii,而直线/OE.AGF-1.DE.而AUJ=45.故AEFQ为等嚏林的三角形.BE=B-AE=S-6=2,IEF=BF-BE=A-22.则FQ=-EF=g.，FG=EQ+QGMNQGwAM心=y322=-二。尸与H战/有两个交点，则点P符合趣设中点P的条件.；用5是直径，.N4P8=90,故SinNAP8的最大值为1.12.已知：NMBN=W，点A在射线8A1上，点C在射线8N上，。在线段比I上，。是AACO的外接硼：D若OO与BN的另一个交点为E

22、,如图1,当BC=BD=1.D=2时，求CE的长：2如图2.当N8CA=N8JC时.判断8N与。”的位置关系,并说明理由:如图3,在/W上作出C点，使得NAe。最大,并求当AC=2,AC=25BD时，OO的半径.VZ4EC+ZDC=180*.80C+/ADC=180,“BDC=NAEC,：ZCBD=/ABE,:必ABESCBD.BEABBD3BC1；BC=最,AD=2.BD=I.2Aff=D+D=2+l=3.BE3-TT2AflE=2.1.CE=BE-BC=!2(28N是OO的切线,理由如卜：连接CO并延长交。F点F,连接DF,VAZCDF=W,：.NCFD+/FCD=W.；/BCA=NBDC

23、,ZB=ZB.二ZBAC=NBCD.：ZCA=ZCFD.：.NCFD=WBCD,-.ZFCfi=ZFCfHZfiCD=NFCD+NCFD=90,：.BC1.OC.：OC是半径.：.Be比00的切段,即BN是Oo的切线：3）过点A.C,D;点作0O,%6C是。的切战时，NACQM大,连接Co并廷长交。于点G,则CDG=90,CG=90,：,/CGg/DCG=W.：BC是0。的切线.：.HC1.OC.8CO-90.：.NBCD+NDCGh.,./BCD=NCGD.：CGD=ZCAD.：.NBCD=NBAC,YNB=NB.：3CDs2bac,.BCBA，而记：.BCi=BDBA,VAD=2.；.BA

24、=BIHAD=BD+2,：.RCi=BD=BD22BD,VBC2+42=AC2.AC=23P.RC=Cl-RA2=2-WK2)2=lRD2-4RD-4.AIlfiD2-ABD-4=Bl)2+2BD.SflD2-3BD-2=0.：.BD-(舍去)或HI).3D=l.-D+D=+2=3.C-23D23.8-90；.AB1.BeCGAB.fMC=/人CG,/(7M=CAG=9r.R4CACG浅=f二嘉若C=?.即。的半径为2.13.【发现何麴】1）如图，点八，8在NMoN的边OM上，过八，8两点的掰交ON于C。两点，点在线段C。上（不与点C.D重合），点尸在射线ON上（不与点。电合）.试探究4E8H

25、AF8之间的大小关系，并说明理由:【探丸问题】如图，NAfoN=90,点A.8在射坡ON上.点P是射线OM匕一动点，八8=308=3,当NAPB最大时，请求出此时OP的长；【解决何时】AHR.：.NAEBZADB.同理可得A）8AF3.：.NEBNAFB；（2如图，作线段八。的垂H平分戏.垂足为K在战段/18的垂直.平分线上取一点。以点F为圈心.T8长为半径作。丁，当Q7与射线OWMI切于点。时，/8最大，叩N”8公大，连接7FBT.TGW是07.的切线.TPlOM.1.TKIAB.工NTKO=4KOIy=4OPT=*T,，四边形OKT之是矩形，IOPr=KT,V4-3OS=3.oO-I.KH

26、K.2:.0K=TP=TB=?,2.-.OF-XT-VbT2-BK2=(y)2-(y)2-2.二当/AP8城大时，。夕的长为2：(3)能找到.如图,作经过点A.3且与射线N相切的OC切点为R此时NAP8最大,连接PC并成长交OC于点D,连接“X由解图可知No=N尸84,ZAD=90tZD+Z4PD=90.；PC是0C的半径，ON与OC相切，；/)PD=W.Z()PA+ZAPD=W.AZD=ZOM=ZOfiP.VZO=ZO.,.POBOP.p2=oaob.Y8=4,l-5.：.OB=9、.w-0A0B=35答，此时该球员建过的路林长为道米.14.问SS探究 1）如图1.C.。是/AO8的边。A上

27、两点,直莲。8与0/相切于点R点乃是且线08上异于点/,的任意一点，诏在图I中画出/CPi/）.试判HfiCP）与/CPi/）的大小关系,并证明： 2）如图2,已知矩形ABCD中，点Af在边申C上，点E在边AB上,=8,AE=6,当NAME搬大时，请求出此时BM的长；问题解决如图3,四边的八8CC是某车间的平面示意图.八8=4米，AQ=8米，NA=/0=60,ZBCD=W.工作人员想在线段4。上选一点M安装监柱装S1.用来赛视边改.现只要使得N8M。最大,就可以让监捽装置的效果达到最佳.何在线段AQ上是否存在点使N8MC最大？若存在,请求出。M的长：若不存在，请说明理由.CDCD.二NCPD=

28、ZCED.而NCM/SC.：.NCPDNCPM如图：由（1）知,作线段AD的垂目平分线,垂足为G.在线段AE的垂直平分线上取点O,以“为网心,OA为半径作OO当OO与线段8C相切于Br.若M与半合.此时NAAfE蜃大,；BC是Oo的切段.工OW1.BeOGlAE.：.ZRGO=/B=/OWH=90,二四边形次；8”足矩形.：.BM=OG.OAf=HG.VW=8.E=6.：.BE=2.；EG=3.：.Of=OE=RG=EG+BE=5,.6g-oe2-eg2=4AW=OG=4.故,ZAE时大时.RM的氏为4：.过O作OG1RC于G.交AF于K,交DJ-J,则BG=BC=3,IKJ1.BC：.ZBG

29、J=90=ZBCD,J.KJ/DF.IBX-FK-a23.KGic3：.AKfB+BK=(fJ.：KJ/DF.二口=坐，,.KJ-63,.DFAF83837=(3.设OB=r.：KJ/DF.,./MJO=ND=60“，.OM_2rsin603OG=K7-K-G-O7=63-3-三-=53在RlAOGB中.OGt-OB1-BCr=r-9.r-9=(53-三-2.能理得-M)r252=().溜得r30-1J23(H-1X2.-s2.43：.DMJM+DJ-1(366+232366.故在我段AD上右在“，使N8MC最大,其个条件的DW的长为l25-6历.15.如图，1物城y=?得x+c与X轴交于八，

30、8两点（点8在点A左侧），与3轴交于点。ftiy=fcr+经过点A.C.且“A=2OC=4.1）求他物线的解析式:2）点E为八C上方抛物线上一动点，过点作轴交AC于点八求战段EF的最大值:3）在（2）的结论下，着点G是N轴上一点，当NCGF的度数域大R九求点G的坐标.：.A4.0).C(0.2),符A(4.0).C代入y=r2+r+c.卜=2I16a+6+c=02)将点4(4.0).C(0.2)代入y=M+b.Jb=24k+b=0Ir=-解汨2.b=2设5-+2).则尸+2h-2-+2,=-(-2)2+2.当f=2时,E/:的最大值为2:(3)Vz=2.：.E(2.3),F.MC=MF=r,.,.X1+(.r2)2P,(2-)2+(1-r)?=f!-410.如图，原点为M的摘物段.=v2+辰+3与X轴交于A(-1.0).8两点,与.丫轴交于点C过点。作Coy轴交抛物线于先一点。，作。EX轴