模型20 加权费马点模型（解析版）.docx

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1、加权费马点模型模型介绍对于费马点问题，火案已经见得比较多了，相信都能熟练解决，如果所求最像中三条线及的系数有不为1的情况，我们把这类问题购为加权费马点问超，费马点问蹈属于权为1的特殊情况.加权费马点问题解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的放转或放缩方法.【矣型一单系数奏】当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为荷单，一般有两种处理手段，一种是旋转特殊角度，一种是旋转放缩.【矣型二多系数臭】其实当三条级段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的.经过费试，我们会发现，以不同的点为旋转中心，旋转不同的三用形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我

2、们该如何选取旋转中心呢？我们总结了以下方法：E31.将最小系数提到括号外：02.中同大小的系数定放附比例：03.最大系数项定於转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为载樽中心），於臂系致不为1的两条微段所在的三角舱.01例题精讲111己知，如图在448C中，NAC8=30.BC=5,C=6,在AA8C内部有一点。，连接。A、DB、OC则。4+08+OC的最小值是收_.解：如图，过点C作C&1.CC.JlCE=CD,连接。,将AM)C绕点C逆时针旋转90fffJEC.连接FT?,过点尸作FHHC.交Be的延长线于，.VCElCD.CE=CD,E-2C.VAZ绕点C逆时针旋转90得到江CEF=D.

3、NACF=90,CF=AC=6.：.DADB*2DC=DBEF+DE.当点F.点,点。.点B共线时,DA+DB用DC仃最小值为IB.VZFCH=180i-ZACF-Z4C=60j.二/CF=30,：.CH-Cb3.FHMcH.32：.W=Vfh2+BH2=IV27+64V91.放答案为：91.A变式训练PC的最小也.【变式17.如图，P是边长为2的等边448C内的点.EBDBP.CE.作EE1.CB于F.嚼嘿啮H=3A23BD-MPB.DE34P.，w=bp2+bd2=2PR二当CAD.V共线时.PC+PD+Dtid.UII：PC+2P8+最小为(：Rtfc-F.HE-243.ZEF=ISO,

4、-ZA-/.AHC-180-90-M)t-30.fc-j-BE3BF23cos30023义隼=3.fl：RtctP.EF3.CkBF+BC3+2=5.EF2().变式1-2.己知：AC=4,BC=6.AC8=6(,P为AABC内一点,求8j+2AP+C的般小伯.符aACP饶力:八逆时针旋转90,并使各边扩大加倍至&?P.：.PP2AP.PC4ZPC.AC3-AC43.BP+2jP+3PC-BP+PP+/,CBC,，当8、P、P、C共战时，BP+2.AP/PC垃小,作占_1.AC于作CDlAH.交8A的延长线于.fl:RlBE.RE.,.AE=C-CE=I,：.=+PJ+HJ.：.+2P+5PC

5、42+122.用+2PJ+5,C的值以小,G小俏为10.实战演练I.已知ZSA8C中，BC=a，AB=C/8=30,产地A48C内一点，求用+P8+PC的最小值.(I)若Z48C每个用小于120时,只辐梅AB尸C绕点B按逆时竹旋传6)得到48PC：易知此时有8P=PP.PC=PC.从而出+P8+PC=八P+P+PCAC=a2+c2111.1.I-.ICli；,呆小俏为九2+。2：2)若有一个角大于I大,时,此时以该点为中心,以1X0减去该角大小为旋转角进行旋转.1/八T2(),时,当11八正/八+P8+PC足小,*Va2+c2-2accos30:/CK20”时,当。点与C用合时，例+P8+PC

6、呆小.最小价为Wa2+c2-2accos30。植谷案为：a2+c2/DF+EF=AE.在八CE中，CE=AC=I,ZACE-ZACH+ZBCE=W+60=150.作EGlAC干G.fl：RtCGE,ZGCf=ISO-ZACE=W.G=-CE=.CG=C尸COS30=喙.aRtGE.AG=C+CG42+32GE-4-.2aeage2=()2()2=23-2-4.如图，在八8C中，ZCB=60,C=6,8。=小行，点。是八8C内的一点,则/M+PB+&PC的以小俏是_/39_.招烧力:。购时针旋转90至?连接也.BdEhBC.交8C的砥长线于点匕,D=2PC.DE=P.：.PA+PB心PC=fPD

7、*DE.：.当B.P.I).E共觇时.隙+尸8啦。C最小.t小值为BE的长.在Rt(?户中.ZtCF=ISOo-ZACB-ZACE=180-60-9)-3(.CEAC-4-j3EF-43sin3023.C-43cos30=-36：.BF=BaCF=2,在RtZSBW中,8EBFF2-122+(23)22V39m+*+2,c最小值，为239.故答案为：239.5.法国数学家费马提出：在内存在一点尸.使它到三角形顶点的距黑之和最小.人们称这个点为费马点.此时+P8+。的值为费力即肉.经研究发现：在锐角A8C中,微巧苴P满足NAPB=NBPC=ZC=120,如图，点P为锐角4A8C的费马点，FIHt

8、=3,PC=4,BC=W.则由马距离为7+亚一VZAPR=/RPC=ZC=12()./ARC=Wv,.N1+N3=6().Zl+Z2=60t,.N2+N4=60.ZI=Z4.Z2=Z3.：.2BPg4NPB.PCPBPBPA即P3=12-23.M+PH+PC7+23故答案为：7+2.6.已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费丹点.如果4A8C是蜕角(或直角)三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足NAP8=N8PC=N0=120”.(例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点.若AB=AC=Gjc=23.P为Aabc的取马点,则用+pb+pc=5:若A3=25HC=I.AC=4

9、.P为色ABC的费R点,则R+PB+PC=q一解：如图，过A作八。IAC.垂足为4过8.C分别作N/)8P=NDC夕=30.则PB=PU。为ZUBC的费勺点.A8=AC=7,C=23.-BD=DC=yBC3Fn30。喘辱，AMJ=I.PB=PD。=2.rDsin30NAD=AB2-BD2=73=2.M+P8+PC=5：如图:VAH=23BC=2AC=4.aM+8C2=16.Ci=I6.炉+8-NABC=90”，Bf1VsinZBAC=sin30v/ZffAC=300，将aAPC烧点A逆时打旋转6(),市旋状可得：APCAPC.：.AP=AP.PC=P,C.AC=AC.ZCAC=ZtjAPt=M

10、o.二八/平是等边：角形，：.NBAC=90”,.为AA8C的费马点，SP3,P.产,CPl点共线时候.M+PB+PC=BC.3P8+P1.8P+P。=BC=QhB2+hC?W(23)2+42=27-故答案为：5,27.c7.数学上称“费9点是位于三角形内且到三角形三个蹊点即离之和最短的点.现定义：菱形对角线上一点到该对用线同侧两条边上的两点距禹最小的点称为类费/点.例如：菱形AW/）.。是对角线BDI-点，,尸是边8C和CO上的两点，若点P满足PE与。尸之和G小，则称点P为类费马点.QP的用小值.（保他报号或结果精确到1cm,参考数据51.7,10.52=110.25.JAR=AC.,.(M

11、BC./BAO=Wo，：OA=OH.：.AOBA是等边二角形.：.AB=OAOH.设ADjBC交.,E,BE=C=互坐,22在直角1角形A8E中,snZO-,AB距s,116=2f-：.AB=5.AOA=5.故答案为：5：ZBPC=W.点在以BC为II径的圆上，设IflI心为点O,则OP=-C=2.：.o,P,A三点线时AP最小，在口角三角形AbO中，八oVab2OB2=2Vs-VPO=2.：.AP的果小值为：Ao-PO=25-2；22(3)如图3,设N3所在Bl的8心为点5根据，I，“4；/.所在Ia的半粒为十一=2.以点。2为旋转中心，将&?A顺时针旋转60,汨到.F,Q,P,。共线时，Q

12、A+QAQP城小，过点Nft：NG1AB交H的廷氏级广点G.连接AN,则AAND足等边.用形，过点OfOMGNVM攵BC于点H,连接“从.四边形A8CQ及正方形.：.AD/BC/GN,；.0HlBC，VE=23.,.W=3.o=0B2-BH2i；AD=DN.AV=60,.ZXWVO是等边.形.HAN=如/NAD=#：.ZGAN=W,G.V=A.Vsin30o=-.AG=ANCoS30=.OM=OW+G=H*W3=-*W3AfV=GAf-y3=V=0M2MN2=J号+痈2+(冬2sfelh.0A+QD0P及小值为：Il-2=9em).9.已知ZiABC为等边;.角形，边长为4,点。、F分别是8C

13、、Ae边上一点，连接A。、RE.JlAE=Cn如图1.若AE=2,求8的长度： 2）如图2,点尸为八。延长找上一点，连接8尸CF.AD./法相交于点G,连接CG,已加NEBF=60.CE=CG,求证：BF+GE=2CFt如图3.点。是的（:内部一动点，顺次连接用、PH.PC.请直接写出近限+7。8+2通。的小值.：.BC=AC=AB=4,ZflC=60i.VAE=2.：.CE=AF.=2.：.BElAE,二AE8=9().,wWab2-AE2=42-22=必:证明：如图1.作DHCG交BEF，作DTC交8E于T.fX7JZ=CIHfi7VD-IJ7=iJ7=IHU7-=1HUZHlHH7：.t

14、=DQJ7O337Jt793aV*t.08l=.Dff7+GD37,09=tfJV7=JDff7JJ=DV：JffJV59ffWVVffJZ=DHVZ:加Jtf/Z-tf07=Jtfz/-Jf/VZ/JHO7=JtfVZV,.09=J9D7DS=Jff:%以三6楣否dg9B.,.09=JS37:.,W-CVffZ+.7ffV7=.5W7.*.W=(Iva7+HfiV7VM=3Vf/=V8+OVO39=GVJaV7=OVJ7V,(SVS)(7。次三8M7.o=3v,g3V7=3V973v=qv.小?时.v闻OQ=JVtfZ=fl)y7=JtfVZJff=3V=tfV.组WlM茹张IG=Ha:Hl

15、d7=GHl7：D3J7=JD37Vf5-.7J(/J97=HUU/0.)7=HlUZJOJ7=(IH17VNBHD=NCDG(已证)NBDH=NGCD(已证).BD=CG(BE)：3DHgAGCD(AS).：.DH=CD.：.D1.-DH=CDAE,：1)17/AC.EAG=TOG,ZAEG=ZDTG.AEGDTG(S),.,.AG=DG,：.AD=2AG,；.BE=AD=2AG=2CF,：.BGGE=2CF.11+GE=2C:如图2,将PC绕点。顺时计旋咕60+3PB+2PCP+PFFG.二当点A、/、F、C共线时，AP+QF+FG最小为AC.作G4_1.A8交AB的延长线于H.RlWG,

16、1.BG=2BE=2BC=ZGffH=ISO0-/ABC-/CBE=60.H=8cs60=4,GH=8sin60u=4,：.AH=AB+BH=8,g=AH2-KJH2=82+(43)2=4V7.AP+P尸+FG被小为：47.k=47.2M+6P+22FC2(外+2PC).：.2m+6p22p()414.10.如图1.人从尸是等边三角形A8C中不共线三点,连接八。、BE、CF,三条线段两两分别相交干。、E、F.已知八/=80.ZEDF=60.证明：EF=DFl如图2,点M是E。上一点，连接CM，以C”为边向右作ACMG,连接EG.gEG=EC+EM,C=G.NGMC=NGEC,证明；CG=C如图

17、3,在.2）的条件下,当点M与点/）里合时，若6一AQ,GD=4.请问在AACT）内部是否存在点。使得。到aACQ三个顶点距离之和最小,若存在请直接写出距肉之和的最小值：若不存在,试说明理由.证明；如图I.；八8C是等边三角形，AC=AB,Z4C=60,/.ZCAFZ4=6().=NEDF=Q.ZD+ZWD=60u.ZCAF=ZBD.：AF=BD.二ZUC2A8AO(.SAS).：.EF=DFiEF=DF.ZEDF=M)1,二ZxOEF地等边二角形.；.NDEF=Zy.(f.EF上Itt取EN=EM,连接MN,CN=CE+EN=CE+EM=EG.MN是等边三角形，/ZGMC=ZGEC.Na=/

18、a：.ZNCM=ZEGm.：CM=GM.J.NCMEGM(SAS),：./MEG=/CNM=60.ZCEG=80-ZWEG-ZFED=Mf,ZGME=ZGtC=M)*.VCW=GA/.CMG足等边：外|形.CG=CMi图3由2)知，DEFWCX;是等边:角形.ZCtD-(A.CDGD=4.,.CDAD.AD=Ck=CDsin600833,将。/C绕点。顺时针旋转WT至ACQG,连接AG,：.AD=DQ,CP=QG.夕/是等边：角形，：.PD=PQ.APPlCP-AIP(H(X;.，当人、P、Q、G共设时,APSZXPAbb=MG作GH1.ADFH.在RtDGAi.(.mix；-2.20=亨DG

19、=2,：.AII=AD+DH55acgh2+ah2.APTWHCP的及(i,i39.)2+211. 1）知识储备如图1.已知点P为等边ZSABC外接圆的/JC上任意点.求正W+PC=M定义：在&WJC所在平面I：存在一点尸.使它到三角形三原点的冲离之和最小,则称点0为ZXA8C的费4点,此时以+08+PC的假为AABC的费弓距离.知识迁移我们有如下探寻Z1A8C（其中NA,NB,NC均小于120）的费马点和费马距离的方法；如图2,在AA8C的外都以BC为边长作等边ABCD及其外接圆，根据（I）的结论，易知戏段八。的氏度BP为AABC的费马距离.在图3中，用不同于图2的方法作出ZsABC的费马点

20、P（要求尺规作图）.知识应用判断题（IE确的打J,错误的打X）：i .任意三角形的费马点有且只有一个；ii .任感三角形的费马点一定在三角形的内部已知正方形A8C/），尸地正方形内部-点,n+P8+PC的最小值为求正方形ABC。的边长.1)证明；在/M上取一点E,使PE=PC,连接CE.；ZSABC足等边三角形，：./APC=/AC=(i.又YPE=PC.PEC是IE三角形，.CE=CP.Zacb=ZECP=GO.：，ZACE=NBCP,又.P8C=C,BC=AC,，acewabcp(asa),IAE=PB.：.PB+PC=AE+PE=AP:如图2,得；4+P+,C=+答案为：i,.a.s解：

21、将尸沿点/J逆时打旋转60到AAiBPi,如图5,iiAiftIHlBG交CH的廷长线于，.连接尸IR易得：AB-AB.PB=PHPA-PA.ZPiBP=ZAiHA6(.FB=PtB.ZPiBP=W.P1P8是正三箱形，：.PPi=PB,A+8+PC的G小俏为i+2，尸川一尸色，。C的坡小位为i2.M1,P.P.C在同M线上，即AlC=返侦设正方形的边长为2r，VZ4B=6O,./CRA=90”，二/1=30，在Rt“8中，AiB=AB=Ix.ZI=W,汨；AH=x,BH=y3xRt)WC1.lm?l;Wx2+(2+3)2x2=(6+2)2解得：XJ=IX2=-I(含去)：.正方形ABCD的边

22、长为2.12.如图(1).P为ZiA8C所在平面上一点.且NAPB=NSPC=NC4=120.则点P叫做AWC的费马点,如点P为税用ZSAHC的费4点.且ABC=60,PA=3,PC=4.求PB的长.（2）如图（2）,在锐角Z1A8C外侧作等边&式次连接48.求证：88过AABC的费马点P,且88=PA+PB+PC.己知锐角八8C,NAC8=60。，分别以三边为边向形外作等边三角形A8D,BCE,CF,请找出48C的费弓点,并探究S小BC与SSBO的和.S.,BCE与SAACF的和是否相等.解：（1）ZPB/PBA=W-/APB=60”,ZPBC+ZPHA=ZABC=60e,：.PAB-ZPB

23、C.XVZAPS=Z,C1201.IAABPs&BCP,.PA=PBPBPCP2=MPC=l2.Ptf-23:2证明：在8上取点，使N8尸C=120.连接AP,再在Pfi上截取PE=PC连接CE./8。C=I20.；.NEPC=t.PG为正：.角形,PC-CE.ZPCE-fM.NeEa二120：为正.角形.：.AC=HC.ACfi=6),：.ZPCA+NACE=，ACE+NECB=60.1PC=NECB,.ZUC2A8CE.二/八PC=/8EC=I20,RA=EB,：.ZAPR=ZAPC=NBPC=120,二。为4A8C的费马点.；.B8过AABC的费3点P.JlBEEB+PB+PE=以+PB

24、+PC.如下图，作Cr平分/AC&交BC的率1平分践于点P,尸点就是黄马点:证明：过A作4W/T交8C于3连接CM、EM.DVZACB=M.NCA尸=60”.工ZACB=ZCF.：.AF/MC.四边形AWC尸是平行四边形，又.,用=FC.二四边形AMCF是夔形，：.AC=CM-AM,且MAC=60.；在AC与AEMC中.CA-CM.ZACB=ZMCE.CB=CE.tfAC5Eff.VZDAM=NZM8+8Af=60+ZBAMZBAC=ZMC+Z4.W=6Oi+ZBAM：./BAC=ZDAM在八8CU4A)M”AB-AD.ZBAC=ZDAM.AC-AM，ABCgZXAOM(SAS)AiBCAME

25、gDM.在C8上截取CM,使CW=CA,再连接AW、DM.EM(辅助战这料做AAMC就是等边三角形了，后边证明更简便)易证44MC为等边三角形，在ZUBC与中.CA=CM.ZACB=Z.MCE.CB=CE.ABCMEC(SW.：.AB=ME,ZABC=ZMEC.51.：DB=AB.I)B=ME,VZDBC=ZDHA+ZABC=(A+ZABC.NBME=ZBCE+ZMEC=Mz+ZMEC.：.ZDBC=NBME,.,.DBME.即得到DB与ME平行且相等,故四边形DBEM是平行四边形，四边形DBEM是平行四边形，SMf+SMf+S,WAC=SJAW+SftM+S.AC#.即S.AH=zSHCE+

26、S-ACF.13.(1)阅读证明如图I,在4A8C所在平面上存在一点尸使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点尸为ZSABC的费马点,此时附+必+。的（ft为AWC的费日即离.如图2.已知点。为等边AABC外接阀的BC上任意一点.求证：PHPCPA.知识迁移根据（1）的结论,我们有如下探寻八8C（其中NA,NB,NC均小于120”的费马点和费马距离的方法：第一步：如图3.在AABC的外部以BC为边长作弊边8CD及其外接训；第：步：在标上取一点用，连接M,PdB,AiC,PoD.易知A+B+C=M+（8+C）=M+AiD；第三步：根据（1）中定义，在图3中找出4A8C的费马点R戏段的长度即为aA

27、HC的费马距商.现选取一点P打水井，使水井P到三村IE八，B.C所铺设的输水管总长度最小.求输水管总长度的最小值.图3VI：(I)如图2,延长4至使PE-PC.VaiiC.：.ZEPC=ZBAC=60.YPC=PE,二尸CE为等边三角形，：.PC=PE,ZPCE=60,二/BCP+/PCE=NAC8+/HCP.ZACP=ZBCE.BC=ACZbce=Zacp.CE=PCCPBCE.AP=BE=BP+PE=BP+PC由（I）得出：第一步：如图3,在AABC的外部以BC为边长作等边A8C7）及其外接IMh*.步：（-BC-.ltt点n）.连接AZoS,CD.躬如AA+ftl+C=PoA（PaR-P

28、oC）=AA+ftD:第三步：根据（I）中定义,在图3中找出ZSABC的费4点P.税段八/）的长度即为AABC的费马距离.故答案为：D:AD.（3）lll4,以8C为边在ZUbCW外部作等边A8CO,连接AD.：.AD的长就是AASC的费马距离.可得NA8D=90J=AB24D2=5lhn）-.输水管总长度的最小值为5米.15.如图，在平面口角坐标系MZV中，点8的坐标为（0,2）,点。在X轴的正半轴上，NODB=30,OE为4BOD的中找，过从E两点的抛物找y=a率+C与.V轴相交于人两点A在F的左恻）.求拈物观的解析式： 2）等边ZSOMV的顶点M、N在规段AE上，求A斤及AM的长： 3）

29、P为AABO内的一个动点,设m=M+PB+PO,请直接写出m的最小值,以及m取得最小值时.（备用图）线段AP的长.解：（I）过作EG1.OD于G（I分）Y8OD=NEGD=90.ZD=ZD,；3ODSAEGD,；点/J（0.2）.ZODR=W.可得。8=2.0D=2V3；VE为BD中点.EGJ）EJJDJ“BO-DB-OD2.,.EG=I,GD=30G=3itE的坐标为小，D（2分）拊物战y=ax+c经过8（0.2）,E（1.1）两戊,可得a=2：衲物线的解析式为y=-X2J1.x+2：（3分） 2）Y他物线与X轴相交于A、AA在/的左侧二4点的坐标为（f笈，）AG=23.EG=I.AGE.Z

30、GE9（）,E=7（23）2+12=130分）.0KBGA0AE.OK1*3s713叵.13,AK=AO2-OK2=P13是等边二角形.二/MWO=WT39.o_OK-13-13.tan/KMO313,Afl=AK+KN=22p-AJ!=AK-KH=-=“分）（写出一个给I分）如图:以AB为边墩等边三角形八OR.以。A为边做等边：角形AOB：易证。E=O8=2,NCBE=W,则打是等边：.用形：连接OO、88、A后它们的交点即为,”最小时,P点的位世（即费3点）:：OAOB.NBOB=ZAOE=MO.OB=OE.,.AOEB,OBxZfi,BO=ZAEOiZBOP=ZEOP,而8OE=60,；

31、/。产=60：,.POP,为等边三用形.（）P=PPf.工M+PB+PO=AP+OP+PEAE:即m.,-4E=V13:如图；作正aO8E的外接隙。,而/F消。=/田B=60：根据费。点的性痂划12（，,WJZPO+ZflOP=MIoZr+ZPOfc-180.N8P(H/8EC=10：即&P,0、四点共捌；易求褥Q，噂.1）,则，（耳2.。）：53.m-53Hff_：3由割线定理得：APAE=OAX/.即;AP=OAAHAE=y3-y113.故：，”可以取到的最小值为Ij当m取得最小值时,线段A尸的长，噜如遇不同解法,诂老师根据评分标位酌情给分）15.问阳探究将几何图形按照某种法则或规则变换成

32、另一种几何图形的过程叫做几何变换.旋转变换是几何变换的一种基本模型.经过旋转,往往能使图形的几何性质明白显现.现设和结论中的元素由分敝变为集中,相互之间的关系清楚明了从而将求解何也灵活转化.问题提Hb如图1.ZkABC是边长为1的等边三角杉,P为ZUBC内部一点,连接小、尸氏PC,求+P8+PC的最小值.方法分析：通过转化，把由三角形内点发出的三条线段（星型战）转化为两定点之间的折战（化星.为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为宜）.问题解决：如图2.将/?两绕点B逆时针旋转60至ABPW,连接。产、AC.记AC与AB交于点1）,易知BA=AA-8C=1,ZABC=ZAHA+ZABC=I2t.illBPBP.N08P=6O.可知A08P为正三角形，有PB=PP.PA+PB+PC=P/A+PP-H,CAzC3.因此，当4、/、RC共线时，用+/+PC彳）及小值演.学以致用：如图3,在4A8C中，ZRAC=30e,AB=4,CA=3,尸为AA8C内部一点，连接力、PB.PC,则PA+PBPC的址小值是5为Aahc内郃一点,连接*PR.PC.求&PAH）B+PC的最小值.（3）如图5P是边长为2的正方形A8C”内-点，Q为边BCk一点,连接