模型32 三角形中的四心问题（重心、外心、内心、垂心）（解析版）.docx

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1、大招三角形中的四心问题（亚心、外心、内心、重心）Bl.三角彩的五心三角形的五心定义外心：三角形三边的垂直半分线的交点为三角形的外心,外心到三个顶点的距国相等：内心：三班形三个角的角平分成的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等：重心：三角形三条中戏的交点为三角形的重心，重心为中战的二等分点：垂心：三角形三边上的雨或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的边及我他两边的廷长线都相切的胧叫做二.角形的旁切网,旁切圆的圆心叫做：角形旁心：三痢形有二个旁心.02.三角形的心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点.（2）强心的性质：武心到顶点的距离与正心到对边中点的距离之比为2：I.的心和三角

2、形3个顶点组成的3个一:用形面枳相等.柬心到三角形3个顶点距离的和最小.（等边三角形）03.三角彩的外接与外心（1）外接Iflh经过三角形的三个原点的Bh叫做三角形的外接照.（2）外心：三角形外接IRI的10心是三角形三条边垂直平分战的交点，叫做三角形的外心.=SBCf=6,故答案为：6.”变式训练【变式1-1.如图.在等腰直角二角形ABC中,NAC8=90。,AC=HC.C0_1.A8于点”,中线AK与：.OC是AABC科边AH上的中线.：.OA=OC.VAEJAC的中缥二点F是448C的公心，：.OF：OC=Is3,.OF1.AO3故答案为：4-*5【变式1-2.如图，在平面直角坐标系中.

3、点B(-2,3),点C在X轴负半轴,OB=BC,点”为408C的重心，若拘ACMC战籽点。旋传90,则施转后三角形的曳心的坐标为.W：；08=BC.点M为BC的虹心./M=90；点8(-2.3).点M(-2.I.即MH=I.HO=2,C统新点O顺时针版其9O,如图，过点Ar作_1.x轴，MOW=ZM,1)0=90：二MOC+MOD=ZM+Z,WOQ=90,.W=ZMOC.TNCMH=NMDO=W,OM-OM,.MOHMOD(AIS).,.OD=MH=.WD=OH=2.W,1,2)：似羽C绕着点。逆用针旋转90,如图，标上所述：旋转后：地形的成心的坐标为.考嬴二：三角形外心问题【例2.如图，点。

4、是AA8C的外心.连接。从岩/QBA=17，则/C的度数为解:连接OA.作C的外接圆。O,点。是AAHC的外心.OA=OB.：.NeAB=NCBA=VT.ZAOB=-27=146：.,.ZC=ZO=73t,2故谷案为：73.A变式训练【变式2-1.已知4A8C的三边a.b.C满足c-4+Zh-l=430,则八8C的外接圈半径的长为.解：Vk-4+ft+r-l=4b+l-30.,.fr*l-4b+l+4)+25)+c-4=().b+l-2)2+(ri-5)2+e-4=0b+1-2=0.rt-5=0.c-4=().解得,=5.b=3,c=4,AC=3,BC=5.AB=4V52=32+42.BCz=

5、AC1AB2.八BC是口角三角形.OC为斜边，：.ABC的外接网的半径熄8C=.22故答案为：-.【变式2-2.如图，Zs48C的外接留的圆心坐标为解：设圆心坐标为(*,)：依题总得.A,B.C2.0)则有(4-)2+(6-y)2=7(2-)2+(4-y)2=(2-)2+(-y)21即4-x)2+(6-y)2=2-x)2+(4-y)2=(2-x)2+y2.化简后汨x=6.产2,因此圆心坐标为.才点三：三角形内心问题【例3】.如图，Rt4C,l,.ZC=90.C=6.HC=8.则ZSABC的内切般半径r=在RtABC,C=90,AC=6.RC=Ss根捌句收定理A8ac2+BC2,0:四边形OEC

6、F中，OE=OF.NoEC=NOFC=C=90；二四边形OECF型正方形：IH切线长定理.AD-Af-.BD=BE.CE=CFi：.CE-CF=2(C+C-B)t2即：r=AB.-K-故八B的氏为6.A”的氏为8.Aw:三角希心问题【例4】.如图，是锐用ZiA8C的垂心(3条Ift的交点，若A=8C,则/8AC的度数是.ZMtW=NBDH=NBEC=90；NAHE=NBHD.：./EAH=ZCBE.住AAEHflEC中.ZEah=ZCBEZaeh=Zbec.AH=BC.AEH2BEC(AAS).AE=BE，VZ4E=-yRtAAflfflIRtBCE.ABr-AE1=BC2-EC2,l25-=

7、36-(7-2,斛得：小与：在RtAffDfiRtADC中，Afi2-HD2=ACi-DC2,即25-=49-(6-y)2,解得：.v=h在RtAfD中,AO2-BDiAl/.AJ26:XVAMCD.19.AE_AHm7_AHADAC2V67解得：八，=笔:噂【变式4-2.如图.在八8C中“为垂心，。为外心，ZBAC=60,且AAZJC外接IaH径为10,则八M魁:址长AM交SCJO.延长CM交八8:.作H.径8E连接八R如图,.8F为O的H径.：NHAF=90.黑=祟BF10C.AB=IOsinF=IOsinAC8.又点M为Aabc的垂心.4)1RC.CElrAft.Z4D=Z(?90.Ef

8、AD.AEOADAB,陪在RIAAEC中，ZEAC=60,.C=UE.BlIA=八CflRADC.snZCJ-.UPADAfsinZACD.ACrAC10sinZACB.AM=-7ACsin=2ZC-130.故选：C.2.如图，“8C中,A8=8C=AC=3,。是它的内心，以。为中心,将AACC旋转180得到BC.则448C与li,C重登部分的问枳为(B,C.D.fy/3解：JAB=BC-=AC=3,：.Swc=-3.4Ch2,BC,.；.仔个小三角形的边长与大三角形边长之比为：I：3,即相似比为；I：3.小三角形与大三角形面积之比为：I,9.二11、小:.加形的面枳足里，4二用影郃分的面枳是

9、去巧.故选:A.3.小颖同学在手工制作中,把一个边长为Gm的等边三角形纸片贴到一个Ia形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个网上则网的半径为)A.23cmB.43cmC.fr3cnD.sV3*n解：由图意硒图如下,则*C为等边三角形,且内接于。,AB=C=BC=6cm./460.OODlfiC于点D,则8D=CD=8C=30w,连接08,OC.WlOB=OC.：ODlBC.：./DOR=-XROC.2VZOC=2A=I20q,O-三RlOD.VsinZDOB=-.OB.33el2OB：.OB=2y/3.故选1A.4 .如图所示，ZiABC的内切囤。与48、BC、AC分别相切于戊。、E、F.

10、若NDEF=52,则NA的度数是）由网周角定理知.ZDOF=2ZE=I04*：Z=I8O,-ZDOf=76*.故选：B.5 .如图，四边形A8C。中，B=D.BC=DC.Z=90,.ZC=601.若八8=5.则八ZM）外心与8CQ内心的矩离是（）解：如图.连接AC交BD于E.过点B作HF.CD于G-交AC于点F.：AB=AD.CB-CD.二AC垂比平分80.VZfiD=90.：.ZADD=ZADB=.VZCD=60u,BC=DC,.AC7)是等边Y角形，ZMW)足等腰直角的形.二点E造AfiAD的外心.点F是CT)的内心.在RtAW)中，V4=D=56.fiD=103.,.HE=DE=53A：

11、RtfltF.VZF=90.ZtfiF=3()t.E-53.BF=2EF,：BE-EF2=BF2./.2+EF2=(2EF)2,.W=5.MABD外心与48CO内心的题国为5.故选：A.6.如图.若正44B。内接干正AASC的内切.则ABAT的值为（解：.FA8心和ZM8C都是正三角形,，它们的内心与外心垂合:如图：设圆的半径为R：RtOD.Z.OAD=Vi,OD=RiAC=01.f=Mr，即AB=25rtanZOAD同理可求的*8=Gr.AlBlr2AB23R2故选：A.7.如图.已知RtZ1A8C的直角边Ae=24,斜边八8=25.一个以点P为同心、半径为1的网在4A8C内部沿顺时针方向滚

12、动，且运动过程中。-R保持与AUJC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置.56HXr112I、,aA,B.25CD.5633峪设：.边分别为7”,24fl,25.则：(24+24)2+(7+7)2+(25w+25)2+7242=2472.解得:=-.二构成的二:角形的三:边分别是16.毁338 .如图，点G是八BC的重心，且ZiDGC的面枳为4,则A8C的面枳为落：点G及AABC的旗心,/MG:DG=2：1.AD是BC边上的中畿,SCG:品OGC=2：1.Zsogc的面枳为4./.Smcg=8.Sco=4+8=12又.八。是8C边上的中线，54BC=cd=212=24.故答案为：24.9 .

13、如图所示，八ZJC是Oo的内接三角形，ADkBCFD点,且AC=5,DC=3,AB=42.则。的直径等干连接A并延长到.连接8E设4E=2K,则Z4E=9,将线段C烧点C逆时针旋转8)得到线段CE.连结DE.若八8C的周长为6及，则ADCE的周长为.解：延长CO交八8于，.如图.V点。是等腰RtAflC的IR心.CH为斜边A3上的中线,CD-IDH.CH1.B.C=-.2VAC为等接N角二角形.-2.lC.；线段CD绕点C逆时针旋转90得到线段CE.Cl)E为等腰直角三角形.CDfD-F+fA5.ARtBE+AF=O.48C的周K为IO+2.12 .如图，点。是AA8C的心，过户作A8的平行戏

14、DE,分别交AC于点。、交BCT效：作DF/BC.交ABF点F,TiAABC的面积为36,则四边形BEDF的面枳为.：MP是AABC的鱼心.CP:PG=2tI.：DE/AB.：E.D/AB.DFBC.CED-S4W=36-16-4=16故答案为：16.13.如图所示，。是44BC的内心，/HOC=IO0,则/8AC=度.解：YOB、OC电/ABC、/4C7J的角平分坡，：.NoBdNoCB=180*-100,=80”,miZOBC+ZOCB=4-(.ZBC+ZACB)=80.2，/A8C+/AC8160”.ZE4C=180,-160=20.14 .一个直为三角形的两条边长是方程：-7+12=O

15、的两个根,则此直角三角形外接回的半径等于解:解方程J-7x+12=O,fitXi=3.X2=4.14为M用这二,I边长=便不=5,则此直角：角形外接典的竽径为号,2当4为斜边长时，此4角一角形外接01的华径为2,综上所述：此直角.角形外接咫的芈径等于1或2,-15 .如图,8C中,已知AB=8,BC=5,4C=7,则它的内切IH的半径为B解：过点C作C立足为Q.设八=%则8D=8-X.由勾股定理得：CU2-AC2-AD2,Cir-BC1-IilJr.72-=52-=AC2-AD2=-hfcWf!bl=-(A8+8C+A()r:y(8+5+7)r=y8解得：r=i故答案为：3.16 .如图.G为

16、八BC的重心，点。在CB延长线上，且8A=W8C过、G的H戏交八C于点,2解：如图所示.连接CG并延长,交4。于连接AG并延长，交8。于从连接，交。于M则Hf是C的中位缥.,.FH/AC,：Br)=占BC2：.BD=BH=CH.=3,EF=12-4=8；过3作OiM1.FO:于Af.VAOiM=EF=H.FM=BN=2,.,.O2,W=I,在ROOf,l,.O2=82+12=V5.20 .如图.在ZU8C中，AC=3BC=4,若AC.8C边上的中线BE,八。垂直相交于。点，则AH=解：VAD.BE为AC.BC边上的中线.)-8C:2,八八C-.为AAAC的束心,.A()=2,OB=IOE.：B

17、ElAD.BO2+OD1=Bb1=4,OE2MO1=AE1=-.4.BO24-AO2=4.O2+O2=-.444B(A4O2=5.-BQ2+o2=5.故答案为21 .若AABC的外接圆半径为2,，是ZSABC乖心，则AM8的外接圆半径长是解：如图.延长。,文aA8C的外接掰于M.连接8.N.AA,.AHC的外接网的半经等于ZA8M的外接向的芈径是2.VABC的外接硼半径为R.ABM的外接网半径为凡；点是ZiA8C的垂心CFB.BEAC.：.ZBFC=ZBEC=W.ZCA+ZACF=90.ZBE+ZCA=90a,/.ZCF=ZABE,：ZACF=ZARM.NABE=ZABM.同理：/8A=8Af

18、.rZABE=ZABM在八8和八M8中，,AB=AB,Zbah=Zbam（ASA）,.4HB的外接园的半住等于ZAM8的外接陵的半径.,.A8M的外接网半在为2.ABH的外接回的半径为2.故答案为2.22 .如图,甄一个边长为2的等边三角形,让它沿直线/在更面上向右滚动.当等边三角形第9次落在出线/上时.等边三角形的内心运动过的路程长为第一次第二次解：设初始位置的等边三用形为AABC设第次等边:角形落在，上的三角形的内心为。，连接。COC.过点作,Wf31如图.,:点.0,O为等边三角形的内心././A1.tCH=30e./OC=-BCA-;122ZOCO,=120.点O移动次的轨迹为以等边：

19、角形的,个顶点为蟆心,OC的长为径,胧心角的度数为120的弧,：ODIBC.ZA8C为等边.用形，(=2.-.23码1.T-W3为竺产呼1.当等边曲形第9次落在门找/EfJJfj杉的内心运动过的路程长为：9X筲丸7如冗,故答案为：4E兀.23 .如图.O分别为AABC的外心和垂心.O到SC边的距肉为2,H到BC边的距为=3.则8C边上的高为.耨：如图.连接80并延长交。”干尸.连接八匕CF.AH.ZBCF=ZBAF=W,HElBC,；点是AA8C的乖心，.AM1BC,二点A,H.E三点共斑，连接C”并延长交A8于G:点是*?(?的垂心：.CG1.AB.：.ZAGC=W=WBAF,：.AF/GC

20、,AHIBC,CFlBC.J.AHFC四边形AHCF平行四边形.AH=CF.：ODlBC.二/800=90=ZfiCF.0DFC.;点。是8尸的中点，。“是CF的中位线，：.CF=2OD=4.Afc-AW+Mt=4+37.故答案为：7.24 .如图.正XA8C的面积是8,取正ZA8C的内心。I.以。出为边长作正4C8P,再取正。田PI的内心02，以S8为边长作正ZOSP2，依次规律作第2009个正AOooomB尸Mw.则A6ImBpMN的面积是解：如图:RtOlD,ZOW9=30,:，黑-30=退:O1B2O1BO1B-SOIW=.S.ic=岂：33同理UJ求力5心心=!、，,1.1=4X,W

21、Z=9时.,2：-If-If!足CfyIa,3200925.如图，点P为ZSA08的热心，点B在X箱的正华轴上，函数y(A0)图象经过点A，P，且交A8于点C则点儿P的纵坐标之比是C:8C的值为解：连结AP,延长”交轴丁点Q，作AM1.t轴干点M，作/W1.x轴干点M则AMHPN、MNQsaamq.PNPQamaq;P为Aaob的熨心.PQ1AQ.PNJ_,AMs3,.,.A,。的纵坐标之比为3：1,设A(.3n)，P(XP,tn),则lma=xpnt.：.XP=鱼P3“，n设直线A尸为y=h+b,.fak+b=3ml3ak+b=m,mk=-a,b=4m.m.y=x+4ma令-x+4m=0.,

22、.A=4.：.BrA3m而工1.，C7m.AC.,瓦=6故答案为：3：1.6.26 .如图,己如锐角AA8C的外接圆半径等于2,ZBAC=60,O、分别为八8C的外心和垂心，连接OH与8C的延长线交于点P,则OHOP=.斜：如图，连接BH并延长交AC于E.连接CH并hl长交AB于F.:点，是4A8C的乖心，：.BEAC.CF.一AB.即/AFC=/BEC=90,VZBAC=GOo，.ACF=90-NZMC=30”.ZCHE-W-ZACf=M.NBHC=180,-ZCHE-120-连接。从OC,；点”是ZiASC的外心.：.()BOC.：.ZOCB=ZOBC(180。-ZflOC=30*,2；O

23、是八8C的外心.ZBOC=2ZfiAC=120,.：.N8OC=ZBHC.；.B、C、H、O四点共见，：.ZOHB=ZOCB=3Q,.：.NPHE=NOHB=W.INeHP=NCHE-NPHE=30.ZOHC=180,-ZPHC=ISO,：ZOCB=30.AZOCP=180-ZOCB=150*=ZOHC.,/NcOH=，POC,:4)HCsocp,.OHOCOCOP.OHOP=OCi=4,故答案为：4.27 .l(.AB=2.BC=.AA8C与AEBO为全等的Rt(NA8C=NE8O=90).U为宜线AE和直线CD的交点求线段BF的取值范阚为.解：取AC的中点M,连接M3,.C与8/）为全等的

24、宜角：角形,.AB=BF.IiD=BC,BAF=N8F,NBCD=NBDe：ZABC=ZDBF=90o,：./：ABF=NCBA：.NBAFrZBCD.ZftAMZeCF=IXO1.A,.C、F四点共圆，VZBC=90,.AC的中点M为KI心，BM为平径，二F点在以M为IMI心BM为半径的I嵋上，JAB=2,RC=I.AC=5.0F-5.故答窠为：O这8片。石.28 .如图.在AA8。中,AB=AC=1().BC=I6.点C是AABC的重_心,符线段A绕点A逆时针旋转至。二点。为线段CO的中点,连接阴九则8。的最大值为.O解：如图,妞长八。交8CF点他长C8到户使8尸8C,；BF=BC,羔D为

25、线段CO的中点,fiDSCFO,的中位规，：.BDS(T.2V将线段AO绕点.4逆时针旋转至O.二点。在以A为欧心、A。为半径的明上运动.当点八.4、(),在同一条电线I；时.KT最长.此时8。的值展大.：B=AC=10,OC=I6,点O是八8C的重心，：.BE=EC=-BC=3,E1BC.2AB2-BE2=102-82=6，.,.AO=O-E-4.：BF=Be=16.：.FE=FB-BE=16+X=24.-VfP+aP=242+62=，.,.0=FAAO=617*4.j.BO=FO=-j617+4)=517+2.故答案为：3I7+229 .如图，等边ZXABC的边长为小斤，点。为八8C的三条

26、中城的交点，点D,E分别为边八8.8C上的点,若/OOK=I20,则/)石的最小值为解：如图,连接。E和OC,过点。作CWi/用于H.V4BC是等边三角形,点O为三条中线的交点.：.OB-OC.NDBo=ZIiCo=W1.ZBOC-120.VZDOE=120.：.NDoB=NEoC在48Z)O和ACEO中，ZDOB=ZEOcOB=OC.Zdbo=Zeco.HDOCEO(ASA).0D=0E,VZDOE=120,.1.NOEH=JO,设。一X,则0E=2.E=3r.D-E=3x.D=23v.DE=30E.当。最小时,DfAPb.:当。及1.8C时，OEAI小，此时48/)E是等边三角形，；)的址

27、小值为8C的一半.KP27.故答案为：7.3().如图,模角三处形A8C内接于半径为R的OdH是三角形A8C的承心,A0的延长线与BC交手点M.若O1.AO,AC=IO.0/1=6,则QW的长=.解：如图,连接80并ii长交即于足连接CRAH.连接八RCH.过点。作CWJ_8C于M：BF0O的且,径，1.NBCF=NBAF=90,ONFC.7OB=OF.二ON是AAO的中位段，CF=2ON.：.BN=CN=ABC=5,2iRtOftVt1.OB=OA=6.BN=S.，v=0B2-BN2=61CF=2(V=2ll.：”是ZiA8C的乖心，AHiBC.VCFlfiC.：.AH/CF.同理可得：CH

28、/AF,二四边形八是平行四边形，：.AHCt=2H;，是Aabc的乖心.：.AHBC：ON1.BC.：.AH/()N.：.ZOAH=ZNOM.：OH1AM.：.ZAOH-ZONM-9(i.4O0.,H_A00M-ON.2116OK11,O-.3331.如图，半径为3的0。分别与X轴,F轴交于A.。两点.0。卜两个动点从C,使N8AC=45恒成立，设八8C的重心为G,则OG的最小值是.解：如图I,连接AG并延长.交SCF点-连接。F.OH.过G作GE交X轴干点.F为SC的中点,：.OF1BC.VZft4C=45,ZH()F=4S,.80F是等腰世角三角形.V0=3.啜；八8C的取心为G.2AGg

29、”3：EG/OF.空至2.A(tAO.AFOA3.EG2.,OF3Gt-2.G在以E为IFi心.2为T-0的G上运动.AE(I.0).当。、G三点共线时DG的长最小,of=OD2OE2=32+l2=毋，.j)G的M小位是/15-2故若黄为：10-232.如图，战段AC=7,半圈。的直径A8=%点8在射线C8上运动.当半国。恰好势过AC边的中点时，CB=：当八8。的内心.外心与某一个顶点在同一条直线上时,tan。=解：（1）如图1.设AC的中点为,连接8&；半硼D经过AC的中点，B为H径，ZAEB=90*,：.BEIAen.BE平分AC,二点B到点A,C的距齿相等，：.BC-AB-A.（2当Cb

30、=Ae时,内心、外心与Tg点8在同一条直线上.作A/A1.C8于点,如图2,修得：1.手，.d,=皿88.,.la11C-3-,当CH=O时，内心、外心与顶点C在问一条直线上.作A1.C8干点从如图3.解得：*=申.ch=.a=121.77.,125-IanC-.41琮上，lanC吗或UInC=74133.如图,在半径为6.圆心角为90的塌形CA8的ABl:.行一个动点P.PH1.OA,垂足为()PH的重心为G.当点P在源I.运动时.线段(2、GRG中,有无长度保挣不变的线段？如果仔请指出这样的建段，并求出相前的长度: 2)如果；，是直角三角形,试求(X；：PG：HC的做: 3)如果APG是等

31、腰三角形，试求出线段PH的长.解：(1)当然是G，不变，虫心是三角形中战交点，它把中找分为I：2的比例,如果中段长度不变，目中的=线段长度也不变.户。是芈径，它是直角三的形OP”的斜边，它的中战等于它的一半:MJGH-X(PP)=?X-6)-2：3232延长OG交PH于点K.延长G交OP于点F.PG”为Rt,FG=IGH=hPF=0P=3,.,.PG=22.pm=84=23G-3OG23：.()(；：PChHG23:22:2-3s2:1： 3)PGH是一膜三角形有3种可能性,当GP=P时，,H=6.当GP=G时.PH=0（不均在）.当ZW=G时，PH=2,：.PH娓或PH2.34 .如图,A8为半园的直径.。是半圈如匕点.正方形/FG的边OG在直径A8上,另一边过,BC的内切BlKl心0,且点E在华僧弧上.若正方形的顶点广也在半回孤上，则华阴的半径与正方形边长的比是:若正方形DEFG的面枳为100,且