还原Word_第5讲基本几何模型.docx

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1、基本几何模型一、对角巨辛檄型(构造全等I1.)双90。型(1条件:(乙AoB=4DCE=90。;:OC平分41。&iD.(2)当/DCE的一边与AO的延长线相交时，条1牛:/AOB=ZDCE=90。eOC平分.乙408.结论:.例题讲解如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10,点0是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕点。旋转.证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形变叠部分的面积总是Y定值，并求这个定值（二）（60。,120理（I）条件:（/AOB=2DCE=120;OC平分.AOB.结论:G）.当/DCE的一边与AO的延长线相交时，条1牛:/AOB=2DCE=120

2、。;OC平分A0B.结论：起）:.例题讲解把两个边长都等于4的等边三角形拼成菱形ABCD（如图）.有一个含（60。角的三角尺，使三角尺的60,角的顶点与点A西合，两边分另后AB,AC重合.（I将三角尺绕点A按逆时针方向旋转，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时（如图），通过观察或测AE,AF的长度，你能得出什么结论？证明你的结论；（2位旋转过程中，四边形AECF的周长是否发钗化?如果没有变化，请说明理由；如果有变化，谙求出周长的最小值；（3君将d）中三角尺的60。角的顶点P在AC上移动且与点A,C都不重合，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC1CD相交于点E.F时（如图）,那

3、么PE,PF之间又有什么数量关系?并证明你的结论.D二、角含半角模型（必旋转I1.如图五方形ABCD中,NEAF=45,线段BEDF.EF之间的关系是:图:冏：.例题讲解如图,在平面亘角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A,C分别在y轴、X辆的正半岫上，O在原点.现将正方形OABC绕点O恻颈时针方向旋转,旋转角为。，当点A第一次落在直线y=x上时停止旋转.旋转过程中,AB边交直线y=x于点M,BC边交X轴于点N.（1）当点A第一次落在直线y=x上时，求A,B两点坐标（直接写出结果）；设AMBN的周长为p,在旋赭正方形OABC的过程中，P值是否有变化?请证明你的结论.变式I:如ISaAB

4、C是边长为3的等边三角形qBDC是等腰三角形.BD=CD.NBDC-I2O,以D为顶点作一60。角，使角的两边分别交AB,AC边于点M,N,连接MN则AMN的周长为.D变式2:如图.在四边形ABCD中.AD/7BC.ZBCD=900.AB=BC+AD.ZDAC=45。.E为CD上一点且NBAE=45。.若CD=4.则AABE的面积为一.2.条件:等腰RtBC;NOAE=45.变式I:已知在ABC.1.HAC=45。,AO1BC于点D.若BD=6,CD=4,求AAA8C的面积.变式2：如图，在等边.A8C中.点RQ在BC边上且.AQ=30。若BP=2,QC=3,求AB的长.三、一线三等角模型如图

5、,ZABC=ZACE=ZCDE=90;如图,ABC=UCE=VCDE=60。;如图,ABC=1.ACE=CCDE=45.例题讲解1 .（1【发现】如图.已知等边AABC.将一百角三角板的60。角顶点D任怠放在BC边上（点D不与点BC合）,使两边分别交线段AB.AC于点EF.图.V若AB=6AE=4.BD=2.则CF=:求证:aEBDsdCF：【思考】若将图冲的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角扳与AB.AC的两个交点E1F都存在，连接EF,如图所示,问点D是否存在某一位置,使ED平分/BEF且FD平分/CFE，若存在.求出那值；若不存在，请说明理由；（3）【探索】如图.在等股AABC中、A

6、B-AC.O为BC边的中点.将透明的三角形板的一个顶点放在点O处（其中/MONB）.使两条边分另狡边AB.AC于点E,F4点E,F均不与AABC的顶点击合）连接EF.设/B=,贝必AEF与AABC的周长之比为.（用含的表达式表示）.2,如图,将等边/18C折鼓,使得点C落在AB边上的点D处，折痕为EF,点E,F分别在AC和BC边上.若AC=8.AD=2.8JCF:CE的值为变式I：如图，在等边A8C中，D是BC边上一点,且BUtOC=I:3,把AA8C折Ii,使点A落在BC边上的点D处.那么AM:AN的值为变式2:如图.在平面直角坐标系中点0(0.0),A(6.65).B(12.0).将048

7、沿直线CD折,使点A恰好落在线段OB上的点E处若OE=a则CE:DE的值是四、K字模型探究在学习几何知识时，我们可以通过分离和恂造基本图形，将几何馍块化例如在相似三角形中，K字型是非常壬要的基本图形，可以建立如下的“模块”(如图)：图(I，已知Z.A=Z,D=BCE=90,则/18CdDCE;请就图证明上述模块”的合理性；请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问画：G)如圄,已知点.4(-2,1),点B在直线,y=-2x+3上运动，若AOB=90。,，求此时点B的坐标；(ji)如图.过点.小一2,1)分另蚱与X辄y轴平行的线,交百线y=-2x+3于点C,D,求点A关于直线CD的对称点E的坐标

8、.归纳若知道百角三角形的两直角边的长度(比值，可通过两个锐角顶点作过百角顶点的直线的垂线段构造K字型全等或相似.结论应用1.如图在AoH中，0为坐标原点，UOB=90。,04:OR=上运动，那么点B在函数（填函数解析式）的图象上运动.尽支式1B变式I：如图、在AAOB中,0为坐标原点,A0B=90。/B=30,运动,那么点B在函数（填函数解析式）的图象上运动.变式2：已知A是反比例函数y=海图象在第一象限上的T1:2,如果点A在反比例函数y=:（x）0）的图象如果点A在反比例函数y=；（幻0）的图象上力点，连接AO并延长，交另一分支于点B,以AB为边作等边点C在第四差限.已知点C的位St始终在

9、一函数图象上运动，则这个函敌解析式为变式3：已知/18C是等边三角形,点A与点D的坐标分别是A(4.0),D0).BC边与X轴交于点D.若点A的坐标为(2,4),求点D的坐标.orD五、双子型(一)全等双子型如图,A4BC和CEO均为等边三角形，C为公共点，月%,在下图中，我们能得到哪些结论呢。常见结论：三角形全等：；线段相等：；角的结论：.(2厢微变形一下，如图，ABCCED均为等腰百角三角形，C为公共点.常见结论：三角形全等：；线段相等：；角的结论：(3)再稍顺形一下，我们把两个等腰直角三角形换成两个正方形，你还能找出结论吗?常见结论：三龟形全等：；线段相等：；角的结论：.(4激们拓展到一

10、般情况，如图，八和八OE均为等腰三角形，A为公共顶点，目满足NBAC=ZDAE.三角形全等：；线段相等：；角的结论：.（二）相似双子型上面的结论都是全等，既然全等是特殊的相1以，那相似肯定也是有的！如图，ABCCEO均为省角三角形，C为公共点，目满足,乙BAC=CDE仿照上面结论，有：三角形相似：；相似比为线段关系：；角的结论：.（若命题人将上面的图形补成矩形，可要慧眼识珠哦！）归纳若AABCsaABC;且A-BTC与/V一夕-C排列顺序相同，要么都是顺时针，要么都是逆时针，则称这两个三角形构成项相似.反之，若排列J质序不相同，一个是顺时针，另一个是逆时针，则称这两个三角形构成逆相似.若两个共

11、顶点三角形构成顺相似，连接另两组对应顶点，则产生新的相似（包含全等”情况,这就是通常所说的,旋转相似，一转成双的含义.在这样的图形中，常常利用图形中咋字形”进行角的计算.练一练1 .已知:如图.在408和Co已中.OA=OB.OC=0D.1.AOB=1.COD=50.(1)求证:AC=BD:NAPB=50。：(2)如图,在AAoB和ACOD中,OA=OB.OC=OD1ZAOB=ZCOD=.则AC与BD间的数量关系为.ZlX图2 .【提出问题】如图，在等边八BC中，M是BC上的任意一点（不含端点B,G,连接AM,以AM为边作等边AMM连接CN.求证:1.ABC=1.ACN.【类比探究】如图在等边

12、48C中，M是BC延长线上的任意一点（不含端点G,其他条件不变，中结论ABC=、,A乙/1CN还成立吗？请说明理由.【构造双子型】构造思路T在顶点处缺啥补啥.1 .如图.在四边形ABCD中.连接ACBD.已知ABC是等边三角形.NADC=3/.并且AD=4.5,BD=7.5.则CD2 .如图.在AABC中.1.ABC=45,AB=竽,BC=12以AC为直角边、A为直角顶点作等腰RIAACD,则BD变式I:如图.在AABC中ZABC=6(,B=2g.BC=8,以AC为腰*A为顶点作等膜AACD.且/DAC=120.则BD=.变式2:如图.P为等边AABC内一点.且满足/APB=15(.ZAPC=

13、9伊.PB=1.则CP=.3 .如图.在四边形ABCD中,D=3,CD=2,418C=UCB=ADC=45。,则BD=4 .如图.点O在线段AB上,(OA=,R=3以点O为圆心、OA为半径作0.点M在OO上运动.连接MB,以MB为腰作等腰RtM8C,使MBC=90。N,B1C三点按逆时针顺序排列,连接AC1则AC长的取值范围变式I：如图.点A.O.B.C共线.(OA=OB=1,0C=3.QC的半径长为1,P是OO上一动点，连接CP,作ACP。.使PC=PD.CPD=90。.连接OD.则OD长的取值范围是.变式2加图点0在线段AB4OA=I1OC=3”以点0为圆心、OA为半径作OO.P为C)O上

14、一动点，连接CP,WCP为边作等边CP。,连接OD,则OD长的取值范围是5如图.线段AB为。的直径.A8=4.C为OB的中点.点P在。上运动.连接CR以CP为一边向上作等边.CPD.雌ODjyOD的SX-.6 .如图,在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),B为、轴正半轴上的一动点,连接AB,以AB为一边向下作等边AABe“连接Oc则OC的最小值为.7 .如图，在平面直角坐标系中，已知点A(4.0),B为直线y=2上一动点，连接AB,以AB为底边向下作等8 .如图,在平面百角坐标系中.点A(2,O)B(50).P为线段AB勺卜/j点PA=2,PM=PBzBPM=90。,则线段AM取得最大值时点

15、P的坐标为.六、十字架型【正方形内十字架型】1 .在正方形ABCD中.EFlAE,则常见的结论有哪些？2 .在正方形ABCD中EF.G.H分别为ABCD,ADBC边上的点.若EF1G从上述结论是否仍然成立思路正方形中十字架的顶点分别在四条边上”一“垂直.可以利用全等推导出十字架,相等;3 .如图,将边长为4的正方形纸片ABCD折整，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG,点F在AD边上.求折痕FG的长.三【矩形内十字架型】I.如图.在矩形ABCD中58=m,AD=n,在AD边上有一点E.若CJ3。,则CE和BD之间有什么数量关系?2-如图所示为TS情况:在矩形ABCD中EFGH分别为AD.BC

16、.AB.CD边上的点.当EF1G，时，上述结论是否仍然成立?思路矩形中十字架的顶点分别在四条边上.一垂亘“可以利用相似推导出十字架之比和邻边成比例，3.（秒算加图，把边长为AB=6,tfC=8的定形ABCD对折，使点A和点C更合，求折痕EF的长.探究证明某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直横段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明.如图在矩形ABCD中.EF_1.GH.EF分别交AB.CD于点E.EGH分别交AD.BC于点GH求证:=结论应用如图，在满足上题的条件下，又ANUBN,点M.N分另/BC,CD边上，若霁=则三=.Url1511*f联系拓展如图.在四边形ABC

17、D中,/ZARC=90.AR=AD=0,BC=CD=5,AM1.DN,点M,N分别在BC.AB边上,【直角三角形内十字架型】直角三角形可以看成是连接矩形对角线后分成的图形，所以矩形内的结论可沿用至直角三角形内.1 .如图.在A8C中.1.ABC=90。,BA=BCQ为BC边上的中点，BE1.A。于点E,延长BE交AC于点H则2 .已知在/1Co中.ACB=90。,AC=4,BC=3,.D为AC边上一点.连接BD.E为AB边上一点，CE18。.当A0=CD时.求AE的长.课后延伸I.JmlS,把相邻两边长AB=2,BC=4且/8=45的IlogrWn八8Co对折,使点B和点D至合,求折痕MN的3 .如图若HBA=BC=6,DA=DC=8,BAD=90o,DE1CF.求DE:CF的值4 .如图,直然y=-1+2分别与X轴.y轴交于点B.A,将AAM沿着AB翻折，使点O与点D重合.当反比例因数y=：的图象经过点D时，求k的值.