第五节-幂级数-2010-4-6.docx

《第五节-幂级数-2010-4-6.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五节-幂级数-2010-4-6.docx（16页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。

1、注意:对于级数E%,当ZM收敛时，Z“,绝对收就*-1.1.H-Ito1.(T厂y-diraA(T)“j例证不-v三WRM令%=y那么(2-T叫=向=同收做故原锻数笫同收敛.7.5号级数教学目的I弄清事级数的相关概念：掌握厘级数收敛半径、收敛区间、收敛域定义与求法：掌矩粘级数的性旗，能灵活正确运用性朋求幕级数的和函数.(肝点：掌握雅级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法：掌握解段数的性质,能灵活正确运用性质求窑段数的和函数.以及常数项徼数的和.帙学方法，启发式讲授校学过程，一、函数项税数的霰念1.【嵬义】设UI(X).U2(X).必,(戏是定义在区间/上的函数,那么RM,()=H1(X)+U

2、,(.V)+Un(.V)+-1.称为定义在区间/上的(函数项)无穷级数.2 .收敛，(1)收敛点一一常数理汲数Z4(q)收敛：n-1.发放点.一一常数项缴数%(.%)发放：21(3)收敛域D一函数顶级数4*)的所有收敛点形成的维合。：(4)发散域G“工幻的发散点的全体构成的集合G.JM1.K3 .和函数S(X)5(x)=Z”“(X),xeD.M-I,1.余项(X),(x)=S(x)-S(x),SAr(X)=W/(x),4:-I.reD.注：只有在收敛域。匕MX)才有意义：Iimq(X)=O,XGD.nx二、租数及其收敛半径和收购I1 .【定义】形如Sn的函数项级数称为(X-XJ的看级数.(也称

3、为TMMm),其中%4%4,为常数,称为林级数的系数.为与=O1.M,XaxXn称为X的恭级数(也称为标准事最敷)，nO其中常数o(/=0,1.2.)称为霉级数的系故.结论：对于拨数一引，作代换r=-玉可以将般解IIrO级数化为标准咕微数.所以我们只研究标准鼻级数数散件的到M-O别方法.%了的收敛旗：此级数的全体收敛点的集合U=O显然：不。(收敛域),即事级数总在X=/点处收敛.Z-,z-1Xi,均为鹏坡数V的收敛域D=(-IJ),其发敝域M!G=(-x,-1.U1.,+o).且和函数S(.r)=X.t=-!-.a1知(I)假设,(),即W1,即W!=/?,a“x发散.(3)黄设/凶=1,即N

4、=；=/?,比值法失效，Na.V1敛攸另K-O行判定.(4)假设=o,即M=o=o),.级数收敛域为X=O或0：独点集.假设4X对任意X都收敛，那么o,+oc).当()Rx01.有eD即级数发散H-O证明：（1）XOGDnNaX收跳rt-oawo由ZK收naK0（8）=10-O的常数）0f1.X|=|XI-.w-,w-正项级数SIaKr收敛M（1.IIf=“丁收敛=XW。即对VI1.X。I=“X收敛*-c那么（-K1,1/I）U。（收敛域），（0）:（2）或设与任。,那么（y,-kDU（IxjE）UG（发散域）.4 .【定理7.13假设后级数，/系数满足条件Iim-Man或Iim=/（/为常.

5、数或8）,那么(1)当OWC时，那么R=-：(2)当/=O时，那么R=+.(3)当=+oo时，那么K=0.常用公式：=IimW.R=一=.FaIim加C，8s,例如：邪级数Zx”的收敛半径R=1.X=1时，级数发做，故n-0其效区与敛域均为(T.1).例1求林级数(-1广,的收敛半:径与收敛域.rt-1.n解：e=Ump-j=Iim-=1.IMj-n(2)当X=I时，级数为M1.收敛：当X=-I时，级数为S1.发散.M-I故收敛区间(敛区)是(-U),收敛域为(-1J(Itte).例2(1)求墓级数工的收敛半径与收敛域.4-0S1n.a1.Gj+1)!.、娜：4Af=-=A=Iinis-=Ii

6、m=1.m(zr1.)=oc,!4八-!故收敛区间和收敛域均是(7O+)(2)求鼻级数n!.r的收敛半径.“I*/J=1.im-2-=Iim=Iim=0.IIaa1.1.-(+I)!I*1”+1练习：求林级数Z(-1.)”i的攻效半径与收敛域.提示：R=Ii=I=R=I,又NNI时级数发散.收敛域例3求部级数Z(T)Zu0的收敛半径叮收敛域.n*+1.(-1,3m.3+-C=Inn-.r=3a*i+1,1)3./V1.niM1.=.x时级数发散.IHI当=土有时，原级数是二(-1)”；.收敛的交错汲数.所以收敛半径A=T=,收敛区间(-3,收敛城t1注京：豌项汲数可以直接用比俏法求收敛半径.例

7、4(1：求用级数S空U的收敛半径与收敛域.3n解：令r=2x+1.解级数变形为R,-Iimn=IimJr1.=Iim=1=凡=In叫I*f1.+1.r+1.=.r+：时级数发散，M=InX=I.=O.当X=1时原级数为(-1)”!收敛.*II当X=O时，Z1.发散，故原级数收敛半径R=1.,收敛域为2-1.01.注4一股每级数求收敛半径时作变址代换.(2：求级数一E2-I,2-I的收敛城.解：Iim-a-，Iirn0/“2n-由HI即N1即N1时嫂数发散.得R=X(1)11-N(一)r当X=I时，1收敛，当X=-I时，Zir收敛，2n-1.射一1所以收敛域为-1,1).HRi1(02.3)设部

8、级数SqX与Sa,r的收敛半径分别为手与g那么幕级数f*”的收敛半径为（八）(2 (90.5)求级数雪业落的收敛域.解令=-3,级效S二.由1.im%i=Iim-=1知j,*(m+1)-R,=i因此当一1x3I即2x4时级数比敛.Ix=2时，原级数为S察收敛，当x=4时,原级数为H-I/收敛M-I所以收敛域为2,41.(3 (92.3)级数W二的收敛域为(0.4).1-14答令，=(X-2)对于，由色小41. nu.114IIim=Iim=-.a“nx(w+).4044于是收敛半径=4,那么-4(x-2)24,即0和#的收敛半径分别为凡和号,.8I)加流法：S勺,1=(4bn)xn.ve(-K

9、i.R).-0rt-0-其中：RninRa.R1.,.2)乘法：Ve=C1.,xa=(MJ)XU,Xw,R).H-O-Ort-Oc0i-o其中:Rtmn(Ra,Rb),q=力0也_*,n=1.,2,.3：除法：=Z,xg(一叫.叫)bt1.xaZI1.O其中:一得定,而q由系列表达式C=Z4%,”=12确定.A-O此处.W+，但尺.=1.2 .把级数6,r的和函数S(X)在其收敛区间(-凡?)内是连1-0续.3 .每级数可产的和函数S(X)隹其收敛区间(一凡&内可机C-O且有逐项积分公式J；S(X)dsJ；/，=之热.n=011=0十1:积分前后的收敛半径不交)例=1.+x+,v+-+xn+,

10、IXkI.逐项枳分时在1.-xX=I处无意义.4 .格级数ZaM的和函数S(X)在其收敛区间上可微，I1.在收敛n-0区间I：S(X)=；4d=hux-,xR,=R.S-O/-说明：求导与积分后两AUfc的收敛半径不变.但收敛域有可能改变.公式/=丁!一(收敛域为M.r(2)当0VX|1时,有-S(x)r=I-I=YX=.+UMI-XJ是.vS(x)=S()7=(pr=-In(I-A).由于S(O)=1Ir林级数在其收敛域上连续，-1.n(1.-),-1xO.O=S/1.xw(-IJ),那么1.SaMr=J；力”三x三-1.三xe(-U)-1.Af-I1*1S(x)=fS()=(一),二,KW

11、(-1.1)为所求和函(ixin1.-x(1.-x)数.3)令X=!，那么有拈严=，所以/=2.2 -2(1,尸rt,21；令K=:,那么有(!)-=T所以鲁=1.3 n-3(1工rt,32练习：求称级数SC的和函数S(X)：敛域-1,1)S(X)=Ind-X)2(99.3)为(%T=.-2因S(X)=叱=(-v11r=(1.-),=(1.-D,=tn-1.I-XI-XU-K)令X=：,原么有(；)T=5(1)=4.所以答案为-1.例6(00.6)设。=FSinxcosxdx.=0.12.求/”的和.*1.T-科-=1.n(2+,2).那么其收敛半径R=I,在(一1,1)内5(x)=y.t=-

12、,17于是S(X)=，=一1皿一此令K=也，那么2从而/“=/xcosUv=Inn0O例7(03.9)求M级数I(-1)宇(凶y*(HV1.)一/)=1(-1)-=-(-1)=-A-A-IX“II十K上式两边从。到X积分,得-(0)=-dr=-!-rd(1.+2)=-1.n(1.+x1)2J7+,-2由/()=I得/（八）=11.n(1.+),(I).令AK)=。.求得唯一驻点X=O.由于Jr(X)=-E-可见/)在a=O处取得极大值,且极大位为/(0)-1.例8(05.9)求R级数S(J-1.)x2*在区间(TJ)内的和函数tr2+i5（八）.解设与。)=彳匚：&)=/，M2+1.Zf那么S

13、(x)=Si(x)-S),x6(-I,I)=.ru-.ff.I-X(x5(x)Y=户=2xe(TJ),因此XSd)=1；+京岩又由于S1(O)=O.,c,、-1+-h,0.v1.,所以SI(X)=J2a1-0,X=0.11.1+A-1U1.()故S(.v)=S1()-S2(x)=2xI-X1-jO.X=0.修习：求以卜级数的收敛区间，并求和函数:解该级数为W/n。由32n-1.对收敛.当X=T时.耳级数昱，收敛:当A=1时.耳级数院丁=x知当VvI时和汲数绝收敛，所以原呆级数的收敛域为TJ设S(X)=-x211,那么当X(-1,1)时有Z?2-1S,(x)(需产,y=S(F=-r,=7.n11

14、2/J-IIIrdI+A所以S(X)=-dr=arcianx.Joi+/-(2)2+4+6+8+M该将级数为2心1由三1.IimN=如产+：=nm吧=K“IwIi2r,nwn知当Vv1.时事级数绝对收敛.当X=-I时$级数之(一2)发散：X=I时,部级数发*-1.1.1./ft.所以原平级数的收敛区间为(TJ).2x(T77设S(X)=2hx2,那么当Xe(-1.1)时，有11HS(X)=(y=(y=(-y=厂小姑，1.注意收敛区间与收敛域的联系与区别.2 .利用超级数的性质求.格级数的和函数时.求导或求枳分时前后的收敛区间不变.3 .利用鼻级数的和函数可以求常数项级数的和：求出和函数后，取X的特使代入和函数即得所求.1.对缺项后级数在求收敛半径时应设辅助变转化为需现形鼻级数说直接用正墓被数的比值判别法求收敛区间.课JB记，存在向as：1 .对缺项整级数以及通顶为(.v-x0)n的每级数求收敛半径以及收敛域问的多.2 .求呆级数的和函数,不知从何下手.不能灵活运用幕级数的性顺以及四个常用公式灵活变形找S(X)的农达式.3 .不能灵活运用和函数求常数顶级数的和.