等差、等比数列及其前n项和(教师).docx

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1、等差数列及其前n项和(教师版)一、主要知识和方法1、收列的假拿，数列是一个定义域为止整数集N*(或它的有限子集(123.n的特殊函数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式。,(i)等差敷列的列，方法，定义法：4“一勺=常数(咒*)Uq为等差数列：中项公式法：2.i=a1.+(t,211eN*)”“为等是数列：通项公式法：4=kn+b(wN*)。m为等基数列：前项求和法：S“=p/+q1wN*)Uq为等基数列：(2)IHtik列的Mian=at+(n-)daa+(n-m)d(3)等差中项：假设.A力成等差数列，那么A叫做。与。的等差中顶，且A=空之。2(4)IHHW1.的前和；s+1)s22I(

2、I)等号数列任意两项M的关系：如果“是等差数列的笫项，%是等差数列的第，项，f1.nn.公差为d,那么有a=a,v(11-rw)rf(2)当公差d0时，等差散列的通项公式4=4+(”-1)/=加+4-是关于的一次函数，且斜率为公基4：前和5.=，叫+妁二Ud=-+(,-)j是关于”的二次函数常数限0.222(3)假设公差d0,JE么为递增等差数列，假设公差d0,为通选等差数列，钱设公差d=0,那么为常数列.(41等差数列(a,的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列，(5)对于等差数列11,当，+”=+/时,那么有。网+0,=%,+4,特别地，当，+=2时，那么有+un=2afr,也就是：i+t

3、u=a2+1.t-=a3+n-2如下图：%.一个,24t,an+-1.(6)假设数列“是等差数列,St1.是其前n项的和,Gf.那么S-S1.t-Si.Sit-S2k成等差数列.如以下图所示：q+42+?+ati+”+,2j+1+：+SHn1.=122SN-1.CS1.=n(其中是等差数列的中间一项)。Sq-S幺s*-s佻(8)假设等差数列IqJmJ的前”和分别为、，且缁=/()，那么F=AS1.=gx=(2-1.).(9)“首正”的递减等差数列中.前“项和的最大(ft是所有非负项之和：“首负”的递增等差数列中.前”项和的最小值是所彳!非正项之和.法一:由不等式组/JNoCJtin0加“O确定

4、出前多少项为非负(或非正)；法二：因等差数列前项和是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值但要注意数列的特殊性WM(10)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项项次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原的等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的攻，其项数不定相同，即研究二、典例分析:【例1】数列，满足a*+的公差(ni2)从而也“-&=5+W+%+,_砥+%=1.s32).2222又a=b“廿2”,a产祖登1.f产也军A=孕.像上,an.1.-at=d(n!).22222所以E)是等差数列.IM21在等差数列&中,(1) a,=33.0u=153.求瓯；O6=10.S

5、i=5,求a,和S“(3)前3项和为12,前3项积为48,J1.d0,求a,.Wt(!)方法一：设首项为a,.公差为d.依条件得E:,匕，解方程组得匕I二I1.53-d44J(c*4.=-23+(61-1)4=217.雄二：由d=%二%,得d=H小二怔=眨七史=4,由a1=fu+n-m)d,得1=a,.-16d=153+164=217.”|45-1530.*0,S6=5,松:常二解方程级得时5,d=3,2d=10+2X3=16,-X空=44.(3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题您有：VdO.da-d=2.J2.a1=2.J(d).0.(.d)=12.卜=4.I=4(-J)u(48

6、a(a2-2)-48*d-2【交式调练2】设以:为等整数列,SB为数列IaJ的前n项和.S也Sm,为数列图的前11项和,求T.解，设等差数列1的公差为d,那么S,=na二n(nDd1.二磊2叫;M叫Z二+叫OIT)1.T).迤=.数列是等差数列，其首项为-2,公差为:，.T.=1.nYn.【例3】(1)等差数列4中，S11三18,+,+1三*i;Jf1.=_【答案：27；(2) (06江西文)在各项均不为,零的等基数列叫中，假设为“一。；+%=0522),那么Vi-4m=0.Sh=38,那么，=()A.38B、20C、IQD、9.【答案:C】(09全国理)设等差数列q的前项和为S“，假设=72

7、,那么/+”,+u=:【答案：.S1.,=9r5,s=8.ai+a4+%=(/+/+6=(/+4)+%=上=24.】(3) (08陕西)(j是等差数列，a,+a2=4.%+4=28.那么该数列前10项和SH)等于(A.MB.100C.HOD.120【答案:B】(4) (06全国II)设Sn是等差数列q的前n项和，假设今=；,那么在=()aWCW得1答案2(5) (07湖北)两个等基数列j和的前n顶和分别为4和Bn,且/=子箸，那么使得:为整数的正整数n的个数是()【答案:D】【例4】在等差数列g)中，6=20,前n项和为S“且S“fS,“求当n取何值时,S,取得最大值,并求出它的设大值.(方法

8、-Va1=20.S,=0,即当nW12时，a,0.n14fft.a110.当n=12或13时，除取得最大假，且最大值为SU=S”=12X20+亚科*(-)=130.法二同方法一求得d=g.Sn=20n+9U-(-1)=-/粤n=-卦”丫+笔.32366G1.2/2Wnk.当n-12或13时,S.有最大值.且最大值为SU=S1.k130.方法三问方法一汨+au+aj+a=0.当户12或13时，Sn有最大值,且最大值为SMSmI30.【支式调练4】等基数列瓜中，aVO.SkS,：,该数列前多少项的和最小？解由条件S,=S；,可得9a+d=12a吆Id,即d=-a.由a,0,即数列(a,为递增数列.

9、2210方法一由H=q+5-彳叫得而“”【解得IOWnW1.1.1-n0IO，当n为10或11时，SI,取最小值，；.该数列前10项或前11顶的和最小.方法二VS1.=Sj.ao+a1.1.+a1.i=3a,1.=O.adO.公差d0,从而前10项或前H项和最小.方法三.4小”；3的图象所在抛物税的对称轴为*=誓=10.5.又new.a0,(a.)的前10项或前11项和破小.H由Wna计炉+!-=)n,结合d=-a,得Sn=D.11+f21a.n=-n-21Y1.a(a,+=4,a+a,=10,那么它的背10项的和&等于(答案CI.数列a,b.m,n和x,n,y,m均成等差数列，那么21-2,

10、的但为()答案C5 .在等差数列a.)中.假设a.a,a1.1.)1.2=120,那么a.a的值为()答案C6 .等差数列&的前n项和满足S三t=Sn,以下结论中正确的选项是()“是S”中的最大值”是Sn中的最小值m=0“=0答案D(二)填空7 .(083理)设S.足等差数列瓜的前n项和.a；.=8.S.9,；么S1.答案72&致列4、bn都是公差为I的等差数列,其首项分别为a,、b,且$+b产5,a,、b.设a=%(nGK),蜃么数列IcJ的谛10项和等于.答案85(三)解答J99.数列E中,a总，a,=2-1.-(心2,小即)，改列瓜)满足&=一(neW).!二，Z.!二1tfo-,唳Tj

11、所以当nN2时.b,h,=-!aU-,-1.-1又b产_=-1所以,数列依:，足以为首项，以1为公差的等龙数列.u-I22(2)ff(IK1.)知.b,-n1.那么丁设函数N)=1.+J,易知f()在区间(8.D2bn2-7Ix-I2和(g.8)内为减函数.所以当n-3时.a,取得最小值1：当n=4时.a,取褥最大值3.IO.等差数列的奇数项的和为216,偶数顶的和为192,首项为I,项数为奇数，求此数列的末项和通项公式.M：设等若数列吟的项数为2m1.,公差为d,那么数列的中间项为a.奇数项有时1班偶数项有m项.依题意，有S1(B+Da=216s=ma.：=192+,得W二坐，解得.m-8,

12、二数列共有2mT-17项,把m-8代入.得时24.m192又.a11=2an.a产2a-a尸47,fid=ii=y.a,=1.+(n-1.)y=23s(ne1.,n17),I1.公差大于零的等基数列瓜卜的前nJ和为S1,且满足：a=1.1.7,H-a*=22.(1)求通项4；(2)假设数列缶.)满足匕=旦，是否存在非零实数C使得&为等差数列？钗设存在，求/!+r2+c32当C=-T时，b,=*1.=2n,当ne2时，b,-b,尸2.故当C=-T时，数列bj为等差数列.n-2等比数列及其前I1.项和(教师版)一、主要知识和方法(I)等比数列的判断方法：定义法上1.=则为版)，其中严QMM(I或等

13、比中项罚：虫=2(n2).44.(2；等比数列的前和特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判酬公比，/是否为1,再由4的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比4是否为1时，要对q分4=1和4/1两种情形讨论求解.(31等比中项:假设&A办成等比数列,那么A叫做。与b的等比中项.提醒：不是任何两数都有等比中攻，只有同号两数才存在等比中项，且有两个J而.(1)等比数列任意两项间的关系：如果%是等比数列的第项，明是等号数列的第，“项，f1.mn,公比为q，那么有/=ng(2)等比数列Ei的任意等用肉的项构成的数列仍为等比数列.(3)对于等比数列n当，+”=p+q时，

14、那么彳i41q,，特别地，当，+=2p时，加么书(JI)I=0,q,那么MIJ为递增数列：暇设JVO#1,那么“为通减数列：假设400q1.,那么a为递减数列：线设q0.041.,那么,为递增数列:假设q=0.但hO.hO,这是等比数列前项和1.-g-q公式特征.据此判断数列,是否为等比数列”(7)在等比数列”“中，当项数为偶数2“时，Sa=qS,it项数为奇数2一1时，S舟=4+qS%.(8)数列)既成等差数列乂成等比数列.那么数列1q是非零常数数列,故常数数列4仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。3.有关等差、等比数列的结论两个等差数列(an)与,)的和差的数列a.b,(a

15、,-h,)仍为等差数列，两个等比数列Ej与瓜)的枳、两、倒数祖成的数列k，.b.)、金卜*_仍为等比数列，(3)三个数成等差的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差的设法；a-3d,a-d,a+d,a+3d(1)三个数成等比的设法：aq,a,aq;四个数成等比的错误设法：aq,aq1aq.aq(为什么？)(5) SJ为等差数列，JE么卜0是等比数列。(6)(b.)(k0)是等比数列，那么HogbJ(CO且CND是等差数列，二、典例分析一【例1】a为等比数列，a,=2,aa,=g,求瓜)的通项公式.解；方法一设等比数列N的公比为q,那么q0,a=上=工，a,=aq=2q,.2+2q=9解得q=-

16、=3.qqq33当q=J时.a18.a,-18(1.),r,=-=23jn.333n-当q=3时，ai=；,.ac=jx3=2X3.1=2X3或a,=2X3.方法二曲机=2,得aa=4,又那么耻,a,为方程x：-第x+4=0的两根,解得W或33,a,=4,=63当a1.=；时,q=3,a,=a；q=2X3.当a：=6时，q,an=23a,=23,hKa,=233,.【交式调练1】等比数列Iaa1.中a+%=66,a?%1=I28.S.=126,求项数n和公比q的值.筹，.a是等比数列.aan=a2a4.66,产2或,产64N31%1”64一2线设a=2.an=64,那么2f=64.q=32qt

17、S.,26,解得q=2.于是n=6I-qI-qI，drSM又也适合上式，.c-g)”【交式调薛2】设数列值才是等差数列，a,=6.当*=3时,请在数列中找一项使得a.a：,a.成等比数列;(2)当a=2时,假设自然数n.11j,n1.,(teK)满足5VmVE(1)设限)的公差为d,那么由a.=a,+2d,得d=警=：,由a.=。；，即33+(n-3)=6解得ma,a,a“成等比数列.(2)Va,=2.a；-6.d=f1.=2.二当nN5时,8n=a+(n-5)d=211-4.又a1.a“a.t,-.e_.成等比数列.那么q=-=3,j,=a1.3,.t=1.,2.3,Qy2又3=2,-1,.

18、2,-4=a,3=63,.,.2n.=23,+4.即代=3v,+2,t=1.,2,3,.【例3】在等比数列CaJ中,a+az+a,+a,+a5=8且，+-!-1.+-1.+J1.=2,求a,.a1.。2a4aS1方法一设公比为q,显然qK1.,.(aj是等比数列，.!,也是等比数列，公比为2.IanJ1“川3=81.-g由条件得-1.(I-Jr).解得a；q=4.a(a,q2)=4,a,=2.-由得:-1.J1.+-1.+-1.+-1.-/+t+S+4f1.-“F+3+4+-WdIa2a34ai0|叫24/；a1.=2.【交式御底313.在等比数列中,a,也二324,a,a-36.求a；电的值

19、:(2)在等比数列(&)中,a1.as=8,求a：aaaa的(ft.解：(!)由等比数列的性质知,ar,a,+a,a+a.也成等比数列,那么(a,-a,)：=(a,+a：)(a,+a,).a,+a,F.(2)Va1a=a;,.,.aaa,=a;1=8,a1.=2,XVa：a,=aa,=a5aa.aa=a:=32.【例4】函数f(x)=(xI)2,数列a是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的等比数列(q1.),假设a=Rd-),a3=f(d+1.,b=ftq-).bj=f(q+1.),(1)求数列1%出“)的通项公式：设数列cj对任意的自然数n均有I*+口.+求数列(c11前n项和Sn.ft

20、Ib2M(1.)a=(d-2)2,aj=d2.aj-a=2dWdj-(2=2d,解之得d=2；.ai=0.an=2(n-1.)又b=(q-2尸，b)=q1.bi=b)q?即q?=(q-21q解之得q=3b=.b=31(2) =(ra+1kr,w1.-4=4n.J=4n-3o,S11=C1+C2+C3+.+Cn=40,F1.第二项,第五项，第I四项分别是等比数列bj的第二项,第三项,第四项.求数列出与t1的通项公式：设数列Cn)对任意正整数n,均有Q+3+父+a.ant1.,求c+c2+c3+6。KI的值.瓦瓦仇bi*由题意得(a+d)(a+Bd)=(a+4d)2(d0)解得d=2.a=2n-h

21、b,=3当n=1.时.c=3当位2时.与=/,-q,.c=Fs故g=23,c1.2-y-(rt2)c1.+c,+t1.0=3+23+231+23W=33%三、课后作业：(一)、逸M1.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么A.b=3,ac=9B.b=-3.ac=9C.b=3.ac=-9D.b=-3,ac=-9答案B2Ia/是等比数列.”2.a；-：,那么aa/aaaa.等于()A.16(1.-4n)B.16(1.-2n)C.y(1-4*)D.y(1.-2n)答案C3 .(OSffft)设瓜)是公比为正数的等比数列，假设=1.,a,=1.6,那么数列%的曲7项的和为(A.63B.61C.12

22、7D.128答案C4 .其设数列瓜J的前n项和Sn=3f数列A1.为等比数列,那么实数a的值是(A.3B.1C.0D.-1答案85 .等比数列一前n项的枳为T”假设a,a.“是一个确定的常数,那么数列TmTioT17.“中也是常数的项是()A.T,uB.T,C.T1,D.T答案C6 .等比数列EJ中，a1*a=30,a+a1.=120,那么a,+等于()A.240B.210C.480D.480答案C(二)、填空题7 .一个项数为物数的等比数列,它的偏数项的和是奇数项的和的2倍,它的首项为1,且中间两项的和为24,那么此等比数列的公比为一项数为_1鲁案288 .设等比数列局的前n项和为S“&=!

23、.317,那么通项-=,答家卷2-1.(-2)(三)、解答9 .数列a,的前n项和为S“.f1.Sn=1.a.-1.).求MK(2)证明：数列)是等比数列：求a,及S“解Va1=S1=ICE),.a产-1.又aE*S2=1.(aD,a：=1.3234(2)证明VSn=I(a,-1.),S,.1=S1.I),两式相减，得新产也“；a,即编.产-；晶,.数列国是首项为6公比为W的等比数列(3)解由(2)得a.=-；(11).求a,a,的伯；(2)求证：版是等比数列.(1)M.a)是公比为3的等比数列，.a,a,=aa3-=23*(2)证明.3aaJ是公比为3的等比数列，.aa.H,a,即品.产：通

24、”.,a,a.a“，a】，与a：,a,a,，a)，都是公比为3的等比数列.，加尸2加二331.bn=a,a=53.姐.=*.=3,故伯.)是以5为首项，3为公比的等比数列.%53,11 .设数列(A的前n项和为Sn,且(3F)S2ma.=m+3(n),其中m为常数,f1.三-3,m0.(1)求证：品是等比数列；(2)假设数列版的公比q=fOn).数列b满足也=a,b=jf(b,)(nGN.n22).求证：(为等叁数列,并求E.证明1)1.h(3-m)Sn+2ma,=m3得(3f)S2ma,+3.两式相减,得(3F)a.1.=2n.t+3bbn.1.3.4是以1为首项、!为公差的等差数列.4=i

25、+1.=手.b.=-工.J3b33212.(OeHJUX)设数列的解n项和sn=2v2n,(1)求a“a”(2)证明：“2%)是等比数列：求)的通项公式.(I)M因为a=S,2a=S1+2,所以a,=2,S=2.由2a=S,-2知2eSt+/-2”,得,i=S,+2.所以fc=S1+2i=2+22=6,Si=8.a,=S：+2=8+2=16,S1=24,a2).求c.的通项公式.(H证明：由a+S=1.及a=S得a1=；.又由a11+Sr=n及a,-Sn.1=n+1.得a.i-aJa”.；=1.,.,.2a,.1=a,1.2(an1-1.)=an-1.,即2b,=b11.数列为是以b,a,-1.=-1.为首用j,1为公比的等比数列.(2)Mt方法一由(1)知2*,=a+1.2a,=a,E(n2),2a,-2a,=a.-a.1.,.2c,.=c.(n2).又c=a1=-1a；-ai+a2=2,.a：=-.cz=-三-,c：=，c：.244242.数列（八）是出项为:，公比为:的等比数列.c,=1.(1)=1).雄二由4=号)(=(.1.)+,