还原Word_第一章几何规律探究.docx

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1、第二弦与全等有关的模型本章综述初中三角形全等的证明在中考中是必考内容，或单独考查,或在其他综合题目中而全等的模型较多，本节重点讲解几个经常考直的全等模型及其辅助线的添加方法2.1常见的几种全等模型本节内容主要讲解勾法“一线三等角“全等模型、倍角半角模型、对角互补模型等常见的证明全等的辅助线模型.模型一一埃三等角“全等模型场景：如图，点D,C,E在同一条直线上I同一平面），1.D=1.ACB=1.E=90。（三等角jAC=BC连接AB,可以得到力BC是等原百角三角形.应用：如下图，遨目中有45。角时，我们先构造亘角等股三角形，然后进一步构造“一线三等角,百角全等模型来解决问题.=Oa拓展：如下图

2、，三个角相等，在同一条亘线上，且有一蛆对应边相等，则图中的两个三角形全等，我们都称拓展应用：如果有等腰三角形，琳何以围绕顶点作一线三等角“全等模型.精选例Sg例（2019广州）如图.正方形ABCD的边长为“点E在边AB上运动I不与点A.B由合）,DAM=45点F在射线AM上.且AF=&BRCF与AD相交于点G、连接EC.EF.EG,则下列结论:/ECFF5。；AEG的周长为（1+y）;BEHDG2=区内2XEAI的面积的最大值为:，产.其中正确的结论是_填写所有正确结论的序号）.答图2解析一:由/DAM=45。,AF=2bE,可围绕BE构造等腰百角三角形，通过全等三角形得到AEFC是等股百角三

3、角形，可得到/ECF75。，满足后面接下来讲的“正方形的倍角半角模型、根据该模型的解答方法不难判定结论的正误.解析二:由NDAM=45。.AF=&BE.可构造三等角“全等模型，得到AAHF是等搜直角三角形，可得到/ECF45o,满足后面接下来讲的“正方形的倍角半角模型”，根据该模型不难判定结论的正误.解-如答图1.在BC上截取BH=BE.连接EII.VBE=BH.ZEBH=90o,EH=2BE.F=2BE,F=EH.,.ZDAM=ZEHB=45o,ZBAD=9()u,AZFAE=ZEHC=135.VBa=BCBE=BII.AE=HC.FAEEHC(SAS).EF=EC.ZAEF=ZECH.：Z

4、ECH+ZCEB=90o,二/AEF+/CEB=90。.：.NFEC=9()。./ECF=/EFC=45。.故正瑜如答图2.延长AD到H.使得DH=BEJHUCBE5CDH(SAS).ZECB=ZDCH.NECh=NBCD=W./ECG=/GCH=45.VCG=CG1CE=CH,GCE1GCH(SAS).EG=GH.GH=DG*DH,DH=BE,.EG=BE+DG.故错误：二ZSAEG的周长=AE+EG+AG=AE+AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a,故错误:设BE=x.则.AE=a-x,AF-2x.5xr=(-x)X=-x2+x=(2ei+：M-12)=一；(X

5、V+1.a2.-45。.故正确：由此，可得“正方形的倍角半角模型”艮据该模型可得BE+DG=EG.故以错误；,AEG的周长-AE+EG+AG=AG+3D+BE+AE=AB+AD=2a,故错误；设AH=HF=BE=X则AE=ax,Seur=(a-x)-X=-x2+ax=-(x2-ax+a2-a2)=-(x-a)2+Ja22)D.额)模型二正方形的倍角半角模型场景:如图.在正方形ABcD中点E是BC边上的动点.点卜在在CD边上.NEAF=BAD=45”.在正方形ABCD中隐含着AB=AD,也就是倍角的两边相等.作辅助线:如下图.延长CD至G.使得DG=BE.i三(1.)BE+DFEF;(2)以BE

6、+ADF=SaeF；(3)NAEB=NAERNAFD=NAFE是AE平分NFEB.AF平分NEH).如下图过点A作AHEF交EF于点II.结论:(4)AB=AHqABESHE,ADFqAAHF;=2AB.如下阿弟仑(6)AANMSADNFsaBEMsAAEFsaBNAsaDAM,(由AO:AH=AO:AB-1:夜,可得AANM和AAEF的相似比为1.1.图形见后面)；(7)Smv=SrtnButr如下图.连接AC.结论：（8）AOMADFqAONABE.如下图,连接EN.结论:（9）AEN为等腰直角三角形.NAEN=45。,NEAF=45,AE:AN=1:1同理.连接41.AFM为等腰直角三角

7、形，!FM=45。.ADADAD场景:如下图.在等腰直角三角形ABD中.AB=AD.NBAD=9俨.NMAN=45。.过点D作PD1.BD.并被取PD=BM.连接NP.AP.思考：（1延长AE交DC的延长线于点P,延长AF交BC的延长线于点Q,你还能得到什么结论呢。（2）如果点E在CB的延长线上,点F在射线DC上，你又能得到什么结论呢？精选你JSfi例如图.在正方形ABCD中.E是BC边上的一点.BE=4.EC=8,将正方形边AB沿AE折展fJAF.延长EE交DC于G.连接AG.现在有如下四个结论:/EAG=45。;FG=FeFCAG:SAGFC=I4.其中正确结论的个数由边AB沿AE折0到A

8、R则.AF1EG目AE平分.乙BEF,.那么你能想到正方形的倍角半角模型”中的结论吗”如果满足“正方形的倍角半角模型”，则,EG=BE+DG,其他的结论就比较容易判断了.解易知AD=AB=AF.则）RtDGZRtAFG（,H1.）.GD=GF.ZDAG=ZGAE又；/FAE=/EAB,：YEAG=/.GAF+/.FAE=(BAF+WAD)=gBAD=45,所以，正确；设GF=X则GD=GF=X.又,：BE=4,CE=8,DC=BC=12,EF=BE=4.CG=1.2-x,EG=4+x.在RSECG中.由勾股定理可得82+(12-x)z=(4+K)?,解得x=6.TD.FG=DG=CG=6.又.

9、FGG60o.ysJ.FGC不是等边三角形，所以错误；1如图，连接DF,由可知AAFG和乙A1.K；是对称型全等三角形，则.FO1AG.1.XVFG=DG=GC.BE.DFC为百角三角形./.FD1CF1AFCHAG,成立；EC=8.SBCG=ECCG=24,XSFCCFG3c,3c.72.=M=WSFCC=WSEG=W错误.故正确结论为。瀚，选B选项.精选练习I.如图I,已知四边形ABCD是正方形.将DAEqOCF分别沿DE,DF向内折叠得到图2毗时DA与X击合(A.C部落在G点)若(GF=4,EG=6,G=G则DG的长为.DnICV：EEMIB图1图22.如图JH方形ABCD的边长为a.E

10、为CD边上一点（不与端点重合）.将A沿AE对折至AAFE延长FH交边BC于点G.连接AGCF.给出下列判断:EAG=45。若DE=%则AGCF;若E为CD的中点则.AG”的面积为2；若CF=FG.则DE=（1.a;BGDE+AFGE=成其中正确的是（写出所有正确判断的序号）.模型三对角互补模型模型3-1全等型90场景：如图，UOB=乙DCE=90%对角互补）；OC平分NAOB1.一条对角线平分一个内角）.结论.（I）CT）一（EM2）+OE-/（JC（3）S-t-S.+Sr,H-g（X作辅助线方法：如图，过点C分别作CM,CN垂百于。A,BO,证明CDMCEN（角平分线垂两边）；如图.过点C作

11、CF_1.Oe.证明ODCgAFEC拓展：其他条件不变，NDCE的一边交AO的延长线于点DiiCD=CE（不变）;（2）。E-OD=20C;（3）St-Sr=OC2.模型3-2全等型任意角场景一：如图.ZA0B=2,ZDCE=1.SOfaQC平分NAOB.结论:(1)CD=CEX2)OX)E=2OCcosa3)S四边形OOCE=SxD+SCE=OC-Cosasino.场景二：如图，其他条件不变，NDCE的一边交AO的延长线于点D.磁:CD=CEOEQD-2OCcosa同SAaE-SaD-OC3cosasita.证明的方法同上.探究：当BI=5OBC=邂C另解：如答图2.此题也可作OG垂直于AB

12、于点G,然后应用模型求解，此处略.精选练习1 .如图.在AABC中,CA=CB,/ACB=90。,ABQ.点D为AB的中点.以点D为圆心作圆心角为90。的扇形DEF,点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为一.2 .如图、在等腰百角三角形ABC中,/BACRO1.f三角尺的直角顶点与Be边的中点。击合，目两条亘角边分别经过点A和点B,将三角尺绕点。按心时针方向簸转任懑一个说角.当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时，下列结论中错误的是().A.AE+AF=ACB./BEO+/OFC=I80=C.OE+OFBCDS,w=彳Sy2.2与角平分线相关的辅助线模型本节由点讲解与角平分线相关的

13、辅助线模型，由于角是轴对称图形，角平分线所在的亘线是角的对称轴,所以用角平分线垂两边“角平分线戟两边.构造全等三角形本质上就是轴对称的实际应用，而用角平分线+平行线”构造等腰三角形则体现了平行线的性质.模型一角平分线+平行线一等腰三角形辅助线模型场景：如图，P是/MQN的平分线上一点.作辅助线方法:过点P作PQON,交OM于点Q.结论：POQ是等腰三角形.应用：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，内造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件.角平分线与等腹三角形之间的密切关系，在平行四边形中折叠类的题目中经常有所体现.模型二角平分线垂两边场景：如图，P是4M0N的平分线上一点，PA

14、XOM于点A.作辅助线方法:过点P作PB_0N于点B.结论：PB=PA.应用：利用角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口.精选例题例如图.正方形ABCD的边长为4、点E是CD的中点.AF平分/BAE交BC于点口将4ADE绕点AI顶时针旋转90。得AABG.则CF的长为.根抠AE平分NBAE、ABG由ADE旋转渺得到.可知NGAB=NEAD.NBAF=NEAE进而NGAF=NDAH即AF是/GAD的角平分线.通过角平分线垂两边模型.可以求出AGF的边AG上的高，通过面积法求出GF.最后通过线段关系即可

15、求出CR解如图.作FMAD于点M.FN1AG于点N.易得四边形CFMD为矩形.则FM=4.正方形ABCD的边长为4.点E是CD的中点，DE=2.AE=42+22=25.,ADE绕点A901ABG,AG=AE=25.BG=DE=2.Z3=Z4.ZGAE=9(，.ZABG=ZD=9(.而ABC=90o.二点G在CB的延长线上.VAF平分NBAE交BC于点F.ZI=Z2.2+4=N1+N3.即FA平分NGAD.FN=M=4.VABGF=FN-AG,：.GF=25.CF=CG-GF=4+2-25-6-25.故答案为6-25.精选练习I.如图.已知在四边形ABCD中./8（加R0。霜0平分/人1：氏8-

16、6,19模型三角平分线截两边构造对称全等三角形场景：如图，点P是NMON的平分线上一点，点A是射线ON上任意一点.作辅助线方法:在OM上截取OB=OA,连接PB.结论必OPBOPA.A.30oC.45o答图1应用：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等.利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧，经常和威长多海法相结合使用.精选胡谶例如图.NB=NC=OO。点M是BC的中点.DM平分NADC.且NADC=I1.O。.则NMAB=(B.35o1).60。解析由DM平分/ADC,可截取ND-CDJfi过证明全等,得到ZAMfi=DAR.

17、解法一如答图I.在DA上截取ND=CD.：ZCDM=ZNDM.DM=DM.NDMCDM.NM=CM.ZDNM=ZDCM=ZANM=0o.M是BC的中点，ABM=CM=NM1XVAM=AM.RtNAMgRsBAM.MAR=M4N=DAB.AB/7CD.二/DAB=18(F-/ADC=70.1.MAB=DAB=35*.糜B.解法二DM平分/ADC,CM.CD,满足角平分线垂两边模型，可作MNIAD于点N,根据平行线的性质求出NDA8,根据角平分线的判定定理得到MAH=*048.计算即可，其图形与解法一完全相同，只是证明过程不同罢了.解法三题目中M是BC的中点，DM平分乙1。CMm1.C。加答图2,

18、可分别延长AB,DM交于点E,得到AA。E是等腰三角形,应用“AAS”证明.CDM三从而证明M也是DE的中点，再应用等腰三角形“三线合一”性质,得MAB=：/OA机计算即可.解法四题目中M是BC的中点.可以考虑应用倍长中线法，延长DM至点E,使DM=M,连接BE,图形和解法三是一样的，只是证明过程不同，此处BS精选练习如图.在AABC中.AD平分./.BAC1Zfi=2求证：AR+BD=AC.2.3与中点相关的辅助线模型本节主要讲述倍长中线法、作中位线、作斜边中线、作垂直平分线(包括三线合一”)等与中点相关的几何问题的辅助线的作法及应用模型一有中点,作中位线场景：如图，DE是AABC的中位线.

19、结论:DEBC(/ADE=NB),且DE=C.定理的题设是已知三角形的中位线，定理的结论有两种关系：一种是数关系，即中位线等于第三边的一半；另一种是位置关系，即中位线与第三边平行.拓展：如图，三角形有三条中位线，此时，可作中位线的两种外在形式：内构中位线和勺楔中位战内构中位1.外构中位及应用：在证明几何结论时，通常有以下几种情况时作中位线.1 .有两个（或两个以上）中点时，连接两个中点，或者在其他的边上取中点，连接构造中位线.2 .剧目中有中点，并且已知或求证中涉及线段的I音、分关系时，可取相关线段的中点，连接构造中位线.精选例跑例1.如图在ABC中.NACB=60。.AC=1.D是边AB的中

20、点.E是边BC上一点.若DE平分ABC的周长.则DE已知点D是AB的中点，可以考虑外构中位线”，过点A作DE的平行线,构造新的三角形，通过周长和线段的和差关系，得到DE是新三角形的中位线，进而求解即可.解如图.延长BC至点M.使CM=C4连接AM作CN1AM于点N.YDE平分ABC的周长.ME=EB,又；AD=DB.-DE=AM,DEAM.：ZCB=60o,ZACM=120.VCM=CA.：.NACN=60。.AN=A4N.AN=AC-SinzyICM:.-AM-V5.DE-y.故答案为圣例2.（2019扬州）如图.已知点E在正方形ABCD的边AB上以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEF

21、G.i1.接DF.M.N分别是DeDF的中点.连接MN.若AB=7.BE=5.则MN=.三GM.N分别是DC.DF的中点.即MN是ADFC的中位线.故只需连接FC.求出FC即可.解如图,连接CF.IE形ABCD和形BEKi.AB=7.BE=5.GF=GB=5.BC=7.(iC=GB+BC=5+7=12.CF=GF2+GC2=52+122=13.M,N分别是DCDF的中点.MN=CF=.故答案为?.精选练习I.如图在矩形ABCD.AB4,D=2.E为AB的中点,F为EC上f点T为DF中点,连接PB.则PB的最小值是第1题图2.如图.在边长为4的等边AABC中DE分别为AB.BC的中点.EF_1.

22、AC于点RG为EF的中点.连接DG.则DG的长为.模型二倍长中线场景:如图.AD是4ABC的中绫作辅助线方法:延长AD至点E,使DE=AD.连接CE.结论:(1)ABDqAECD(SASM2)连接BE,四边形ABEC是平行四边形.倍长中线拓展：如下图，F是AB边上的一点,D是BC中点.作辅助线方法:延长FD至点E使DE=FD.连接CE.结论:(12FDB9ZiEDCSAS);连接CF.BE,则四边形BECF是平行四边形.倍长类中线应用：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，肉造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移.大多数时候倍长中线和中位线是等效的.精选嬲例如图,在AAB

23、C中,/ACB=I2O。,B(EQ为AB的中点,DCBC则AABC的面积是.解析观目中给出的条件不检直接求出三角形的面积，可利用条件中给出的点D是AB的中点，通过倍长中线CD.得到全等三角形，这样就可进行等积转化，再结合30角的百角三角形求解即可.解.DCBC.二ZBCD=9Q:.VZACB=120.：.NACD=30。.如图.延长CD到点H,使得DH-CD.YD为AB的中点.AD=BD.在4.DH与ABCD中，CD=HD1ADH=ZBDC1AD=BD,ADHBDC(SAS).H=BC=4.ZH=ZBCD=90o.：ZACH=30o,CH=GAH=43.CD=23.Sbc=2Sff0=2I42

24、v=83.故答案为86.精选练习1.如图.在菱形人8(：口中.八8=2./8是说角人工_1.11(：于点E.M是AH的中点.连接MD.ME.若NEMD=W)。.则Co$2.如图.在平行四边形ABCD中CD-2AD.BE1.AD于点E.F为DC的中点.连接EF.BF、下列结论:/ABC=2AHF:EF=BF:SQjfiJgDEBC=2SEFB:NCFE=3NDEF.其中正确结论的个数JW().AJ个B.2个C.3个D.4个模型三斜边有中点，作斜边中线场景:如图.在RABC中、D为斜边AB的中点.作辅助线方法：如图，连接CD.结论:CD=AD=BD.AADC和4BDC都是等腰三角形.D.=O拓展:

25、如图.在RtABC.AB=2AC.作辅助线方法：作斜边AB的中线CD.结论:(DAD-BD-CD-ACtAACD为等边三角形;(2)NB=30o.应用：在直角三角形中，有斜边中点时，常作斜边的中线；有斜边的倍分关系线段时，也常常作斜边的中线，斜边中线经常和作中位线一起结合起来应用.精选伤!三例如图.在AABC中.D是AB边上的中点点M在AABC的内部且1.MAC=NAf3C.过点M作ME1BC.MF!AC垂足分别为点EE连接DE.DF.则笠=解析可以取AM的中点G1BM的中点H,连接DG,GF,DH,DE,然后利用三角形的中位线和直角三角形斜边的中线进行解题.证明如圉取AM.BM的中点GH连接

26、GF.GD.HD.DE.VME1BeMF1.AC,；.CAFM和ABEM是百角三角形.GF=AM.EH=BM.DH=AM.GD=WMADH=GF1GD=EH./FAM=/AFG=ZHBE=ZHEB,FGM=EHM(三角形儆卜角).VDHAM.GD,BM.,.GAD=HDB,/GDA=HBX同位角卜二/MGD：/MHD(外角,ZFGD-ZDHE.三FGDffiDHE中.FG=DH.EFGD=ZD/E,GD=HE,FGDDHE.DF=DE.精选练习如图在ABC中,NB=5BMCANCCNDCME:(2旌接MN.则MNZ/BD;(3)连接OC,8!AD=OE+OC+OA.应用：当满足上述条件而没有连

27、接相应线段时，可考虑连接相关线段，这样可得到全等三角形，再利用其中的等量关系解决其他问地.模型1-2物手“全等模型等腰三角形场景:如图4OAB.ODC是等腰三角形./AOB=NCOD-a.作辅助线方法：连接AC,BD.结论:(1)AOAC5OBD:(2)AC=BD;ACBD(或它们的延长线)交于点E,则直线AC和BD所成的锐角为。,如SZAEBf；（4）连接OEQE平分/AED（此条结论随着AOAB.ODC的位置变化会有所变化.但是仍有平分关系的存在）.应用：当满足上述条件而没有连接相应线段时，可考虑连接相关线段，这样可得到全等三角形，再利用反中的等量关系解决其他问遂.精选分蝴例（2019滨州

28、）如图.在AOAB和AOCD中.OA=OB.OC=OD.OAOC.NAOB=NCOD=Mr.连接AC.BD交于点M，连接OM,下列结论:AC=BD;NAMB口0;。M平分/BOCM。平分/BMC其中正嘀论的个数为（）.A.4个B.3个C.2个D.I个解析由OA=OBQC=OD2AOB=NCOD口0。可知,完全符合,手拉手”全等模型的条件,即就是模型的结论.解.ZAOB=ZCOD.NAOC=NBOd.又VOA=OB.OC=OD.AOCBOD.AC=BD,故正确；VAOCBOD.ZMaO=ZMBO.如图.设OA与BD相交于点N.又；ZANM=ZBNO.NAMB=NAoB=40。.故正确；如图，过点

29、O分别作AC和BD的垂线，垂足分别是点E.F.ZSAOCSBODCBD.OE=OF.MO平分ZBMc故正确；在AAOC.VOAXX?.：./ACOZOAC.VAOCBOD,.ZOAC=ZOBd.：.NACONOBM.在AOCM和AOBM中,NMCOOBM,/OMC=/OMB.，.COMBOM,故错误.所以正确.故选B.精选练习1.如因AABC是。的内接正三角形,点0是圆心.点D.E分别在边AC,B上若DA=EB,则/DOE的度数是CaD.180o-a第2题图2如圉格AABC烧点A联时针旋转角见得到ADE.若煮E恰好在CB的延长线上则/BED等于（）.3.（如图.等边三角形ABC的边长为4.点。

30、是/13C的中心，1.FOG=120。,绕点O旋转/FOG.分别交线段AB.HC于D.E两点J三接DE给出下列四个结论:OD=OE:SAOoE=Sboe;；四边形ODBE的面积始终等于竽;:ZSBDE周长的最小值为6.上述结论中正确的个数是I）.A1.C.3模型二旋转MT场景:如图.在正ABC中、P为4ABC内一点.作辅助线方法：将AABP绕点A按逆时针方向旋转60,使得AB和AC更合.经过这样旋转变化，将图中的PA,PB,PC三条线段集中于图中的APCP中.这样就改变了线段AP的方向而没改变长度.结论必FAP为等边三角形.拓展I：如图，在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点作辅助线方法

31、：将乙ABP绕点B面蒯料方向旋转90。,使得BA和BC重合.经过这样旋转变化，将图中的PA1PB,PC三条线段集中于图中的fPCP中，这样就改变了线段BP的方向和长度.结论：P8P为等腰百角三角形，PPWbp.拓展2：如果把PB旋转120。，则改变PB的方向，同时可以把PB变为原来的5倍.精选伤蝴例1.如图.正方形ABCD的边长为4.E为BC边上一点目BE=Ir为AB边上的一个动点，连接EF,以EF为边向右恻昨等边EFG,连接CG,则CG的最小值为一.解析求CG的最小值，关键在于确定点G的运动轨迹,EFG是等边三角形，EF=EG,NFEG=60,可以把点G看成ABEF绕点E皎时针旋转6（后点F

32、的对应点，这样由点F的运动路径是线段得到点G的运动路径也是百线，求CG的最小值就转化为求点到直线的最小值问题.解由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在战段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动.将AEFB绕点E旋转601使EF与EG歪合.得到AEFB丝AEHG.从而可知4EBH为等边三角形.点G在垂直于HE的巨践HN上.1如图作CM_1.HN.则CM即为CG的最小值作EP1CM,可知四边形HEPM为矩形.则CM=MP+CP=HE+C=1+1=故答案为条例2.如图,P为等边三角形.BC内的一点，且点P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,45则4ABC的面积C.18+2538.9+竽0.18+挈为（）.题目中给出了共顶点的三条线段的长度，可以发现3,4,5为勾股数，则考虑把这三边迁移到同一个三角形中，浪据旋转60不改变长度，但是可以改变线段的方向，可以!腺中的一个小三角形旋转60来解答.PE=PB=4.ZBPE=600.在AAEP,AE=5,AP=3.PE=4.AE2=PE2+PA2.APE为直角三角形.且NAPE=90。.ZAPB=90+-O.S!SABP+Sbpc=