圆锥曲线综合训练题分专题含答案.doc
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1、圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程:1、1双曲线与椭圆:有公共的焦点,并且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为,求双曲线的方程2以抛物线上的点M与定点为端点的线段MA的中点为P,求P点的轨迹方程1解:的焦点坐标为由得设双曲线的方程为则 解得 双曲线的方程为2解:设点,则,代入得:此即为点P的轨迹方程2、1的底边,和两边上中线长之和为30,建立适当的坐标系求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹2ABC中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程解: 1以所在的直线为轴,中点为原点建立直角坐标系设点坐标为,由,知点的轨迹是以、为焦点的椭圆,且除去轴上两点因,有,故其方程
2、为设,则 由题意有代入,得的轨迹方程为,其轨迹是椭圆除去轴上两点2分析:由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式,两边乘以2RR为外接圆半径,可转化为边长的关系解:sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=2RsinA即 *点A的轨迹为双曲线的右支去掉顶点2a=6,2c=10a=3, c=5, b=4所求轨迹方程为 *3点评:要注意利用定义直接解题,这里由*式直接用定义说明了轨迹双曲线右支3、如图,两束光线从点M-4,1分别射向直线y= -2上两点P*1,y1和Q*2,y2后,反射光线恰好通过椭圆C:ab0的两焦点,椭圆的离心率为,且*2-*1=,求椭圆C的方程.解:
3、设a=2k,c=k,k0,则b=k,其椭圆的方程为. 由题设条件得:, , *2-*1=, 由、解得:k=1,*1=,*2=-1,所求椭圆C的方程为.4、在面积为1的中,建立适当的坐标系,求出以、为焦点且过点的椭圆方程所求椭圆方程为解:以的中点为原点,所在直线为轴建立直角坐标系,设则即得5、点P是圆*2+y2=4上一个动点,定点Q的坐标为4,01求线段PQ的中点的轨迹方程;2设POQ的平分线交PQ于点RO为原点,求点R的轨迹方程解:1设线段PQ的中点坐标为M*,y,由Q4,0可得点P2*-4,2y,代入圆的方程*2+y2=4可得2*-42+2y2=4,整理可得所求轨迹为*-22+y2=1. 2
4、设点R*,y,Pm,n,由|OP|=2,|OQ|=4,由角平分线性质可得=,又点R在线段PQ上,|PR|=|RQ|,点R分有向线段PQ的比为,由定比分点坐标公式可得,即,点P的坐标为,代入圆的方程*2+y2=4可得, 即+y2=y0. 点R的轨迹方程为+y2=y0.6、动圆过定点,且与直线相切.(1) 求动圆的圆心轨迹的方程;(2) 是否存在直线,使过点0,1,并与轨迹交于两点,且满足.假设存在,求出直线的方程;假设不存在,说明理由.解:1如图,设为动圆圆心, ,过点作直线的垂线,垂足为,由题意知:, 即动点到定点与定直线的距离相等,由抛物线的定义知,点的轨迹为抛物线,其中为焦点,为准线, 动
5、点的轨迹方程为2由题可设直线的方程为,由得 ,设,则, 由,即 ,于是,即,解得或舍去,又, 直线存在,其方程为7、设双曲线的两个焦点分别为,离心率为2.I求此双曲线的渐近线的方程;II假设A、B分别为上的点,且,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;III过点能否作出直线,使与双曲线交于P、Q两点,且.假设存在,求出直线的方程;假设不存在,说明理由.解:I,渐近线方程为4分 II设,AB的中点 则M的轨迹是中心在原点,焦点在*轴上,长轴长为,短轴长为的椭圆.9分 III假设存在满足条件的直线 设由iii得 k不存在,即不存在满足条件的直线.8、设M是椭圆上的一点,P、Q、T分别
6、为M关于y轴、原点、*轴的对称点,N为椭圆C上异于M的另一点,且MNMQ,QN与PT的交点为E,当M沿椭圆C运动时,求动点E的轨迹方程解:设点的坐标则1分3分 由12可得6分又MNMQ,所以直线QN的方程为,又直线PT的方程为从而得所以代入1可得此即为所求的轨迹方程.9、:直线L过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在*轴正半轴上。假设点A-1,0和点B0,8关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程分析:曲线的形状,可以用待定系数法设出它们的方程,L:y=k*(k0),C:y2=2p*(p0).设A、B关于L的对称点分别为A/、B/,则利用对称性可求得它们的坐标分别为:A/,B/。因为A
7、/、B/均在抛物线上,代入,消去p,得:k2-k-1=0.解得:k=,p=.所以直线L的方程为:y=*,抛物线C的方程为y2=*.10、椭圆的左、右焦点分别是F1c,0、F2c,0,Q是椭圆外的动点,满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足设为点P的横坐标,证明;求点T的轨迹C的方程;试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使F1MF2的面积S=假设存在,求F1MF2的正切值;假设不存在,请说明理由.证法一:设点P的坐标为由P在椭圆上,得由,所以 3分证法二:设点P的坐标为记则由证法三:设点P的坐标为椭圆的左准线方程为由椭圆第二定义得,即由,所以3分解法一:设点T的坐标为
8、当时,点,0和点,0在轨迹上.当|时,由,得.又,所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中,所以有综上所述,点T的轨迹C的方程是7分解法二:设点T的坐标为 当时,点,0和点,0在轨迹上.当|时,由,得.又,所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为,则因此 由得 将代入,可得综上所述,点T的轨迹C的方程是7分 解法一:C上存在点M使S=的充要条件是由得,由得 所以,当时,存在点M,使S=;当时,不存在满足条件的点M.11分当时,由,得解法二:C上存在点M使S=的充要条件是由得 上式代入得于是,当时,存在点M,使S=;当时,不存在满足条件的点M.11分当时,记,由知,所以14分11、设抛物线的焦
9、点为F,动点P在直线上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.1求APB的重心G的轨迹方程;2证明PFA=PFB.解:1设切点A、B坐标分别为,切线AP的方程为: 切线BP的方程为:解得P点的坐标为:所以APB的重心G的坐标为 ,所以,由点P在直线l上运动,从而得到重心G的轨迹方程为: 2方法1:因为由于P点在抛物线外,则同理有AFP=PFB.方法2:当所以P点坐标为,则P点到直线AF的距离为:即所以P点到直线BF的距离为:所以d1=d2,即得AFP=PFB.当时,直线AF的方程:直线BF的方程:所以P点到直线AF的距离为:,同理可得到P点到直线BF的距离,
10、因此由d1=d2,可得到AFP=PFB.二、中点弦问题:12、椭圆,1求过点且被平分的弦所在直线的方程;2求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;3过引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;4椭圆上有两点、,为原点,且有直线、斜率满足,求线段中点的轨迹方程分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法解:设弦两端点分别为,线段的中点,则得由题意知,则上式两端同除以,有,将代入得1将,代入,得,故所求直线方程为: 将代入椭圆方程得,符合题意,为所求2将代入得所求轨迹方程为: 椭圆局部3将代入得所求轨迹方程为: 椭圆局部4由得 : , , 将平方并整理得, , , 将代入得: , 再将代入
11、式得: , 即 此即为所求轨迹方程当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决13、椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且求椭圆C的方程;假设直线l过圆*2+y2+4*-2y=0的圆心M,交椭圆C于两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程.解法一:()因为点P在椭圆C上,所以,a=3.在RtPF1F2中,故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2c2=4,所以椭圆C的方程为1.()设A,B的坐标分别为*1,y1、*2,y2. 由圆的方程为*+22+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为2,1. 从而可设直线l的方程为 y=k(*+2)+1, 代入椭圆C的方程得 4+9k2*2+(36k
12、2+18k)*+36k2+36k27=0. 因为A,B关于点M对称.所以 解得,所以直线l的方程为 即8*-9y+25=0. (经检验,符合题意)解法二:()同解法一.()圆的方程为*+22+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为2,1. 设A,B的坐标分别为*1,y1,(*2,y2).由题意*1*2且-得因为A、B关于点M对称,所以*1+ *2=4, y1+ y2=2,代入得,即直线l的斜率为,所以直线l的方程为y1*+2,即8*9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意.14、椭圆的一个焦点,对应的准线方程为.1求椭圆的方程;2直线l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰被点 平分,求直
13、线l 的方程.解:1由得即椭圆的方程为2易知直线l的斜率一定存在,设l:设M*1, y1,N*2, y2,由 得*1、*2为上述方程的两根,则 MN的中点为, ,解得k=3.代入中,直线l:y=3*+3符合要求.15、设分别是椭圆C:的左右焦点,(1)设椭圆C上的点到两点距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;(2)设K是1中所得椭圆上的动点,求线段的中点B的轨迹方程;(3)设点P是椭圆C 上的任意一点,过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点,当直线PM ,PN的斜率都存在,并记为 试探究的值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论.解:1由于点在椭圆上,2=4, 椭圆C的方程为 焦点坐标分别
14、为-1,0 ,1,02设的中点为B*, y则点 把K的坐标代入椭圆中得线段的中点B的轨迹方程为3过原点的直线L与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称 设,得=故:的值与点P的位置无关,同时与直线L无关16、椭圆的一个焦点为 ,对应的准线为,离心率满足成等比数列求椭圆的方程;是否存在直线,使与椭圆交于不同的两点,且线段恰好被直线平分.假设存在,求出直线的倾斜角的取值围;假设不存在,说明理由解 : ()由题意知,所以设椭圆上任意一点的坐标为,则由椭圆的第二定义得,化简得,故所求椭圆方程为 设,中点,依题意有,可得假设直线存在,则点必在椭圆,故,解得将代入椭圆方程,有得,故, 所以,则有,解得,故存
15、在直线满足条件,其倾斜角三、定义与最值:17、F是椭圆的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点1求的最小值,并求点P的坐标;2求的最大值和最小值解:(1)由椭圆的第二定义转化知的最小值是,此时P;(2)依题意,由椭圆的第二定义知18、设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,假设P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;求的最大值和最小值解:易知,所以设P*, y,则因为,故当*=0,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值-2.当,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值1.19、假设双曲线过点,其渐近线方程为.I求双曲线的方程;II,,在双曲线上求一点,使的值最小解:II,最小值为20、以椭圆的焦点
16、为焦点,过直线上一点作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点应在何处.并求出此时的椭圆方程分析:椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,此题实际上就是要在直线上找一点,使该点到直线同侧的两点即两焦点的距离之和最小,只须利用对称就可解决解:如下列图,椭圆的焦点为,点关于直线的对称点的坐标为9,6,直线的方程为解方程组得交点的坐标为5,4此时最小所求椭圆的长轴:,又,因此,所求椭圆的方程为21、动点P与双曲线=1的两个焦点F1、F2的距离之和为6求动点P的轨迹C的方程;假设=3,求PF1F2的面积;假设D(0,3),M、N在轨迹C上且=l,数l的取值围解:+=1;2;,522、 、是椭圆的左、右焦点,是椭圆
17、的右准线,点,过点的直线交椭圆于、两点.1当时,求的面积;2当时,求的大小;3求的最大值解:12因,则3设,当时,23、定点、,动点满足:.1求动点的轨迹方程,并说明方程表示的图形;2当时,求的最大值和最小值解:(1)设动点的坐标为,则,.,即 .假设,则方程为,表示过点且平行于轴的直线.假设,则方程为,表示以为圆心,以为半径的圆.(2)当时,方程化为.又, 令,则当时,的最大值为,当时,最小值为.24、点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆C上,且位于*轴上方, 1求椭圆C的的方程;2求点P的坐标;3设M是椭圆长轴AB上的一点,
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