2024年二轮复习专题5-抽象函数的奇偶性周期性对称性.docx

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1、2024年二轮复习专题5抽象函数的周期性与对称性学问点梳理一、抽象函数的对称性定理1.若除数y=八处定义域为R.旦满意条件：f(a+x)=f(b-x),则函数y=/(x)的图象关于直线*=女对徐。2推论1.若函数y=/CO定义域为R,且满意条件：/(+x)=(-x),则函数)，=/*)的图像关于I1.战x=0对称。推论2,若函数y=(x)定义域为K,且满意条件：/(.V)=/(2-x),则函数y=/(x)的图像关于I1.线*=对称。总结：X的系数一个为1,一个为1,相加除以2,可将对称轴方程推论3.若函数y=(x)定义域为/?且满意条件：f(a+x)=f(a-x),又若方程/(x)=O有个根.

2、则此个根的和为”.定理2.若函数y=(x)定义域为K.且满意条件：/(+x)+/S-X)=Cc为常数).则函数y=(x)的图象关于点(审令对称.推论1.若函数.y=/(x)定义域为R旦满意条件：/(+x)+/仍-X)=O成立.则.y=()的图关于点(胃,0)对称.推论2.若函数.y=八的定义域为R.且满意条件：/(+x)+(-x)=0(。为常数),则函数.y=(x)的图象关于点(4()对称.总结；X的不数一个为1,一个为1,f(x)整理成两边，其中一个的不数是为1,另一个为1,存在对称中心.定理3.W函数y=f(x)定义域为R,则函数y=/(+x)与)，=/(一用两函数的图象关于直工=匕六对称

3、(由a+x=b-x可得).推论1.函数y=(x-)与函数.v=f(.6的图象关于H城X=”对称,推论2.My=3+x)与函数y=/SX)的图象关于H城x=。时称。定理4.若函数y=f(x)定义域为/?，则函数y=(+)与y=c-/S-X)的图象关于点(等,)对称.推论.函数,=/(+A)与函数y=-Nb-X)图象关于点(F,0)对称.二、抽象函数的同期性定理5.若函数y=(x)定义域为/?，且满意条件/(+x)=(x-6),则y=(x)是以7=+为周期的冏期函数.推论1若函数.y=/(X)定义域为K且满意条件/(+x)=-(x-,)则y=/(x)是以7=2(+份为同期的周期函数.推论2.若函数

4、满意条件f(x+o)I7,则，=/(X)是以丁=%为冏期的周期函数.推论3.若函数满意条件/(1+a)=上44,(-v)则y=/(K)是以丁=4a为周期的周期函数。定理7.若函数y=f(x)的图效关于真浅*=a与=b(a)对称,则y=()是以r=2S-)为周期的周期函数.定理&若函数y=(x)的图象关于点(40)与点S,O)Sh勿对称，则y=f(x)是以7=2S-)为周期的周期函数.定理9.若函数y=f()的图象关于真线X=与点(.O)(勿，则y=/(.r)是以7=4(b-a)为周期的周期函数.总结：X的系数同为为1.具有周期性.例题讲解：题型一、抽象函数的对称轴1、若函数/(x)=F+x+c

5、时一切实数都有r(2+x)=f(2-X)则()A.f2)f(1)f(4)B.f(1.)f(2)f(4)C,f(2)f(4)D.f(4)f(2)f(1.)2、设函数y=f(x)定义在实数集R上，则函数y=f(x-1.)与y-f(1.-)的图象关于()对称。A.宜线y=OB.直线x=0C.直线y=1.1).直线x=1.题型:、抽象函数的对称中心K已知定义为R的函数f(x)满意f(-x)=-f(x+4)且函数f(x)在区间(2.+8)上单调递地.假如、2乂2,且x+x2.恒小于0B.ig大于0C.可能为0D.可正可负2、函数=f(x)毡定义在实数集R上的函数.那么y=-f(x+4)与y=r(6X)的

6、图象之间(I)A.关于直战=5对称B.关于且战X=I对称C.关于点0)对称D.关于点(1,0)对称题型三、抽象函数的周期性1、f()是定义在R上的儡函数,图象关于=1.对称.证明f()是周期函数.2、谀f(x)是定义在R上的函数.A偶函敷，又是周期函数C.奇函数,又是周期南救且满意f(1.+x)=f(1.-x),f(20-x)=-f(20+x),则f(x)是()B.偶用数，但不是冏期函数D.奇函数，但不是周期函数课后作业：姓名，班级座号k换题2、定义在R上的特别致函数满意：f(10x)为偶函数,且f(5-)-f(5x),则fW1定是()A.是信函数，也是周期函数B.是偶函数.但不是冏期函数。.

7、是奇函数，也是周期函数D.是奇函数，但不是周期函数3、已知函数/(X)是定义在实数集斤上的不恒为零的偶函数,且对的总实数xMR*+D=(+x)(Y),则/(7()的值是(.0B.-C.1D.-224、已知/(x)=jr工(x)=/，(*)，(*)=ZW.-Am(*)=(*).W1.Ao.(-2)三).II3A.-B.-C.-D.35、ABCD-A与GR是单位长方体,缥白二蚁都从点R动体沿极向前度行，旬走一条极林为“走完一段二白蚊爬行的路途是AA1.D,T.黑蚊爬行的路途是八88与T.它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段所在直城与第i段所在直线必需是异面自线(其中icN).设组白二蚊走完第19

8、90段后,各停止在正方体的某个顶点处.这时黑白蚁的距离是()A.1B.2C.3D.06、在数列xj中，已知芭=.q=I,X/2=x.1-X(wNa),则Ng=7、F=f()定义域为R，且对随JeXWR都有x+)=若/(2)=I-S则f(2009)=8、己知f(x)是R上的偶函数，对XWR都有f(x+6)=f(x)+f成立,若J(I)=2,则f(2024)=9、函数/Cr)在R上有定义，旦满意/(6是照函数，且/(0)=2(X)5,8(x)=f(1)是数函数，则/(2005)的值为10,设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1.+x)=f(1.-).当一I=SxSO时,f(X)=-x,则f(8.

9、6)=211、设/*)是定义在区间(-8,+8)上且以2为周期的函数.对JteZ.用/,表示区间(24-1.,2G+1.),已知当Xw/1)时，”.r)=./.求/(X)在I1上的解析式.参考答案：题型一、抽象函数的对称轴I、若函数/(x)=.+Zu+c时一切实数都有r(2+x)=f(2-X)则().f(2)f(IXf(4)B.f(1.)f(2)f(4)C.f(2)fD.f(4)f(2)f(1.)答案：A.2、设函数y=f(X)定义在实数集R上，则函数y=f(x-1.)与y=f(1.-x)的图象关于()对称.A.总线y=0B.自然x=0C.直线y=1.D.直线X=I答案：).由-=-=典型二、

10、抽象函数的对称中心1,已知定义为R的函数f(x)湎意f(-x)=-f(x+4),且函数f(x)在区间(2.+s)上单调递增.假如x2x?,ftx+x2A.忸小于0B.忸大于0C.可能为C1.D,可正可负答案A。分析，图象关于点(2,0)对称./(x)在区间(2,+8)上单调递增，在区间(一02)上也单调递墙我们可以利波函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.2*24-/，且函数在(2,+8)上单调递增，所以/(xJV/(4-XJ又由/(-x)=-/(x+4O./(4-X1)=/-(x1-4)=/(x1.-4+4)=-(x,)./GJ+/3)0=f(x0)=f(2+x0),所以函数y=f(X)的周

11、期为2。2、谀f(x)是定义在R上的函数.只满意f(1.O+x)=f(IO-x),f(20-x)=-f(20+x),则f(x)是()A.偶函数,又是周期函数B.偶函数但不是周期函数C,奇函数，又是周期函数D.奇函数，但不是周期函数答案：1、换题2、定义在R上的特别致函数满意：A是偶函数，也是周期函数C是奇函数,也是周期函数答案：a.解：.wao+x)为偶函数,是以1。为其一个周期的周期函数，课后作业，姓名，班级座号f(10+x)为偶函数，且f(5-)=f(5+*),则r(X)肯定是()B,是供函数，但不是周期函数D.是奇函数.但不是周期函数f(10+x)=f-x).f(x)有两条对称轴X=5与

12、X=K),因此f(x)Ax=Q即，轴也是f)的对称轴，因此f(X)还是一个例函数.3,已知函数，X)是定义在实数集R匕的不怛为零的偶响数，且时随意实数K都有=+则/(/(3)的值是(C.1A.0答案：A,解析；令x=-q,则-3/(5)=5/(-2)=3/(3)=/(5)=0;令X=0,则f(O)=On(+1)=(I+x)ft)wZ1.1.JI=Z1.,构造函数尸(X)=组1,由，_2,所以IXXJ.1.+222A.-B.-C.-775答案：a。分析：由/(*)=；,ZU)=-I-3x3x+14、已知/(X)=胃,ZW=WW=ZW-AhW=0*WAm(-2)=1VD.3A(X)=/(Wi1.=

13、.W=W人幻为迭代周期函数，故A,。)=/。)，三(-)=WAxm(-2)=/(-2)=-.5、ABCP-A4GQ是单位长方体，擦白：我都从点A动身，沿梭向前爬行，好走一条校称为“走完一段”.白蚊爬行的路途是ATAAT,黑蚁爬行的路途是八8T.它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段所在IX战与第i段所在直戌必需是异面口战(其中iwN).设果白.蚊走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距禹是()A.1B.2C.3D.0答案：B.解：依条件列出白蚁的路途A-AD1.C1.TCCTC8T/3TA1.T，马上UJ以发觉白蚁走完六段后又回到了A点.可验证如：黑白：蚁走完六段后必回到

14、起点，可以推断好六段是一个周期.1990=6x331+4,因此原何题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置,不雄计算出在走完四段后黑蚊在D1.点，白蚊在C点,故所求距离是应6在数列X，中，已知M=毛=I，X2=XA1.-怎(CN*),则.w=答案：-1。7、y=x)定义域为R,对K1.意XeR都有/(x+F若/(2)=I-E则f(2009)=_I一XJ答案：o8、己知f(x)是R上的偶函数，对XCR都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，若f(1)=2,则f(202力=答案：2.9、函数/(X)在R上有定义，口满通f)是隅函数.H(O)=2OO5,g(x)=f(X-I)是奇函数.则/(2005

15、)的值为答案：。.函数关于(-1，。)和x=0对称,周期为4f(2OO5)=f(1.)=-f(-1.)=O.io,设f()是定义在R上的偶函数，fir+x)=r0-x),当一IWXWO时,fG)=一f(8.6)=2解；.f(x)是定义在R上的偶函数.=0是y=f(x)对称轴：又.f(1.,X)=f(1.-)x=1也是y=f(x)对称轴.y-f(x)是以2为周期的周期函数，(8.6)=f(8*0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.311,设/*)是定义在区间(-9,+8)上且以2为周期的函数，对AgZ,用/,表示区间(2*-1.2欠+1),己知当Xe。时，f()=/.求/(x)在I1上的解析式.解：设X(24-1,2火+1),;.2A-1x-1.x-2A1,VGI0时.有/()=A-2,.由-1X21神“X-2Q=(X-2*-,(x)是以2为周期的函如.J(x-2)=/(XQ./(X)=(X-2幻2.