2024年相似三角形-基本知识点 经典例题完美打印版.docx

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1、相似三角形知识点与经典题型知识点1有关相似形的概念（I）形状相似的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简朴的是相似角形.（2）假如两个边数招似的多边形的对应角相等，对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比（.相似系数）.知识点2比例线段的有关概念假如选用同一单位从得两条线段。力的长度分别为4,那么就说这两条爱段的比是二=%,或写b”成。：方=】：”.注：在求线段比时,城段单位要统一。2）在四条战段亿b.c.d中,假如，和A的比等于。和d的比,那么这四条段段.cM叫做成比例戏段，简称比例线段.注:比例纹段是行次序的.假如说。是反c,d的第四比例慎那么前油比例式为

2、：2=旦.ca在比例式g=（5b=ctJ）.a,d叫比例外项,b,C叫比例内琪a、C叫比例曲项,b,d叫比例后bd项,d叫第四比例项,假如b-c,即0b=b：4那么b叫做d的比例中项,此时有护=W.8。，且使A。是AB和8。的比例中项,即AC2=AZT8C,叫做把莲段八8黄金分割，点C叫做规段A3的黄金分割点，其中AC=S=18%20.618.即生=史=立二1简记为：/=空=五二1ABAC2全长2注：黄金三用形：璐角是36的等腰三角形.黄金走形：宽与长的比等干黄金数的走形知识点3比例的性质（注意性立的条件,分母不能为0（1）基本性质:1.1“：=：/nd=x,s(ib=h.cb=,c-注：由种

3、比例式只可化成种等积式，而,种等积式共可化成八个比例式，如。=灰、除了可化为。：=c:，还可化为a:c=：d,ctd=a:b.h:t1.=a:c,b:a=d:c,c,.a=d.b,d：c=b:a.d:b=cta.g=2乂交换内项）cd更比性侦（互换比例的内j或外项）：交换外项）bdha=2（同时交换内外项）ca 3）反比性质（把比的前项、后项互换）；-=-O-=-.bdaCzj.八1.a.aCabcd合、分比性质：-=-；=.bdbd注:实际上,比例的合比性质可扩展为3比例式中等号左右两个比的IW项,后项之间发生同样和基变化比例仍成立.h=nb-a_d-cuc等等.a-b_c-da+bc+d,

4、八a,ZYn,-cemzi.,小,+c+e+Ma5等比性质：假如一=（b+d+/+m0）.那么=.bdfnh+d+f+nb注：此性质的证明运用了“设火法”（即羽入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种指施是有关比例计算变形中一种常用措施.应用等比性质时,要考虑到分母与否为零.可运用分式性质骼连等式的每一种比的前项与后项同方乘以一种数，再运用等比性质也成立.如：aceu-2c3ea-2c+3ea.,._=-=si1.b-2d+3/0.bdfb-Id3/b-2d+3fhJ纹段也相等.知识点5相似三角形的概念对应角相等,对应边成比例的三角形.叫做相似三角形.相似用符号“S”表达.读作“相似于”,

5、相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）.相似三角形对应角相等,对应边成比例.注：时应性：即两个三角形相似时，一定要把表达对应顶点的字母号在对应位置上，这样写比较轻易找到相似三角形的对陶角和对应边.次序性：相似三角形的相似比是有次序的.两个一:附形形状同样，但大小不一定同样.全等一:角形跄相似比为I的相似三两形.两者的区别在于全等现定对应边相等，而相似规定对应边成比例.知火点6三角形相似的等价关系与三角形相似的鉴定定理的颈备定理（D相似（角形的等价关系:反号性：对于任一AABC有A8CsAA8C.对称性：ARCM,HC.则8CSAA8C.传递性：若MBCsa3U，HA48CsAACW1A4

6、3Csa43U2三角形相似的鉴定定埋的按备定理：平行于三角形边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.定理的基本图形：E-DABC.知识点7三角形相似的鉴定措施1、定义法：三个对应用相等，：.条对应边成比例的两个：用形相似.2、平行法：平行于三角形一边的I1.线和其他两边(或两边的廷长战)相交，所构成的三角形与原三角形相似.3、鉴定定理I：假如一种三角形的两个角与另一种三角形的两个角对应相等.那么这两个三角形相似.简述为：两角对应相等,两三角形相似.1.鉴定定理2：假如一种三角形的两条边与另一种三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等.那么这两个三角形相似,初述为：两

7、边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.5、鉴定定埋3：假如一种：角形的：.条边与先一种.角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两三角形相似.6、鳌定直角三角形相似的措(D以上多种鉴定均合用.2)假如一种豆角-：角形的斜边和条直角边与另种且角三角形的斜边和一条直角边时应成比例，那么这两个直角三角形相似.(3)宜角：角形被斜边上的而提成的两个直角三角形与原三角形相似.注：射影定理：在直角，.角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的呼I中项.每一条直角边是这条口角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图，RtBC.NBAC=90.AD是斜边BC上的?,则ADtBDDC

8、,AB-=BDBC,AC2=CDBC.知识点8相似三角形常见的图形平行室AA1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形，如图：称为“平行线型”的相似；.角形（有“A型”与“X型”图）（2）如图：其中N如N2,则AADEs2abc称为“斜交型”的相似三角形.（有“反A共角型”、“反A共用共边型”、“媒型”3）如图：称为“垂直鞭”（有“双垂直扶角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型三垂H型”）HC1.O1.(4)如图:Z1=Z2,NB=ND.则AADEsAABC,林为“旋转型”的相似三角形.2、几片著本图形的详蜴应用I(1若DG/7BC(A型和X型)则AADEs4BC2)射影定埋若CD为R

9、taABC斜边上的1.(双直角图形KR1.ABC三角形相似相似卷定的预备定理两角对应相等两边对应成比例，旦夹角相等三边对应成比例直角三角形中斜边与一直角边对应成比例知识点10相似三角形的性质(1)相似三角形时应角相等,对应边成比例.相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角,F分线的比都等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于相似比.“)相似三角形面积的比等于相似比的平方.注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等.也可用来计算周长、边长等.知识点11相似三角形中有关证()。律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用措Xh(1)线段成比例的定义2三角形M1.似的预备定理(3)运用相似三角形

10、的性质(4)运用中向比等量代换(5)运用面积关系2、证明融常用措*归纳，(1)总体思绪：“等积”变“比例”，”比例”找“相似”(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母,并且这几种字母不在同一条出线上,可以构成三角形.并且有也许是相似的.则可证明这两个三角形相似,然后也相似:角形对应边成比例即可证的所衢的结论.3)找中间比：若没有三角形(即横向石或板向寻找的时候，共有四个字母或在三个字母，但这几科字母在同一条巴线上)，则需要进行“转移”(或“替代”)，常用的“替代”措施有这样的三种:等线段代换、等比代换、等积代.即:找相似找不到，找中间比,措施

11、；将等式左右两边的比表达出来。AB=85m管：河变为85m.总结升华I方案2运用了“X”鞭荔本图形，实际上测量河宽有诸多措施，可以用A”型基本图账,借助相似：也可用等腰三角形等等.举一反三【变式I】如图：小明欲测ht一座古塔的曲度,他站在该塔的影子上前后移动，直到他自身影子的顶端恰好与塔的影子的顶鼎立在，此时他距离该塔18m,已知小明的分高是1.6m,他的影长是2m(I)图中Aabc与Aade与否相似?为何?(2)求古塔的高度.M(I)ABCADE.VBC1AEDE1.AEAzacb-ZAED=WoVZA=ZA.Zsabcszsade(2)B1(1)IABCADE丝=些：.aedbVAC=2m

12、.AE=2+I8=2m,BC=1.6mZJBi1.2o-d5DE=16n答，古塔的高度为16m.【变式2已知；如图，阳光通过窗I1.照时到邕内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区边到窗下的墙脚距禹CE=1.2m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC?思缗点拨，光线AD/BE.作EF_1.DC交AD于E则AOEFSAC3,运用边的比例关系求出BCMi作EF_1.DC交AD于F.由干ADBE.因此/仪宏=N8EC又用于NDM=NECB=90.DE_EF因此DEFsaEC8,因此於乐.由于ABEF.AD/7BE,因此四边形ABEF是平行四边形.因此EF=AB=1.8m.eEFEC1.8

13、1.2一,CB三144因此DE15m.类型五、相似三角形的周长与面积8.已知：如图，在aABC与aCAD中，DABC.CD与AB相交于E点，J1.AE：EB=I：2.EFBC交AC于F点，AADE的面积为1,求ZiBCE和AAEF的面积.思绪点拨I运用aADEsiBCE,以及其他有关的己知条件，可以求出aBCE的面枳.AABC的边AB上的高也是ZiBCE的高.根据AB：BE=3:2,可求出aABC的面积.最终运用AAEFsZJiABC.可求出ZXAEF的面积.解：；DA/7BC.：.DEBCE.:.SBADE:Sabce=AE2：BE2. AE:BE=I：2. SaadeS.bce=I,4.

14、：SiADE=I*S8CE=4. ：Szabc:Sabce=AB:BE=3:2.SiABt=6. EF/BC.：.AEFABC.AE：AB=I：3,SaAEF:S.ABC=AE-：AB2=I：9.62,S-AEF=9=3.总结升华，注意,同底（或等底）三角形的面枳比等于这底上的高的比：同拓（或等高）三角形的面枳比等于对应底边的比.当两个角形相似时，它们的面枳比等于对应线段比的平方，即相似比的平方.举一反三【变式I】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为I：200和I：500.求：甲地图与乙地图的同似比和面积比.解设原地块为AABC地块在甲图上为AA山G,在乙图上为AAaB2CoABCAB

15、C1A2B2C2ABIA3B）1且万一菊AB500,4_4A覆_500_5.碱二方碣=丽=5,.“3-4【变式2】如图，i-1.1.:ABCcj,B=5.BC=3,AC=4.PQAB.P点在AC上（与点A、C不重心,Q点在BCt.（I）m5PQC的面枳与四边形PBQ的面枳相等时，求CP的长;(2)P(X?的周长与四边形PABQ的周长相等时.求CP的长：(I)VSapqc=S：PARQ*S.：Sbc=I：2YPQAB,PQC6.,PQAB.PQCABCCP_CQCP_CQ_6-CPCPqCP.CACB,T-3.即：T24解得,CP=7类型六、综合探究9.如图.ABCD.ZA=90,.AB=2.A

16、1.=5.P是AD上一动点(不与A、PEBP.P为垂足,PE交DC于点E,(I)设AP=x,DE=),求y与X之间的函数关系式，并指出X的取值范困：(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形?假如能,求出AP的长;假如不能,请说明理由.4(1)VABCD.ZA+ZD=180VZA=W.ZD=90t,AZA=ZDX.；PE_1.BP,.NAPB+NDPE=90,又NAPB+NABP=90,ZABP=ZDPE.ABPDPEAB_=AP2=X:.DP-.即5Xy+-x(0x5)22-X3+-x21.欲使四边形AHED为矩形,只需DE=AB=2.即22,解得/=1勺=4.0x5,.x

17、=1=4均符合感速，故AP=I或4.总结升华，(I)求以税段长为变反的两个函数间的关系时，常常将未知我段和已知线段作为三角形的边，运用相似三角形的知识处理.(2)处理第(2)小同时要充足挖掘运动变化过程中点的特殊位置.再转化为详细的数值,通过建立方程处理，体现了数形结合的思想.10.如图.在AABC中,BC=2.Be边上的诙AD=1.P是BC上任意一点，PEAB交AC于E.PFAC交AB于F.(1)设BP=X,ZSPEF的面枳为S,求S与X的函数解析式和X的取值范围;(2)当P在BC边上什么位置时.S值报大.解：(I),BC=2,BC边上的1.AD=IABC的面枳为I,.PFAC.BFPBAC衿*(群声4Sx,QAI1.VID乙，.4同理ACEPsziCABVPE/7AB.PFAC,.四边杉PFAE为平行四边形=2fns=2Sg一工6S=-一+1.X(Ox2):.A2XX1y2.1+-=(x-1)+-4244.当X=I时，呻P点在BC边的中点时，S值最大.总结升华t建立三角形的面积与线段长之间的函数关系，可考虑从如下几方面考虑:(I)从面积公式入手:从相似.角形的性质入手；将而枳的比转化为相似比的平方:(3)从同底或等高人手，将面积比转化为底之比或高之比.