二次函数知识点汇总.docx

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1、二次函数学问点（第一讲）一、二次函数概念：1 .二次函数的概念：一般地，形如y0+fer+c（,b,0向上(O-O)y轴x0时,y随i的增大而增大：KVo时，y1.X的增大而域小：x=0时，了有奴小但00时，y随月的增大而灌小；.r0时，yRfiX的增大而增大：X=O时，F有最大值0.2. y-+0向上(0,c)y轴X0B!.y随K的增大而增大；.tO时，）曲X的增大而减小：X=O时，y有最小值c.。0时，y随i的增大而减小：XVo时，y1.X的增大而增大：X=O时，F有抽大但.3. .y=（-的性质：（左加右减）O的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0向上WO)X=h时,y1.x的增大而增大：x

2、v?时、随X的增大而减小：Ar=Zr时，y有最小值0.OVO向下()X=h.）x的增大而被小；XVzr时，）的X的增大而擀大：X=时,有最大值04. )=(x-力+A的性质:“的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0向上()X=hxBf.y1.的增大而增大；Xhf.y1.X的增大而减小：X=力时，y有址小值haHr.y1.的增大而赛小：xHr,yfifiX的增大而增大：X=/?时，），有块大值h三、二次函数图象的平移1 .平移步骤：方法一：将撤物线解析式转化成顶点式.v=（x-+h确定其顶点坐标（力，）:2）保持他物线y=的形态不变，将其顶点平移到（力.外处，详细平移方法如下：向上或向下伏），=./

3、+6+c沿轴平移：向左（右）平移，“个单位，.y=+法+c变成y=（.v+n）7+Nx+w）+c（或y=（x，-+仇x-nr）+c）四、二次函数广+大与尸”+法+c的比较从斛折式上看，y=“-/+A与y&d+加+。是两种不同的表达形式，后者通过配方可以汨到前者，即y=+;T+W三Q,其中力=_?,=如心.V2a)4a2a4五、二次函数=+版+C图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y=+x+C化为顶点式y=(x-4+A,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两恻，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与.v轴的交点(0c)、以及(0,c)关于对称轴对称的点(2.c)、与X

4、轴的交点伍.0),(看，0)(若与X轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开1.J方向，对称轴，顶点，与釉的交点，与)，轴的交点.六、二次函数门改+版+,的性质1 .当()时,地物线开口向上，对称轴为=-3顶点坐标为与】2aI24)当x-3时.)，随X的增大而增大：当x=_=时，)，有2a2a2a最小值华亘.4a2 .当0时，抛物线开口向下，对称轴为x=_=,顶点坐标为即三立.当-坦时，丫随X的增大而减小：当=-2时，有最大值始二2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：ycxivc(.bC为常数0)：2.顶点式：=O时，抛物线开口向上，。的值越大，开口

5、越小，反之。的假越小，开口越大：（2）与O的前提下，当bO时.-A0,即抛物纹对称轴在y轴的右的.2a（2）在v的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，-/0,即抛物线的对称轴在3轴右恻；当b=0时，-=0,即抛物线的对称轴就是轴：当bo时，-A0,在y轴的右侧则概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项C当c0时，抛物线与y轴的交点在X轴上方，即抛物线与）轴交点的双坐标为正；当C=O时，抛物线与.y轴的交点为坐标原点，即抛物线与），轴交点的纵坐标为0：当cx+c关于1轴对称后，科到的解析式是y=at2-x+c:y=a(x-h)2+k关于F轴对称后，得到的解析式是.=a(+4；3 .关于原点

6、对称,=ar+bx+。关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax+v-c*:ya(-/始+A关于原点对称后，得到的解析式是y-a(x+田？-Jt：4 .关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转180。)yad+加+。关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ar1-+c-；Zuy=a(x-tf+Jt关于顶点对称后，得到的解析式是y=T(x-y+&.5 .关于点(m，“)对称y=a(x-h)2+k关于点(加”)对称后，得到的解析式是y=-a(x+/t-2,”+2-A依据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的形态肯定不会发生改变，因此同恒久不变.求岫物线的对称抛物线的表达式时，可以依据虺意或便利运经的原则

7、，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式己知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称他物纹的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1 .二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与X轴交点状况）：一元二次方程加+加+c=O是二次函数y=+加+-当函数值y=O时的特殊状况.图象与K轴的交点个数：当6-4CAo时，图象与X轴交于两点八（曷，0）,8（占，0）（X1.HX“，其中的x,七是一元二次方程+版+c=0（0）的两根.这两点间的距离A8=rj=稣亚.同当A=O时，图象与X轴只有个交点：当A0时，图象落在X轴的上方，无论X为任何实数，都有3，

8、0：2,当*0时，图象落在X轴的下方，无论K为任何实数，都有y0时为例.揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物或与X轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负元二次方程有两个不相等实根=0抛物线与X轴只有一个交点二次三项式的值为非负元二次方程有两个相等的实数根的图像在第、二、三象限内，则函数y=+尻-1的图像大致是（）3.考查用待定系数法求二次函数的辄折式有关习想出现的频率很高，习胞类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条岫物线经过（0,3），（4,6）两点，对称轴为x=,求这条砂物线的解析式.4 .考查用配方法求怩物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为

9、解答胞，如：已知拊物线F=加+儿+ca0）与N轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵坐标是W（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，5 .考查代数与几何的综合实力,常见的作为专项压轴题。【例题经典】由拗物玳的位置确定系数的符号例11）二次函数V=O+Zw+的图像如图1,则点MS,与在（）aA.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限2）已知二次函数y=ax2+bx+ca0）的图象如图2所示，则下列结论：a、b同号：当x-1.和x=3时，函数值相等：4a+b-0:当y=-2时，x的值只能取O.其中正确的个数是（）【点评】弄清抛物线的位置与系数a

10、,b,c之间的关系,是解决问题的关摄.例2.已知二次函数y=axbx+c的图象与X轴交于点（-2,O）,（x.,0）,且1.x2,与y轴的正半轴的交点在点（0,2）的下方.下列结论:ab0:4aM0,其中正确结论的个数为（）AI个B.2个C3个D.4个答案:D会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：关于X的一元二次方程a+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=axbx+c的对称轴是直线x=2,则抛物筑的顶点坐标为()A(2.-3)B.(2.1)C(2.3)D.(3.2)答案：C例4、(2006年烟台市)如图(单位：m),等股三角形ABC以2米/秒的速度沿直线1.向正方形移动,直到AB

11、与COHi合.设X秒时，三角形与正方形重我部分的面积为ynr. 1)写出y与X的关系式； 2)当x=2,3.5时，y分别是多少?当重兆部分的面枳是正方形面枳的一半三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=J2+x-. 1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴. 2)若该抛物线与X轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.【点评】本题(D是对二次函数的“基本方法”的考查，第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1.)-3a的图象经过点P(4.10),交X轴干A(M.0),8(毛.0)两点U1NAC0若存在，请你求出M点的横坐标的取值范

12、围:若不存在,请你说明理由.解:如图他物线交X轴干点R(x,0).B(x2.0).则xX产30,X,.*x0,x0,V30A=OB,z=-3x.xXj=-3xi=-3.*.12=1.X0Xi=1Xj3.点A(-1.,0),P(4,10)代入解析式得解得”2b3.二次函数的解析式为y-2x-4-6.存在点M使NMCONACO.(2)解：点A关于y轴的对称点A(1,0),.宣段AC解析式为y=6x-6直线AC与抛物线交点为(0,-6),(5.24).符合即意的X的范掴为Tx0或0x5.当点M的横坐标满意Tx0或0xZACO.例7、”己知函数y=；/+历+c的图象经过点A(C,2),(I求证:这个二

13、次函数图象的时称轴是x=3J世目中的矩形框部分是一段被来水污染了无法分辨的文字.依据己知和结论中现有的信息，你能否求出即中的二次函数解析式？若能，请丐出求婢过程并画出二次函数图象：若不能,请说明理由.小题,只要给山的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1小题中的解析式就可以了.而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个随意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等.解铮（1）依据y=g./+加+c的图象经过点A（c.一2），图象的对称轴是x=3,得所以所求二次函数解析式为N=g.d-3+2.图象如图所示。2）在解析式中令广O,2-3x+2=0.解得x=3+v

14、5.4=3-v5.所以可以埴“抛物线与X轴的一个交点的坐标是（3+后,0）”或“抛物线与X轴的一个交点的配标是(3-I).令x=3代入解析式，得y=.所以抛物线,y=r-3x+2的顶点坐标为（3,-）,所以也可以填抛物线的顶点坐标为（31.m）等等.函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的详细特征：借助多种现实背戏理解函数：将函数视为改变过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关学问的联系，用二次函数解决最优同施例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图）,其中F=2,BF=1.试在AB上求一点P.使矩形PNDM有最大面枳.【评析】本题是

15、道代数几何综合题，把相像三角形与二次函数的学问有机的结合在一起，能很好考杳学生的综合应用实力.同时，也给学生探究解翘思路留下J思维空间.例2某产船每件成本10元，试销阶段每件产品的锢辔价X（元）与产M的R销售证y（件）之间的关系如下表：X(元)152030y(f)252010若Hi1.1.thiy是销售价X的次函数.1）求出日带售盘y（件）与销售价X（元）的函数关系式:2)要使每H的销售利润最大，每件产船的销1价应定为多少元？此时每F1.销笆利涧是多少元？【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b.则一解得k=-I,b=40,即一次函数24+8=20表达式为y=-x+10.2)设每件产M的

16、销售价应定为X元，所获销代利润为W元W二-1.)(40-)=-2+50-400=-(-25)2+225.产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销伊利利为225元.【点评】解决最值问题应用题的思路与一股应用题类似,也有区分,主要有两点：1)设未知数在“当某某为何值时，什么堆大(或展小、炒省)”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；(2)问的求解依靠配方法或坡值公式，而不是解方程.1列3.你知道叫平常我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形态可近似地看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,用地面均为Im,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1.m.2.5m处.

17、绳子在皂到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5m,则学生T的身高为建立的平面直角坐标系如右图所示)()A.1.5mB.1.625mC.1.66mD.1.67in分析：本题考查二次函数的应用答案：B学问点一、平面直角坐标系I,平面直角坐标系在平面内画两条相互垂直且有公共原点的数轴.就组成了平面直角坐标系.其中,水平的数轴叫做X轴或横轴,取向右为正方向：钳直的数轴叫做y轴或纵轴.取向上为正方向；两轴的交点。(即公共的原点)叫做丸角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被X轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一望限、其次象限、第

18、三象限、第四象限.留造：X轴和y轴上的点，不属于任何象限.2、点的配标的概念点的坐标用(a,b)表示，其依次是横配标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒，平面内点的坐标是有序实数对，当。#b时，0y0点PEy)在其次象限xO点P(x,y)在第三象限OXO,yXO.yx,y同时为零，即点P坐标为(0.0)3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x.y)在第一、三象限夹角平分线上。X与y相等点P(x,y)在其次、四象限夹角平分线上OX与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于X轴的直线上的各点的纵坐标相同。位干平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

19、5、关于X轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p关于X轴对称。横坐标相等,纵坐标互为相反数点P与点p关于y轴对称。纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p关于原点对称o横、双坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距成点P(x.y)到坐标轴及睨点的距离：1)点P(x.y洌X轴的距离等干N(2)点Pgy例y轴的距离等刊M(3)点P(x,y)到原点的距离等于P77学问点三、函数及其相关概念K变量与常量在某一改变过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一改变过程中有两个变砧X与y,假如对于X的每个值，y都有唯一确定的值与它对应，则就说X是自变口，y是X的函数。2.

20、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式.使函数有意义的自变3的取值的全体，叫做自变戕的取值范围，3、函数的三种表示法及其优缺点(1)解析法两个变砒间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变成及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。(2)列表法把自变fitX的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法.0bX)图像经过一、二、三象限，yMix的增大而增大。b0图像经过一、三、四望限，y陆X的增大而增大。K0图像经过一、二、四象限，yKix的增大而战小b0图像经过二、三、四象限,、，随X的增大而减小.0X注：当go时，一次函数变为正比例函数

21、，正比例函数是一次函数的特例。4,正比例函数的性质一般地，正比例函数F=h有下列性质：（1）当QO时,图像经过第一、三象眼，yISix的增大而增大：（2）当k0时,图像经过其次、四象眼，yISix的增大而收小.5、一次函数的性质一般地,一次函数y=Ax+有卜,列性质：（I）当1.MJ时，yMix的增大而增大2）当kk0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法学问点五、反比例函数1、反比例函数的概念i般地.函数y=2（k是常数.k0）叫做反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成y=k-的形式.自变量X的取值范围是XHO的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数,2.反比例函数的图像反比

22、例函数的图像是双曲线，它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三望限，或其次、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变砧x0,函数yw,所以，它的图像与X轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但恒久达不到坐标轴,3、反比例函数的性质性质(DX的取值范阖是XK0，y的取值范阖是yNO：当kX)时.函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，yGSx的增大而减小.X的取值范围是XW0,y的取值能用是y0:当k=AS=|昨学问点六、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念般地,假如特y=+v+c(.).c是常数，0),特殊留意a不为零则y叫做X的二次函数.y=r+bx+ca

23、,b,，是常数,“40）叫惋二次函数的般式。2,二次函数的图像二次函数的图像是一条关于X=-2对称的曲线,这条曲线叫抛物线.2a抛物战的主要特征：有开口方向：有对称轴：有顶点.3、二次函数图像的画法五点法：（1）先依据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚纹画出对称轴2）求她物线y=ax2+bt+=f1.+瓜+。可转化为两根式、=“（刀-人/*-与）.假如没有交点，则不能这样表示.a的肯定值越大，抛物线的开口越小。二顶点顶点式：y=（x-是常数，0）学问点八、二次函数的最值钗如自变量的取值范围是全体实数则函数在顶点处取得最大值（或最小值）.即当X=一冬时.2a4ac-b

24、2m=F-线如自变量的取值范围是XK45,则，首先要看-2是否在自变数取值范围XxMk内，2ah40ch若在此范用内则当X=-S时,yw,1=-：若不在此范围内则须要考虑函数在mWk,范围内的增减性，假如在此范围内，yBfiX的增大而增大，则当X=X2时，）%人=奴；+椒？+。，当X=X时ym=a-+bx1.+c：假如在此范围内V随X的增大而减小,则当.r=时.Vftx=ax：+bx1.+c,当X=x21.）j小=vj+bx2+c。学问点九、二次函数的性质I、二次函数的性质函数二次函数y=v2+bx+c（a.b,C是常数，0）图像aX）a0y1性质(I)枪物线开口向上，并向上无限j长：-2时，

25、y随X的增大而增大，简记左2a减右增;,0时，抛物纹开口向上4VO时,抛物线开口向Fb与对称轴有关：对称轴为X=-2aC表示t物线与y轴的交点坐标：（0c）3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与X轴的交点坐标.因此一元二次方程中的4=方-4.,在二次函数中表示图像与X轴是否有交点。当AX）时，图像与X轴有两个交点；当A=O时，图像与X轴有一个交点：当）时,图像与X轴没有交点.以寻求解题方法）y学问点十中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）1、两点间距施公式（当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展.思路,如图：点A坐标为y。点B坐标为（x2.y2）则A

26、B间的折离，即线段AB的长度为、/（内一丁了十（.”-心）22,二次函数图象的平移珞抛物战解析式转化成Ij1.点式Y=+A,确定其顶点坐标k）t保持I1.i物线=“小的形态不要，将其点平移到I处，详细平移方法如下:向:(Co)或向ZkO)】平格阳个独位II-My=r2+Jt(SPf1.移规律在原有函数的基础上“，值正右移，负左移；A值正上移，负下移函数平移图像大致位置规律(中考试题中,只占3分,但驾驭这个学问点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节约做题的时间)特殊记忆一同左上加异右下减(必需理解记忆)说明函数中ab值同号,图像顶点在，轴左侧同左ab值异号,图像顶点必在Y轴右的.异右向左向上移

27、动为加左上加.向右向下移动为减右下减3、直坡斜率：v,_vb为直线在y轴上的截距4、直线方程：=tana=?|4、(1.两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式：y-y1=kx+b=(tana)x-b=i-干Q-M)此公式有多种变形牢记X2xI点斜Ff=Hxf)斜截巨战的斜械式方程，简称斜极式：y=fcv+h(0)I截距由直线在X轴和,.轴上的截距确定的直线的截拒式方程，筒称截距式：-+=1p*ab牢记口诀两点斜截距一两点点斜斜截截距5、设两条宣线分别为，:y=k1.x+b,1.2.y=kix+h1若1./2，有OK=自I1.仇Kh2若j_4=.幺=一1kx.-V11+耳x.-y.+目

28、6、点PGtr1.,）到直城y=kx+b（即：k-y+b=0）的距离：.1=,-2+（-1.）2+I7、抛物线y=+纵+C中，abC,的作用1）“确定开口方向及开口大小,这与y=/中的。完全一样.0（即“、b同号）时，对称轴在），轴左恻;2aa20,与），轴交于正半轴：c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立,如抛物线的对称轴在），轴才i恻，则-0.a十一，中考点击考点分析:内容要求1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点I2、自变盘与函数之间的改变关系及图像的识别，理解图像IJ变盘的关系13、次函数的概念和图像I4、次函数的增战性、象限分布状况，会作困I1.5、

29、反比例第数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用I1.6、二次函数的概念和性项，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次函数刻画实际问题中变产之间的关系并能解决实际生活问题I1.命遨预料：函数是数形结合的至要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考杳自变量的取值范围,及门变曜1.泅变成的改变图像、平面直角坐标系等,一般占2%左右.一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以埴空、选择、解答期及综合题的形式考奁，占5%左右.反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现,要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，36分：二次函数是初中数学的一个非常重要的

30、内容,是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中.要求：能通过对实际问超情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会依据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题.会求一元二次方程的近似值.分析近年中考，尤其是课改试验区的试题，预料2009年除接着考查自变能的取值范围及自变V与因变量之间的改变图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考杳对反比例函数的概念及性质的理解.同时将留意考查二次函数,特殊是二次函数的在实际生活中应用.十二，初中数学助记口诀(函数部分)特殊点坐标特征:坐标平面点(.y),横在前来纵在后：和(+).四个

31、象限分前后：X轴上y为0.X为。在Y轴。对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混涌，X轴对称y相反,Y轴对称,X前面添负弓；原点对称最好记,横纵坐标变符号自变同的取值范推：分式分母不为零，偶次根下负不行：零次格底数不为零，整式、奇次根全能行。函数图像的移动规律：若把一次函数解析式写成y-kx)b,二次函数的解析式写成y=a(xh)2+k的形式,则用卜面后的口诀“左右平移在括号,上卜平移在末稍，同左上加异右下减一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过E象限；正比例函数更简沽,经过原点始终线：两个系数k与b.作用之大笑小看,k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,X增减y增减:k为负来左下展,改变规律正相反：k的肯定低越大,线离横轴就越远.二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键：开口、顶点和交点,它们确定图象现：开口、大小由H断.c与丫轴来相见,b的符号较特殊，符号与a相关联：顶点位置先找见,丫轴作为参考线，左同右异中为0.牢记心中英混乱：顶点坐标