数列中的存在性问题_经典教师.doc

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1、专题：数列中的存在性问题1、 单存在性变量解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现否则就是一个方程有解问题,即零点问题,可以先假设存在,列出一个等式,通过化简,整理成关于任意性变量一般为n的方程,然后n的系数为0,构造方程,进而解出存在性变量,最后检验。例1、已知数列的前项和为=,在数列中,=8,=0,问是否存在常数使得对任意,恒为常数,若存在求出常数和,若不存在说明理由. 解析：假设存在常数使得对任意,恒为常数,=,当=1时,则=8,当2时,=,当=1适合,=,又=0, =,数列是首项为8,公比为的等比数列,=,则=,又对任意,恒为常数,=0,解得=2,=11,存在常数=2使得对任意,恒为

2、常数=11.二、双存在型变量 解题思路：先假设存在,根据题目条件,列出一个含有两个变量一般至少都为正整数的等式,即转化为一个数论中的双整数问题,然后分离变量。如果可以分离常数,则利用数论中约数的知识列出所有可能情况,最后进行双检验,即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数,则利用分离出的变量所具有的隐含围如大于0消元,进而构造一个不等式,解出另一个变量的围,再列出求出的被压缩的围里的所有整数值,分别求出对应的另一个存在性变量,最后进行检验。例2、2010一模设等差数列的前项和为且1求数列的通项公式及前项和公式；2设数列的通项公式为,问: 是否存在正整数t,使得成等差数列？若存在,求出t和

3、m的值；若不存在,请说明理由. 解1设等差数列的公差为d. 由已知得2分即解得4分.故.6分（2） 由1知.要使成等差数列,必须,即,8分.（3） 整理得, 11分因为m,t为正整数,所以t只能取2,3,5.当时,；当时,；当时,.故存在正整数t,使得成等差数列. 15分例3、设数列的前项和,数列满足.若成等比数列,试求的值；是否存在,使得数列中存在某项满足成等差数列？若存在,请指出符合题意的的个数；若不存在,请说明理由.解：因为,所以当时,3分又当时,适合上式,所以4分 所以,则,由,得,解得舍或,所以7分假设存在,使得成等差数列,即,则,化简得12分所以当时,分别存在适合题意,即存在这样,

4、且符合题意的共有9个 14分例4、2010三模 已知数列是各项均不为0的等差数列,为其前项和,且满足,令,数列的前n项和为.1求数列的通项公式及数列的前n项和为；2是否存在正整数,使得成等比数列？若存在,求出所有的的值；若不存在,请说明理由.解：1因为是等差数列,由,又因为,所以,2分由所以6分由知, 所以, 若成等比数列,则,即8分解法一：由,可得,所以, 12分从而：,又,且,所以,此时故可知：当且仅当, 使数列中的成等比数列。16分解法二：因为,故,即,12分从而：,以下同上3、 三个存在型变量-连续的解题思路：这类问题的形式一般是,是否存在连续的三项,恰好成等差数列或等比数列。可以先假

5、设存在,然后构造一个关于单存在性变量的方程,即转化为一个方程有正整数根的问题,我们可以按照处理零点问题的方法解方程或者画图像求解。例5、2010一模已知数列,.求证：数列为等比数列；数列中,是否存在连续的三项,这三项构成等比数列？试说明理由；设,其中为常数,且,求AB.解：=,为常数数列为等比数列-4分取数列的连续三项, ,即,数列中不存在连续三项构成等比数列； -9分当时,此时；当时,为偶数；而为奇数,此时；当时,此时；-12分当时,发现符合要求,下面证明唯一性即只有符合要求。由得,设,则是上的减函数,的解只有一个从而当且仅当时,即,此时；当时,发现符合要求,下面同理可证明唯一性即只有符合要

6、求。从而当且仅当时,即,此时；综上,当,或时,；当时,当时,。 -16分4、 三个存在型变量-不同的解题思路：这类问题的形式一般是,是否存在不同的三项,恰好成等差数列或等比数列,不难看出,三个存在型变量均出现在下标,这就等于给定了两个隐含条件,其一,三个变量均为正整数,其二,三个变量互不相等。另外,一旦我们主动去分析数列的单调性,那么我们就可以不妨设出这三个变量的一个大小顺序。具体的,该类问题可以分成三类。其一,等差中找等比无理有理找矛盾例6、2010三模已知数列满足：为常数,数列中,。求；证明：数列为等差数列；求证：数列中存在三项构成等比数列时,为有理数。解：由已知,得,。 4分,又,数列是

7、首项为,公差为的等差数列。9分证明：由知, 10分若三个不同的项成等比数列,、为非负整数,且,则,得, 12分若,则,得=,这与矛盾。 14分若,则,、为非负整数,是有理数。16分例7、等差数列an的前n项和为Sn,a11,S393.求数列an的通项an与前n项和Sn；设bn,求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解：由已知得d2,故an2n1,Snn证明：由得bnn.假设数列bn中存在三项bp、bq、br成等比数列,则即2,0.p,q,rN*,2pr,20,pr.这与pr相矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列其二,等比中找等差化简成整式,通过等式两边同除公比的最小

8、次方,进而等式两边,一边为公比的倍数,另一边不是公比的倍数,矛盾；例8、市20XX秋学期高三期末考试 由部分自然数构成如图的数表,用表示第行第个数,使,每行中的其余各数分别等于其肩膀上的两个数的之和。设第行中各数之和为。 1求； 2用表示； 3试问：数列中是否存在不同的三项,恰好成等差数列？若存在,求出,的关系；若不存在,请说明理由。 12分 2=；6分 3,8分所以是以为首项,2为公比的等比数列,9分则11分若数列中存在不同的三项恰好成等差数列,不妨设,显然是递增数列,则12分即2,化简得：*14分由于,且,知1,2,所以*式左边为偶数,右边为奇数, 故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列。

9、16分例9、2010届省海安高级中学、外国语学校、市金陵中学已知数列an的通项公式为an = .求数列an的最大项；设bn = ,试确定实常数p,使得bn为等比数列；设,问：数列an中是否存在三项,使数列,是等差数列？如果存在,求出这三项；如果不存在,说明理由.解由题意an = 2 + ,随着n的增大而减小,所以an中的最大项为a1 = 4.4分bn = = = ,若bn为等比数列,则b bnbn+2= 0所以 3n+1 + 2 2 + p3n + 3n+2 + = 0,化简得 = 0即 3n4 = 0,解得p = 2.7分反之,当p = 2时,bn = 3n,bn是等比数列;当p = 2时,

10、bn = 1,bn也是等比数列.所以,当且仅当p = 2时bn为等比数列.10分因为,若存在三项,使数列,是等差数列,则,所以=,12分化简得*,因为,所以,所以,*左边,右边,所以*式不可能成立,故数列an中不存在三项,使数列,是等差数列.16分例10、市2011一模已知数列的首项,1求证：数列为等比数列；2 记,若,求最大的正整数3是否存在互不相等的正整数,使成等差数列,且成等比数列,如果存在,请给出证明；如果不存在,请说明理由解：1,2分且, 3分数列为等比数列4分2由1可求得, 5分,7分若,则,9分3假设存在,则, 10分,12分化简得：,13分,当且仅当时等号成立15分又互不相等,

11、不存在16分其三,我们知道,既成等差又成等比的数列一定是非零的常数数列,利用这个性质,一旦我们通过分析或者化简得到三个存在性变量或者他们经过相同变换得到的三个数既成等差又成等比,那么即可说明三者相等,而题干说了互不相等,从而找出矛盾,说明不存在。例11、2012一联设等比数列的前项和为,已知求数列的通项公式；在与之间插入个数,使这个数组成公差为的等差数列,设第个等差数列的和是. 是否存在一个关于的多项式,使得对任意恒成立？若存在,求出这个多项式；若不存在,请说明理由；对于中的数列,这个数列中是否存在不同的三项成等比数列,若存在,求出这样的三项；若不存在,说明理由.解：设,由知,2分解得, 4分依题意,；要使,则,8分,即存在满足条件；10分对于中的数列,若存在不同的三项成等比数列,则,即,即14分由可得,与是不同的三项矛盾,不存在不同的三项成等比数列. 16分