数值分析部分答案.doc

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1、第一章 绪论1设,的相对误差为,求的误差。解：近似值的相对误差为而的误差为进而有2设的相对误差为2%,求的相对误差。解：设,则函数的条件数为又, 又且为23下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字：, , ,解：是五位有效数字；是二位有效数字；是四位有效数字；是五位有效数字；是二位有效数字。4利用公式求下列各近似值的误差限： , , .其中均为第3题所给的数。解：5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为则何种函数的条件数为又故度量半径R时允许的相对误差限为6设,按递推公式 n=1,2,计算到。若

2、取5位有效数字,试问计算将有多大误差？解：依次代入后,有即,若取, 的误差限为。7求方程的两个根,使它至少具有4位有效数字。解：,故方程的根应为故 具有5位有效数字具有5位有效数字8当N充分大时,怎样求？解 设。则9正方形的边长大约为了100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过？解：正方形的面积函数为.当时,若,则故测量中边长误差限不超过0.005cm时,才能使其面积误差不超过10设,假定g是准确的,而对t的测量有秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减少。解：当增加时,的绝对误差增加当增加时,保持不变,则的相对误差减少。11序列满足递推关系 ,若三位有效数字,计算到时误差有

3、多大？这个计算过程稳定吗？解：又又计算到时误差为,这个计算过程不稳定。12计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好？, , , 。解：设,若,则。若通过计算y值,则若通过计算y值,则若通过计算y值,则通过计算后得到的结果最好。13,求的值。若开平方用6位函数表,问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。计算,求对数时误差有多大？解, 设则故若改用等价公式则此时,第二章 插值法2给出的数值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算的近似值。解：由表格知,若采用线性插值法计算即,

4、则若采用二次插值法计算时,5设且求证：解：令,以此为插值节点,则线性插值多项式为 =插值余项为8求及。解：若则16求一个次数不高于4次的多项式Px,使它满足解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式设其中,A为待定常数从而第三章 函数逼近与曲线拟合1 ,给出上的伯恩斯坦多项式及。解：伯恩斯坦多项式为其中当时,当时,2 当时,求证证明：若,则3证明函数线性无关证明：若分别取,对上式两端在上作带权的积,得此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵,对称正定非奇异,只有零解a=0。函数线性无关。4。计算下列函数关于的与：m与n为正整数,解：若,则在单调递增若,则若m与n为正整数当时,当时,在单调递减当时,

5、在单调递减。若当时,在单调递减。8。对权函数,区间,试求首项系数为1的正交多项式解：若,则区间上积为定义,则其中14。求函数在指定区间上对于的最佳逼近多项式：解：若且,则有则法方程组为从而解得故关于的最佳平方逼近多项式为若且,则有则法方程组为从而解得故关于的最佳平方逼近多项式为若且,则有则法方程组为从而解得故关于的最佳平方逼近多项式为若且则有则法方程组为从而解得故关于最佳平方逼近多项式为16。观测物体的直线运动,得出以下数据：时间t00.91.93.03.95.0距离s010305080110求运动方程。解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系,从而选择线性方程令则则法方程组为从而

6、解得故物体运动方程为17。已知实验数据如下：192531384419.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如的经验公式,并计算均方误差。解：若,则则则法方程组为从而解得故均方误差为18。在某化学反应中,由实验得分解物浓度与时间关系如下：时间0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55浓度0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64用最小二乘法求。解：观察所给数据的特点,采用方程两边同时取对数,则取则则法方程组为从而解得因此第四章 数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数,使其代数精

7、度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：解：求解求积公式的代数精度时,应根据代数精度的定义,即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立,但对于m+1次多项式就不准确成立,进行验证性求解。1若令,则令,则令,则从而解得令,则故成立。令,则故此时,故具有3次代数精度。2若令,则令,则令,则从而解得令,则故成立。令,则故此时,因此,具有3次代数精度。3若令,则令,则令,则从而解得或令,则故不成立。因此,原求积公式具有2次代数精度。4若令,则令,则令,则故有令,则令,则故此时,因此,具有3次代数精度。2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：解：复化梯形公式为复化辛普森公式为复化梯

8、形公式为复化辛普森公式为复化梯形公式为复化辛普森公式为复化梯形公式为复化辛普森公式为6。若用复化梯形公式计算积分,问区间应人多少等分才能使截断误差不超过？若改用复化辛普森公式,要达到同样精度区间应分多少等分？解：采用复化梯形公式时,余项为又故若,则当对区间进行等分时,故有因此,将区间213等分时可以满足误差要求采用复化辛普森公式时,余项为又若,则当对区间进行等分时故有因此,将区间8等分时可以满足误差要求。8。用龙贝格求积方法计算下列积分,使误差不超过.解：00.771743310.72806990.713512120.71698280.71328700.713272030.71420020.7

9、1327260.71327170.7132717因此03.45131318.628283-4.446923因此014.2302495111.171369910.1517434210.443796910.201272510.2045744310.266367210.207224010.207620710.2076691410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.211260710.207590910.207592210.207592210.207592210.2075922因此12。用下列方法计算积分,并比较结果。龙贝格方法；三点

10、及五点高斯公式；将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式。解采用龙贝格方法可得k01.33333311.1666671.09925921.1166671.1000001.09925931.1032111.0987261.0986411.09861341.0997681.0986201.0986131.0986131.098613故有采用高斯公式时此时令则利用三点高斯公式,则利用五点高斯公式,则采用复化两点高斯公式将区间四等分,得作变换,则作变换,则作变换,则作变换,则因此,有第5章：解线性方程组的直接方法1 证明：由消元公式及A的对称性得 故对称5. 解 设U为上三角阵=因=,故=.因 +=,

11、故=,i=n-1,n-2,1当U为下三角阵时= 得,=, =,i=2,3,n.9解 设=由矩阵乘法得=2, , ,由得 ,由 得 故=2.555 555 6,=0.777 777 8,=1.111 111 110 解 A中=0,故不能分解。但det=-100,故若将A中第一行与第三行交换,则可以分解,且分解唯一。 B中,=0,但它仍可以分解为 B=其中为一任意常数,且U奇异,故分解且分解不唯一, 对C,0,i=1,2,3,故C可分解且分解唯一。 C=11 解 =0.842 615 0=0.685 340 7故 =0.827 853 1 19证明 因A正交,故,从而有故 =1 20证明 21证明1故为对称矩阵。 又A非奇异,故对任意向量,有,从而有即为对称正定矩阵。 2