7.3平面基本性质与两直线的位置关系答案.docx

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1、7.3平面基本性质与两直线的位置关系课标要求帮细考点求养达成1.了解4个基本事实及其推论2 .抽余出空间点、直线的位置关系的定义3 .了解等角定理1.理解异面直线的判定定理平面基本性质的运用通过学习并运用平面的基本性质,培养逻料推理,直观想象我祚刈断空间两条直线的位置关系通过空间两条门城的位置关系的判定,据养设耕推理、直观也望淋养求两条井面宜践所成的角通过学习空间中两条井面蜕觊所成的角.培养数学运算、直观把飘索界蚓Z寤加植璟知识星本事实I过不在M条HT事实Ik线上的三点.-M只有个平匍wiftrr46,C不共线=4.Cfr图膨语言/丸=M与/孙t平面图影汨言灯9由汴如提两个不合的干面有一个公共

2、点.加1.基本*实2I经过条收找他这条在线外点盯H只在一个不面基本事实3符9那才CA=-54定平面。2.经过两条相-P型-交血线有Ii只-“一个平面1.确定平面交蝶;2.证明三点共线符号那汀QMb.M过平函平面基本性质3经过网条Tbfim111.51.M个手制如果条底统上的两京在一个平面内,邪么这条直线领个？面内么它们有H只条过该点的公共卤线Wiemtf3=i1.,eI定平面一H点在仙上AftViiit:弛It面外Ht要研区点面距岗-相交有嘴公夫点平面儿何内总夯实1.（概念落析）（多送）下列四个命题为真胞的有（）.A.两两相交且不过同一点的三条口战必在同一平面内B.三点确定一个平面C.过一点有

3、无数条直线垂直于已知直线D,若空间两条戊税不相交,则这两条戊线平行答案AC解析对于A,可设/,与A相交,这两条宜她确定的平面为,若/,与，阳交,则交点A在平面。内，同理，4与/：的交点片也在平面。内.所以,出U。,即AUa.A为其命趣;对于B.若三点共线,则过这三个点的平面有无数个.故B为假命目；对于C.过该点与已知直妓垂直的平面内的任意一条直线都与已知Ei处垂直,故C为我命遨:对D,两条口设有可能平行也有可能异面,D为假命题.2 .(为接教材)如图所示,在正方体AfiCDABiCM.厂分别是力民，仍的中点.则弁面H线B,C与仔.所成角的大小为().A.30*B.45*C.60jD.90“答案

4、C解析连接B1D.4a图略),则BA即,故或其补用为所求的珀.又,1.B1CAC所以NC60.3 .(对接载M)如图,在三校惟AfiCD.1.i.KG/分别是梭AUHCCD.DA的中点，则当AC.9满足条件时，四边形西W为菱形；(2)当AC,被满足条件时，四边形的7/为正方形.答案WAC=BD(.2)AC=SDI1.AC1.BD解析由肱意得EF/AC且EF=.1QHG/月C且IfG=*他所以70侬IT=HG.所以四边形a&是平行四边形.乂峭ft当AC=BD,EF=Eii,所以四边形EFGH为娄影.因为EF/ACEf-=1.f6；的ACm的多亿：所以1.-Ft/1.iG.EF=IIG.所以四边形

5、7%是平行四边形.因为即M呜曲当ACBDI1.C1.BDW,EF=EHREF工讯所以四边形版W为正方形.4 .赐锵自绅如果M/0iA1.,OB/0A,4喇0”，则N404=.答案IO-或140*解析当OA与。儿OB与QR都同向或都反向时.NM4F0,;当OA-1J&I,即与Q区一个同向另一个反向时.N44=M(I.(模拟演练)(2024何北部分重点高中开学考)如图，在三枚推力戊中，异面真税与阳所成的角为60,F分别为核PA,肉的中点,若AG=2.则,则EF=().A.3B.2C.311Ji7D,2或7答案C解析设6是AB的中氐连接FG,EG.由于民尸分别为核PA.8C的中点.所以FG/AC,k

6、aC,EG1.1i,EG-f,2,所以/：斯是弁面直税XC与阳所成的角或其补角.当NEG户60时.在三角形EFG,.由余弦定理得评=A1.+4-212cos60-=3.当/虎广120”时，在三角形牙&中，由余弦定理得J1.+4-21.2COSI20。7.所以斯为5或7.能y：模型宙画)平面基本性顷的运用典例1如图所示,己知在正方体月腐乩8中;尸分别为的中点,x被W4G11杼=?.求证：(1)0.&/；E四点共面；(2)若4。交平面加Wf于点W1.ft彳三点共线.解析(1)44(图略)，因为-分别是CtDt,CS.的中点,所以即是C的中位线,所以斯44.在正方体ABCDA1.BtCA中,44椒所

7、以EF/BD.所以EF,被遮定一个平面,即以凡万四点共面.(2)在正方体ABa)ARCM礼设平面孔以；为。.平面助伊为尸.内为84。.所以g%又0所以V凡则。是。与力的公共点，同理,P是。与户的公共点.所以“f1.=PQ.又从CB=&所以RG&C所以(O,ft,e,则已收故2。/三点共践.场爆点筱1 .证明刈或线共1.1.1.题的两种方法：(1)先找后iE首先由所给条件中的部分线(或点)南定一个平面,然后再证其氽的我(或点)在这个平面内；(2)统一法:符所忏条件分为两部分,然后分别确定平面，冉证两平面收合.2 .证明点共战问期的两种方法：(I)先找后证,先由两点碉定你也践.再证其他落点都在这条

8、在统上：(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.3 .证明线共点问趣的常用方法:先证其中两条红线交于一点,再证其他直线经过该点.训练1如图,在正四极台ACDA1.CA中,E,F.Q分别为核AiBi.4QAB,比的中点.U)求证:：/四点共面；解析(1)证明：连接.伍月,如图所示.(2)求证:必；Hi,因相交于一点.D.PM/AC因为ABCPA1S1C1D1为止四核台，所以ACiAQ又EEG,分别为极A1.1.,BiCi,AB.比的中点,所以EFACGH/AC,则杼”GH.所以E/；&四点共面-(2)因为4GAG所以用WG所以四边形7%为梯形.W1.及7与/必相交.设EG

9、cm=R因为EGC平面AA.B1.,所以飞Tift1.AAtBtB,因为FHU平面BBcC所以平面BBCC乂平面AABBC平面BBGC=%所以PW映、则防/7,用8交于一点.列断空间两条之城的位置关系典例2(多选)如图，在正方体ABa)A故CD中,MN；尸分别是CA.BC,AA的中点“则下列结论正确的是().A.!V与即异而B.AP与仪异曲C./与CW相交答案ACD解析连接州困略），因为Aw平面。阳明平面。制做U平面4阳展做，所以如：与网弁面,故A正确.连接UP.Na图略）,因为师AC,吐.忆;所以.伊叮仪是相交直缘故B不正确.C,D正确.空间中两条直线位置关系的判定.主要是异而平行和垂出的判

10、定.异而直线的判定可采用直接法或反证法:平行直线的判定可利用三角形（梯形）中位线的性质、她本事实4及线面平行以面而平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面超n或面面a的性质来解决.训练2己打；M2白线，.现。.若XV垂山/5”垂乱则（）.A.R与界面B.,w与”相交Cm与平行DM与。平行、相交、异面均有可循（多选）己知四枝把川秋笫的所在校长都相等,M分别为PA.的中点,则下列说法正确的是（）.A.MV与即是弁面直践B.UN1.PAC.U7ACD.IA1.Pf1.答案（I）D（2）AD解析（D囚为三1.nA.1,结合长方体模型可知min可以相交,也可以异面,还可以平行.（2）如图所示,取加的中

11、点H,连接皿阳由即曲知.四边形物：V为平行四边形.且MV鹿：又MW平面/w:/rcTifti/W；所以m平面做：设四边形MW:V所在平面为,乂照明故MV；。共面，但用平面。，优M；因此,好与PD是异面口战，故A正碉.IMA1.M则PN=AN显然不成立,故B不正确.若/AC.由于at/UN.则CHC,*实上CQt=Q故C不正确.考点因为K=BC,H为掰的中点,所以41.做又CUfM所以.tfVm故D正确.求两条异而直线所成的角典例3如图,在底面为正方形,侧杖垂直于底面的四枚柱ABCMB1.e也叫AA-IAH2.则异面1.,tA.8与他所成角的余弦依为（）.答案D解析1.y.连接欧切证阳初，则N4

12、戈（或其补知为异面直线4S与此所成的角.法接4配山四边形0为正方形,肪1,M2,好乱4I46BC、西故COSN4阳”节.乎言即异面业IM4与油所成角的余就位为燎合法求异面之战所成角的步舞（D一作:根据定义作平行线,作出界而目线所成的角.（2）二证:证明作出的角是异面直战所成的角（或其补角）.（3）三求:解三角形求出所作的力.如果求出的角是锐知或直用.那么它就是要求的用.如果求出的角是钝角，那么它的补角才跄瞿求的角.与恬息:对界面在线所成为的定义珅解不透,加i战所成角的取值范用於（0,卦如果求出的角是税用或直加.那么它就是要求的角.如果求出的角是钝珀.那么它的补用才是要求的角.训练3如图,在制惟

13、So中.A8,5为底面圆的两条直径,四nCXfcftHASO=Otf=H,SE*SB.则异曲直线SC与能所成用的正切侑为（）.A考B百GD,浮答案D解析Onty,过点S作加四交,仍于由F.连接纸则N矽X或其补角）为异面囱找竟与斑所成的师又f1.=3,所以叫眸I.WJS（71OC.So=OCA所以52.因为SO1.oF,斫以SF7SO】+。演I5.因为6C1.0;所以上11.所以在等腹：加形Sd尸中，tanZfi=j7j手超索?:能力丽）立体几何中的皱面同题典例已知正方体的极长为1,衽条枝所在克线与平面“所成的角都相等,则a截此正方体所得栽面面枳的最大值为（）.30_2Ir.3na-b-c-d-

14、答案A解忻如图,依趣意,平面。与梭MOC,监所在直线所成角部相等，容易得到平面.西C符合题意.进而所有平行于平面C的平面均符合题意.由对称性知,过正方体如DMSG中心的世面面积应取最大（ft此时截面为正六边形EFGHE易知正六边形浏的边长瑞,将该正六边形分成6个边长衅的正三角形，所以其面枳为6芸（y）2岑.故所未面枳的城大使为苧.作出极面的关健爱找到板线,作出极她的美健是找交点,即面面相交得拢,线城相交得由,在作图过程中瞿能逆向寻找,找到两个交点就得交战,找出各个面的交浅就得到了截面.主铿根据：（D确定平面的条件；（2）三践共点的条件：（3）面面平行的性旗定理.训练如图,夕分别为正方体ABCM

15、AC1H的核CC1.,C1D.的中点,若,仍6则过4F三点的截面的面枳为解析如图,作1线杼.分别与直&DC,DDi相交千点ft连接交的于点.IA连接.40交44于点V；连接r.此则五边形和办即为过儿上：尸三点的截面.由题意易H1.F0311,/V92.所以S3亭.又近沁啜多所以SctgZp卫共.一、单选麴1 .给出以下四个命题：稣次首尾相接的四条城网必共面；过不在一条直城上的三个点,有I1.只有一个平面;至间中如果一个用的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角必相等;也派宜于同一条应战的两条在战必平行.其中正确命胞的个数是（）.A.0B.1C.2D.3答案B解析视空间四边形的四条线段不共面

16、.故&错误.静怛由票本事实1可知,过不在条直级上的三个点,有且只有一个平面,故正确.池归由空间角的等角定理知,空间中如果个角的两边与另个角的两边分别平行,那么这两个知相等或互补,故错误.1.,空间中垂直于向一条直线的两条直线可相交.可平行，可异面.故错误.所以正确命懑的个数为1.2 .如图所示,尸是正方体ABeMMn中校。四上算于螭点的,个动点，连接4。井延长,则月/与直线（）.A.CC相交B.欧相交C.船相交答案D解析由购意,尸是正方体ABCDAiBtCA中棱C4上异于端点的一个动点,连接儿尸井延长，则Ag平面iBiCA,而国C平面484寸,用4H极与CG为异面过线,A错误；因为BC艮C、,

17、1.C,c平面ABG入砥平面44C4,故成7/平面A&CD,则4尸与口浅做不可能相交,B播误；AJy平面86兄偌C平面A1B1C1D1=B1,B&AiP.故A1.Pj映为异面直线,C错误；由题.阪如PCJ/A.B1.I1.PC,AB,故四边形PCxBiA1.为梯形,故与BiCt相交,D正确.3 .在直三板柱月如1田6中,底面彳依为等腰直角三角形边BC2是窗的中点,若小,Z则异面口线AiC与X。所成的角的大小为（）.A.30,B.45,C.60D.90答案C解析如图,取才C的中点4连接AA.则所以异面直战”与月所成的角就是HC与4。所成的ffj,W/。向（或其补加）.连接4C易得C为直角三角形.

18、在RWt,A=1,C=2,6伞,所以/以4柳.4 .如图,已知在正三极柱月Mr8N#月W,点尸在四边形ABSW内,且尸到怒8的距离都等于1,KDhBC上H近。的四等分点,过点0且与下平行的直践交三极柱9匕fC于点P,。两点,则点。所花的平C.平面,MfCD.平面的1面是（）.A.平面/8#B.平面留厂外答案C解析如图所示,连接力弁延K交由线，切于点M由于点P在四边形期8%内，I1.也到小，18的距离都等于I,可知N,MR=15,则ZUTU为等腹直角三角形，且AUA,AB,所以点在城段月8上.连接W,由于点尸在战段A”上,过点尸作?月勿交”于点。,则点0即为所求,H点0在戏段上,因此点0在平面期

19、T内.二、多选冠5 .（2023江苏陶京随中学校芍）如图.在三极柱山心U?中,以分别为校AB和AG上的点（不包括端点），且BE11加上则下列结论正确的葩（）.AAG区占四点共面B.,平面BBA.C.平面/1件与平面监C不相交D.P,AuA三点共线答窠AM)解析对于A,因为的CF=P,所以“IT共面,所以A正确：对于B.,三C平面AHBA1,所以/运平面AiHA1.故B正时对于1)./坛CE怛G.H.M三点共面，但廨平面G1.W内此直线CH.如是异曲直线;忙连接GM.可知/、所以白线CjMY共而；P.G.U.N三点共面,但用平面GIA；因此直级GH.MY是界面直殁.8 .如图，己知圆柱的轴板面A

20、BB、A是正方形,C是网柱卜底面瓠的中点，C是明柱上底面孤.彳S的中点,历么弁而直线AC,与幽所成用的正切tf为.答案2解析如图,取W1.住下底面另一半回人新的中点连接CJ),AH因为。是IMI柱下底面BiI弛裕的中点,所以AD/图所以在战4。与月。所成的角等于异面在战月。与肉所成的角.因为G是BII柱上底面BU儿4房的中点,所以C、D垂I1.于圆柱卜底面,所以C1DIAD.因为回柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以CD2AD,所以直殴AC1与物所成角的正切的为所以异面直线C-1J道,所成为的正切值为&.四、研答题9 .如图，己知空间四边形佩力的对角线0,19,异面口钱,他与如所成角的余弦值为

21、捺点八0,行分别是仍M用的中点.(D求证：四边形/切仆是平行四边形.求四边形/硼丫的面枳.解析(1)因为月。分别是AB.比的3点,所以国水：且内打(：同理UN/AC.且,IA4C所以/婚.的,施U,所以四边形四峪是平行四边形.(2)因为,V分别是AB1.Mtfy中点,所以PN/R!).P*B吟.因为iQC,所以N与2所成的角就是异曲E税AC,加所成的瓶所以SinZEff2C1.E氏OSNeM即T11 .在正四位推PABCDA.保梭长为2.E为w的中点,若异面直线PA与您所成的角为45.则该四梭惟的体积是().A.4B.23C;D.竽答案D解析如图所示.连接.优/01设A(XBfAa连接IQ做因

22、为E分别是C,用的中点，所以OE/PA,OEPA=,则N颂或K补角即为异面直线PA与斑所成的角.因为底面Mft力是正方形,所以BOI.AC.又poi.WfJfOnAc=o.m/CC平面pac.所以即J_平面PAC,又OECTifiiPAC,则BO1.OE.所以48(是等胰口角三角形,所以OB=Oi-=X,所以f(HPBi-OBi3.BC也,则四校推总比的体积IwX()“5号.12 .在正方体ACi中盛满水,6G分别为A1R.BB1.,BC1的中点.若三个小孔分别位于月G三点处,则正方体中的水最多会剩下原体积的().答案A解析在图2中的三极推AZiCD中,若三个小孔F.G分别位于所在校的中点处,则在截面EFG卜面的部分就是盛水最多的.本题的失误在于受图2的刖维定势,即过三个小孔的平面为截面时分成的两郃分中.较大部分即为所求.事实上,在图I中，取我面叫时,小孔户在此截面的上方,此时所剩的水蚊，又外B%-%.所以最多会B*咨图】图2