傅里叶变换的理解.docx

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1、湖南理工学院论文设计题目：我对傅里叶变换的一些理解系部：信息与通信工程学院专业：通信工程年级：2012级学号：141437姓名：张追指导老师：2014年9月29号摘要3关键词31.1 傅里叶变换的由来31.1.1 傅里叶变换的提出31.1.2 傅里叶变换的分类41.2 傅里叶变换的杂谈51.3 欧拉公式和傅里叶变换7追顽子【摘要】傅里叶变换是信号与系统分析中的重要工具，而傅里叶的变换性质常常用于信号求解的频谱函数。而对于教材苦涩难懂的一个个数学表达式，你是否曾经一度陷于无望？而本篇文意的意义就是帮助自己疏通思维，看似困难，其实只是我们自己被那些冰冷的数学表达式吓到了而已，为什么会被吓到？因为我

2、们不了解她们(留意，我用的不是“它们”)她们的美等待着我们去发掘，并给予她们新的生命,所谓口久生情，此之谓也。【关键词】傅里叶变换；时域；频域；更好的理解8=JF)eid那么跟随我的脚步进入我所理解的傅里叶变换。首先我们必需把这两个公式亮出来先：F(M=Jf(t)=f(*-1山f(t)=r-iF()正是因为这两个公式，让我们头疼了年多九从她的外表我们可以知道，这两个漂亮的公式无非就是告知我们：“傻小子，我们只是从时域变换到频域，也可以从从频域变换到时域。”而且假如非要用图像描述这两种形式的话，那可能看了你会吐血而亡，所以我现在不打算把图亮给你看，因为现在你可能还无法接受。因为-起先我就无法接受

3、，那么如此，我们还是按部就班吧。许多事情，其实我们并不了解她的来源或者出处，而是不管三七十一，将书上的东西生生的硬肯，而导致的结果便是消化不良，就像我们小学到中学一样，短出现一个公式，老师就会说，你们只要记住了就行，不必证明，不必深化了解，所以，久而久之，我们变得没什么想象力。所以学一样东西之前，我们必需J解她为什么会出现？意义又是神马？她的出现能让我们解决现有的实际问题吗？因为脱离实际的东西她是不存在的。存在便是合理。好吧，带着这些问题，我们不仅要砍树，我们还要挖它的根！首先我们先了解傅里叶的由来。1.1傅里叶的由来1.1.1傅里叶变换的提出首先停里叶他是一个人名，而且是人类历史宏大的一个科

4、学家。为什么说他宏大？凭的就是傅里叶分析的探讨和应用至今已经经验了一百余年。19世纪20年头,当时的傅里叶54岁,当然当时的通讯或者说信息传播技术没有今口这么发达（顺便说一句，现在的人要是没手机和电脑的话，估计会失去活下去的志气），他当时探讨的是热传导理论，并在当时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明白将周期函数绽开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。后面有一大堆名人将他的理论应用于各行各业，比如泊松和高斯等人把这一成果呢应用于电学中去，后面的名人虽然牛逼，但是我们都知道，敢于第一个吃螃蟹的才是牛逼中的战斗机！那么这么牛逼的一个理论怎么样呢？刚提出这个理论的时候，论文里有一个颇具争

5、议性的决断：任何连续的周期信号可以有一组适当的正弦曲线组合而成。因为发表的论文不管好坏，不管有没有人看的懂，但总要有人去审查。当时审查这个论文的其中两位人物，那可以说是当时重量级的大人物，说来我们也并不生疏，他们就是闻名的数学家拉格朗日和拉普拉斯，前者在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出，比如拉格朗日中值定理，这在我们大一高数中有提到。后者的主要成就是拉普拉斯变换，概率论，在天体力学方面也有所成就，顺便说一句，他还是拿破仑的老师，所以和拿破仑结下不解之缘，当了六个星期的拿破仑的内政部长，不仅人聪慧绝顶，而且人际关系也不赖。就是这么两个人当了他的主审

6、人。拉普拉斯和其他的审查人希望发表这篇论文，而拉格朗口却坚决不予发表，为什么不发表呢？缘由当然不是你拉格朗日顽固不化，人老眼花，他认为傅里叶变换无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续的改变斜率，这一坚持就是50年。当时的法国科学界视拉格朗口为权威，当然也就屈服了他的权威，直到拉格朗口死后15年才发表这些理论。其实非要说拉格朗口不对，那也不行，只因为他是一个数学家，一生都在追求严谨的数学表达，正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号，但却可以用正弦曲线无限的接近的表示它。靠近到没有没有能量差别，基于此，傅里叶也是对的。有人说过，没有什么对，也没有错，只有合理。而傅里叶就是站在合理的一方。当傅里

7、叶被拉格朗口拒绝的时候，他也没闲着，他参与了政治运动，随拿破仑远征埃与，后来拿破仑失败了，他怕会推上断头台，始终在躲避。所以说他的人生也是颠沛流离的，吃尽了苦头。我们中国有句白话：天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能。他的一生就像文章开头那漂亮的两个公式一样，从负无穷到正无穷神奇而又让人畏惧，有时表现的像时域，时时刻刻都在改变，有时像领域，静止不变。老师觉得我可能废话多了，但是我觉得要了解一个人的作品，应当先了解他的为人,这样我们学着也轻松，当然也是带着感情去学习，而不是一台机器，信号与系统原来很美妙，但是老师们总把它当数学教

8、，谁会有爱好？数学公式的物理意义何在？数学是工具，不是全部。好吧，似乎在扯淡了。.。那就言归正传吧。我们知道，分解信号的方法是无穷的，但是用正余弦分解信号会更简洁。因为正余弦拥有其它信号所不具有的性质：保真度。输入的是正弦信号，输出的还是正弦信号，只有幅度和相位发生改变，这由本身硬件确定。频率，和波的形态是不会改变的，假如用其它的波，比如方波和三角波那是不行的，很简洁，他们没这特性质。1.1.2傅里叶变换的分类傅里叶变换可以分为以下几类：1.非周期性连续信号一傅里叶变换(FT)2 .周期性连续信号一傅里叶级数(FS)3 .非周期性离散信号一离散时域傅里叶变换(DTFT)4 .周期性离散信号一离

9、散傅里叶变换(Dm这些变换图形或许是什么样呢？从网上偷来一幅图如下：这四种傅里叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，我们知道这对于计算机处理来说是不行能的，那么有没有针对长度有限的傅里叶变换呢？没有。因为正余弦波被定义成从负无穷大到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。面对这种困难，方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号，可以把信号无限地从左右进行延长，延长的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离解信号，我们就可以用到离散时域傅里叶变换的方法。还有，也可以把信号用夏制的方法进行延长，这样信号就变成r周期性离散信号，这时我们就

10、可以用离散傅里叶变换方法进行变换。这里我们要学的是离散信号，对于连续信号我们不作探讨，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。1.2 傅里叶变换的杂谈当老师支配这篇论文的时候，我真不知道从何说起，因为我的傅里叶变换的确学的很烂，这一点必需承认，但是我立刻就上网查了一些资料，看了许多PPT,有做的好的，也有做的很深遽的，但是不管怎样自己的确比以前更懂了，理解的更深刻了。在网上查的一些资料,有一些是网友在评论里的言论，我觉得特别好，现在插入一些网友的留言，一是让H己了解别人思维方式，以与对事物不同角度的理解，所谓要识庐山真面目，除了亲自登上庐山外，假如能租一辆飞机

11、在天上视察那就再好不过了，而我们认清傅里叶变换，看看别人怎么理解,或许会让我们茅塞顿开。二来，要学好一样东西，终归不像从前了，学问获得的途径很少，现在网络这么发达，对信息的获得应当与时俱进，转载些有用的东西，偷也好，窃也罢，只要有利于人名群众，不犯法的状况卜.，分清大是大非就行了。前阵子北大一博上抄袭外国论文，你知道这货怎么抄袭的吗？干脆把外文翻译成中文，留意，是直译。这样就不太好了。言归正传。在百度的搜寻栏里，我输入了“你们是如何理解傅里叶变换的”，立刻就有许多信息。其中：A说：任何连续测量的时序或信号，都可以表示不同频率无限正弦波信号的无限的桎加而依据该原理创立的俾立叶变换弊法利用干脆测量

12、到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。B说：连续的周期信号是由一系列的正弦波组成,他的频谱是离散的,连续的非周期信号的频谱是连续的，.频谱的幅度事实上就是反映了每个正弦波的幅度。就摘录这两位网友的吧。为什么只摘录这两位的呢？因为够r,多了也是废话！首先分析A的，他的观点很符合始终以来我们的思维方式任何信号就是可以用无限多个正弦信号的叠加，比如说矩形波，如下图:最前面的矩形波图便是后面多数的，不同频率和相位的正弦波组成的，但是我们只能看到矩形波，后面那些静默付出的英雄我们却看不到，这其实也是一种悲伤！你看现在的城市.建的多么美妙啊，又有多少人知道那些进城打工的农

13、夫工，不是他们的付出，我们的城市有这么美妙吗。更可笑的是城市人在口头上是很敬重，但是实际的利益却没有拿出，比如农夫工子女的入学的问题，外来务工人员r女高考,许多地方是不允许他们异地高考的，城市.这么美妙，是谁的功劳，我们都好好想想吧！然后分析B的，这时请你屏住呼吸，感觉四周的一却都静止了，包括上图的多数的正弦波，这时从上图的右侧看过去或者用一个灯光映射过去每个正弦波的振幅便出现了，我们称之为频谱图，图如下：这幅图真的太直.观了!不转载就太惋惜r.所以这时候我信任每个人至少明白了，时域转领域原来这么简洁，假如单独拿出两幅图进行时比，虽然完全不一样，但至少我们知道这个r这个过程。这是从人类最原始的

14、方法去了解一个东西，比任何方法都直观，本文最前面的两个公式比这困难多r,但是我们却不能丢下那些公式，因为公式的目的就是算出精确数。但是在用它之前，我们必需了解时域，频域的来龙去脉，这样才好玩。起先我问自己：为什么时域还好的，为什么要转化为频域。后来接触了高频之后，我知道原来在实际的应用中，我们必需将些不须要的信号滤除掉，而这是将时域信号转化为频域信号，这样就简化了硬件电路的结构，提高了办事效率。还记得我-起先说的吗？时域就是在改变。而频域就是那个不变的东西，恒占不变。虽然我对傅里叶变换理解的确定还不透彻，但是我试着给予她新生命。我们往往对改变的事物了解的很透彻，比如金钱，人际关系等，但是我们却

15、对恒占不变的东西却知之甚少，比如“爱”，十年前，喜剧大师周星驰拍了一部关于爱的电影，名叫大话西游，里面有一段经典台词，很经典，最终一句话更是感动了多数的人，”曾经有一份真挚的爱摆在我的面前假如非要加一个期限，我希望是一万年。”十年后，周星驰乂拍了同样类型的电影西游降魔篇，他却推翻了曾经的经典，变成了“一万年太久，只争朝夕。”这其中的苦楚，我现在还不了解吧.，但领域就像爱一样，恒久不变，这是我的坚持。1.3 欧拉公式与傅里叶变换现在最直观的东西我们已经感受了，改变的时间让我们变得更加成熟了，是时候探讨一些公式了，但先莫慌，我们须要了解一些公式。这个因子:e(ix)想必我们每个人都不会生疏。然会就

16、是这个公式：e(ix)=cosx+isinx,这就是闻名的欧拉公式。还有一个号称是上帝之手创建的公式：eYin)+1=0,里面有自然对数的底e,圆周率五，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以与数学里常见的0。其中：e(i11)=cos11+isin11=-1我们知道i2=T0某数乘以一个i便是逆时针旋转90度，再成一个i便是再逆时针旋转90度，这些东西不是神奇，它们只是表达某种含义，仅此而已，我们无需妖魔化它们。那么欧拉公式和傅里叶变换完竟行几毛钱的关系？容我渐渐道来。傅里叶级数分析中，我们知道了：/G)=y,+,CoSG7v，)+hnsin(zit)r三1.以与依据欧拉公式知道：COS(

17、3f)=g(ei卬+e,*)sin(w)=-1.(eE-/E)这便是欧拉公式最的确的用处。联合以上两个公式便得到:/(/)=即+(axheint4+“6-卬)11=22然后令：)=5二产2综合以上得：/(0=/+尸(助ME+F(f例卬)/1=1=XF(n3XSaV=之FsT/1O/tBR-OO傅里叶级数是傅里叶变换的一种特别形式，所以我们可以引出傅里叶变换，这就是自然界的对称美。所以我们就引出文章刚开头的两个公式：/()=-,F()1.这就是一种对比出来的公式。就像求和Z符号和积分J符号的相像和类比。当我们引用了傅里叶变换，许多问题便变得很简洁，后面的卷积定理和抽样定理也就变得简洁了。只有把最基础的学问也是最难的学问搞清晰，我们才能再经后的道路上昂首挺胸。最终就是我们必需借助数学这门工具将一个个物理问题解决，物理意义第一，数学工具其次，这便是我对这门课程的理解.以上全文就是我本人对傅里叶变换的些理解，或许不对，但我允许自己在这条道路上出错，对于我们年轻人来说，错不是一件可耻的事，反而让我们无限接近对。最终要感谢那些给我供应资料的无名英雄，我参考过他们的微博以与同学的建议，在这里一一感谢。没有他们，我不行能完成这篇文章。