SCM於Timoshenko梁应用分析研究(doc 8).docx

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1、现立台港人学土木工程挚研究所民阈92年(旗土)擘位文搔要愿用SCM於Timoshenko梁之分析研究研究生：撮燧昇指溥教授：吴敕裳第一章封大多数工程技街冏题，由於物第线何形状较衩辘或冏题的某些特徵非性，故少有解析解。解泱此题常有雨桎途一是引入图化鳏，符方程和遴界保件就化悬可虑理的冏题，优而得其在曾化状憩下之解答。此槿方法便在有限的情况下可行，此乃因遢多蔺化符可能醇致不正硅、甚至是之解答。另一置方法卷数值方法。目前主要以有限元素法(FEM)及有限差分法(FDM)最卷泛使用。上述雨槿敦值方法乃以陶近的黑佃黠来描给某一f0特定黠的力擘特性，因此敦值耦合限於局部性。若用此雨粳数值分析技巧来求解结楷物冏

2、题较精硅的数值解畴，便须利用较多的格黠来雅散或分析。在本文中，吾人就以另一移敦值分析方法(SCM),可探较少之格分割黠来近似分析，使甯子3十算械的敷值通算量减少，降低因遵算而累稹的数值差量，或能迅速地推得令人满意的分析结果。本文研究目的，盲就以SCM典SCEM直接法模搦Timoshenko梁周题之敦值模式，以求解有IWTimoshenko梁之分析周彪。第二章SCM之基磁理介貂SCM是一槿数值上的近似方法，其主要概念是以座棵上的多格分割黠(Co1.1.ocationPoints),透i彼此相速结，来造出一倜近似函数Mx),以逼近模擦吾人所欲求之置磔函数/3。於SCv中，其近似函数Hr)是以多项式

3、的形式叠加：心)=Z”,8,(x)其中，图未定保教，陵不同的外加祢件而不同；8,(x)即卷SP1.inefUnCtiOn。B,3可有多植邃探，优一P皆、二1.、一直到任意的mF皆皆辗不可，其中三F皆ACubicSp1.ine,五F又耦悬QUintiCSP1.ineo第0之遥挥舆其所封之微分方程式有飓，即不同微分方程祝其陶敷及相感之遗界或外加脩件，鹿不同的8向来求解，本文中所ttTim。Shenk。梁周题之控制方程均二次微分控制方程式，故挑3-rd的SPIinefUnCtion(CubicBSp1.ine)合理逋常之逗择O在推醇g同之遇程中，需利用FoiwardDifferenCe的原始式来暹行

4、。推醇得Quint1. QuinticBS8U)三42. CubicBSp1.,W=i,cx1.Sp1.inefunction及CUbiCBSp1.ineFuAcMoTv如下:(eJ-婚Y3.(W电界融钞牌Tj(xr,)i-(x-Ij.I4*15(x-x,1.-20(x-X1)xixxa.(d)临密舰自*1.1.70uFs(rJM()-(于二百Z.1.：R施&二E,20(XTJ+15(X-孙户-60-4.J.*.!备(/)p-2)i-4(x-x1.,)t+6(x-xi)ixi输陪哈(X-xi.2),4(x-x1.1.)i+6(xxj),-4(x-xir1.)fX“jxxjt,2otherwis

5、e雎已求得夕SPIinefUnCtion,但在原用上仍嫌繁而不甚方便，悬了便於使用,於是吾人著整理道些鄢近黠的SSPIineVa1.ue,而裂作出一份完整BSp1.ineVa1.ue的表格。X凡七.1X.1.X,兑，8.U)012666261OK(X)05500-50-5hO优(K)02r4()j-I2r40-20/h2O/3060,-120O120,-60jOB)012()4-480hj720*-48*12()40Xi-tx1-xi-1BG)O141O区U)O3O3aO町工）O6P_1267O在SCM中，封於载重的模虬探用的方产是封栽重做知性内插，以模赞集中载重及非嫌性的载重形式。；a.常桀

6、中截电作用於纯里上，螂轴力大小尊等於Q,所以此畤P=*-rr-b.邕集中载重作用於黠V1.J得较多的情形之下，也能SCv封於分傣载重可以模授神粼期f1.的朱性.分伟载重，而非婚性在结黠取笫三章SCEM之基够理介绍封虞理大部份鼓重及不同遗界僚件而言，SCM是一相常有效率而精硅的方法，然而常i算如多跨结横、结情悬燮断面或必须以模搦载重来分析等醇致吾人模摇之SCM曲不再是一速绩平滑的曲i泉畴，不便初始差增大，收敛的效率亦大幅降低。考庵结横以元素的型熊表示，耨各元素徽散SCM的及元素，再使用各相郝元素同之建绩保件来速结各元素，此模方式SCEM。在使用SCEM分析畴，除了原先之结黠控制方程式及遣界保件外

7、，於结情的各元素亦增加了数信虚结黠而必须再增加数低控制方程式。故利用元素之遵脩件来建结各元素而分析。SCEM静能横以元素型熊蹄散多他结黠（以来表示每（S元素城慈散佃结黠），即封每（S元素内之相控制方程式、元素相互速接之和脩件式以及遗界修件式，以SCM理道行数值近似的表示雒散化。再将各值元素已雒散化之控制方程式、元素fW1速接的和修件式以及遏界保件式税合，便可得到一整能的媒性代数系统，算彳发，即可求得吾人欲求之未知待定保教。SCEM之求解步骤如下：1 .首先求得欲分析结横物之控制方程式及遵界修件中所有的尊函数或偏簿函敦。2 .由控制方程式来;央定SPIinefunction,（x）03 .视所分

8、析之情况，耨给情物分割成有限佃元素（心。4 .招结情物的各倜元素现分别器散卷SCM近似函数MX）代入各倜蹄散1之控制方程式,以厚出近似控制方程系统。5 .参加元素典元素r同遵接之造和修件，即元素之内力平衡及燮形和等内部遗界遵接修件。6 .代入散化之遗界修件、元素遽,短倏件,加上已散化之结黠控制方程式，得到雒散化控制方程i07 .化成矩律型式，用一般求解多元一次聊立方程式之数值算方法求解待定保数矩阵。或根捕各槿不同之周题需求去求解特徵值系统以求得特徵值以及特徵向量。第四章SCM典SCEM於Timoshenko梁之分析愿用一般所t粉之梁携度周彪皆假僮考庵由卷矩引登携曲鹰力所）生的燮形，而演有考感因

9、剪力使梁筐生剪感爱所羟生之挽度。常此剪燮形量疑法卷音人所忽略畤，以细长粱之理：食背景所潺出之公式，便辗法完全逋用於此槿梁之模型。因此吾人必须徙根本的力阜平衡阚保中，优新推要一正碓之控制方程式。不考箕自重因素，或假鼓梁本身僮受Z方向之负荷，,锻通度假予以蔺化三维效健,且假鼓平面在燮形前接保持平面，最彳爰可得考,喙剪燮形影辔之TimOShenk。却婴碑刖=。1.）陪卜山网嘤+网=0数如下:密取等断面特例，透道直接模舞SCM之方法去求解其数值解。SCM之模凝近似函MX)=Zq(x)S超甄港+机邂爵利嗡船程式如R11/IQnTim!5%向M苒锌M/到郑罐更为代入雅散化如下：燮位：WCri)=Xq旦(X

10、J剪燮形：W(Xi)=ECR(Xi)粤矩：Mg=G*=E2：&)剪力：(2(1.)=jgaP+1JIdryI.t=人七IZo+卜G1.Z叫(XJf-1.f-1.欲求得Timoshenko梁之数值解，其中共有2(+3)=2+6佃未知保数,即a.i,a1.等待定保敦，因此需要2+6倜方程式。整理彳菱可得SCM模擦Timoshenko梁之雒散化黠控制方程组。以矩阵表示求解：12-tftx(w3)(z3)+。!:2.6)“.3c*3)1P(2+6M：每%元素整散段建算，吾人即可求得待定保数矩阵及d,即可得到各低雄散结黠的爱位、剪燮形、弯矩以及剪力之值。兹考鹰一均匀截面(即以、A卷定值)、全梁承受均伟载

11、重(1N/加)之TinIoshenko梁结横，梁晨度卷碗，梁之横断面尺寸悬5w5,“.悬tt方便起冕，吾人遐取剪切弹性保数G=1、埸氏保敷E=2.6NfW、蒲松比(PoiSSonsRatio)v=0.3o由於此熟臂梁断面卷矩型，故得剪力修正保数人2=0.850。(卷舆DQEM之分析数值结果比较，故梁是度奥横断面尺寸探用舆DQEM之例17相同)。今吾人取n=4,即符此梁结情器散成四他回胤共有五他雒散黠Xo,xcq.x,故有Q1.“0.卬心.3必,6以及c.ct1.,c.q.q,q.q共14佃待定保敦。牌十修结黠控制方程式典四保造界修件式加以整理，可得以矩阵表示之结果如下:4x7tx1+47c71

12、.=P14x1.0.001031-O-O(M)172-0.0(X)344-0.010058=同。IIKkW家人嘲I翳之待定温？;=%=，-0.009795(封拗c=格=，-0.000000b反射砌称所求得之,限c代央里蹙占之燮位所欲求解之11Z燮位：H-=-0.05410091W锹的粤矩：，W=(-0.37226173-0.093065430.74452346、剪燮;洪鹭炒啜常为近似式，即可得各CA叫(00000剪燮形：w=-(x)oooood.的困岷7三三b剪力：V=o.oooooo-0.74452346-1.48904691SCEM於等断面Timoshenko梁之分析:膈SPIinefUn

13、Ction代入控制方程式，分别封各倜元素予以谶散化，可得到元素筋控制方程式如下：k2GAe(勾8叱&)+k2GAr,c1.Df.(X)=pt(x)I-I-I八。V&)剪力：Q，=/GAG十啕=FG*”：(xj+/G*力；砂(,)r三-1.r=1.其中，上檄C)表第e瑰元素，0=1.23.N。符元素之结黠控制方程式、造界保件舆速脩件整理彳菱可得如下SCEV之TimoShenk。梁雄散化结钻控制方程组:.VP+nk(26MVM1.T.3。辰(+3)卜1.铿由遹常之遽算,吾人可求得待定保数矩障及c,再耨及-代回式(4.33)、(4.34)、(4.35)及(4.36),依序可得各元素髓散黠之燮位、剪燮

14、形、学矩、剪力之近似分析值。第五章典未来展望本文鹰用SCM舆SCEM谯行TimoShenkO梁之分析，加舆DQEM及数他特例之解析解暹行比较。在使用SCM模擦Tim。Shenk。梁畴彝说，吾人使用少数之第黠即可提得差甚小之近似解。常载重卷均佛载重畴，以SCM分析，可得差甚小之数值解。然常结横所受负载卷集中载重畴，SCM以封载重做缎性内插来模疑，射於所分析之爰形舆内力生较大之差。SCEM解决了SCM封於集中载重差较大之缺黠，以SCEM分析暗僮需揩元素境切黠置於载重作用虑，即能相常举喧地得其近似解。常求解一般之平滑速绩曲以SCM舆SCEM暹行分析畴，若SCM所取敦“m舆SCEM所取元素现数(NX“)皿相等畤，雨者分析所得之结果近乎相等。本文已分别愿用SCM及SCEv於TimOShenkO梁之分析，文,戳中亦已在弹性梁、刚架、速薄板、弹性基破梁舆渐燮断面梁等方面，得到良好之验未来，吾人可以配合考禊合断面、二雉横架之剪夔形分析，以及推展至振勤分析。於猊酯段而言，SCM之鹰用靶圉或料较悬荻隘，勒健愿用上亦较困雉，但其收敛特性及模擦方式仍可缰翌，期能成卷一具高可信度之数值分析方法，封於给情物之好力典助力分析提供另一槿卷考逗撵。