代数系统.docx

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1、代数系统一、i&M.I、下列正整数集的子集在一般加法运算下封闭的是(DA、(MX30)B、(MX与30互质)C、(MX是30的因子)D、x.r足30的倍数I2,设S=1.,2.IOJ.则下面定义的运算，关于SIE封闭的有DA.y=max(x,y)B、x*y=min(x,y)C、x*y=取其最大公的数D、xy=取此最小公倍数3.设集合A的存集为必人),n、u、-、x为集合的交、并、差、笛卡尔乘积运算,则下列系统中是代数系统的为(D)A、(p(4),rB、S,J)G(/X4),-)D、(X),)4,在自然数集上定义的下列四种运算，其中满懑结合律的是(C)A、db=a-bB、a*b=a-hC、含力=

2、maxa.6D、a*b=a+2b5,设Z，为正将教集,表示求两数的最小公倍数对代数系统A=(Z,*有（八）A、1是么元，无零元B、I是零元，无么元Cx无零元，无么元D、无等麟元6,设非空有限集S的杼集为/5),对代数系统A=(zXS),n),有(BA、是么元，S是零元B、是零元，S是么元C、唯一等哥元D、无等林元7、在有理数集Q上定义的二元运算:x*y=A+y-.n.则Q中元素酒意C)Ax都有逆元B、只有唯一逆元C,x1.时，有逆元D、都无逆元8、设R是实数集合，“X”为一般乘法，则代数系统VR.x行定不是(DA、半群B.独异点C、可交换的独异点D,循环独异点9、设S=10,Ih”为一般乘法，

3、则SJ(B)A、星羊群，但非独异点B、是独异点，但非群C、是群，但非阿贝尔群D、是阿贝尔群10、陶意具有多个等窄元的半群，它(A)A、不能构成群B、不泞定能构成群C、能构成群D、能构成阿贝尔群二、填充题，I、下表中的运算均定义在实数集上，请在相应的空格中打7”或填上详细实数(不满意或无该项者不埴)+X结合律X交接律X么元(含左、右么元)OO(右幺元)!零元(含左、右零元)XXO2、设A=2,46,A上为：a*b=maxatb,则在独异点A,*中，么元是(2),零元为(6)”3、设A=369,A上*为:a*b=min(a,b),则在独异点A.*中，么元是(9，零元为(3)4、代数系统va,*中，

4、闻1,若e和0分别为vaj的么元和零元，则e和的关系为e工0,4abCaabCbbaCCCCc5,设Vahc.*为代数系统，*运算如下:则它的么元为S1.：零元为：a、b、C的逆元分别为小b、无.6、设G”是一个W,W1.(1)若a,b,GG,ax=bWIX=(a*b):(2)若a,b,GG.a*x=a*b,JMX=(b).7、群G*的等解元是(么元)，有(I)个，零元有(0)个。8、设。是12阶群的生成元,则U2是(6中介元素.a-是(4阶元素.9、设。是IO阶群的生成元，则”4是(5*介元素，/是(IO)阶元素.10、在一个群Q*.若G中的元素的阶是k,则-的阶是(k).三、简答题II、设

5、A=1.,2.A上全郃函数的集合记为A.。足函数的亚介运算.试给出AA上运算。的运算表，并指出AA中是否有么元，哪些元素有逆元？答：因为|*=2,所以A上共有2=4个不同函数.令履=工.力.。,/,，其中：+31.1.IIJ12)1010m121HI(U2oP1.I20in(1)=1,/(2)=2;/,(1)=1./,(2)=1;=2/(2)=2;4=2/(2)=1OZ/.Z1.工为AA中的么元，和人有逆元.2,已知定义在(合0,b,c,d)上的运算如下表:abedabCdabedbadccdbadcab遨号12345答案1.试问：1)是否为代数系统？2是否为子群？3)是否为群？4)v,b,c

6、,d),*是否有单位元?5)是否满意交换律?3、设I是整数集合,Zs是由模3的同余类组成的问余类集,在ZJ上定义+3如下:+31.H=Ki+)md3.试给出+3的运算衣并指出Z.+A是否构成群？答：构成群.四、计第1、设S=QQ.Q为有理数集合.为S上的二元运算：对随意(a.b),(c.d)WSM(a.b)(c.d=(ac.ad+b).求出S关于二元运算”的么元,以及当a()时.(a.b)关于的逆元.解：i殳S关于的么元为(a,b).依生;，和么元的定义，对V(X,y)WS,有(a.b)(x,y)=(x.y),(x,yF(a.b)=(ax.xb+y)=(x.y)即ax=x,ay+b=y.xb+

7、y=y对V.yQ郡成立.解褥a=1.b=O,则S关于的么元为(1.(小当a*0时,设(a.b)关于的逆元为(cd).依据逆元的定义.(a.b(c,d)=(ac.ad+b)=(1.O).(c,d)*(a,b)=(ac.cbd=(1.,O)即ac=I,adb=O,cbd=O.解寿C=I3,d=bu所以(a,b)关于*的逆元为(1t)2、试求中每个元素的阶。解：0是中关于+6的么元。则IO1.=1：I=5k6,2=4=3.3=2o五、证明愚II、设R是一个代数系统，*是R上二元运算，PabwRa*b=a+b+ab,则。是么元且R是独异点.证明：1)VaCK.O*n=O+O4=,*O=+O+0O即O*

8、a=*O=0,0是么元(2)由于+.在R封闭,则“在R上封闭.(3)Pa,b,CGR(a,*b)*c=(a+b+ab)4c=a+b+(ib+c+(a+b+ab)c=a+b+c+ab+ac+bc+abc(c)=+Z+c+b+c+/?c+;c所以(*Z)*c=(*c)因此，(R.*是独异点.2、I上的二元运算*定义为:Va,bI.ab=a+b-2.试证：I,*为群。.证明：1)Va.b,cI.(a*b)c=(ab)c2=(a*b-2)+c-2=a*b+c4,a*(b*c)=a(b*c)2=a*(b+c-2-2-a+b+c-1.故(a*b)*c-a(b*c).从而*满意结合律.(2)记e=2对VaW

9、I,a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a.故e=2是I关于运算*的单位元，(3)对VhgI,因为a*(4-a)=a+4-a-2=2=e=4-a-2=(4-a*a-Ka是a关于运算*的逆元.踪1:所述，1,*为群.3、设*是集合A上可结台的二元运算，且Va,bwA,若a*b=b*a,则a=b,试证明：(1) VaA,a*a=a.即a是等帘元：(2)Va1bA,a*b*a=a(证明：(1)YaWA.记b=a*a.因为是可结合的.故有ba=(a*a)a=a*(a*a)=a*b.由已知条件可用a=a*a,(2) Va,beA,因为由(1).a(a*b*a)=(a*a)*(ba)=a*(b*a),

10、(a*b*a)*a=(a*b)*(aa)=(a*b)a=a*(b*a)。故a(a*b*a)=(a*b*a)*a,从而a*b*a=a.1.设半群5,中消去律成立,则S是可交换半群当且仅当Ya,bGS,(ab)1.=ai.b%证明：=Va,beS.(ab):=(ab)(ab)=(ab)a)b=(a(ba)b=(a(ab)b=(aa)b)b=(aa)(bb)=a:b:;=Va.bwS.因为(ab:-a:b所以(ab)(ab)-(aa)(bb).故a(ba)b)=a(a(bb).由于满意消去律，所以(ba)b=a(bb),即(ba)b=(ab)b,从而ab=ba。故消毒交换律.5.若S,是可交换独异点

11、.T为S中全部等后元的集合,则T,是S,的子独异点.证明：、:ee=e,.peT,即T是S的非空子集.Va,beT,/S.是可交换独异点，(ab)(ab)=(ab)a)b=(a(1.a)b=a(ab)b=(aa)b)b=(aa)(bb)ab,BPabeT.故T,是S.的子独异点.有么元旦满意消去律的有限半样肯定此群.证明设VG,是一个有么元旦满意滴去律的书限半群，要iEG,是群.只掰证明G的任一元素“可逆，VeG.W1.f1.4GG,对G/.因G只有有限个元案,所以存在J1.使得d=。.w=-有/=/5,其中e是么元.由消去律得，产=e.于是，当”，=1时，4=e,而，是可逆的：ff1.IBt

12、.u*=严从而“是可逆的，其逆元是.总之，“是可逆的“6、对独异点.,若A中每个元素都有右逆元，则A,*必为群.证明：设e为vAJ的么元.Vf1.GA.记b是a的右逆元c是b的右逆元.则/*a=(/*a)*e=e”/)*S*c)=A*(“*)*c=*c=e.则b是a的左逆元.故YaGA.a布唯一逆元b,于是，A,*必为群.7、设群e.*除地位元外每个元素的阶均为2,则S,*是交换群。证明：对任一awG.由已知可得a*a=%即a-=B.对任一a,beG,因a*b=g*b)=b*a=b*a,所以*满意交换律.从而C,*是交换加。8、证明：(1有明群中阶大于2的元素的个数肯定是偶数.(2)偶数阶群中

13、阶为2的元素的个数冷定是充数。.证明：1)设(；.,是仃限群,则YaGG.桁a-a,.且当a阶大于2时,aa.故阶数大于2的元素成对出现，从而其个数必为偶数.证明：(2)设G,是儡数阶即，则由于群的元武中阶为I的只有一个通位元，阶大于2的元素是偶数个，剌下元素中都是阶为2的元素。故偶数阶群中阶为2的元素肯定是奇数个，9,设G,*是由g生成的循环群，则若G为无限循环群,则G只有两个生成元g和g证明：因为g是群G,*的生成元,所以对随意的“WG,存在iZ使得“=。又”=(短尸，所以g-也是群G,Q的生成元。再证G只有g和K这两个生成元.毅设A也是G的生成元，对G的元素8.存在整数s.使得g=.对于

14、力来说,由S是G的生成元,存在整数，,使得A=/.千是.R=h=gu.由G中的消去律得gw=e因为G是无限群.必疔W-I=0.从而有$=，=1或s=，=-I,即ft=g或h=f.IOxG,*是个群，uWG,定义G中的运算“A”为ab=a*u*b,时随意a,bG,求证；G,也是个群。证明：1)Va.bG.ab=a*ubG.运笄是封闭的，2) Va.b.cG.nb)c-(au*b)*u*ca*u(b*u,*c)-a(bc).运算是可结合的.3) VaGG,i殳E为A的球位元，则aE=a*u*E=a,E=U,存在单位元u.-1)VaG.ax=a*1.*x=Ex=u*a*u.JWxa=u*a1.*u,*a=u=E.各元素都有逆元。所以G,A也是个群。11.设G,是群,作EGG.aia证明：f是G的自同构OG是交换群.证明：=设f是G的自同构.对Va,beG,ab=(ba)=(f(b)f（八）)=(f(ba)=(ba)=ba故运算.湎意交换律，即G是可交换群，=因为当ab时,a,b,.Wf（八）f(b).故f是G到G中的一个单射.又对VaGG,f(a,)=(a,)=a,故是G到G上的满射.从而f是G到G上的血射.对Va,beG,因为G是可交换群，则f(ab)=(ab)=(ba)=ab,=f（八）f(b)故r是G的自同构