【《导数极限定理的推广与应用》6100字（论文）】.docx

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1、导数极限定理的推广与应用摘要:长期以来.导数和极限都是大学数学的基础部分,是学习高等数学的开端。而对于偏导数、方向导数、高阶导数来说.学好导数函数的基本极限定理则是班厨省疑的第一步。导函数的极限定理是高等数学理论学习中非常基础的一个数学定理,既是导函数的基本性质之一,又是我们求导的数的重要工具,可以很好的帮助我们将高阶导数应用到偏导函数、方向导数及其他高阶导数等数学领域中。本文首先给出了导数与极限定理并给予注记,即利用函数的连续性求出Dmf(X)=(x。),并XXo招其逐步推广应用至其他方向。最后.给出导数极限定理在方向导数、偏导数、复数域上的推广。关锁说：导数与极限；万向导数；偏导数；奥数域

2、目录1.极限与导数21极限21.2 .导数41.3 关于导数极限定理的讨论52 .导数极限定理的推广72.1 导数极限定理在高阶导数中的推广72.2 导数极限定理在悔导数中的推广82.3 导数极限定理在方向身故上的推广102.4 导数极限定理在复数域中的推广123 .导数拨限定理的应用133.1 号函数无第一类间断点13结束语13参考文献：14引言被限和导数不仅是我们学习大学教学的第一门功课,也是我们学好高等教学乃至数学分析的重要基础,正所渭基础不牢,地动山摇.所以熟练竽握导数函数中的极限基本定理对于后面的本科学习工作是至关重要的。另一方面.微积分自1958年创立以来一直在国内外学界处于一个特

3、姝的学术地位.近年来,随若我国撤积分的不断创新发展.导函数中的板限基本定理逐渐在数学分析中的方向导数、但导函数、复数域上得到推广与应用。1.极限与导数1.1.极限设函数/定义在.+刘上，我们研究当自变量X趋于+8时对应的函数值酢否无限的接近某个正数A例如,对于函数f(x)=：,从图像上看.当X无限增大时，函数值无限接近于0；而对于函数“。心工则当X趋于+/函数值无限接近于今我们称这两个函数为当X趋于+碉的极限.一般地.当X趋于+的函数极限的定义如下：定义1.1.1设/为定义在.汨上的函数,八为定数.若对于任给的0.存在正数M().使得当xW时有.f(x)-A0.取M=I则当xM时有-o=0,存

4、在正数S(),使得当0x-x6时有fx)-A0.只要取S=,则当0x-2|6时有|/(x)4r这就证明了!”沙(x)=4.例1.1.J证明!吧表M=:证当x1.时有pi2_.=|卫二|=IIzx2-X-I32X+1332X+1若限制X于0僮-I1.0),则2X+11于是.对任给的0,只要取6=min3e,1,则当0x-1|)与f+G(1)都存在，目U)=()例1.2.2设八幻=；-8SX；：,讨论/CO在x=0处的左、右导数与导数.解由于/(O+X)-(O)_x0-XAXI1.fAXVO因此.，,1-COSX/.(0)=Iim=0,f,(0)=Iim1=1.,AXrCr因为f.(0)f(0)所

5、以/在X=O处不可导.1.3关于导数极限定理的讨论定理1.3.1(导数极限定理)若函数f(X)满足下列条件：(1)在闭区间卜0-6,Xo+S上连续，(2)在开区间(XO-6,XO)及Go，X11+6)内可导.(3)1.1.m,(x)=,(A为有限值).XTXo则f(X)在点Xo可导,且1.(Xn)=k,即imz(x)=z(x0).X1.XO证明对VXW(X1.),Xo+(x)(1.+X2)+(n-1.)(x)2x+y)12)(幻.2=o.令尸0.代入上式并化简.得f(n)(0)=-(ZI-i)(n-2)/5-2)(0)/(0)=0,由上式,z(0)=0,(0)=0.的所有二阶偏导数和柒.解由于

6、函数的一阶偏导数是因此有怒=傍)*(*2=1土悬哈偿)W(i)=2.募=氯给*(2尸2,)=2eR=(2ey叫和言吗僚)=加)=8ex+2y.2.3 导数极限定理在方向导数上的推广定义231设三元函数/在点P(I(X1.).y.Z。)的某领域U(PO)UR3有定义.I为从点出发的射线,p(x.V,Z)为I上且含于U(Po)内的任一点,以P表示P与PiJ两点间的距离.若极限Hm-)=IqPTo4PPsP存在,则称此极限为函数/在点Po沿方向1的方向导数.记作IpnZi(Po)或i(xoy。,o)容易看出,若/在点PO存在关于X的偏导数.则/在点尸。沿X轴正向方向导数恰为打1_%当!的方向为工轴的

7、负方向时，则有Mh=-凯CT2.3.1若函数/在点P1.I(X0,y0./)可微.则/在点Po沿任一方向，的方向导数都存在,且i(Po)=i(P1.)cosa+4,(Po)cos0+6(P(I)COS.其中CoSa.cos,cosy为方向I的方向余弦.证设尸(x,y,z)为，上任一点,于是Xx0=X=PCoSa,y-y0=y=pcos,.z-z0=z=PCoS.有假设/在点PO可微.则有/(P)-/(P0)=人(PO)x+4(PO)y+fz(Po)z+o(p)上式左、右两边皆除以P,可得P=fx(P。)TfyW加。)VV=x(%)COSa+G(PO)COS+i(P0)cosy+等.因为当PTO

8、时.上式右边等TO,于是左边极限存在且有/e。)=,谈”亍约=A(PO)CoSa+4,(,)c0s+G(Po)CoS.对于二元函数f(,y)来说相应结果是Zi(Po)=&Go,y)cosa+fy(x0,y0)cos,其中.3是平面向盘1的万向角.例231设/(x,乂z)=x+y2+z3,求/在点(1,1.1)沿方向1.(2,-2,1)的方向导数.解易见/在点PO可微.故由&(PO)=1.y(P0)=2,(P0)=3及万向，的万向余弦22cosa=,=,22+(-2)2+I23-22COSB=,=22+(-2)2+I2311COSY=1：=-,22+(-2)2+1.23可求得f沿万向，的方向导致

9、为Zi(Po)=I1：+2(-：)+3；=%2.4导数极限定理在复数域中的推广数学分析很多结论可直接推广到复数域上来.本文给出复数域中直线段上的中值定理.CT2.4.1设复数量函数/（三）在区域。内部可导.力上连续，复数凡Z万且b,则存在,(.b),使得%=Refz(f)+Umfz().这里(”.口表示区域万中连续复数“，力的直线段(不包括端点).方为区域。的闭包.SS2.4.2设复变函数7在点ZO满足:(I)某邻域U(Zo)连续,(2)，(ZO)内可导，(3)极限Iim1.（三）存在,则f在点ZO点可导，Bf1.1.im/z（三）=z(z0).ZTZOZfZo证明显然有满足定理2.4.1的条

10、件,故任取ZIT(Zo),存在.E(z,Zo),使得侬二3=Ref,G)+Umfz(7).ZrOf（三）-/(Z0)因此当ZED,ZTZo(不管沿着任何方向)时,均有TZo且4TZo.对上式两边取极限,便得IimRef,()+iIimImf()=IimRef,（三）+iIimImf（三）=Iimf,（三）由条件Hmf（三）存在,从而Iimf（三）=f(z0).3.导数极限定理的应用3.1导函数无第一类间断点定理3.1.1(导函数无第一类间断点)设函数/()在(出b)内处处有导数f().则(ab)中的点为(X)的连续点，或者为f(X)的第二类间断点.证明因为在(4方内处处可导，所以对任意XoW(

11、%b),假设a为一(X)的可去间断点.Iimf(X)存在.由定理3.1.1可知f(切在几点连续.假AXO设与为跳跌间断点,即累J(X)与累_/(X)存在,但Iimfa)=Iimf,(x),x-xo+x-*x9,可知Xo为函数/(X)的不可导点.因此在3,力内任一点处./(切连续.或者/(幻至少一侧极限不存在，即为第二类间断点回.即也说明导数网数不可能存在跳沃间新点.下面进行举例说明,导函数不可能存在可去问断点.例3.1.1设/(X)=1.xJ).证明：不存在一个函数以“X)为其导函数.证明假设存在函数g()满足g(X)=,X(-8,+8).则有g(0)=/(0)=1.另一方面,由于g()满足导

12、函数极限定理条件目!吧g，(X)=im(x)=1.imx=0.知g(0)=11m(X)=0.矛肯.证毕.结束语导数极限定理虽说只是微积分学习的一部分,但却是学习掌握大学数学不可或锹的中坚力母，在现阶段的发展中.导数极限定理更是起着不可替代的力三.随着微积分领域的不断发展，导数极限定理也在向着更深层次飞速发展.并逐步朝着方向导数、偏导数、复数域乃至更多数学分支的领域不断地推广和应用。参考文献：U1.华东师大数学系.数学分析(上班NM1.北京：癌等教育出版.2010.围否孔.关于导览极限定理分析性债的讨论JJ.衡水学院学报.2007(01):483&3李桂花,刘汝芳.杨军.瞥抱.寻敬次限定理的选一步斫究J科技信息,2010(1.4)51951.9网王片,王金花,赵志平.导数极限定理的推广北沧州师范学院学报,2OI43O(O1X2831.5)张平文,李铁军.数值分和M.北京：北京大学出版社.2007.李海鹏,李高明.关于导函数股限定理的注记叫.高等数学研究2)I7,2(XO5)43I3D)吴艳.导函数极限定理的应用及推广U1.iS等数学研究.2018.21(05):36-38.I引装礼文.敬学分析中的典型i可磔与万法M.北京：惠等教育出版.2005.