专题04 一次方程（组）（讲义）（解析版）.docx

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1、专题04一次方程（组）核心知识点精讲1 .理解什么是方程、方程的解、等式的性侦.2 .拿旌一元一次方程的解法.3 .理解二元一次方程的概念.4 .掌握：元一次方程的解和求解方法、相关解法。5 .掌握一次方程（纲）的实际应用。6 .理解掌握常见的基本等量关系.考点1一元一次方程及其解法1 .方程；含有未知数的等式叫做方程，2方程的修能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的制，3等式的性质，（1）等式的两边都加上（或减去同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式.一元一次方程及其解法】【典例I】（2023秋越秀区校级期中）已知等式2=3）-I.则下列等式中不一定成立的是（1一2-b3一2A.2+3=3h

2、2B.2C.2=-I.【答案】-1.【分析】根据一元一次方程的定义得出网=1且1.IWO.再求出答案即可.【解答】解：.（1.i）W-5=6是关于X的一元一次方程.p=I且m-I0.,.w=I.故答案为:【典例3】（2023秋天河区校缎）解方程：2v+5=3x-2.【答案】x=7.【分析】根据解一元次方程的步骤求解即可.【解答】解：移项，2x-3x-2-5.合并同类项.-X=-7.方程两边同时除以-I,得x=7.*至即时检测1 .（2023秋越秀区校级卜列说法中.正确的为（若-3=-3,K1Ia=bt若a=b,则ac=b-,：若9=则a=bimm若J=2,则。=2.A.B.C.D.【答案】B【

3、分析】根据等式的性质逐项进行列断即可.【解答】解：若“-3=A-3,帆总等式的性凰两边都加上3得-3+3=-3+3,即“=从因此正确：若a=b.根据等式的性质，两边都加上，得+=RA,若+c=Hc.则a=bB.若=（则a=bC.若ac=bc,W1a=hD.若r=b（0O）,则m,【答案】C【分析】根胞等式的性质逐个判断即可.【解答】解：A.,.（c=b+c,：.a=b（等式的两边都减去c）,故本选项不符合题意：ab8.由一=-能推H：a=b（等式两边都乘c）,故本选项不符合的.旗：CCC.当C=O时、由c=从不能推出=故本二项符合喀您:D*：ax=b,0*二除以。,知X=I故不选项不符合SS意

4、：故选：C.3.(2022秋广州期末)将方程言=1+乌萨中分母化为整数,正确的是1.+止尹【答案】C【分析】方程各项分子分母扩大相应的倍数,使其小数化为整数得到结果，即可作出判断.【解答】解：方程槃理得：F=1+写.故选：C.4. (2022秋白云区期末解方程：&r=-2(x+4).【答案】见试时解答内容【分析】1.A：号，再移琼再合并网类项,题后他JK数为1.从而得到方杆的也【解答】解：去括号得：8=-2v-8,移项得：x+2r=-8.合并同类项得：IOK=-8,系数化为I得：x=-.5. (2023秋东莞市校级)解下列方程：3-2=4r+1.;5-4)+3x+6)=14.【答案】1)X=-

5、31(2)x=2.【分析】(D移顶、合并同类项、系数化为I.IK此求出方程的解即可： 2)去括号、移顶、合并同类顶、系数化为I,据此求出方程的解即可.【解答】解：(1)格攻，可得：1.t-4x=1.+2.合并同类项,可得：-x=3.系数化为1,可得：X=-3.去括号,可得I5x-20+3x+1.8=14.移项.可得：5,v+3x-14+20-IX.合并同类项，可得：以=16.系数化为I,可得：x=2.6. (2023秋中山区校级解方程:2(x-3)=I-3(a-+1)sy-9=3-守【答案】x=08s=3.【分析】(1)方程去括号.移项，合并同类项,把X系数化为1.即可求出解；(2)方程去分母

6、,去括号.移项.合并同类项.把.V系数化为I.即可求出耨.【解答】解：(I去括号得：2r-6=1.-3x-3.移项得:2v+3a=I-3+6.合并同类项得：5x=4.解得：X=O.8：=27得：23*-3k)=27.故选:A.2.(2023秋南山区校级解二元次方程组;x+y=51:U-y=-1产二厂S(3x+4y=2【答案】心二G=-I-【分析】11)将原方程组的两个方程相加,得到2r=4,进而求出X的值,再代入求出y的值即可:=2X8OaXB.I(XX)(8-x)=8OarC.210(36-,r)=80OxD.100O(36-=80OX【答案】A【分析】由车间总人数可褥出安排(36-x)名工

7、人生产“遛带，极拖每天生产的口审带的总数里是每天生产的口罩面总数收的2倍，即可得出关于X的元一次方程,此遨得解.【解答】解：.口草牛.产车间有36名工人，目安排X名工人生产口罩面，二安排+(-5)=-6./.-7+o+3=-6,解得：4=-2，故答案为：-2.【典例9】（2023罗定市校级模）我国古代数学般典著作九章匏术中有这样一题.原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.钱，会多三钱;年人出七钱，又差四钱.问人数、物价各几何？”意思是；今彳j人合伙购物，每人出八何人数、物价各多少？设人数为X人，物价为F钱，卜.列方程组正确的是（俨=8x+31.y=7-40=8x3&=7x+4y=

8、8x+3(y=7x+4、fy=8x-3-y=Ix-4【答案】D【分析】根据“母人出入钱,公彩:钱:祗人出七钱,又差四钱”,即可得出关于X,y的二元一次方程组,此跑得解.【解答】解：；每人出八钱,会多,V=Rr-3：二每人出七钱,又差四钱,y=7.r+4.根据虺比可列方程如R-71Iy=/Xzt故选：D.【典例IO（2023龙岗区校欲一校飞盘运动由于门槛低、限制少，口具有较强的团体性和趣味性,在全国各地悄然兴起，深受年轻人总爱，某商家拟用620元购进30个海绵飞盘和50个橡胶飞盘，己知橡胶飞盘的进货单价比海绵E盘的进价单价多6元.I）海绵飞盘和橡胶飞盘的进货单价分别是多少元？2）由于飞盘畅销，商

9、家决定再照进这两种飞盘共300个，其中橡胶飞盘数麻不多于海绵飞盆数值的2倍，且每种飞盘的进货单价保持不变，若橡胶飞盘的精竹单价为14元，海绵的销代单价为6元，试向第二枇前进橡胶飞盘多少个时.全部售完后,第二批飞盘获得利润最大？第二批飞盘的最大利润是多少元？【答案】（1）海绵飞盘的进货单价是4元：橡咬飞盘的进货单价是1（）元：2）笫二批购进程股飞盘200个时，全部售完后，第：批飞盘获得利润最大：笫：批飞盆的以大利润是100o兀.【分析】（1）设海绵飞澈得个X元.则将!股飞盘每个（户6）元,然后极格用620元购进30个海绵飞盘和50个橡胶飞盘列出方程求梅即可：个，然后根据利润=单件利涧X数量列出“

10、关于m的一次函数关系式,再根据橡胶E盘数猿不多自海绵K盘数量的2倍求出m的取假范围,即可利用一次函数的件项求解.【解答】解：(I设海绵飞盘姆个X元，则博股飞盘知个(x*6)元，由题总得，3Ox+5O(x+6)=620.解得x=4./.A+=10,答：海绵飞盘的进货单价是4元：博胶飞盘的进货单价是IO元；设第二批购进橡胶飞盘切个,利涧为W元,则购进海绵飞盘(300-m)个，由必意得.H=0.wa，”增大而增大，二当r=200时.hW.果大值为2X2(Xk600=1000元，答：第二批购进橡胶飞盘200个时.全部传完后.第二批飞盘获得利湖最大：第二批飞置的最大利润是I(XK)元.事BD时梏测1 .

11、(2022秋福田区期末深圳市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队,甲海工队有15位工人,乙施工队有2S位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调X名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙胞工队人数的3倍,则根据越总列出方程正确的是(A.3(1.5+.r)=25-B.I5+x=3(25-)C.3(1.5-.r)=25+xD.I5=325+)【答案】B【分析】根据两队原有人数及借词人数.可得出借调后甲胞工认有O秒.1）写出数轴上点A表示的数16.与点A的距黑为3的点表示的数是13或19.2点尸表示的数-4+，（用含，的代数式表示）：点Q表示的数16-2/（用含的代数式表示）.（3）假如。先出发2秒

12、,请何t为何值时P.Q相距5个单位长度?4若点X是数轴上一点，是否存在整数X,使海x-3晔+2的值最小?如果存在，诏写出最小整数X：如果不存在，请说明理由.ABOA【答案】16：13或19.-4+h16-2.（3）1或9.4）-2.【分析】（1）根据题点可知，点A衣示的数是-4+20=16；与点A的距阳为3的点可能在点A左侧，也可修在点A右儡,进而UJ得答案.2）根据咫通可知.点表示的数是-4+,点。表示的数是16-21.（3）根据迤惠寿，点P友示的数是-4+（,-2=1.6.点。龙示的数是16-2,则可列方程为16-2-3-6）=S,即可得出答案.4）k-3+k+2=tr-3+k-2）,当恒

13、-3+k+2的值最小时.即整数X到3和-2的距离之和最小.则可得-2WxW3,从而可得答案.【解答】解：（IY点8表示的数为-4,A在8的右边，且A与8的距离是20,点表示的数是-4+20=16.V16-3=13.16+3=19.，与点A的距离为3的点衣示的数是13或19.故答案为：16：13或19.（2）由题意得，点户表示的数是4+3点。表示的数足16”故答案为：-4+/：16-21.3）根据通直，点去示的数是-4+（，-2）=/-6,点Q表示的数是16-2/,VP,。相距S个单位长度.16-2-（r-6）=5.解得=孝或9.，为9或9时，P.。相距5个单位尺度（此时间包含Q先出发的2秒）.

14、4）存在，最小整数X为-2.理由如下：,.,k-3+k+2=k-3+k-.r-3Hr+2的值最小时,即整数X到3和-2的即离之和鼠小,；3和-2的距离为5,J.当时,距离之和等于5.此时最小.最小整数X为-2.3（2023秋禅城区校级）为庆祝“建党100周年二甲、乙两校组织代表队参加文艺汇演活动.已知甲、乙两校共有92名学生参加活动，其中甲校卷M活动的学生有4690名，现准备统一购买服装用于文艺也演，下面是某眼装厂给出的服装的价格表，当甲、乙两校单独购买服装时，一共需付5000元.购买服装的套数145套4690套91套以上每套服装的价格60元50元4（）元1若甲、乙两校联合起来购买限装，则比各

15、自购买服装共可以节省多少元？2）求甲、乙两校各有多少名学生参加文艺汇演活动？【答案】（1）132011s甲校有52名学生参加文艺汇演活动，乙校有40Z学生参加文艺汇演活动.【分析】（1）计算出联合起来购买需忖的钱数.然后即可得出节省的钱数:2）根北;应急判断出甲校的学生46人，乙校的学生的人,乙校的学生=4(XM).而X1.25.从“1=26开始逐个代入验证，可得当I1.仅当4+1=32时，X是正条数，此时Jt=31.KP(2r+31)32=40.解得:x=47.即该校学生应指:成32排，第#应据47名学生,故答案为：32.47.8. (2022秋龙岗区校级)周末，七(11)班妙妙，小琪等同学

16、随家长一同到欢乐谷游玩,下面是购买门票时，妙妙与他进爸的对话(如图).试根据图中的伯息，解答下列同即：妙妙她Q一共去了几个成人，几个学生？正要购票时，妙妙发现七(12)班的江天吴等IO名同学和他们的7名家长扶17人也来购票,为了节省费用.经协商他们决定一起的票,请你为他们设计最省钱的购票方案,并求出此时的费用.大人门票是每张40元,学生门票价位位，等一下我竟一算看换票是5折优惠,我们一共12人，成人：每张40元一种方式买票是否可以省钱.共需400元.学生：按成人票5折优惠团体票(16人以上、含16人)：按成人票6折优惠【答案】见试即裤答内容【分析】1设成人为K人.学生为F人，根据共有12人，结

17、合总价=单价X数/，列出：元次方程组，解方程为即可:设成人为K人，学生为3人，1.3Sh40+20y=400,解得，；：，答：妙妙她们一抹去了8个成人，4个学生：(2) V4+10=14.8+7=15.共有14名学生,15名靠长,共有29人，若购买团体票,费用为r400.629=696（元）：若分开买票，费用为：15X40+40X0.5X14=600+280=880（元）：若15名家长和I名学生购买团体票，13名学生买学生S1.费用为I16X40X0.6+40*0.5X13=384+260=644（元）.V64469688（）./.15名家长和1名学生购买团体票,13名学生买学生票以优出，总黄

18、用为四元.9. （2022秋龙华区期末列方程斛决问题某文具店出售的部分文具的单价如下表：种类单价红黑双色中性笔IO元/支级色艳芯6元/盒红色笔芯8元/盒 W1,WIJ.因活动促销,黑色笔芯五折怕售,纣色笔芯七五折销售.小杰在此期间共购进红黑双色中性笔2支，红色笔芯与黑色盘芯共IO盒.共花去74元.小杰黑色笔芯与红色笔芯各买多少禽？小杰此次购买比按原价购买共节约多少钱？【答案】（1）黑隹芯2盒,红卷芯8仑：促销后：照笔芯：6X5O%=3元/盒.红笔芯：875%=6.设想定芯X缸红金芯y窟，E+y10,0（3x+6y210=74由得X=I”25代入，182yy=10y=8代入中得*=2,y=8.v

19、=2.故野答：黑金芯2盒，红学芯8盒：+1.2+64=96（元）.96-74=221元）.答：共节约22元.T怠础过关一.选界（共6小JB）1 .下列方程中，是一元一次方程的是（）A.?-4.r=3B.Zr=OC.x+2y=1.D.X-I=J【答案】B【分析】只含有一个朱加数（元），并且未知数的指数是1（次的方程叫侬一元一次方程.它的般形式是ut+b=0tw2=8是关于X的一元一次方程，期（）A.，”=2B.m=3C.w3D.mI【答案】B【分析】若个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是I.系数不为0,则这个方程是一元一次方程,所以m3X0,m-2=1.解方程和不等式

20、即可.【解答】解：已知（m-3X1.mI-2=18是关于X的一元一次方程.HJm-2=1.解得：m=3.又；系数不为0.m3.则m=-3.故选：B.3 .元朝朱世杰所著的V算学启蒙中,记载了这样一-道题；良马日行二百四卜里，帮马日行一百六卜里，鹫马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快为每天行240里，慢马每天行160里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？柠设快马K天可迫上悔马，出题意得Xx+12XXdA.=B.12240160240160C.240（X-12）=160D.24ftr=160（x+12【答案】D【分析】由慢马先行12天,可得出快马追上慢马时悔马行了（x+12）天，利用

21、路程=填度时间,结合快马追上慢马时快马和假马行过的路程相等，即可得出关于X的一元一次方程，此造得解.【解答】解.慢马先行12夭.快马X夭可追上慢4.J.快马追上慢马时,慢马行了(x+1.2)天.根据题意得,240x=160(x+12).故选：D.4.己知X=1.F=-3是方程ax-y=I的解，那么a的值为()A.-3B.-2C.3D.4【答案】B【分析】将X=1.y=-3代入原方程，可得出关于a的一元一次方程,解之即可求田a的做.【圈谷】解：将X=1.y=3代入原方程得：a-3)=1.耨褥：a=-2.二a的值为-2.故选：B.【答案】B5,卜例方程加足二元一次方程组的是(KVo1【分析】根抠沅

22、次方程组的定义迸行判断即可.【解答】解；A.有三个未知数，不是:.元一次方程组，故A错误，不合题意;B.行两个未知数,且次数为一次.故B正确,符合题意:C、含有未知数项:种的次数不是I,因此不是二元一次方程S1.故C错误,不合JS度:D、含有未知数J页Ny的次数为2,因此不是：元次方程组，故D错误，不合烟意.故选：B.6.在用加减消元法解二元次方程组3x-2y=52x-3y=10(2)时，经过某个变化可得5x=-5则这个变化是(A.X2+X3B.X2-X3C.X3-X2D.X3+X2【答案】C【分析】分别利用加减消元法求出四个选项中的操作结果即可得到存案.【解答】MFX-2y(2x-3y=10

23、X2X3得：I2x13y=4:DX2-X3得：5y=-2()：X3-X2得：5x=-5：3+2?9；I3x-I2y=35;.四个选项中,只有C选项符合题总:故选：C.二.填空Ji（共5小JI）7 .若关于X的方程公=（其中“、3为常数，HO）的解是=1,则关于X的方程“k-2023-b=0的轿是X=2024.【答案】X=2024.【分析】把X=I代入已知方程得到a=b.代入所求方程就是即可求出好.【解答】解：把X=I代入方程ax=b得：a=b,代入a（x2O23）b=0得：ax-2O2）-a=0.Va0,，方程变形得：X-2023-I=0.解得：x=2024.故答案为：x=2O24.8 .若x

24、=2是方程6-r=4的解，则。=1.【答案】1.【分析】根据方程解的定义解决问甥.【解答】解：Yx=2是方程6-ax=4的解.,.6-2a=4.,.a=1.故答案为：I.9 .一个两位数的个位数字与十位数字的和是8,把这个两位数加上18,结果恰好成为数字对调后新的两位数,这个两位数超35.【答案】35.【分析】设十位数字为X.Jtt个位数字为（8-x）,根据“把这个两位数加上18.结果恰好成为数字对调后新的两位数二可列出关于X的元一次方程，峰之可得出X的值，可将其代入0x+8-X1.即可求出站改.【解答】解：设Wa数字为X，则个位数字为（8x）,根据桂意得：IOx+8-x+18三1.O（8-x

25、）+x.解知x=3.IOx8-X=IOX3+8-3=35.二这个两位数是35.故答案为，35.10 .现有一段长为180米河道整治任务，由A,B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队诲天整治8米，共用时20天.小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数小A已知列出一个方程为+y=180,则另一个方程是=+=20_.128恪案】+J=20.【分析】根据列出的方程可以得出X是A工程队的工作双，y是B工程队的_E作收.由两工程队共用时20天可列H1.方程.【解答】解：根据题点得.X是A工程队的工作肽.y是B工程队的工作盘,所以可得方程:+W=20.IZH故答案为：+J=2

26、0.11 .若方程组；-3,J解满足a+v=0,WIA-的值为1.【答案】见试题解答内容【分析】物方程出中两个方程相加后，再将两边除以3可知x+y=I-k,X*y=（）解出关于k的方程,解之可得.【解答】的（2x+y三1-3k%Ix+2y=26，得：3x+3y=3-3k,则x+y=1.-k.Vx+y=0.1.-k=0,解得；k=1.故谷案为：1.解答题（共3小）12 .解方程；3x-3）=x+1.:X+22X-3=2.46【答案】见试R裤答内杵【分析】（D去括号、移项、合并同类项、系数化为I:2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1.【解答】解：（1去括号.得3x-9=x+1.移项

27、.得3x-x=9+1.合并，得2x=IO,系数化为I,得x=5：2）去分母.得3（x+2）-22x-3）=24.去括号，舟3x+6-4x+6=24,移项，得3x-4x=24-6-6,合并.得-X=12.系数化为I.得X=72.13.【阅读材料】在数轴.匕若M表示的数是1,把M向左平楼2个单位长度到达点M则N表示的数为1-2=-1MV的长度为M、N两点表示的数的号的绝对值，即I-1|=2：11M表示的数是1.把M向右平移2个单位长度到达点N.VAN表示的数为1+2=3.MN的长废为M、N两点衣示的数的基的绝对伯，TOP-1.=2.【解决问胞】如图，已知数轴上的三点人8、C，点A衣示的数为5,点8表示的数为-3,点C到点A、点8的距离相等,动点P从点八出发，以毋秒2个单位长度的逑度沿数轮向左匀速运动,设运动时间为r秒.（D求出点C在数轴上表示的数：求出点P在数轴上表示的数（用含字母，的代数式表示）：当P,C之间的距离为I个单位长度时，求，的值.F,IIIII，4|“-4-3-2-IOI23456【答案】（1）1:5-2u（3） 1.5s2.5s.【分析】（1）根据点A表示的数为5.点B表示的数为-3.点C到点A、点B的即离相等.则C点表示的