专题16 椭圆及其标准方程10种常考题型归类（106题）（解析版）.docx

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1、考点九IiI的焦点三角形同题（一）求焦点三角形的内角或边长（二）求焦点三角形的局长（三）求焦点三角形的面枳（四）黑点三角形的内切付JB（五）与焦点三角形有关的值问愚（六）焦点三角形的缭合WJB考点十与留有关的轨迩向黑（一）直接法（二）定义法（三）相关点法专题16椭圆及其标准方程10种常考题型归类（106题）高考点考点-一Bi定义及解析考点二一留定义的应用（一）判断的方程（二）根据的方程求敷考点三求一的标准方程考点四根据方程求相对考点五求一国上点的坐标考点六一国上点到焦点电方（含量值）问题考点七国上点到坐标轴上点的电育（含量值）问.考点八一上点到焦点和定点电离的和差值知识点h1的定义1、一国的定

2、义，平面内个动点P到两个定点、心的距离之和等于常数（IPK+pF2I=2aF1.F2）,这个动点P的轨迹叫椭网这两个定点（R,F2）叫研酸的焦点，两焦点的即密（IEEJ）叫作翻圆的焦距.说孙若（|/+rE=fif2）,P的轨迹为线段KG若华1+卜居|用用.t22J1、两种椭网5+2r=.=+二=1（0方0的相同点是:它们的形状、大小都相同.都行”:0.*b2a2b2（/=从+/：不同点是:两种椭圆的位附.不同,它们的焦点坐标也不同.2.给出捕例方程+21.=wo,JO.JW）.判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭囤的mn焦点在X轴上U标准方程中/项的分母较大:椭即的焦点在，轴上U标准方

3、程中V项的分母较大,这是别断椭圆焦点所在坐标轴的垂要方法.可简记作:焦点位跟看大小.焦点跟著大的跑.解题策略1 .椭硼定义的应用(I)勒网的定义式：PF+PF2=2(21F2).在解题过程中符IPFII+PB1.看成一个整体，可简化运算.(2腐酸的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数,因而在解决何阳时，若出现“两定点”“距离之和这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭If1.I的定义来解演.注：(1)对椭圆定义的三点说明椭圆是在平面内定义的,所以“平面内这一条件不能忽视.定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变玳.常数(%)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲践是否为柿圜的限

4、制条件.2 2)峰义的应用技巧掂01的定义具有双向作用，印着IMa1.+1,WBI=ZJ(2内正出,则点M的轨姿是标圆：反之,施圆上任意一点M到两焦点的更高之和必为为.直规/过左焦点片与椭圆相交于A、B两点，则AAB月的周长为4a，即IAa+BF,+AB=4a(f1.涉及焦点三角彩面积时.可把IPaHPF2看作一个整体,运用IPAF+IPFJ1=(,FI+IPA1.A-2PF1PJ及余弦定理求出出HH。臼，而无再单独求解.2.一定的方程包括-Jttt-和“定”两个方(1) “定位是指确定与坐标系的相财位置,在中心为原点的前搔下，确定焦点位于弹条坐标轴上,以判断方程的形式：(2)“定量.是指确定

5、/,的具体数值,蒋根抠条件列为程求解.3 .求椭圆标准方程的方法“)关键破代人法：先确定椭If1.I的焦点位词，明确其标准方程的形式，再利用定义及/一=/求出多数”,b,最后代入椭圆标准方程.待定系数法：构造“b,C三者之间的关系.通过解方程组求出.但是要注意先确定焦点,所在的位置,其主要步.赛可归纳为“先定位，后定麻”，当供点位置不确定时，可设帏即方程为m+f=go,zj0,mA因为它包括烬点在X轴上(，n),已知曲线上动点坐标为Qg,y1).M=依七、)，求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式:IVi=(X.y).代换：将上述关系式代入已知曲戏方程得到所求动点的轨迹方程，并把所

6、得方程化筒即可.考点精析考点一桶圄定义及辨析1 .(2023秋四川南充询二四川省南充高级中学校考期末)设定点用0.-2),E(ft2),动点P满足条件%+P同=5,则点P的轨迹是()A.帏网B.线段C.不存在D.购回或线段【答案】A分析根据购阀的定义可判断动点的机迹.【详解】因为(0.-2),5(0.2),所以忻周=4.所以仍用+=5/用,所以出尸的轨速足以F1.F,为色的#m故选：A.2 .(2023秋湍二课时练习)己知A(-5.0).8(5.0),动点C满足Hq+8q=10,则点C的轨迹是()A.椭R1.B.直线C.战段D.点t答案】C【分析】HAcI+1=K)=IA电作出网所即可.【详解

7、】因为A(FO)I(SO),所以I八。+|8。=10=|/叫.如点C的轨迹是线段AS.故选：C.3(2023全国高三专题练习已知,K是两个定点，且田片|=勿(”是正常数)，动点/满足P+P=2+1.,则动点P的轨迹是()A.椭网B.线段C.橘网或线段D.直线【卉案】C【佯解】解：理为1.2(当且仅当=1.时等号成立，所以*RI+I%I46,|01.1.Hf,P+PE,此时动点P的轨迹是精加；当。I时.IPAJ1.+1.PEHEI.此时动点尸的轨迹是戴段6片.故选：C.4. (2023秋,高二课时练习)平面内有一个动点M及两定点A.B.设CIAM+A俐为定(*ig：点M的轨迹是以A,8为焦点的椭

8、【乱那么()A. P是q的充分不必要条件B. p是(Z的必要不充分条件C. P是g的充要条件D. /,既不是g的充分条件，又不是g的必要条件【答案】B【分析】IWBMI+1Affi1.为定值，且定值I八M:是椭圆，从而存到省【详解】当IA1+1幽为定值明九定侑大kM时，由M轨迹是椭圆,飘辑等于|回，点M轨迹是线段,若定值小于|同，则貌遗不存在；当dM的轨迹是以A,8为焦点的确以时，IMW+|网必为定值:所以p*q,m*=.故。为“的必要不充分条件.故选：B5. (2023全国二专区练习)如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式G+(y.3).(3)?.4/.则点M的轨迹地().A.不存在B

9、.KiMC.线段D,双曲线【答案】B【详解】JY+(y+3f+Jx(2)?4/我示平曲由二八八乂，)到点(0.-3),(0,3)的沟_之和为46.而3-(-3)三6*=4.P点的轨迹为正魄故选：B.7. (2024全国高二专；题练习)已知动点P(x.y)满足Jx+(y-2)+Jx+(y+2)=+为大于零的常数)，则动点尸的轨迹是()A.战段B.0C.稀圆D,直战【答案】C【分析】根期题1,结合桶B1.的定义即可得到结果.详解】Jxj+(3=2)的几何意义为点P(X,力J点A2)间的跑离.同理“+(y+2)的几何点义为点P(x,y)j.,即X-2)间的即面.且IAB1.=4乂由为大零的常数，可知

10、,+J2Fy=24.即=召时取格a故x+(y-2)；+Jxi+(y+2f=a+-4,即动点Pi此A1nJ,0则C是勘回.其焦点在轴上B.若，0,则C是椭Bi1，其焦点在X轴上C.若m=0,则C是圆，其半径为4D.若JO.0,则C是两条直线【答案】AD,t，一（i,fWJxjJ-A.Km0.则皿%而1可化为了一丁=1.闪为mO,所以,工，呷曲线C上mnnin示保点在,轴匚的哒隔，故A正确，故B错误：MJC.fm三w0,则后+=I可化为/+）?=,此时曲线C小向心在融.二为五的同.n故C不正确：对JD；，”=0,”0,则”*+=1.可化为/=1.），=土史，此时的.C彳In，；故D正确:故选：AD

11、.9. （2024,商二课时练习说:爪/+4-1衣示的是椭阳：夕：，0.”0,则0是9成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A（分析】根据胸上方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果.【详解】若小+中=1表示的是椭BS,则mO,”O且wt,即0=q成立:Yu：=1吃M+=1.加的是风即不成即是9成。.的充分不必要柒件.故选：A.10. （2023秋江西吉安,高二吉安一中校考期中）已知条件P：r0.条件9：+*表示一个椭圆.ntn则P地9的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D,既不充分也不必要条件【答案JB【分析】根抠

12、曲战方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系.【讦解】由做0,rm=n0.则+F=必小个网充.分性不成wn而二+E=我示.个椭圆，则，刈o成，九必爰性成汇./Wn所以。是g的必要不充分条件.故选：B（二）根据的方程求套数11. （2O23高二课时练习）“1,7”是方程+工=I表示的曲线为椭网的条件.7-mn-1.【答案】必要不充分【详解】当m=4时表示收，与1.mO当+上=I为椭I闻，则，-1O,pWw7IIm4,必要性成立：7-zu/W-1-1.7-mm-1.踪,“1.mv7”是“方程f-+=俅示的曲段为IftBF的必要不充分条7-nr11-1.故答案为：必要不充分j212. （20

13、23秋广西钦州高三校考阶段练习）“1”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要第【答案】BJ1.-1.O.【分析】粮恻椭圆的标准方程可得5-k0.解不等式如得出1V&V5I1&W3,再利用必要不充分条档定义即可求解.A-1.0.【详解】若方程在示精网，WKj5-0.A-1.5-A.Wft1.*511.*3.故1A0则必fjAO解之得OA?或90”是”曲线。是椭所的(4初+2A.充签条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C(分析】HiW已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定UP可40【详解】若曲找C是椭即，则行：

14、3O+20403+2解得：0011f1.2故“。0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件故选,C15. (2024高二单元测试)芥方程工+J=I表示椭圆C,则下面结论正确的是9-kA-IA.*e(1.9)B.黝阳C的焦距为2C.若椭圆C的焦点在X轴上，则Aw(,5)D.若桶即C的拓点在X轴上，则&0,-1.0,119-1,即h(1.5)j(5.9).Ai八K釉上时，9-1.0.解得Aw(1.,5),D错I：骑；外”1.K轴I:时,则d=9-A-伏T)=K)-泉.你点在V轴上时,ci=-(9-)-2-10.B故选：C16. (2O23全国高二专魄练习)方程/+妙：=2表示焦点在X轴上的精圆的一个充

15、分但不必要条件是(A.A0B.1.k1.D.O1【答案】B，52X-*F+h2uj变后为彳+了=1.&示伐.也作X轴上的椭圆，则有0v1.7*35,1.*1.1.iJk1.H三1*1的充分0!不必要条件.故选：B.17. (2023春上海黄浦高二上海市向明中学校考期中方程收+y2表示焦点在X轴上的椭圆,则实数的取值范围为.【答案】(Q1.)【分析】根据鼬廨方程分析运算.x,-【洋裤】由题恁可？M-OHz+T=I若衣示焦点在轮上的惭Ii1.h则2.科得0轴上的WIb所以m-46-m0,得5v，”v6.6-mw-4故答案为：(5,6)考点三求椭BJ的标准方程19. (2023秋诲:课时练习求满足下

16、列条件的椭圆的标准方程.()b=,c而,焦点在y轴上：4=10.c-6.(3)经过点P(-231(),0(0.2)两点:(4)与确典二+4=1有相同的焦点且经过点(2.-6).43【答案】1.)+r=1.;16二十=|或工+工二I1006464100三+21=1124X3V2【分析】2根据已知条件,结合“2=6+/求出M和炉,再根据性点位置写出椭硼标准方程:根据题总,分析可得所求怖党的胡克在K轴上,以及可求得“e的值,然后”出椭圆的标很方M4；求出,椭圆=1,c=15.所以2=b+c=1.6.囚为椭圆焦点在y上，所以其标潴方程为：4+=;16(2)因为=10,e6f所以=100-36=64，*

17、、，,仙：1国不编定，I?以其标准方程为:+二=I或工+=.10064641000)H1.题JS得：；.豺“：e+畋：y舍去)+=b-=3+2Tb=3-23C所以椭网的标点方程为丁太万+云万=1.20. (2023秋新箱乌稗木齐高二乌市八中校考期中)若确IBC:二+i=1(“60)过点4T少叩由n09,则椭圆方程为（+y1ID.X2+1【答案】A【分析】把已知两点坐I求出/,ba后即得.Jr+2=1.【详解】由已知f1.o劝；I.孽:，所以桶BS方程为OyM!_1.O=I3I、Aa24故选：A.21. （2023春江苏南京高二江苏省江涌高级中学校联考阶段练习）已知椭圆C:0+60）的左、ab右

18、供点为$7.0），Ea0）,且过点则椭圆标准方程为.【4案】+143【分析】待定系数法求帏削的标准方程.【详解】由题知：C=1.t又椭圆”过之aba2-bie,联立解得:2-4.h2-3.故椭圆的标准方代为I+443故答案为：4+4-=.4322.（2023秋高：课时练习）-Hx1.oXI5、AC过点（3,-2）且与*+?=1有和同焦点的酰盟方程为（B.工+上=1225I（K）1答案】A【分析】根据知方程求上糕点即为所求椭圆焦点.设出所求神园方程.代入(3.-2).耨方程组即可.【佯解】山卷+(=I知,侬点为(6).(-JJ即C=有/-6=5.设所求柚园方行为*+g=1.则，+*=1.解乔从=

19、m=故所求椭回方程为W+二=1.1510故选：A.23.(2023乔陕西宝鼎,高二就饿中学校考开学考试汜知悌即。*+*=1(。/0).四点”0).6(。./).川-I粤IH1.-粤上恰有三点在椭圆C上即砌C的标准方程为aT+f=bV+T=1c+=d+=【答案】D【分析】根据椭圆的对称性可知T孚).小-孚卜硼*匕“.皆不在椭阳.4(b帏网匕幽Ih1.方程求出。小叩通【详解】根据标IB1.的对称性可知4卜,乎孚)在循Ie上濡(Iq)不在桶BI上,s(在椭B1.上.将小旦-I.阴代入桶01方程得:心，椭同1.TjmJ为1+=1.OJ故选:D.24.(2023秘辽宁葫芦岛高：统考期末)设椭网=Kab0

20、)的左、右焦点分别为,吊,上顶点为B.若怛埒=出用=4,则该椭圆的方程为)【答案】A【分析】根虬懑意和椭照的几何性啦,r到=2c=4进而求得的值,IW求解.【详解】由鬼堀的几何性质.因为I跖|=花周=4.可得q=2c=4.所以=4c=21.6=7Z7=265；：加.，工=11612故选：A.25. 2023春陕西宝鼎高三宝府中学校考阶段练习已知16圆(7:m+*=1(“。0)的左、右焦点分别为小人，”为C上一点，若ME的中点为(CU),且，；鸟的周长为8+47,则C的标准方程为()【答案】A【分析】界IKaM66的周长“诲+c=4+21.由M的中点坐标求得M坐标，代/M亿：;系式.解方程可用“

21、.b的值.即可求式答案【详解】因为的图长为84,所以2+2=8+4J0)的左、右焦点,点P在椭圆上POF2(O为坐标原点)是面积为小的正：角形，则此613的方程为.瞪案】=【分析】不妨设点P位丁势象限，且E(C0),由88点得到且解得=2,结合椭H1.的定义，求得a1.+下,得到川=2【I；：.【详解】不妨设点P位广第3i.1.1.%(c).M为-POK是血枳为的川JiJ/可汨4/=.睇得C=2.所以U)(-2,O)%(2,O)由桶I：1的定义津2a=PF+PF=(1.+2)3+(3-)+“1-2/+(&0丫=2+2?,所以-1/W1.b2r-C22事,所以椭网的标准方程为了台一品=1.27.

22、 （2023秋,高二课时练习）若椭圆的中心为原点.对称粕为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形,供点到椭眼上点的最短距离为/,则这个摘圆的方程为B.12D.以上都不对【答案】B【分析】山知轴的个端Ci.JP1.构成1、工=角形可得卜=瓜,由焦点到椭K上点的JMS距离为a-c，【详解】山胞意.当IIiIiW小.女的用/J韦为：（1.IM意b=如Ca-c=JT所以=yb,c2=2C,a，人=3所以椭网方程为：+=1.1291桶IHI假点在）轴上时，同理可得：h,故选：B28.2023侪四川内江摘：四川省内江市第六中学校考阶段练习己知椭圆:1S）的左、八焦点分别为过坐标原点的直战交手守以两点

23、，且叫1.Q,且SJM=4.P图+怩Q=6,则椭圈E的标准方程为（），2.XV*.t.VA-三三IB.+-三三14354C.+三1.D.工+J1.9495【答案】C【分析】根抠蚓阪的定义可求w=3,结合三角形的面积可求J进而可可答案.【详情】如困.江接党.。月，由1鼻的对粒:竹仃四边形WQE为丫唱也.所以I%+但=|%|+俨川=2=6.得=3.乂因为PF11.居Q,所以四边形PF1QF2为矩形,设俨用=QE=1.,则S2*4.所以（=$产：；或tj*tiift=8,W1.=25.Wc=5.j=j-c2=4.椭圆E的标掂方杵为三+工=1.94故选:C考点国根据柿B）方程求相关量29.【当选】（2

24、023秋摘二课时练习）帏的工+22=I的焦距为4.则m的值可能是（）m8A.12B.IOC.6D.4【答案】AD【分析】由蛹IS的标准方程中=+即可求解.佯解因为用快的住井为2c4.则c-2.当侬点在X轴上时,m3,a2m,bt3,1a2=Z2+rI即m=8+2=1.2解召，”=12：当焦点在）轴上时,Omc-2.当描同住也在X轴二时.=I.,=-7k则由所以/-1-：.1+：04=&口：.k）k3此时方程为：/-?=1不是帏留.所以不满足即意.卅IiIf1.I焦点在）轴上时，f1.2-y.ftj-1.k必*1.2,解拶=1,此时方程为：x1+-=1.满足图意3*的值为T.故选：D.31. （

25、2023氽国画;即练;J）已知他点在）轴上的椭圆+工=1的侬距等于2.则实数析的值为（4A.3或5B.土币或土下C.3D.3【答案】D【群解】因为椭口：”上，所以m2当焦点在X上时，:.褥m=-2=1W02当焦点在3上时，:,Wwi=I;2-=IW综合，-；或，”=1.故选：D.，33.（2023秋天津和平高二矮华中学校考期中）曲税0+与=与=+J=（0Cv9泮g&（A.有相等的焦距，相同的焦点B,有不等的焦距，相同的焦点C.有不等的供柜.不同的焦点D.有相等的焦距,不同的佟点【答案】D【分析】根据蝇上标准方程的特点及燃距的定义即Ur求解.【E解】由题患可知，桶吗吟1的生立在X轴上，I1.r=

26、25-9=161所以c=4,焦H为&=2X4=8,仅百坐标为（40）,椭圆=7+三=1.（0CWiN.常0/为了何凯M：；:.,1.,比H做心为。20).衅为r=JEE=C=/故点P的轨迹方程为W+y1=5(xy0).X2V2.x+T=I,解得X=芷或=-型(含去)，即点P的横型标发之叵；+/=5555:白尸的极坐标是6成W：故答案为：或手37. (2023秋,安徽阜阳,高二安徽省厥上第一中学校考期末已知椭网的焦点为(20).E(2.0),且该椭网过点22.2).(I)求檎版的标准方程:(2的网卜.的点.M满足ME1E.求点M的坐标.【答案】(D+=184(2)利用两点间距离公式求得P到桶B1

27、.的左右俅点的距离,然后根据帏网的定义褥到a的值.结台，的值，利用“.儿的平方关系求得的值，再结合焦点位置，写出椭圆的标准方程.2)M：向量的数量枳MEM6=O,求得再(,%)满足的条件，再结合桶IB的方程,”得9%的值.【详解】(1)设椭圆的长半轴长为M短半轴长为瓦华性距为C.WhPF=2-(-2)3+(-2)-()7=18=32.伊曰=(2-2)2+-)-O=2.所以%+跖=4=2,BJa=2.又因为2,所以/=-=4.又因为椭圆的中心在原点，烬点在X轴上，所以该椭圆的标准方程为三十二=1.84)囚为所以wj.w;=。.即+J=4.义率+至=1,所以姬=4.即=Zj=O.84所以M(O.2

28、)38. (2023秋北京昌平高二北京市昌平区第二中学校考期中i殳月上分别是椭圆(5=的左、石焦点，点为椭圆上任意一点，则使汨户耳”=1成立的点的个数为A.IB.2C.3D.4【答案】D【分析】设点PMu利用数量枳的小标小.Ig理轨迹方程.取立也，；【佯解】设尸(打九).。同做1+f=.WJrt-3,=2,即c=7V-4故川-)(5.).P=(-5-,1.-y11).PE=(5-x0,-11).陀-5+%，=1.整理可得嫣+嫣=6.22,18“尸，”而H呼，51325j故选：D.，39(2024全国.高三专网缥习)已知耳.人分别为悌BIc=qf=I的左.右焦点,为椭B1.h一点，APR垂直X轴

29、,以巴为圆心的Ia与直线夕相切于点7；则丁的横坐标为()【答案】A【分析】IP点坐标,从而得到H线尸E,，根据承仃文豕求出仃纹FJTj联立后求礴H1.坐标.【详解】不妨设P为第嚓限内M1.,:=3-2=,(-1.0),E(1.0).故。二，怅“卬为1.将rI代入帏阳方F1.卷到力,=平.所以“，),I1.:y*+).根据相切可得:ET1FP.f:FJ:y=-3(.t-1).联立VWc+),斛在X=Iy=-3(x-1.)则7的横坐标为g,故诙：A考点六椭圆上点到焦点距离(含最值)问题40. (2O23全国高.专题统习)己知A为椭圆A-=上一点，F为椭圆一焦点，AF的中点为P,。为坐25Jo标原点

30、，若|。修=2则IAH=A.8B.6C.4D.2【答案】BIWq1不妫设H2+2=1左编点为F，右焦点为E，囚为AE的中点为.尸的中点为0.所以IAq=25=4,Z1.h|Aj+|4F|=2=10.f4MAq=Io-4=6.故选：B.41. （2023秋映西宝岛,拓二统考期末）已知椭同。史+E=1.（b0）I：的动点到右焦点距肉的最大值为9b-3+27,则=（）A.1B.2C./D.6【答案】A详解1根据*18的性质,桶副上的点到/彳焦点Ie离最大值为+c.Qa+c=3+2又“3.所以c=2由c2=a-所以8=1：故选：A42.（2023全国,高三专SS练习）设是帏圆盘+工=1上一点.M,N分别是圆C：（x+3-+y：=1.和25InC（x-3）,+y,=4上的点,则IPM+1PM的最大值为（）A.13B.IOC.8D.7t答案】A【详解】根据施意作出如图所示的图於其中6、鸟是椭例的左，彳维点.在JA巧中犷：PF1.-1.PMPF+1.IJ,当且仅当尸、M、E三点共襄崂明.在JNE中可纵IP以-2引AN1.IP玛I+2.当且仅当八N、F31点共线时,等号成立.由+即II+|；卜3W+VP+P+3,由HIiiMI方程*可得：-=25.1.1.J=5