专题15动点综合问题（解析版）.docx

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1、专题15动点综合问题【典例分析】【考点I1.动点之全等三角形向JH【例1】如图，宣线y=-gi+4与轴和”分别交于46两点，另一条直线过点.4和点C(7,3).(I求亶线AC的函数表达式：求函AB1.AC;(3i若点/是亶线AC上的一个动点，点。是X轴上的一个动点，且以PQ.八为JI点的三角形与MO。全等，求点Q的坐标.39IffM1.(1)y=-x-X2)AB2+AD2=BD2；二Q的坐标为(7.0)或(8.0)或(-1,0)或(-2.0)44Q(7,O),Q(-1,O),当APQ=9O。时，如图2,VAOBAQP,AQ=AB=5,.,.Q,(8,O),Q.(-2,0).当NPAQ=90。时

2、,这种情况不存在，综上所述：点Q的坐标为：(7,0)8,0)-1.0)(-2,0).【点脐】芍连/一次函数综今虺,待定系数法求函数的睇析式，勾股定理的应用和全等：.角形的性J贞等知识.分类讨论是解遨关根,以防遗漏.1.t41-11）如图CA1.Be誉足为C,C=2Cm.BC=6cm.MttBVJ1.BQ.誉足为B点P从C点出发以IcmZs的速度沿射线CQ运动.点、为射线BM上一动点,，足PN=AB,P点运动而运动,当点P运动时，ABCA与点P、B为H点的三角形全等.（2个全等三角形不K合）【解析】此题蔓分两种情况：当P在线段BC上时,当P在BQ上，再分别分两种情况AC=BP或AC=BN进行计算

3、即可.【详解】解：当P在战段BC上，AC=BP时，ACBPBN,4(2)已知直线八y=QA+4与坐标轴交于点八、8,将直线绕点八逆时针旋转45至直线如图2,求直线/的函数表达式；(3)如图3,长方形ABCO,。为坐标M点，点/，的坐标为(8.-6).点,1、。分则在坐标轴上，点P是线段8C上的动点，点。是直线v=-2x+6上的动点且在第四象隈.若MY)是以点/)为宣角IM点的等餐直角三角形，请耳搴写出点。的坐标.【解析】(1)根据AABC为等腰九角三角形，AD1.ED.BE一ED,可判定MEe三ACDA:(2)过点B作BC_1.AB.交h于C.过C作CD_1.y轴子D根据ACBD空ABAO.得

4、出BD=Ao=3.CD=OB=4,求得C(-4,7).G后运用恃定系数法求H找h的阐数表达式；4AS);2)如图2,过点B作BCIAB,交1.于C,过C作CD1.y轴FD,i1.1.1)可得.ADEDPF.MDF=AE.即：12-2x=8-x.解得X=4.-2x+6=-2.D(4,-2),此时，PF=ED=4,CP=6=CB.符合题懑：当点D在矩形AOCB的外部时.如图，过D作X轴的平行戏EF.交互线OA于E,交互跳BC于R设D(x,-2x+6).WJOE=2-6.AE=OE-OA=2-6-6=2-12.DF=EF-DE=8-.同理可汨：AADE2DPF,则AE=DF,即：2xT2=8-.)(

5、)解得x=，.n2022.33此时.ED=PF=型,AEBF-.BPPFBF-6.符合虺虫.3332022综I所述,D点坐标为：（4.-2）或（,-）（.W本题属于一次函数综合题.主要考查了点的坐标、矩形的性质、将定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的拣合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等:M.运用全等三角形的性施进行计曾.解题时注意分类思想的运用.KtA2-1如图，已知二次函数y=af+b4的图象与X轴交于点A（4,0）和点IX-I,0）,与）轴交于点G过点C作BC平行于X轴交“物线于点B,连接AC求这个二次函数的表达式；点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动

6、：点N从点B同时出发，以每秒I个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也!之停动，过点、作NQ里宣于BC交AC于点Q,BttMQ.求AAQM的面积S与运动时间t之阖的函效关系式，写出自支的取值范围；当t为何值时，S有最大值，并求出S的大值I是否存在点M,使得AAQM为宣角三角形？若存在,求出点M的坐标,若不存在，说明理由.I9三H1.()y=-x2+3x+4;(2)QJS=-ii+(+2j0存在点M的坐标分别为(1,240)和(2.0).【解析】(1)由侍定系数法将AD的点代入即可求解.QXD分别用t表示出AM、PQ,由三角形面积公式直接写出含有，的二次词数关系式,由次话

7、效的最大值可汨答案：分类讨论比用三用形的直角顶点.然后作出t，求知M坐标.【详解】二次函数的图貌经过A(4.0)和点D(-1.0).1.6+4=0解得所以.二次函数的解析式为y=-Z3x+4.(2)0延氏NQ交X轴于点P.BC平行于X轴,C(0.4).NG。/=-NEDC=30.2NPDG=ZCAG.又NDGP=ZAGC.二/人GeDGDP=.即GDPDGC.AGAC：AC=DB.J.AGDP=DGBDx(3)连接八C交8。干点。，则/ACF=90,VD=6.,OA=OD=32在RtAAO尸中，/QAF=30,OF=6.AF=26.,.FD=3,-6由图可知：(r三PO=9()。时.人若点尸与

8、点八揖合.NBPD=野.：.DP=DA=6；II.当点P在段段AE上时.N3PC=903迂接OROP=OA=；BD=.ZO=ZOP=300,：.AOP=120.NFoP=ZAOP-/AW=300,：.NDiiP=NOPB=I5。,：.ZFDP=IS0.乂NBAF=NBAD-ZDf=75,.：.BAF=PDF.是否能使AMN为三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由./M8N的大小是否改变？若不改变，请求出/MHV的大小I若改变，请说明理由.O）付JnW决，如图二，当动点W运动到八。的中点时，AM与HN的交点为F,AYN的中点为，M段F的长度.【答案】：1）NCAD=30：（21

9、1g.CM的值为5或5有：3大小不变,ZMBN=30）：3）FH=巫.M9r1.i）fRrAMXM求出NDAC的II力值印”邠决间这2）分两种情形：/NA=NM时,当AN=AM时.分别求解即可.ZMBN=30.利用四力次冏知决何邺P可.3i仃先行明A41Wf是等边三角形,再证明BNSfi1.W.解直角：缸杉即可解决问题.【详解】解：（I如图一（I中.;四边形ABCDkI，彬.ZADC=9()VtanZCD=-=-4=AD533，NCAO=30.(2) ff1.1)中，当AN=AWf时,；NBAN=NBMN=90,BN=BN,AN=NM.：.:.R1.ABNARtABW(H1.).：BA=BMA

10、MAABC中,YZACB=ZDAC=30,fi=CD=5.AC=2AB=10,.4MBN=NDAC=3S，W1.NMBN=3C3）如图,t1.,.VM=MC.二8M=AW=CAC=2AB.AB=BM=AM.A4RW是等边；角形. NBAM=/BMA=60 ：NBAN=NBMN=爪 乙NAM=NNMA=36-：.NA=NM. ；HA=BM.BN,JV/./.FM=-.cos30-3,.ZNFM=90NH=HM、：FH=1.MN=地.26t点心】本题掘于四边形操合强，考近了矩形的性侦，上等，珀形的判定和性侦，就n角：.角形，等边：.对Q”如图作辅助线.连接BQ,CQi.BQE0；(3)点P的坐标为

11、2.-5)或(1.0).7MIffJI)设抛物线的解析式为：y=ax+3)x-1.),然后将点A的坐标代入懵数解析式即可求得此附物线的解析武：2)作A关于X轴的对称点A,0.-3),连接MA交X轴于E.此时AAME的周长呆小，求出H线MA解析式叩可求得E的坐标：3)如图2,先求也筏AB的解析式为：广x+3,根据解析式表示点F的坐标为(X-I),把A(0.3)代入得：3=-3a.a=-1.VZF.BP=450.且NRBO=45.点P与CT台.故P(1.0).当BPF,二90c时，如图3,.F4BP=45,且F,BO=45,点P与Cat合.故P(1,0),踪上所述,点P的坐标为(2.-5)或(1.

12、0).【点睛】此题考资了待定系数法求函数的科折式，周长果用何甥,等腰包角三角形的性筋和判定等知识.此题综合性很强，解题的关键是注意效形结合和分类讨论思想的应用.【支43-3】已知It物线v=,n和直线y=+MB过点7(-2,4),点。为坐标原点，点为拗物线上的动点，线V=-x+方与轴、.轴分别交于两点.(I)求加、的值I(2)当3M是以AJW为底边的等腰三角形时，求点的坐标I(3)消足(2)的条件时，求SinNBoP的值.【答案】)zn=1.;方=2：(2)色尸的中:标为(TJ)或(2,4)：C)sin/HO，的俏为孝或手.MWr1.(I)HiW.M的坐标,利用格定系数法可求，加以的(ft：0

13、1：可得出帔物纹及直线AB的杆折式.布加:J未出点A的坐标,设点尸的坐标为(*,f).结合点A,M的5机阴&由PA,PM?的他再利用：rjtTHu111.J-V(J,1.WZ!:.仑：3)过点P作/W1.y轴.垂足为点N.由点P的坐标可得出PN,PO的R.他利用正弦的定义IP可求IBSinZBOPm.详解】=m,得：4=4m.w=I：将M(-Z4)代入y=+得:42+b.b=2:由他他物线的溜析式为y=/,次线AB的解析式为y=-x+2.当)，=0时,一+2=0.解得，X=2.二点八的型标为(2,0),Q4=2设点的坐标为H禺，则PA2=(2x)+(0/)1=x*+x2-4x+4.PM2=(-

14、2-.v)2+(4-2)2=X4-Ix2+4.r+20./APAM是以AM为慢边的苦腹角形，PA1=PMjPX4+X2-4-+4=x-7x2+4x+20整H1W：.r2-X2=0.解得：-=-,j=2.点)的坐标为(-U)或(24)：(3)过工Pf1.PNIy足为点N,如图所示.力点的坐标为(-1J)时,PN=.PO=JFTF=0.IshxNBOP=里=乱PO2当点尸的坐标为(2.4)%PN=Z.尸O=万寿=24，/.SinZfiOP=-=-,PO5/.满足（2）的条件时,sinZfiOPiJfi,!的仅为白演.【点瞄】本泗号连了特定系数法求一次函数蟀析式、待定系数法求二次函数解析式、次函数图

15、年上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直用:.为形，解虺的关键是：（I）根抵点的坐标，利用得定系数法求出m,b的值：利用一Ft及等腰二角形的性质,找出关于X的方程：（3）38过解直角三.求出SinNBQP的*h【考点4】支之力工启4月Y1出4】在边长为4的正方形ABCO中，动点E以每秒I个单位长度的速度从点八开始沿边AB向点B运动动点F以每秒2个单位长度的速度从点H开始沿边8(响点。运动,动点E比动点/先出发I秒,其中一个动点到延终点时，另一个动点也之停止运动，设点/的运动时间为，秒.(I)如图I,连按。,AF着OEJ.A/1.求，的值(2)6图2,连按EFQF,当，为何依时，EB

16、FDCF?【答案】，I)i-1.;(2)刀为2叵抄时,aEBF-DCF2【解析】，I利：；1:：2叶,行小aA2?%处，由BF=AE,列出方程解力巩即可FRRFQABD和4APQ-AADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解汰问题.【详解】解：(1)VA(-3,0),C(I.0).AC=4,VBC=-AC.4BC=-4=3.4B(1,3),设直投AB的解析式为y=kx+b,.-3k+b=0k+b=3=-439.J,1.AB的解析式为y=/x+；44（2）i,ADB,jABC相似，过点B作BDAB交X/于D.VZACB=W=,AC=4,BC=3,25=4AD.C25AD

17、4。513ODAD-AO-344二点D的坐标为,0)：43)YAP=DQ=m95AAQ-AD-QD-m.4PAD=ABAQ.解得m=则有黑.ADABPB-DAQ.36线上所述:符合要求的m的值为与或F【点册】此SS是朴升以形综合国，主要考fi了是待定系数法，和似：角形的判定与性防、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，屈于中档通!，解本遨的关次是根据相似建立方程求解.(itA4-2如图，己知抛物线V=W+t+C经过A(-3,OXU(8,0)、C(0,4)三点，点。是抛物线上的动点，连结4。与F轴相交于点心连结AGC1.).(1)求拗物线所对应的函数表达式I(2)当八。平分NeAB时.求宜

18、1.)所对应的的数表达式I设P是X轴上的一个动点，若ARtO与ACA。相似，求点P的坐标.、513【答案】7)y=一一x2+-x+4:(2)y=-x+-：(2.0)1(13.0).6622MWH将4(-3,0)、3(8,0)、C(0.4M，.坐标代入弛物线)，=G+以+c.化简计曾即可：(2)改E(OJ).根如AO分GW.EW1.AC.EO1.r氏求得Ac=5.1点得ACHESACa4.利用丝=可的u匍七点坐标，把4(T0)，(0目代入),=依+4化.可御心所对应OACA22J的函数表达式：H为P是X轴上的个动点.HPAD1-jaCAD扪似.并且AAa)是0氏为5的等腰JfiHj,所以P点有两

19、种情况rAD为等展三角形的斜边，或者以AD为腰，6A为底分别讨论求解即可.【详解】解:抛物线经过A(T0).8(8,0)、C(0,4)根据金势.地形的性做得到作FM1BC1MFN1.B产BGJ延长浅加证吗MFNaEFkFN=FM根据角平分线的判定定昭IE明结论;用如：fGH2Ah,汕叨四边形ABEA为爱形，根据靛形的性质汁力，得到奔案.【详解】解：(I.四边形AEFG是爱彬.1.AEF=180-EAG=60”：.CEFAEC-AEF6Qe故答案为：60。：(2).J四边形ABCD是平行四边形.!.rDA8=180-UBC=60”.W边形力EFG是芟形1.EAG=120.1.FAE=60*f.F

20、AD=1.EAb故答案为：=：作FM1BCiM-FN1B庐BA的延长线%FNB=1.FMB=90-,FFM=60乂FE=60”.乙IBV=FM.EF=EA-G1.E=60:阳为等边三角形，FA.FE在mef3(AFN=1.EFMFNA=FME(FA=FEAFNEFM(AAS).FN=FMFM1BCFN1BA-.点.2BC的表分线上：0）.过点P向X轴作蠢线，交抛物感于点E,交加&AC于点F,问，以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形.若能，请求出1的值；若不能，请说明理由.IQ【答案】（I）y=-A1+-X:（2）%矩形ABcD为止方形时,m的位为4：（3以A、E、F、Q网点为

21、顶点构成的四边形能为平行四边形,t的伯为4或6.【解析】（1）根据点的坐标,利用恃定系数法即可求出：次函数的解析式：2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A.B的坐标.进而可得出点C.D的坐标.将利用正方形解得=-1.=6直线ac的解析式为y=-x+6.-1x=2+(8f.y=-x2+-x=-t2+-t+4,y=-x+6=-t+43333AE的坐版为2+1-2+4).,FP2+t.-(+444).*J.以A、E,F.Q网点为顶点构成的四边形为平行四边形HAQF,.AQ=EF,分：种情况考ig：p0t4,如图I所示,AQ=t,EF-2+t+4-(-t+4)=-t*+.7当41.7时.女；图2所

22、示.Q=t-4,EF=一-t2+-t+4-(-t+4)=一一t2+-t.3333解诙I5=-2舍去)，(4=6:4I,77t8.AQ=1.-4.EF=-t2+-t+4-(-t+4)=-2-t,.t-4=-1.2-t，33涵得1$=5-岳(依去)t6=5+BA)综上所述,当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边出时，I的值为4或6（.Bft本也考杳了待定系数法求：次函数解析式、：次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、特定系数法求次函数解析式一次函数图处上点的坐标特征以及平行四边形的性历.解题的关谈电：（1）根据点的坐标，利用侍定系数法求出二次函数裤析式：2利用正方形的性质，找出关于m

23、的方程：（3）分0t4.4t7.70)图象经过点4,点是直线，=J上一动点.(1) 4点的坐标为.(2)若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这梯的点C,使得以4、3、C,夕四点为1点的四边彩是平行四边形？着存在，求出点C坐标I若不存在.请说明理由；(3)若点。是线段。尸上一点。不与。、/合)，当四边形AOBP为菱形时，过点Q分别作直线QA和亶HA的基线，星足分别为、F,当Q+。+。8的值最小时，求出。点坐标.【答案】(3.I)：(2)C1.(7+Z7-2)G(7-2,7+2).C1(3,3):3)(2.2).【解析】(1)根据点(a.b)关于y=x对称的点的坐标为(b.a)直接写出答案即可：

24、2)首先求得反比例函数的解析式,然后设P(m,m),分若PC为平行四边形的边和若PC为平行四边形的时角戌两种情况分类讨论即可确定点C的坐标；(3)连接AQ.设AB与Po的交点为D,利用四边形AOBP是菱形，汨到SaAa不词&.，从而得到1.PoAD=aOQE-aPQF,确定QEPF=廿2为定值，从IU求解.222AO【详解】解：(IB点的坐标为(3,I)；O)图象经过点A(I,3),k=1.3=3,二反比例函数的解机式为)=3.X点P在J线y=上，二设P(m.mPC为平行四边形的边.点A的横坐标比点B的横坐标小2.点A的纵坐标比点B的纵坐标大2.，点C在点P的下方,则点C的坐标为(m+2.m-

25、2)加图I.若点C在点P的上方，则点C的坐标为(m2,m+2如图2,IBC(m+2,m2)代入反比例词数的解析式得：m=,VmO.m=J1.，C1(7+2,7-2)同理可得另点G(7-2.7+2).若PC为平行四边形的对角线,如图3.VAsB关于y=x对称./.OP1.AB此时点C在在我V-X上.H.为直线V-X与双曲线的y=3交点,X，一,.t1.=TJ卜=-4I1.H3解汨：1.舍去，=-V1=3ty2=-3,C,(3.3).综沔述,涵足*f的*Cf1.个,坐标分别为：q(7+Z7-2).G(7-2.7+2)C,(3,3):BD=CE.AD=BE.点在直线x=1.上滑动，设A(1.m).当

26、m0时，VB(4.0).ADm,BD=3,CE=BD=3,BE=AD=m.OE=OB-BEJ=-m.C(-m.3).:SWX=；OByd=y43=6定(ft：当mV0时.VB(4.0).,.D-mm.BD=3CE=BD=3.BE=AD二mOE=OBBE-4-m,C(*m,3),SaBoc=IOBxyd1436.是定价：叩：当A点在巨践x=1.上滑动时，在此运动过程中ABOC的面枳是不发生变化，是定位6：如图.过点B作BE_1.OA于E,过点B作BF1.BE.过点C作COUBF于F,交OA于O.：.ZAEB=ZBFC=ZEBF=90.四边形BEOF是/形，由施转知.AB=BC,NABe=90。Z

27、ABE=ZCBE,tnr1.分为点PdADI时.t1.PA=90：n1.也P。BQ时，则NPBA=90；当点P在矩形ABCD内部时，则ZAPB=90,课例况进行讨论.详解：四边形ABCD为矩形.ZDAH=ZCBA=1X),SABCd=AB-AD=53=5,:SaPAB：SsABCD=I:3,mo=315=5当点P在ADhHr.KIZPAfi=90.：.-ABPA=5.2吗54=5.：.PA=2,故点P在ADII1.=2HhAaB为直角角形.当点P/EBC上时，则/P84=9,ABPB=5,2即，5P=5,.PB=2.故点P在BCI且PB=2时AMB为直角-M.当*P1缺，形ABCD内部时,则N

28、APB=90.IMiE1.AB点E.如图所示.2i!J-5,=5.2:.PE=ZIZ4PB=9O.PE1.ABOi1.；APESAPBE,.PEBE.,=,EPE：.AEBE=PET=4.设A=x,K8V=5-x,./.v(5-.r)=4,得:升=1.,*2=4,-，A=1或AE=4,在矩形ABCD内部时，符合条件的点P彳i2个.嫁上所述，符合条件的点P共有4个.故选：D.【点睛】考查矩形的性质,相慎三角形的判定与性旗,三角形的面枳公式.解一元二次方程等,注意分类讨论思想在解题中的应用.3.已知务物线V=：F+1具有如下性质张物线上任意一点到定点F(0.2)的距离与到I轴的距离相等.如图点M的

29、坐标为(3,6).P是It物线)=!一+1上一动点，MWMF周长的小值是()4【答案】2【解析】当初=2时，RsA8PQRsPC。.由8C=8可得CPW.进而可行A8=C7BP=CD.再结合AB_1.BC.OC1.8C可得8=C=9（可利用SAS判定U8P.故答案为：2.【由睹】本涯考化了近角三角形全等的判定方法，关键是手提SAS定理.6.如图，矩形ABCD中，AB=31BC=A,点。是对角微AC上一动点，过点/作EJ.AD于点E，若点，八.。构成以八8为腰的等三角形时，则线段u的长是.一、954【答案】5ue25r解析】IiIH依定理得求HJAC=5,分=ABjPB=ABN由怙玩分别讨论计算

30、即可.【详好】解：Y地形ABCz1.AB=3.BC=A很AC=巧彳=5分两种1.ZCEN=ZNFM=90o.CENNFMCEEN7TVAfF3412，8-/15_512-/5VOt5.当NNCM=9Os,由即意知：此情况不存在，踪上所述，AeMN为角角形R3CZ或士!二叵1.24【点睛】本主委考查了相似三角形的判定与性柄、勾股定理等知识，有一定的嫁合性.8.如图，在AAAC中，已知/Vi=AC=4,BC=6,户是AC边上的一动点（P不与点8、C合）.连接AP,ZB=ZAPE,边/）七与八。交于点。，当AAPD为等三角形时，则P8之长为.【解析】分别讨论AB=PD、PD=AD、PA=AD.种情况

31、iAP=PD时，可证明AAPB9ZSPDC.可褥PC=AB,送而可求出PB的长；当PD=AD时.可证明AAPCSZiBAC根据相似二角形的性质即可求出PC的长.进而可得PB的长：当PA=AD时.P点与点B重合.不符合避息：然上即可得答案.【详解】当AP=PDW,V/APC=NAPD+/DPC=NB+/BAP,ZB=ZAPD.，/DPCNBAP,年解解I当E在BC线段I：时.此时D在AC线段I：.AitCE=8-3t.CD=6-I.当DC=CE时,DCM三ACEN故83t=Gt解得：t=1.当E在AC线段上时，且D在AC线段上.故CE=31.-8.CD=6*1IDC=CEII.：.ZXjV三AC

32、EN故丸=6-1解得：F=T当E到达A时,且D在BC线段上，AiCE=6.CD=t-6.1DC-CEII：,DGW三ACfN放6=t-6解诙r=12%M述：I=I或1或12时),W,C%预点的：角形Ij以点EMC为预.，；,：.2收答案为：I或1成122【点断】木遨芍查f动点,J：角形全等.分类讨论是解决本题的关键.11.如图，已知以点.4(0,IkC(1.,S为1点的AABC中，NBAC=60NACB=900,在坐标JR内有一动点P(不与A合)，以八B、(为顶点的三角形和AABe全等，则P点坐标为.【答案】/)、(2+IJ-1.).(3,3+1.)【所】*：由勾IR定整得rAC=y2,.ZA

33、C=6(r.NACg=90。，.S=2近C=6.分为涧情况如图1,短长AC到户,使AC=CP,连接BP.过尸作PAfU轴干W,11fcfftPM=OA=I.CM=OC=I.OW=1+1=2,即夕的坐标是（2.-1）：如图2.过Bf1.BPHC.11BP=AC=2此EPC=AB=2过PHPMxM：M.此时ZPCjW=15,在X轴上取点MK,.V=3(,即Cw=PMiPMx,则CN=ON=2.A/N=JK.ftRtC7的坐标是(2+J,3-1.：如图3.过BnBP上BCII.BP=AC=近.过P(1PM1.x轴IM.此时NpCM=300+45=75,NbM=I5。,和。解法类似求出。仁6-1，外仁21+百下有+1，。=1+71-1=.曰.3.3+1.).故答案为：（2,7）或12+不.W-I）或（JJ3+1.）.点盼：本题考在了全等三角形的性侦和判定，勾股定理，含30.度角的直角;.角形等知识点的应用，注意要当AP=8时.VAC=8.AP=C.,ZC=90o.AEAC.ZC=ZQAP=W0,，在RtABC和RtQAP中，ABPQAC=AP,RiAABgRsQAP(H1.).故答案为：3或8.14.如图，已知sin立1.OA(,点/是射嫉.N上一动点，当A1.,。为直角三