专题6.6 解三角形【九大题型】（举一反三）（人教A版2019必修第二册）（解析版）公开课教案教学设计课件资料.docx

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1、专题6,6解三角形【九大题型】【人效A版(2019)【题型I余弦定理边角互化的应用】【即型2氽弦定理解三角形】5IjS型3正弦定理边角互化的应用】7即型4正弦定理判定三角形解的个数】8【帔型5正弦定理解三角舷】IO四型6三角形面枳公式的应用】I1.【SS型7正、余弦定理判定三角形形状】13即型8正、余弦定埋在几何图形中的应用】15【超型9距国.高度、角度测量问题】20，举一反三【知我点I余弦定理、正弦定理】1 .余弦定理(I)余弦定埋及其推论的表示文字表述三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的枳的两倍.公式表述tr=fr22frvosA.ft2=r+c2-2,

2、cos.c*2=+a+h+csinAsin8-sinCsinJ+sin-sinA+sinC-sin+sinC-sinA+sinBsinCt力:r=sinA:Sin8:sinCz士=3=U7t=2K.(R为AA8C外接硼的半径).sinsinBstnC(3)三角形的边角关系由正弦定理可推导出，在任意三角形中，铲大你对大边,小角Xj小边”的边地关系.3 .解三角形(I)解三角形的概念般地，三角形的三个角A昆C和它们的对边“力,c叫做：角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.(2)余弦定理在解三角形中的附用利用余弦定理可以斛决以下两类解三角形的问魄：已知两边及它们的

3、夹角,求第三边和其他两个角：已知三边，求三角形的三个角.(3)正弦定理在解三角形中的应用公式看r焉反映r三角形的边角关系由正弦定理的推导过程知,该公式实际表示加就广焉.i就厂肃不上述的每一个等式郴农示了二胸形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是-：组方程，对于姆一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：已知两角和任；一边.求其他的边和角.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角.4 .对三角形解的个数的研究已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角.此时有唯解,三的形被唯一确定.已知三角影的两边和其中一边的对角，求其他的边和角,此时可能

4、出现一解、曲解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.(I)从代数的角度分析“己知两边和其中一边的对角，求另一边的对角、1三角形解的情况，下面以己知“力和A.解三角形为例加以说明.由正弦定理、正无函数的行界性及三角形的性版可得；若sin8=aW,则满足条件的三角形的个数为o：a若sin8=挺曳且=1,则涓足条件的三角形的个数为1：a若Sin8=刎d1.,则满足条件的三角形的个数为1或2.a显然由(KSinB=幺丝且1可得8有两个(ft,一个大于90,一个小于9O,考虑到“大边对大角”、“三a角形内角和等于18O”等，此时能进行讨论.(2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角5

5、三角形解的情况,以已知Gb和A,解三角形为例，用几何法探究如下：图形解的个数A为锐角CCA&B“=加inA：ab一解AB1B3hsinab两解C小(th一解也必ab无解一人Af1.5 .三角形的面积公式(I)常用的三角形的面积计算公式SAW=4,=！C-A,-(Au,h.分别为边力,c上的面).4a=AsinC.A6=,sinA.=sin8代入上式可得而SinC=1机SinA=IacsinM即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦俏柒积的一步.(2)三角形的其他面积公式Sa3=4r+Hc)=+，其中分别为AA8C的内切网半径及AA8C的周长.与1,sin8sinCr.1,sinAsinC12

6、sinJsinBWA血=亍丁SinH/s=2hsinftVFCsinC-f1.fi1.余弦定理边角互化的应用】IWI(2023下贵州黔西高一校考期中)在AABC中,己知(+b+c)S+c-)=3加，则角A等于()A.150B.120C.60D.30【解也思路】根楮题点结合氽弦定理运算求解.【解答过程】因为(+b+c)(b+c-)=3bc,整理得公+”-M=阮，由余弦定理可行CoM=爱=%RO0Z1.A.23B.33C.22D.32【解腮思路】利刖余花定理衣示出COSA,利用条件变换求解即可.【解答过程】因为A=g,fee=3.且b+c=J%由余弦定理知，h2+C2-a2(h+c)2-Zbc-a

7、2COSN=-=解得=23.故选：A.【变式1-2（2023F陕西西安高一校考阶段练习在A8C中，角4、B、C的对边分别为Q、b、c,若M=b2+c2+be.则A的值是（）（解题思路】根据1.1.知条件及余弦定珅的推论即可求解.【解答过程】tiia2=b2+c2+bc,m2+c2-a2-bc.H1.余弦定理的推理得cos4=+三=-1,CQC4Ov4又因为04TT.所以A=g故选：C.【变式1-32023卜高一课时练习）在锐角三角形八8C中,a=1.,b=2,则边C的取值范困是（）A1c3B.1c5C.3c5D.3csC=宅式0.即a2+从=2,则C同理低+b!.c23.Wjc3,又b-=1a

8、2嫁上，瓜c瓜故选：C.92余弦定理解三角形】例2（2023上新疆而二学业考试）在A/13C中，珀4,B,C的时边分别是,b,c,已知A=pd=3.h=1.3则C等于A.IB.2C.3-1.D.5【解题思路】利用余弦定理解：角形.【解答过程】由余弦定理三b2c2-2bccosA.将A=p=3,/）=1,代入为3=I2+C2-2ccosp则仃-c-2=0.J1.c0.解得C=2.故选：B.【变式2-1】(2023J1.全国高三专跑练习在AABC中,AC=百，8C=历,cosA=竽.则48=(A-IB.5C.10D.手【好即思路】运用余弦定理解：角形印可.【解答过程】由余弦定理得必2=人m+ac2

9、-2A34CcosA.即-44F-5=0.解得AB=5(负值已舍去).故选：B.【变式2-2(2023海前省宜辖县级单位校考模拟预测/18C的内角4,B.C的时边分别为,“c,已知/1=；,a=7.b-c=1WOcosB=()3A公BYC考DY【解题思路】根据余弦定现求得c,进而求得CoSB.【解答过程】由余弦定理，a2=b2+cz-2加COSAb2+c2-bc,因为b-C=1.,a=V7.所以CZ+(c+I)2C(C+1)=7.即/+c-6=0,解得c=2或C=-3(舍)，1.-.Oco0JcJ274-9GMfvAb=3,c=2.CosB=-三-=.2ac2x7214故选：D.【变式2-3】

10、(2023上四川成都高：校考阶段练习)在48C中，ZC=p4C=2.M为A8边上的中点,且CM的长度为7,则BC=()A.23B.4C.27D.6【解题思路】分别在A4MC和ABCM中利用余弦定理得到28C2-20=AB2,在A/10C中利用余弦定理得到4+BC2-2BC=2BC2-20.然后解方程即可.在AAMC中.85=*堤萨：在ABCM中，coszBMC=8M*MjC2ZtfMGW,：1.AMC+乙BMC=11.cos乙4MC=-CosZtfMC.乂4M=8M,J*：W-整理可得；AC2+BC2=2(CM2+AM2).UP4+BC2=2(7+AM2),MAM2AB2=BC2-10.2BC

11、2-20AB2.在AABC,B2=XC2+BC2-2ACBCcosC=4+BC2-2BC=AB2.4+BC2-2BC=2BC2-20.解汨：8C=-6(含)或BC=4.故选：B.【型3正弦定理边角互化的应用】【例3】(2023下Yi林通化高一校考阶段练习)在A48C中，？；：A：8：C=3:4:5,则a：b:C等于(A.3:4:5B.26;(3+1)C.h32D.2255+)【解时出路】利用三角形的内角和定理及正弦定理HP可求斛.【解答过程】因为4：8：C=3:4:5,A+B+C1W.所以A=45,8=60,C=75.si117S,=sin(30+454)=sin30cos45+cos30,s

12、i114S,=+y).由正弦定Fha:b;c=s1.4:sin:SinC=2:6:(3+1).故选：B.【变式34】2023首海校联考模拟预测在%C中,角4,8所对的边分别为,瓦若5bsin1.=2sMB,则a=()A.竽BgC.gD.竽【解题思路】根据正弦定理,即可求解.【解答过程】根据正弦定理可知,S1.iU=SinB=2,Km如所得=2,得a=喳故选：A.【变式3-2=c.则三的形为等边三的形,故CW故选：C.【变式3-30),因为煞器所嚅：黑：黑霁解觎”次的取值范困%+8)故选：B.KM4正弦定理兴定三角形解的个数】【例4】(2023,浙江模拟预测)在A1.C中，角1,B,C所时的边分

13、别为,b,c.若8=g,=4,且该三角膨有两解.则b的范围是()B.(23,4)D.(3%3,4)A.(23,+)C.(0,4)【蚱跑思路】利用正弦定理推出b=笠，根抑；：象形有两蟀.确定角A的范围，从而结合SinA的取值范围三tn求得答案.【解答过程】由正弦定理缉已=2.所以6=券=经W=言.$in/!SinBsinsnSitiA因为该-加形不两解.故g=8V4V桔，故SinA(?,1即b=%e(23,4).ZSI11故选：B.【变式4”2023下浙江杭州高一校考期中)符合下列条件的三两形有旦只有一个的是()A.=1.b=2.c=3B.=1.b=x2.A=30C.=1.c=3,A=30oD.

14、a=b=1.8=30【解题思路】根据两边之和大于第二边及正弦定理判断三角形斛的个数即可.【解答过程】对于A=I,)=1.c=3,由两边之和大于第:.ik，1+21,不符合遨度：对于D,a=b=1.,8=30。，符合条件的三角形有一个，是等艘三角形.故选：D.【变式4-2(2023上北京海淀,高三校考升学考诚)在43C中，a=4/1=45%b=m.若湎足条件的AA8C有两个.则m的可能取值为()A.8B.6C.4D.2【解题思路】根据满足条件的A8C有两个,可得出公IMaVb.求出m的取值范困.即可得解.【解答过程】因为A=45。,a=4b=m,且满足条件的AA8C有两个.H1.bsi11j4a

15、b,1.Pm42m,WW42m1.M,zu1.8C有两个解C.当Ox0.AA8C都有解【解题思路】由正弦定理,正弦函数的性质计算可制.【解答过程】因为=1.,A=30.b=x,所以由正弦定理E=3.BIJsinfi=S1.nAS1.nS2当X=0时sin。=y.又30。B150。,所以8=45。或8=135。，故A错误：当X=4时sin8=2,又0sin8S1.此时AA8C无解,故B、DJ误：当0x1.时b.则84,又sin8=gxb=2.Sinz1.=y.C=(A.-B.-C.TD【解跑思路】根据正弦定理,即可求解.【解答过程】根据正弦定理已=即SinB=_=1,则B=京S111s11oZs

16、in4=b则4三所以C=r-H-A=；.故选gB.【变式53】2023全国.模拟预测)在:a48C中.内角48,C的对边分别为,瓦c,2cos8一半CoSA=WCOSC,=3rh=4.则cos/1的值为()bbA乎b.孚C号D.8880【解速思路】先利用正弦定理、三角恒等变换等求出角3的大小,然后利用正弦定理即可求出SinA的值.进而求出CQS/1的值.【解答过程】由2cos8-半COM=要CoSC可得2bcos8=yf3ccosA+3cosC.由正弦定理得2sinBcosb=3(cos0,所以cos8=.因为86(0,*),所以8=：.在八8C中.由正弦定理得.-三5nsn所以SiM=因为V

17、瓦所以4为蜕角所以coU=尊.故选B.【型6三角形面枳公式的JS用】【例6】2023上江苏钺江高三统考期中)在A13C中，若4。=3,4。=7,8=120。，则AABe的面枳为4UnCA.-B.iC.ID.1422【解四思路】根招题息利用.角恒等变换并由正弦定埋即可求得OCMI,再由面枳公式即可求得结果.Gnc49sn4unC解答过程】因为_*+咨=经丝J四丝空MAtanCxin4SinCSinAsinC_aMgr-R）_5M8_2SUiXstttCSiiUsInC,所以；?J=2sintf=1.H1.正弦定理可徨b?=ac.1.c=1.SinXsinC故4/18C的面积1为:cin8=1.=

18、p故选：A.【变式6.2(2023下甘南临义高一统考期末已知&/18。的外接罚华径为4,5而8+5防。=5八185防。=5,464则AA8C的面积S为()R9回bIFD喈【解即出路】根据正弦定理、面根公式、.倍角的正弦公式求斛.【解答过程】由SinB+sinC=SinBsinC=j464斜得sh8=SinC=3-O由正弦定理可得。=2Rs1.nB=3.c=2RsinC=3.所以8=C.sinj4=sin（11-28）=sin2=2sinEcos=2XJ1.一（：）=X等=SuBC=bcsinA=：X9X等=故选：D.【变式63】(2023,全国高一专题练习)在AABC中.内角48所对应的边分别

19、为(1,七公若=(-b)z+6,且C=%则AABC的面积为()A.35B.竽C.3D.苧【情迎思路】根M题中条件结合余弦定理先未得岫=6,进而利用而枳公式求解.【解答过程】解：Vc2=(-b)2+6.c2=2-2abb2+6.二Mb2-c2=2ab-6.ab=6,h2-ca2ab61=一,2t2ab2:SftABC=ga6sinC=j6y=.故选：D.97正、余弦定理只定三角形形状】1例7(2023上辽宁本溪高二校考期中)在AABC中,若SinA:SinB:SinC=4:5:6,则4BC是B.宜他三地的D.等边三角形A.钝角三角形C.锐角三角形【裤即出路】由正弦边角关系得a:加c=4:5:6,

20、=4t0).应刖余弦定理确定c。SC的符号，结合C为版大内用,即可得答案.【解答过程】因为ShV1:SinBisinC=4:5:6.由亚弦定理得。:6:=4:5:6设a=4t0)则b=St.c=6t.由余弦定理得COSC=；r=50.则C为锐角.又C为戢大内向,故AA8C为锐角三地形.故选：C.【变式7-1】2023上河两省宜辖县级单位高：校考阶段练习)已知AA8C内角A,B,C的对边为a,b.c,若熹=品，c2=a2+b2-ab.则AABC的形状是()A.钝角三角形B.等边三角形C.立角三角形D.等展直角三角形【解即思路】由余弦定埋求得C=60、根据遨进和正弦定理可得4=8,即可求解.【解答

21、过程】f1k2a2+b2ab.i)a2+b2c2=ab.而esC=瞿=X又OVCA.直角三角形B.等边三角形C,等腰三角形D,等腰口角三角【解SS出路】利用余茏定理化角为边即可得解.【解答过程】因为b=2cosC,HI余弦定理可得b=2a-ViY=：+：二屋.2abb所以a?+h2-C2=b21.2=c2.所以Q=c,所以人8C为等腰三角形.故选:C.变式7-3（2023上北京,高三北京二十中校考阶段练习）在/BC中，若笔=巴，则该三角形的形状一定是（）A.等腰三角形B.等腰包角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等边三角形I好啊思路】胃=e由正弦定理化简为sin24=sin28,然后在AA8

22、C分析,即a=8,或2A+28=”，从axSa而得到结论.【解答过程】.=-.acos=bcosB.coBa根据正弦定理Ur知；SinzkOS4=Sinficosff.sin2=sin28.在AABC中，A=R.或24+2B=w,即A+B=即C=今AABC为警腰三用形或直角三角形.故选：C98正、余弦定理在几何图形中的应用】【例8】（2023上黑龙江哈尔滨岛三哈尔滨三中校考期末）在AABC中，.b.C分别为角4,B.C的时边，旦6CSinA+-h-c=0.2o求角A的大小：Ha=5,求A48C的面积.【解题思路】（1）由氽弦定卉和正弦定理，结合正弦和向公式得到inI-Co$A=1,从而得到SM

23、（4-：）=土求出角A的大小：2）在（I）基础上得到J+点=竽，结合正切和用公式得到-喘嚼=仃，得我方程现,求出8=C=p得到A8C为等边三角形,求出三角形面积.【解答过程】（）5cshV1.+y-b-c=（b2D由余弦定理得5csin4+OCoSC-b-c=0.由正弦定理得VJsinCsirvI+sin4cosC-sinB-SinC=0.5sinCSinA+SinACoSC-Sin（A+C）-SinC=0.!3sinCsin4+sin4cosC-sin1.cos7-cos/1.sinC-SinC=0.故JSSinCSinA-COSASinC-SinC=0.因为C（Om）,所以SinC0,所以

24、VrSSinA-COSz1.=1,化筒得Sin（4-：）=5因为46（Om）,所以A=%2）由（1）知A=%故-+一=二-tantfUnCUIM2255=VVtaiM=tan11(B+C)=-故一tagGtanC1.-sn矶AnC1.1UI1.INtanC一的彳出=6=仃f7tanC=3,I-SnRtanCV(O,t),C(0,11).8=C=%.,./IBC为等边二三角形，Sabc=；bcs1.nz1.=5y=.【变式8-1(2023上,安徽介肥,高二校考期末)在八BC内，角4,8,C所对的边分别为a.b.c,f1.hcos-CCOS8=(-C)COSn+C).(I)求角B的值；若48C的面

25、枳为35,b=11,求443C的周长.【解也思路】(I)市正弦定理和：向恒等变换得到COS8=求出角8：)+C)=-cosB.得bcosA-ccosB=(c-)costf 由正弦定理.)sincosi4-SinCcosB=(sinC-sin1.)costf.,siMcos+Cosztsin/?=2sinCcos0.-sin(4+)=2sinCcos.又4+8+C=n, SinG4+8)=SinC.Xv0C11.1 CosB=二.2又Be(Oe). B=1.3知B=&2=a2+c2-20ccosB=02+c2-OC乂5=；acsinR=c故WaC=35C44.f1.c=12.乂b=13.I1.1

26、.,1.a2-c2-12=13.故12+/=25.(+C)Z=a2+c2+2ac=25+24=49.故a+c=7,周长为7+11.变式8.2】(2023上福建泉州高三校考阶段练习)在锐角48C中，角A，B.C的对边分别为小b.c为CCOSB+IkosC=2acosA.(1)求角A的大小：(2)当a=3时，求管的取位范围.【裤四出路】(I)利用正弦定理及正弦的和角公式计算即可：2)根据正弦定理先用出手=(Sin8+sinC)，根据:角形内角和性质及余弦函数的IRiHI性计算即可.【解答过程】(I)由正弦定理符SSinCcosE+SinBcoSC=2siMcoM,所以Sin(C+8)=2sin4c

27、os.即SinA=2sinAcos力.因为sin40.所以COM=HA(0,11).所以A=g(2)a=V5./1=；,由正弦定理=T-=-T-=-t=2、3snAsn0三nCSin-所以手=(SinH+sinC)=SinH+sin-8)=gSinH+Fcosfi=v,3cos(日一；)，因为/U?C为锐角三角形.所以8(19.f-2(-25).所以cos(8(,1所以华俱,代【变式8-3J2023上山西吕梁高三校联考阶段练习)从(0+b+c(sinA+SinB-S1.nC)=asinB+ZbsinAtZasinAcosB+bsin2A=25acosC这两个条件中任选一个,补充在下面的问Sf1

28、.中，并解答.在A/18C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足；.(I)求角C的大小：若C=5,AABC的内心为/,求AAB/周长的取值慈凰注：如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分.【解牌思路】(I)运用正余弦定理进行边角互化,借助于：角形的边坨关系即可求得：2)先求出乙川瓜在A48，中,通过设角仇利用正修定理求出三边得出三角形周长衣达式,将其转化为正弦型函数.利川角的范阳即可求得周长范围.解答过程(I)选释条件(+bC)(SinA+SinB-SinC)=OSin8+2bsinA在A3C中,由正由定理定(+i+c)(+h-?)=h+2b0.整理御M+b2-c2=b,则由余强定

29、理，COSC=Ne=;,2ab2XCe（0,11）,所以C=%选拧条件，20sinkos8+6sin21=2/30cosC.于是OsinAcosH+bsin1.cos=*3cosCtGA/18CIM阳正弦定理得sin24cosKSirv1.Sin8cosA=vi11j4cosC,.因为si40.则SinACQS8+SinBcosA=r3cos.即Sin（A+B）=vosC.因为力+8+。=兀，因此亢11。=心（：0式,即tanC=5,又CW（O黑）,所以C=G如图.由（1）知.C=PABC+BAC=.因为AABC的内心为I.所以/A8/+1.BAI=于是ZyUB=等.设UBJ=VABA1.1.

30、-,J1.O在a1B/中，由正弦定理得，-11=-=2s1.n-1.sine爪n7RS吗所以8/=2sing-0）,/=2sin0.所以48/的周长为5+2sinG-8）+2sin=3+2（CoSe-%in）+2sin0=2sin（0+；）+3,由08g,得：&+；M所以sin（8+g）（?,I卜所以AA印附长的取位范IH为（25,2+3.【知识点2窗量问】I.能量问.【变式9-1（2023F广东湛江高一校考阶段练习）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹肘型”气候仪器，这种仪涔可以弹射到空中进行气候观测，B.C.。三地位于同一水平面上,这种仪器在8地诳行弹射实验，C

31、D两地相距100m,ZfiCD=60,在C地听到舛射声音的时间比。地晚春秒,在C地测得该仪器至最高点A处的仰用为30。.（已知声音的传播速度为340m5,求:A(2)这种仪器的乖口弹射高度AB.【群即思路】O.BC=X,利用在C地听到弹射声音的时间比。地晚卷杪，表示出84声由余弦定理,即可得解；2)解RtANEC即可得解.【解答过程】(I)设8。=%.,：在C地听到弹射声的时间比D地晚5秒.D=X-X340=X-40.在ABCD|,由余弦定埋BM=BCZ+cd2_2BC-CD-cosZ.BCD.(x-40)2=x2+10000-100x.解对X=420.故B,C两地间的距离为420米:2)在AA8C中.BC=420.,.AB=BCIanUC8=420XW=1403*,故该仪粹的垂直弹射高度为1405米.【变式9-2】2023下上海的安高一统考期末)如图，某人位于临河的公路上，已如公路两个相邻路灯4、8之间的距离是100m,为了测H点A与河对岸一点C之间的距离，此人先后测得/8/IC=75。，ABC=60.(I)求A、C两点之间的距离;(2)假设你只携活着量角器(可以测出以你为I点的角的大小).请你设计一个通过施状角可以计算出河对岸两点J。之间即满的方案,用字母表示所测量的角的大小.并用其表示出CO的长.【解题思路】(I)在4。C中