函数知识点总结与经典例题与.docx

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1、函数学问点总结学问点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内面两条相互垂直且有公共原点的数轴，就组成r平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做X轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y岫或纵轴，取向上为正方向：两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点：建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被X轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、其次象限、第三象限、第四象限。留意：X轴和y轴上的点，不屈于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用(a,b)表示，其依次是横坐标在附，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒.平面内点的坐标是有

2、序实数对，当日时，(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。学问点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第象限C三1.点P(x,y)在其次象限点P(x,y)在第三象限点P(x,y)在第四象限r二Q2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在X轴上三,X为随意实数点P(x,y)在y轴上W,y为随意实数点P(x,y)既在X轴上，又在y轴上回X,y同时为零，即点P坐标为(0,0)3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上WX及y相等点P(x,y)在其次、四象限夹角平分线上aX及y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于

3、X轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.5、关于X轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P及点P关于X轴对称日横坐标相等，纵坐标互为相反数点P及点P关于y轴对称日纵坐标相等，横坐标互为相反数点P及点p关于原点对称臼横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：(1)点P(x,y)到X轴的距离等于回(2)点P(x,y)到y轴的距离等于可(3)点P(x,y)到原点的距离等于山学问点三、函数及其相关概念1、变型及常量在某一改变过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一股地,在某一改变过程中有两个变量X及y，假

4、如对于X的每一个值,y都有唯一确定的值及它对应，那么就说X是白变量，y是X的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量:的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点(1)解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。(2)列表法把自变量X的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。(3)图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的般步骤（1）歹IJ表：列表给出自变量及函数的一些对应值0b0十。X图像经过一、二、

5、三象限，y随X的增大而增大。b0J图像经过一、三、四象限，y随X的增大而增大。/一Xk0k0图像经过一、二、四象限，y随X的增大而减小。Xb0时，图像经过第一、三象限，y随X的增大而增大，图像从左之右上升:(2)当k0时，图像经过其次、四象限，y随X的增大而减小，图像从左之右下降。5、 次函数的性质一般地，一次函数0有下列性质：(1)当k0时，y随X的增大而增大(2)当k0时，直线及y轴交点在y轴正半轴上(4)当b0X的取值范围是X”0,X的取值范围是XJO,y的取值范围是y-0：y的取值范围是y，0：性质当k0时，函数图像的两个分当k4为常数，口）:2 .顶点式：（3.3,3为常数,1.=I

6、）:3 .两点式：（皿，g,21是抛物线及J轴两交点的横坐标）留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成两点式，只有抛物线及，轴有交点，即NJ时，抛物线的解析式才可以用两点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.a的肯定值越大，物物线的开1.J越小。学问点九、二次函数解析式的确定依据己知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种状况：1 .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式：2 .己知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3 .已知

7、抛物线及二轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式：4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.学问点十、二次函数的最值假如自变量的取值范困是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当叵时，xO假如自变量的取值范闱是启.那么，首先要看是否在自变量取值范围三内，若在此范围内，则当X=日时，I；若不在此范围内，则须要考虑函数在E三范围内的增减性，假如在此范围内，y随X的增大而增大，则当口时，二、,当时，I=；假如在此范围内，y随X的增大而臧小，则当叵时，I一,当回时，I1。学问点十一、二次函数的性质性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延长：（2）对称轴是X=习,顶点坐标是（3）；（3

8、）在对称轴的左侧，即当x曰时，y随X的增大而减小:在对称轴的右侧,即当x日时，y随X的增大而增大，简记左减右.增；（4）抛物线有很低点，当X=日时，y有最小值，（1）抛物线开口向卜.，并向卜.无限延长；（2）*j称轴是X=习，顶点坐标是（习.叵）:（3）在对称轴的左侧，即当x曰时，y随X的增大而增大：在对称轴的右侧，即当xQ时，y航X的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当X=EI时，y有最大值，IT2、二次函数及一元二次方程的关系（二次函数及二轴交点状况：一元二次方程一是二次函数WJ当函数值1.d时的特殊状况.图象及n轴的交点个数：当时，图象及日轴交于两点曰，其中的1.d是一元二

9、次方程一的两根.这两点间的距离推导过程：若抛物线=1及轴两交点为由于目、目是方程C三1的两个根，故当山时，图象及二轴只有一个交点;当臼时，图象及3轴没有交点.3当二J时，图象落在二轴的上方，无论a为任何实数，都有=；H当口时，图象落在4轴的下方,无论二为任何实数,都有山.记忆规律：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像及X轴的交点坐标。因此一元二次方程中的c三,在二次函数中表示图像及X轴是否有交点。当日0时，图像及X轴有两个交点：当目=O时，图像及X轴有一个交点；当g0时，图像及X轴没有交点。学问点十二中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，

10、可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y.如图：点A坐标为（x1.,y1.）点B坐标为（x2,y2J则AB间的距离，即线段AB的长度为2、二次函数图象的平移将抛物线解析式转化成顶点式1.J，确定其顶点坐标保持抛物线三的形态不变，将其顶点平移到三处，详细平移方法如下:y=I.v=gyI卜=MI-%)：向上成向下的财】平移时个例位向上(QO)或bX0)1.(A0时，抛物线开口向上；30时，施物线开口向下；J的肯定值越大，开口越小（2）J和共同确定抛物线对称轴的位置.由于抛物线1XJ的对称轴是直线区,故：口时，对称轴为目轴；（即.、m同号）时，对称轴在a轴左侧；叵（即4、2异号时，对称轴在4轴右侧.（

11、口诀左同右异）（3）二的大小确定抛物线及回轴交点的位置.当日时，1.=J,.抛物线及目轴有且只有一个交点（0,a）：W,抛物线经过原点；臼，及目轴交于正半轴：三,及目轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在目轴右侧,则,经典例题及解析（二次函数及三角形）1、已知：二次函数yx2+bx+a其图象对称轴为直线x=1.,且经过点（2,9-4）（I）求此二次函数的解析式.（2）设该图象及X轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数X轴卜.方的图象上确定点E,使aEBC的面积最大，并求出最大面积.2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线及X轴交于A、B两点（A在B的

12、左侧），及y轴交于点CS,4）,顶点为（1,I）.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的对称轴及轴交广点D,试在对称轴上找出点P,使aCDP为等腰三角形，请干脆写出满意条件的全部点P的坐标.（3）若点E是线段AB上的一个动点（及A、B不重合），分别连接AC、BC.过点E作EFAC交线段BC于点F,连接CE,记ACEF的面积为S,S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标：若不存在，请说明理由.3、如图，一次函数y=-4-4的图象及X轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=；x2+bx+c的图象经过A、C两点，且及X轴交于点B.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为

13、D,求四边形ABDC的面积:(3)作直线MN平行于X轴，分别交线段AC、BC于点M、N.问在X轴上是否存在点P,使得APMN是等腰直角三角形？假如存在，求出全部满意条件的P点的坐标；假如不存在，请说明理由.(二次函数及四边形)4、已知抛物线IX4试说明：无论m为何实数，该抛物线及X轴总有两个不同的交点；如图，当该抛物线的对称轴为直线x-3时，抛物级的顶点为点C,直线y=-1.及抛物线交A、B两点，并及它的对称轴交于点D.抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；平移直线CD,交直线AB于点M,交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得C、D、M、N

14、为顶点的四边形是平行四边形.5、如图，抛物线y=mx2-UmX+24m(m0)及X轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，抛物线另有一点A在第一象限内，且NBAC=90.(1)填空：0B=_,0C=_；(2)连接OA,将ZkOAC沿X轴翻折后得aDC,当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；(3)如图2,设垂直于X轴的直线1：x=n及(2)中所求的抛物线交于点M,及CD交广点N,若直线1沿X轴方向左右平移，旦交点M始终位于抛物线上A、CW.&之间时，摸索把当n为何仔/四边形,x=n6、如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是直角梯形,BCAD,ZBAD=90o,BC及y轴相交于点M

15、,且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A(UJ),B(W),D(3,0).连接DM,并把线段DM沿DA方向平移到ON.若抛物线1.kJ经过点D、M,N.（1）求抛物线的解析式.（2）抛物线上是否存在点P,使得PA=PC,若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.（3）设抛物线及X轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有IQE-QC1.最大？并求出最大值.7、已知抛物线1.-及X轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），及y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.（1）求A、B的坐标；2）过点DHy轴于点H,若DII=HC,求a的值和直线CD的解析式:（3）在第

16、（2）小题的条件卜.，直线CD及X轴交于点E,过线段OB的中点N作NF1.X轴，并交直线CD于点F,则直线NF上是否存在点M,使得点M到直线CD的距离等于点M到原点0的距离？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由.8、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点，且及y轴交于D(0,3),直线1是抛物线的对称轴.1)求该抛物线的解析式.2)若过点A(-I,0)的直线AB及抛物线的对称轴和X轴围成的三角形面积为6,求此直线的解析式.3)点P在抛物线的对称轴上，OP及直线AB和X轴都相切，求点P的坐标.S（I）写出A、B、D三点的坐标：

17、（2）当In为何值时M点在直线ED上？判定此时直线及圆的位置关系；（3）当m改变时,用m表示AAED的面积S,并在给出的直角坐标系中时出S关于m的函数图象的示意图。A).（4分）如图1.当APBC面积及AABC面积相等时.求点P的坐标;（5分）如图2.当/PCB=NBCA时，求直线CP的解析式。答案及分析:-不(1分)339(2).,4x2-2x4=0x1.=-1.,x2=3,B(-1,O),C(3,0),.BC=4,(1分)TE点在X轴卜.方，且aEBC面积最大，.E点是抛物线的顶点，其坐标为(1,-3),(1分)1.,.EBC的IfJ1.积qX43=6.（1分）2、（1）Y抛物线的顶点为（

18、1,I）.设抛物线的函数关系式为9y=a（X-D2+-乙9Y抛物线及y轴交于点C（0,4）,a（0-1）2+-=4解得1a=-21q，所求勉物线的函数关系式为y=-（X-D2+-(2)解:P1.(1,7),P2(1,-17),P3(1,8),P4(1,y),1g(3)解：令一展X-D2+5=0,解得X1.=-2,x1.=4I9；.抛物线y=-?(X-D2+yKx9J)的交点为A(-2,O)C(4,0)过点F作FMj_OB于点M,MFEBVEF7C,.BEFBC,j-z=-又V0C=4,AB=6,MFvVdEB2=而XoC=IEB2（第3题图）设E点坐标为(x,0),则EB=4-x,MF=(4-

19、)JSBCE-SBEF=EB0C-EBMF=JEB(OC-MF)乙乙乙2I281-X)4-(4-X)=-2+-+-=-(X-D2+35oOwoVa=-O,S有最大值当X=I时，S最大值=3此时点E的坐标为(1，0)3、(1)Y一次函数y=-4x-4的图象及X轴、y轴分别交于A、C两点,.A(-1,0)C+c得4.J1.+c=0.c=-4(0,-4)把A(-1,0)C(0,一4)代入y=0,无论m为何实数，该抛物线及X轴总有两个不同的交点.（2）：抛物线的对称轴为直线x=3,.1.=J,抛物线的解析式为X】=曰，顶点C坐标为（3,一2）,解方程组H1.解得回或叵I，所以A的坐标为（1,0）、B的

20、坐标为（7,6）,O回时y=-1.=31=2,D的坐标为（3,2）,设抛物线的对称轴及n轴的交点为E,则E的坐标为（3,0）,所以AE=BE=3,DE=CE=2,假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD相互垂直平分且相等,于是P及点B审合,但AP=6,CD=4,APCD,故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形.（I）设直线CD向右平移d个单位（j0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3曰，直线CD及直线y=x-1.交于点M（3回，21.=J）,又D的坐标为（3,2）,C坐标为（3,一2）,.D通过向卜平移4个单位得到C.VC

21、.D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形.（i）当四边形CDMN是平行四边形，,M向下平移4个单位得N,.N坐标为（31.j,回）,乂N在抛物线目上，,一1,解得山（不合题意，舍去），W，（ii）当四边形CDNM是平行四边形，,M向上平移4个单位得N,；N坐标为（3日，回），乂N在抛物线目I-.,I一解得三（不合题意，舍去），三,（三）设直线CD向左平移3个单位（m0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3W,直线CD及直线y=-1.交于点M（3日，2日），又.P的坐标为（3,2）,C坐标为（3,一2）,

22、.D通过向下平移4个单位得到C.VCsD、M、N为顶点的四边形是平行四边形，四边形CDMN是平行四边形或四边形CD、M是平行四边形.（i）当四边形CDMN是平行四边形，.M向下平移4个单位得N,.N坐标为（3j,日）,又N在抛物线三上一解得山（不合题意，舍去），山（不合题意，舍去），（ii）当四边形CDNM是平行四边形，.M向上平移4个单位得N,；N坐标为（31.rJ,叵J），又N在抛物线日上I一,解得N1.,WI（不合题意，舍去），综上所述，直线CD向右平移2或（山）个单位或向左平移（山）个的位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.5、解：(1)0B=3,0C=8(2)连接OD,

23、交OC于点EI丁四边形OACD是菱形DOC,OE=EC=J8=1.BE=4-3=1又NBAC=90,oIfAFCEACE=03b=5m解得，k=2n,b=3m.，直线印的解析式为y=mx+-r3m.将y=-嘉(x+tn)(x-3m)化为顶点式:y=(x+tn)2白%.顶点M的坐标为(m,3Nn).代入y=mx+,3m得：m2=m.m0,m-1.所以，当In=I时,M点在直线DE上.连接CD,C为AB中点，C点坐标为C(m,0).0D=5,OC=I,.CD=2,D点在圆上又0E=3,DE2M)D20E2=12,EC2=16,CD2=4,CD2+DE2=EC2.NFDC-90/.直线ED及OC相切

24、.1J3J331(3)当OVmV3时，SAED=2AE.0D=m(3-in)S=-1皿24”.当m3时，SAED=AE.0D-m(m-3).即S-ym2_m.10、解：（1由题意，得,解得Ej，抛物线的解析式为解方程组H，得三点口当点P在X轴下方时，如图1设直线网交y轴于点三,把直线BC向卜平移2个单位，交抛物线于点1.d,得直线3的解析式为三,解方程组叵综上所述，点P的坐标为：山，.1一.OB=OC,.ZOCB=Z0BC=45o设直线CP的解析式如图2,延长CP交X轴于点Q,设NOCA=,则ACB=45VZPCB=ZBCA.NPCB=45TaZ0QC=ZOBC-ZPCB=45o-(450)=Z0CA=Z0QC又,：ZAOC=ZC0Q-90oRtAOCRtCOQ回，；.凶，0Q=9,目;直线CP过点口，JWJ/.3.直线CP的解析式为叵0