函数的单调性-知识点与题型归纳.docx

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1、1 .单调函数的定义增函数减函数定义一般地.设函数/(*)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间D上的任意两个自变量r1.*、.I当A弓),那么就说函数在区间O上是减函数2 .单调性，单调区间的定义若函数丹力在区间。上是增函数或减函数，则称函数f(力在这一区间上具有(严格的)单调性，区间。叫做*力的单调区间.留意：关于菖数单调性的定义应留意哪些问题？(1)定义中用，用具有随意性，不能是规定的特定值.(2)函数的单调区间必需是定义域的子集；(3)定义的两种变式I设随意a.同且a0=Cr)在&6上是增函数；Gi-Ji)/(汨)-)O-r)在Iat2上是减函数.单调区间的表示留意哪些问题？单调区间

2、只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“U”联结，也不能用“或”联结.学问点二单调性的证明方法：定义法及导致法(1)定义法：利用定义证明函数单调性的一般步骤是：（Dtt取Xi,&GD,且莅o,则*力在区间。内为增函数；假如f,（力0,则/1（力在区间内为成函数.留意：（补充）（D若使得fCr）=O的N的值只有有限个，则假如F（力0,则式力在区间。内为增函数：假如/)上为增函数幽)A.y=1.x+IB.y=Cr-1)，C.y=2D.y=1.ogo.(x+1.)答案：A.例2.推新函数ZCr)=惜在(-1,+8)上的单调性,-TT1.并证明.法一I定义法设

3、TGr,则ZCr1)-f(3=等一等X1.-12i1_ax一+1-a苞+1与+1Ja1._a且二房2i1.Ja+1 一1水小jri-Ji0. 当a0时，/tri)一/(面0,即fCii)o,即i)ji) 函数尸爪力在(-1,+8)上单调递减.法二I导致法1 .推断函数的单调性应先求定义域；2 .用定义法推断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值一作差一变形一判号一定论，其中变形为关键,而变形的方法有因式分解，配方法等：3 .用导数推断函数的单调性简洁快捷，应引起足够的重视(二)求复合函数，分段函数的单调性区间例1求函数尸1.11一足的单调埔区间y=1.1.r=b41,21.1,K1.作出该函数

4、的图象如图所示.由图象可知，该函数的单调地区间是（一8,U.例2.求函数y=1.og1.G-M+3）的单调区间.解析:令u=y-4x+3,原函数可以看作尸Iog1.及u=-4jt3的复3合函数.令片3-4H30.则X1.或x3.函数六=Iog（/一+3）的定义域为3)U(3,又=y-4+3的图s的对称轴为1.2,且开口向上，.=V-4x+3在(-8,1)上是减函数，在(3,+8)上是增函数.而函数y=1.ogU在(0,+8)上是减函数，3.y=1.og1.(，一4升3)的单调递减区间为(3,3),单调递增区间为(-8,1).留意1求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已

5、知函数的和，差或复合函数,求单调区间.(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.(3)图象法：假如爪力是以图象形式给出的，或者/Cr)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间.例2.(2)(补充)y=1.ogx-41.og1.x答案，地区间减区间：练习:y=(1.og,x)-1.og,X答案：增区间“城区间：(三)利用单调性解(证)不等式及比较大小已知函数j=1.og+-,若x(1.,2),AA及(2,),则OA.fU)O,f()OB.ZCrJ0C.,o,)O,)O【规范解答】V函数FCr)=IogtH=JE(1,+8)上为增函数，且f(

6、2)=0,当汨(1,2)时，x1)2)=0,即ZCrJ(3a)的解集为OA.(2,6)B.(-1,4)C.(1,4)D.(-3,5)【规范解答】作出函数f(力的图象,如图所示，则函数力在R上是单调递减的.由A-4)f(3a),可得才一43&整理得d3a40,即(a+1.)(a4)0,解得一12例1.已知函数f()=满足对随意IJjTX2的实数x后，都有成立，则实数a的取值范围为OA.(8,2)B.8,C,(-oot2卷【规范解答】函数A力是R上的减函数,fa-20,由此解得于是Ta-22()-1,.即实数a的取值范围是(-8,I例2.(1)(补充)假如函数j=加+23在区间(-8,4)上单调递

7、增，则实数a的取值范围是答窠一；，04解析当a=0时，/W=21.3,在定义域R上单调递增，故在(一8,4)上单调递增；(2)当a0时，二次函数f(x)的对称轴为直线X1=一因为fCr)在(-8,4)上单调递增，所以水0,且一;24,解得一;Wa0,则由fCr)=O得X=1.2a,当jK-yj2a和“区时，f,(x)0,f(x)单调增，当一而()且x)在区间(1,W)内单调递减,求”的取值范围.答案:I,转)(五)抽象函数的单调性例1.(补充)已知力为R上的减函数，那么满足A1.1.)1,则II1且JTO,即x(-1,0)u(o,1).练习Iy=八)是定义在T.1上的增函数，解不等式f(1.-)0.j0都有/(j)=(x)-/(#，当X1.时，有/(X)O(1)展/的值：(2)推断/(X)的单调性并加以证明：(3)若/(4)=2,求/(x)在1.16上的值域.答案:单调地；0,4留意；有关抽象函数单调性的证明通常立足定义练习:函数/(x)的定义域为(0,+),且对一切KjeA都有/()+(y)=(+y),当0时，有/(x)O(1.)=-.求证：/S)在R上是减函数：求人X)在-3,3上的最大值及最小值.答案：2;-2