函数的周期性与对称性.docx

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1、函数的周期性及对需性1、函数的周期性若a是非零常数，若对广函数y=f(X)定义域内的任一变量X点有下列条件之一成立，则函数y=f()是周期函数，且2是它的一个周期，f(xa)=f(Xa)f(x+a)=-f(x)f(x+a)=1.(x)f(x+a)=-1(x)2、函数的对称性及周期性性质5若函数y=f同时关于直线x=a及x=b轴对称,则函数f(X)必为周期函数，且T=2-性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)及点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数，且T=2-性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称，又关于直线X=b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T=4一3.

2、函数F=J(X)图象本身的对称性(自身对称)若f(*+)=+b)，则f(x)具有周期性;f(a+x)=f(b-x),则/(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、“+*)=97)。.、，=/3图象关于直线=+X)；ST)=等称推论1:f(a+x)=f(a-x)y=的图象关于直线t=“对称推论2、f(x)=f(2a-x)=y=/(X)的图象关于直线X=对称推论3、f(-x)=f(2+X)Oy=/(x)的图象关于直线x=u对称2、/(+x)+/S-X)=2coj“)的图象关于点对称推论1、/(f1.+x)+/(a-x)=2y=/(x)的图象关于点(.Z)对称推论2、/(x)+f(2

3、a-x)=劝。y=f(x)的图象关于点(a,6)对称推论3%f(-)+f(2y=f(x)的图象关于点(,b)对称例题分析：1 .设/(x)是(70+9)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当04x41时，/(X)=X,则/(47.5)等于()（八）0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.52、(山东)已知定义在K上的奇函数/(x)满意/(x+2)=-x),则6)的值为()A.-1B.OC.1D.23 .设f(x)是定义在/?上的奇函数，/(1.)=2J(x+1.)=*+6).求”10).4 .函数八X)对于随意实数*满意条件,若/=-5,则/1/(5)=5 .已知/(x)是定义在R上的奇

4、函数，且它的图像关直线_r=1.对称。(1)求/(O)的值;(2)证明“X)是周期函数；(3)若/(X)=Mo=其中全部正确命题的序号是.3 .设定义在R上的奇函数y=f(*),满意对随意fR,都有f(t)=f一力，且XW时，f(*)=一上则f(3)+的值等于()A.-B.-C.-D.-4 .若偶函数y=f(*)为R上的周期为6的周期函数，且满意f(x)=(x+1.)(-a)(-3%3),则一6)等于.5、(1)/(x)=-011、定义在-川上的函数y=(x)是减函数，且是奇函数，若fai-1)+/(4-5)0,求实数的范围。12.(重庆文)已知定义域为R的函数是奇函数。(I)求”,/，的值；

5、(II)若对随意的“H,不等式八产-川+/2_10恒成立，求A的取值范围。复习题，I.己知数列叫，其前项和为S.,点g)在抛物线)，=#+1；各项都为正数的等比数列也满意优=仁也=表.I)求数列U1.也)的通向公式；(II)记C”她，求数列(C1.的前”项和J2.在中，角A、B、C所对的边分别是“、c,且(其中SMM为八8。的面积).(I)求；(1)若b=2,AABC的面枳为3,求.3.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如卜；X12345频率a0.20.45bC(1)若所抽取的20件

6、日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求c的值;(1【)在(D的条件卜.，将等级系数为4的3件日用品记为演,X,1,等级系数为5的2件口用品记为,，月，现从玉，士,4，鼻，X这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出全部可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.4 .如图，在三棱惟P-AK中，PAJ.底面ABC,CC,，为PC的中点，PA=AC=2,BC=I.(I)求证：J平面PBC:(II)求经过点八WC的球的表面积。5 .已知抛物线f=8(y+8)及.、，轴交点为M,动点PQ在抛物线上滑动，且MPMQ=O(1)求/过中点R的轨迹方程W;

7、(2)点A.8.C.。在W上，A。关J，轴对称，过点。作切线/,且8(7及/平行，点。到A瓜AC的距离为4,4，且4+4=AD,证明：A48C为直角三角形6 .设函数.(1)求/(X)的极大值;(2)求证:1.2e1.nw(w-1.)(ff-2)21.(n2+)(2n+1.)(weN,)(3)当方程有唯一解时，方程g()=/矿(X)+竺二券二=O也有唯一解，求正实数f的值：函数的周期性及对称性1、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量X点有下列条件之一成立，则函数y=f(x)是冏期函数，且2是它的一个周期。f(x+a)=f(-a)f(x+a)=-f(x)f(x+a

8、)=1.(x)f(x+a)=-1(x)2、函数的对称性及周期性性质5若函数y=f(x)同时关于直线x=a及x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数，且T=2-性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)及点b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2-性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称，又关于直线X=b釉对称，则函数f(x)必为周期函数，且T=4一3.函数)，=/(*)图象本身的对称性(自身对称)f(x+)=f(x+b),则f(x)具有周期性；若/(+x)=S-幻，则/(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、U)=(fc-x)y=(x)图象关于直

9、线口+.；S=)=W薪推论hf(i+X)=f(a-x)o.v=/的图象关于直线V=a对称推论2、/(x)=J(2a-x)Oy=/(x)的图象关于直线X=对称推论3、/(-a)=f2+)y=/(x)的图象关于直线X=a对称2、f(a+.r)+J(b-X)=2cOy=应的图象关于点对称推论1、f(+)+f(a-x)=2by=f(x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f(x)+f(2a-x)=2by=f(x)的图象关卜点(.b)对称推论3、f(-)+f(2a+x)=2bey=f(x)的图象关于点(4,/，)对称例题分析：1 .设/(x)是(-,+上的奇函数，f(x+2)=-/(x),当Ox1时，/(

10、x)=X,则/(47.5)等于（八）0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.52、(山东)已知定义在K上的奇函数f(x)满意/(x+2)=-(%),则6)的值为()A.-1B.0C.1D.23 .设f(x)是定义在R上的奇函数,/(1)Zf(x+1)=/(j+6)./(10).4 .函数/(X)对于随意实数X满意条件,若/1=-5,则/1/(5)=5 .已知/)是定义在R上的奇函数，且它的图像关直线X=I对称。(1)求/(0)的值;(2)证明/(x)是周期函数；(3)若/(x)=x(0v2,4,一%4,2.*.4Xe1.O,2,f(4x)=2(4M(4x)=-Y+6-8.又,：r(4-)=

11、-)=x),-Jfer)=-6-8,即f(x)=V-6x+8,x2,4.巩固练习：1 .函数人力是周期为4的偶函数，当x0,2时，NX)=X-1,则不等式(*)0在一1,3上的解集为().(1,3)B.(-1.DC.(-1,0)U(1,3)D.(-1,0)U(0,1)解析：选Cf(*)的图像如图.当xW(1,0)时，由(力0得X(1,0)；当x(O,D时，由(x)0得当Xe(1,3)时，由(必0得%(1,3).故*(-1,0)U(1,3).2 .设函数Fa)是定义在R上的偶函数，且对随意的*eR恒有f(x+D=f(I),已知当X0,1时，/V)=,则:2是函数f(x)的周期：函数f(x)在(1

12、,2)上递减，在3)上递增：函数人力的最大值是1,最小值是0：当x(3,4)时，)=1.3其中全部正确命题的序号是.解析：由已知条件:(a+2)=（八）,则尸FJ)是以2为周期的周期函数，正确：当一1.Wx0时0W-r1.,f(x)=f(-)=+,函数力的图像如图所示：当3水4时，-Kx-40,=(-4)=-s,因此正确，不正确.答案：3 .设定义在R上的奇函数y=f(*),满意对随意feR,都有f(t)f(-t),且x时，x)=-则笊3)+的值等于().-B.C.-D.-解析：选C由r(D=r(-D得Ni+?)=-/)=一/),所以f(2+。=一1+。=U),所以/U)的周期为2.又(1)=

13、/(1-1)=/(0)=0,所以3)+=1)+=0-j=-4 .若偶函数y=f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满意F(X)=(X+1)(x-a)(-33),则-6)等于.解析：.y=f(x)为偶函数，且N*)=(*+1.)-(*-a)(-3WK3),.*.f(x)=Y+(-a)-a,1a=0.a=i=+1.)G-D(-33).(-6)=(-6+6)=(0)=-1.5、(1)6=上1.关于点(!)对称：/(.6+/(Ir)=1;a22(2) /(X)=*J-2x+1.关于x,=a)6 .设/Ir)是(一8,十8)上的奇函数，/(1.+2)=一八力，当OWxW1.时,f(x)=X.(1)求f(

14、3)的值；(2)当一4W%4时，求f(x)的图像及X轴所围成图形的面积.解:(1)由*+2)=一八力得，x+4)=f(2)+2=-2)=F3，所以fJ)是以4为周期的周期函数，所以/(3)=/(3-4)=-/(1)=-1.由只力是奇函数及%2)=-),得ta-1.)+2=-D=/I1.D,即1+x)=A1-).故知函数y=力的图像关于直线*=1对称.又0W1时，M=x,且f(x)的图像关于原点成中心对称，则一1Wa0时，f(x)x,则人力的图像如图所示.当一4Wx4时，设FCv)的图像及*轴围成的图形面积为S,则S=4N1=4X=4.7 .设f(x)是定义在(-%+咐上以2为周期的周期函数，且

15、/()是偶函数，在区间2,3上，/(x)=-2(x-3尸+4.求*e1,2时，人工)的解析式.解：当x-3.-2,即-xw2,3,/(x)=J(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4又“x)是以2为周期的周期函数，于是当xw1.2,即-3C-44-2时,(x)=(x-4)=/(X)=-2(.v-4)+3f+4=-2(x-1)2+4(1-2)./()=-2(X-I)+40),由f(1.)+(4)=0得a(1.-2)2-5+(4-2)2-5=0,：.a=2,/()=2(-2)2-5(1.x4).y=/(x)(-1.x1.)是奇函数，./(O)=0,又知y=/(X)在O.I上是一次函数

16、，可设/(x)=kx()x1.)W/(D=2(1-2)2-5=-3,A=-3.二当04x1.时，/(x)=-3a,从而一1.x0时，fix)=-f(-x)=-3x,故Tx1.时，/(x)=-3x.，当4SxS6时，-1.,v-51.-/()=/(x-5)=-3(.v-5)=-3.v+15.当6vx49时，1.x-54,/(X)=fx-5=2(x-5)-2i-5=2(a-7)j-5-3+15.4X6/CO=12.(2(x-7)-5.6011、定义在-川上的函数y=(x)是减函数，且是奇函数，若f(a2-!)+/(4a-5)0,求实数的范围。12.(重庆文)已知定义域为R的函数是奇函数.I)求。力

17、的值:(II)若对随意的FR,不等式2-川+/(2/2-&)K上；各项都为正数的等比数歹J,满意A&=3也=.AJ.底面A8C,AC1.BC,H为PC的中点,PA=AC=2,BC=.(I)求证：A”_1.平面。8C:(II)求经过点WABC的球的表面积。5 .已知抛物线i=8(y+8)及)，轴交点为M,动点P,Q在抛物线上滑动，旦MPMo=O(1)求PQ中点R的轨迹方程W；(2)点A,5,C,。在卬上，入。关于F轴对称，过点。作切线/,旦BC及/平行，点。到人8.AC的距离为4小且4+4=W,证明：8C为直角三角形6 .设函数.(1)求/()的极大值：(2)求证：1.2f1.np(n-1.)(

18、n-2)-21.(fr+7J)(2h+I)(j)(3)当方程有唯一解时，方程g()=w)+Q=尹=O也有唯一解，求正实数r的值；纪习题答案：1、解：(I),当=1时，O1.=E=2当2f1.寸，S.i=(11-1.)2+(11-1.)=-r+1.q=sfT=3-1，数列6是首项为2,公差为3的等差数列，.=3-又各项都为正数的等比数列出满意b2=b、q=-,b1.q=上一田432,解得，(U)由题得T=1+5()+.+(3-4)x(一),11+(3h-1)x(一)2222T=2(一)*5(一)+.+(3/j4)(一)+(3/j)2222得；7；=1+3睁+(3)+1.+审-EX犷-M1.=,+

19、31.-11-,=-3(-r-(311-i)(-r222“12分2、解析：(I)由已知得-H加SinA即女W.J+Cc&sin+cos2A=2c164I=2+=21+cosA259C4C，4COSA1+cos2A=2coswA+2个252x5250(II)(I)知SMf1.r=3CSinA=3,=2,/.c=5又,.=6c2+2cos.=4+25-225-=135.a=12分3、.解:(1)由频率分布表得0.2+0.451,0.351分因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以0.153分20等级系数为5的恰有2件，所以Q1.4分从而0.350.1所以0.10.150.16分(2)

20、从日用品,X-X,%,八中任取两件，全部可能结果(X1,Xj),(X1,X、),(X1,Y,),(X1,Y2),(X2,X5),(X2.Yt),(X,Y2),(xf,),(xj,%),5,匕)共10种，9分设事务A表示“从口用品X-xj,X”X，八中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本领件为(X,X2),(X,Xj,(x,X?),(X，%)共4个，11分故所求的概率P（八）=一=0.412分1()4、(I)证明：因为必!底面4次，BCU底面A8C,所以PA1.BC,又因为ACC,PAAC=A,所以C，平面PAC,又因为AHU平面PAC,所以BC1.AH.因为PA=AC,是PC中点，所以A

21、H1.PC,又因为PCBC=C,所以AH_1.平面PBC.6分()S=9412分5、解：(1)明显直线MP的斜率存在且不为0,设为人设PQ的中点/?)，)，直线的:)，=履-8及/=%v+8)联立解得：P8A.8Jt-8)同理：.P0的中点，轨迹方程：X2=4.y6分(2)由得：,设C(a,-),(x,-)则444.+Xi=Zq乂则1.=则NDAC=NDAB.J1=d,又4+&=0IAo1.则ZDAC=ZDAB=45.A8C为直角三角形13分6、解：(1)(x)=Af)=0#.t=7.X(0,”)(Te.+)f)+O/(X)递增理方值递减从而八X)在他&单调递在IaE单调递减.4分(2)证明：:,21.nAX2分别令X=123.n.-.20)有X唯一解2设G(X)=.r2-2/Inx-2tx=0(O).,.G,(x)=-(xz-tx-t)X由，G(X)=O则VfT=O设FTxT=O的两根为厢天，不妨设v?.r0，耳0()有唯一解，则G(X1.)=0.即tXj-2/In受-2%=0又XJ-%=0(2)由得：2/In.Vj+v2-/=0即：2In2+A2-1=0X2=I,又与是方程XTXT=O的根14分