函数对称性、周期性和奇偶性规律总结.docx

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1、函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组()、同函数的函数的奇偶性与对称性：(奇偶性是一种特别的对称性)1、奇偶性：(I)奇函数关于=fx上,而点(XQI)与点(2-x,y)关于x=a对称。得证。说明：关于x=对称要求横坐标之和为2,纵坐标相等。V(a+.到)与(。一苟.N)关于X=对称，；.函数y=/(%)关于X=4对称of(a+x)=f(a-X)YC卬力)与(2-X,M)关于=”对称，函数y=(x)关于*=对称U(x)=(2-x)V(-x,y1.)1.j(2rt+.r,y1.)关于x=对称，函数y=Jx关于x=对称O/()=(2w+x)(2)函数的点对称：函数y=/(x)关于点(a,h)对

2、称Of(a+a)+f(a-x)=2bIjf关系也可以写成/(2+R+(-x)=2或/(2f1.-x)+(x)-2Z若写成：.r(+)+3-刈=C,函数y=f()关于点(WeA)对称证明:设点(XQ1.)在y=f(x)上,即通过/(2-x)+f(x)=%可知，f(2关于点如,0)中心对称。总结：X的系数一个为1,一个为-1,相加除以2,可得对称轴方程总结，X的系数一个为1,一个为-1,f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1,另一个为-1,存在对称中心.总结：X的系数同为为1,具有周期性.(二)、两个函数的图象对称性1、y=f(x)与y=-(x)关于X轴对称。证明：设y=(x)上任一点为(,)则

3、.=(xj,所以y=-/*)经过点(Xf)V(XQJ与(.t1.,-)1.)关TX轴对称,X=/(X1)与J=-f(x)关于X轴对称.注：换种说法:y=f(x)与)，=g*)=-(x)若满意/(x)=-g(x),即它们关于y=O对称。2、y=)与y=(-)关于Y轴对称。证明:设y=(x)上任一点为(x,y)则X=/(七),所以y=(-x)经过点(F,),)(不乂)与(,yj关于Y轴对称，y=/CD与y=/(T)关于Y轴对称。注：因为(一m,X)代入y=f(-x)得y=f(TF)=/(x1)所以y=f(-x)经过点(Tux)换种说法：y=()与y=g(x)=(f)若满意)=g(-x),即它们关于

4、X=O对称.g(-x)=/(-(-x)=fix)3、尸=/(幻与.丫=/(加一工)关于直线*=对称。证明：设1=/()上任一点为(x1.,yt)则X=/(x1.),所以y=/(2-X)经过点(20-x1.,y1)(不X)与(24F加关于轴对称,=JXX)与y=f(2a-x)关于直线x=对称。注：换种说法：y=(x)与)，=g*)=f(-X)若满意f(x)=g(2-x),即它们关于X=U对称“4、V=/(*)与y=2a-f(x)关于直线y=a对称。证明：设y=f(x)上任一点为(8,y,)则为=八司)，所以y=2a-f(x)经过点(x,2-y1)(J.,)与(.v1.,20-t)关于y=。轴对称

5、，；y=/(x)与V=2a-J(x)关于直线y=对称.注:换种说法:y=(x)与y=g(x)=2-(x)若满意/(x)+g(x)=2,即它们关丁y=”对称.5、y=F(X)与y=2b-/(2-x)关于点(a,b)对称。证明：设y=(x)上任,点为(X，M)则y=/(8),所以y=2-/Q-x)经过点(2-xi.2b-y1.)(x.)与(勿-N,2-y)关于点(a,b)对称，：.y=f(x)y=2b-f(2a-x)关于点(a,b)对称.注：换种说怯：丁=/0)与=8*)=-/(2-.。若满意，(.6+京27)=2/,即它们关于点S,b)对称。g(2a-x)2b-f(2a-Qa-x)=2b-f(x

6、)6、Iy=/(-x)与y=/(x-力关于直线X=对称。证明：设y=f(x)上任一点为(.v1.,y1.)则y1=f(X,),所以F=f(-x)经过点(a-.t1.,y1.),y=fS-x)经过点S+*),；(,)与S+x1.,y)关于直线,y=/(-r)与=f(-力关于直线X=F-对称。三、总规律：定义在R上的函数f=(x),在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条肯定存在。一、同一函数的周期性、对称性间网(即函数自身)(一)、函数的周期性：对于函数y=(x),假如存在一个不为零的常数T,使得当X取定义域内的每一个值时，都有*+7)=f(x)都成立，那么就把函数y=x)

7、叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。假如全部的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。I、周期性：(1)函数y=(x)满意如下关系式，则/(x)的周期为27A、/(.r+T)=-(r)B、/(x+)=-1.-SJf(x+)=-i-/(x)J(X)C、(a+3=1空或x+()=H(等式右边加负号亦成立)D、其他情形(2)函数.y=(.r)满意/(+x)=(-.r)且/S+x)=fS-x),则可推出/(x)=f(2a-x)=fb+(2a-x-b)=fb-(2-x-fr)=fx+2(h-)即可以得到.y=八X)的周期为2(b-a),即可以得到“假如函数在定义域内关于

8、垂直丁X轴两条直线对称，则函数肯定是周期函数”(3)假如奇函数满意+r)=-()则可以推出其周期是2T,且可以推出对称轴为X=q+2仃仅WZ),依据/(X)=f(x+2T)可以找出其对称中心为(AtO)Gtez)(以上TWO)假如偶函数满意/(x+r)=-(x)则亦可以推出周期是2T,且可以推出对称中心为g+2k7.0)(e),依据/(x)=(x+2T)可以推出对称轴为x=T+2kT(kez)(以上ThO)(4)假如奇函数)=八人满意(x)=f(T)(0),则函数F=/)是以4T为周期的周期性函数。假如偶函数)=*)满意AT+*)=/-X)(0),则函数y=/”)是以2T为周期的周期性函数。定

9、理1：若函数/W在R上满意s+x)=(-x),I1.(,+x)=0-x)(其中W)，则函数.V=f(x)以2(-b)为周期.定理2：若函数/(x)在R上满意/(+x)=-(-x),且/(b+x)=-(b-x)(其中aW)，则函数.F=f(x)以2(-为周期.定理3：若函数/(x)在R上满意+x)=/(-x).且S+X)=-x)O),则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期。定理8：若函数f(x)满意f(x+a)=-f(x)(aO)(或f(x+a)=或f(x+a)=-f()则f(x)周期函数，2a是它的一个周期。f()定理9：若函数Jf(X+)=二绥(f(x)W1.a)，则f(x)是周期函数，4aI-f()是它的一个周期。若f(x)满意/(x+)=N(x)1.O),则f(x)是周期函数，2a是它+()的一个周期.