笔记--多目标规划.docx

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1、处理多目标规划的方法1.约束法1.1原理约束法乂裕主襄目标法.它根据问题的实际怡况.确定个目标为主要目标，而把其余目标作为次要目标.并根据决策者的经喻次聂的目标选取一定的界限值,这样就可以把次聂目标作为的束来处理从而就将反彳f多目标规划向的转化为一个在新的约束下，求主要I1.标的单目标最优化问逊.假设在P个I1.标中，/()为主要目标，而对应于其余IpD个目标函数(x)均可以确定其允许的边界伯：a1.fi()h,i=2,3,p-这样我们就可以招这(P-I)个目标函数当做最优化问跑的约束来处理，于是多目标规划何咫转化称为单目标规划问题SP向题：minf.()公式1.1.nr、s.t.gi()0(

2、=1.,2,.,wz)aifj()b.(j=2,3P)上述问题的可行域为2.评价函数法其根本思就是将多目标规划向区转化为个垠目标规划问区来求解，而旦该单目标规划向区的目标的数是用多目标问题的各个目标的数构造出来的，称为评价函数，例如假设原务目标规划问题的目标函数为F(X),那么我们可以通过各种不同的方式构造评价函数h(F(x),然后求解加下问遨：求解上述问即之后，可以用上述问遨的最优解/作为多目标规划向阳的最优解，正是由于可以用不同的方法来构造评价用数，因此有各种不同的评价函数方法，下面介绍几种肺用的方法。评价函数法中主要有：理想点法、平方和加权法、线性加权和法、票除法、大小法2.1理想点法考

3、虑多目标规划问卷：IV-minF(x),首先分别求解P个第目标规划问题:s.t.gj(x)O(/=1.2.m)令各个问题的最优斛为X；(=1.,2,.,p)而其目标函数值可以表示为：其中：R=xgx)O(y=1.,2一般来说，不可能所有的X；(i=1,2,.,P)均相同，故其最优值f(i=1,2,p)组成的向懵F1,=*f；.并不WF多目标规划的象娱，所以F是一个几乎不可能到达理想点那么，理想点法就是在多目标规划的可行域R中找到一点,使其对应的F(x)与理想点F”最为接近，即当理想点FO时,在目标空间拉”中适当引进某种度以标掂来确定F(X)和F之间的距离，并在这个度信标准的意义下使得多目标规划

4、何麴集合R上某点X的目标函数F(X)与理想点F1.J之间的“即离”尽可能小而距离的度量可以利用向盘的某种模M,当我们给模MJ=1.2那么称这组权系数为正权,正权的全体可以记2-kz,J-.2.3.n.0为：J：假设所有权系数4NU./=1.,P.那么称这组权系数为非A，=,.4O,Z=1.2.p:4=H负权，非负权的全体可以记为：IIJ上述对权向豉和权系数的定义适用于下面所介绍的各种加权和的方法.(minZ(x)(f=1.p)先求出各个单目标规划问题回g(x)2=1.,2的一个尽可能好的卜界工,S1，即满mZ(x)Z0,Z=1.,2,.,pA1.：xci(x)=(F(x)=(Z(x)-Z0)2

5、然后构造评价函数：一情况下，权系数4的值由各目标的数f(x)的鬟程度给出.平方和加权法平方和加权法是求解如下单目标规划问跑：八1MF(x)=*1.,(X)T。丫公式1将其最优解作为多目标规划的解，线性加权和法线性加权和法是一种最常用的方法而且在理论上有理要意义,该方法是按照P个目标(x)=S,”的揖要程度,分别乘以组权系数4=1.2,./然后相加作为目标函数,再对此目标函数在多目标规划问题的约束集合R上求最优解,即构造如下单目标规划何题；八斗1.MF(X)=E4/(X)=IF(X)公式1求此单目标规划问题的必优解，并把它叫做多目标规划问题在践性加权意义下的以优解，且该问题中的=IA，4厂wA或

6、者A?,设p=2,那么多目标规划问鹿具有两个目标函数、人，取=不为6如下图,目标函数的等(S线儿/=C是一条直线.求mini=:右+NAJXF(R)的过程就是在F中找一点，使得F=C取以小伯C=工年.从图上可以百出.H是目标函数片F的等值线与IF在左下角的切点,即F的有效点.对应于#,存在e夫使得F=F，那么又为多H标规划向曲的有效解,wA时，G可能是弱有效解。加权因子M确定的方法：.将各分目标转化后加权为消除各分目标在量级上的差异，光将分目标函数九X)转化为无量纲等玳级目标函数/(*)N=1,2/)(Z(x)卜I)再组成统一目标函数：w,一一按各分目标的重要程度来决定如各分目标有相I可的正要

7、性，蜃么取w1=1.0=1,2,I)一称为均匀计权，否那么取各分目标不同的加权因子，取叱=1I-I将以M特换为无量纲的等量级目标的数Z(X)的方法：设各分FI标函数值的变动范用为：a,f,(x).即将各单目标函数的G优值的例数作为权系数，它反映了各单目标函数离开各自生优值的程度，另外相当于各分目标函数进行了无量纲的处理，而消除了各分目标在数量双上的龙异。(2)宣按加权法利加权因子分成两局部：W1=W11Wi1.(i=1.,2,.,0其中，IV11一一本征权因子，反映各分目标的重要程度S1.一校正权因子,调整各分目标间Ift级差异的影响Tmf”就FX2一个分目标函敷启X)变化越快，|以5)的值越

8、大，加权因子W2,念小，反之，亦然.这样可辑蔓不同的目标函数值同步下降.2.4 乘除法(存疑：乘除法原理即乘塞指数有变化，1或-1,为何不是2或-2?按照重要性嘉指数应变大！)假设我们的目标可以分为两组：一组要求/人3的值越小越好：另一组要求工“/一”/小)越大越好.而且对于任意的XeR,均满足函数值非负的条件E(x)(U=1.,2,”,此时可以令:Z(X)=Z(x)f=1.2k(8-12)/.；义)f=A+1.A+2,p这样就可以把多目标规划砸统-为：F(x)=(x闭X)以X)乘除法的原理就是构造如下目标的数：min(F(x)=11(x)=x*JCi1.口“)/;(XM(X).(x)公式11

9、1/().1().j()-4()Z7那么多目标规划何起已经转化为刑目标规划问遨.在乘除法中我们是把求最大的目标作为分母,把求最小的目标作为分子，如此化为单目标问题后再求最小。2.5 最大最小法X=FMINIMAX(FUN,XOABrAeq1Beq,1.B,UB.NON1.CON,OPTIONS)在对策论中，人们经常遇到这样的问题：在最不利的条件下如何寻求最有利的策略。因此，求解极小化的多目标规划，也就是要在R中求出各个目标函数的最大值中的G小值.这就是极大极小法的根本思想，基于上述根本思想.极大极小法是构造评价函数：*F(X)=瞎V(X)1.从而求解下述尊目标规划问题P的最优解：喧M,)=既O

10、o1.有时也给每个配上权系数4,即考虑如下问叫嘲MF(X)明(*)其中=(A,4JWA或者A”.当=1.”=2时极大极小法的几何意义如下图.x是MF(X)在R中的极小点.2.6 结论(看不懂。，。)以上我们借助于不同形式的评价函数MF(X)符多目标规划问遨转化为单目标规划何跑.现在我们将要讨论：上述何即的股优解在什么条件之下才是多目标燃划问起的的有效例或弱有效解.为此,给出两个定义：如果对于UFFR当满足FF时均满足MF)Mr).那么MF)称为F的严格瓶调增函数.如果对于VFFe肥，当湎足FF时均满足力(F)S(F)那么力(F)称为F的单调堵南数。在上述定义下，转化后的单目标规划问璃是多目标规

11、划何题的有效解或者弱有效解的条件由下面两个定理描述：假设MF(X)是F(X)的严格单调增函数,那么转化后的单目标规划问题的以优解是多目标规划问即的有效解，线设MF(X)是F(X)的单调增函数那么转化后的刑目标规划问曲的最优解是多目标规划何题的就有效解.可以证明，评价函数法中所给的评价函数都是严格单调增函数或单调增函数，因而其最优解是多目标规划问造的有效解或弱有效解，3.成效系数法我们知遒，多目标规划的仔意一个可行解XGR.时每个目标/(X)的相应值是有好有坏的。一个XeR对某个X)的相应(的好坏程度，称为X对(、)的成效.为了便于对每个XGR比拟它对某个/(X)的成效大小，可将以X)作一个函数

12、变换4(x),即令：4=4(E(X),/U=2.P并规定：对x)产生成奴最好的X,评分为4=1；成效破坏的X,评分为4=：对不是最好也不是最坏的中间状态，评分为4)=p;嘿X)=加=2由于当i=12./时，(x)要求越小越好，故可取:4=4()=公式1Z-Z=B/其中式选取1a作为函数值，主要是因为过两点（!,）和（/）可作一条口鼓，其方程为:Z(X)-Z4(X)WkX-Z0-1,4（x）的图形见图所示.U()=,-if=,2由上式得：X显然，越澈近（狗的成效越好.越靠近伉）的成效越坏.所以4（工（、）便可以反映诸要求I（X）越大越好，故可取:Z(x)-1.2”A越小越好（2）对于当i=+1，

13、攵+2,.p时,4=4(f()=公式2E(X)-ZITrr/=Z/=Zf1f对于WXR=1,2,P，假设X*是式（&24）的最优解,那么X*必为多目标规划问SS的有效解，3.2 指数成效系数法线性型成效系数法实际上是把成效系数取作税性解数.当我们把成效系数取作指数函数时,便得到指数型成效系数法。由于指数脸数的几何特征与内线不同，因为指数函数最大值的4（万*,而是趋近于0,故无法以跷性成效系数法那样利用工（X）的最小依1和最大值7来定义4（/（X）.而是利用估计出的（）的不合格值工（或者称为不满意值）和勉强合格值力（或称最低满总值）来定义4（1（,）.（1）对于越大越好的（）=+1.+2,，考虑

14、如下的指数型成效系数：公式M=4（/（X）=尸i=k+U+2P其中以及为待定的常数.其图形如下图可见，4（x）T2是）的严格单调增函数，而且当x）充分大时，4（X）T1.为了确定区e=e,规定：d=4）=e037;小4=e入。6,可以得到JeY=1.（8-26）f卜=7bo+b1.fi=OI=1由此可得：%+z=,故X0-X1从而有：4(x)=exp-exp公式1fz-zJFfi=k+1.,k+2,.,p（2）对于越小越好的工（X）T=1.2,乂，可以类似的求得:4(X)=I-exp-exp公式2z-z,ff,=1.2,-.这时，4的图形如下图，图中，是工（）的严格单调减函数，而且当）充分小时

15、，4（1（X）T1.类似线性成效系数法,在得到了各成效系数4（）=1,2”之后我们构造单目标规划向出公式3MF（X）=依4（工（x）y同样可以证明，业优解为多目标规划问SS的有效解.最后指出.成效系数法显然也适用于统的极小化模型，只商要在相应的评价函数中取A=即可。多目标规划的MAT1.AB求解由于多目标规划中的求解涉及到的方法非常多，故在MAT1.AB中可“利用不同的初效进行求解，例如：1.在评价函数法中我们所得最后的评价函数为一线性函数,且约束条件也为线性函数.那么我们可以利用MAT1.AB优化工具箱中提供的IinProg函数进行求裤：2.如果我们得到的评价函数为非线性函数，那么可以利用M

16、AT1.AB优化工具箱中提供的fminn函数进行求解；FMINC0Nfindsaconstrainedminimumofafunctionofsevera1.variab1.es.FMINCONattemptstoso1.veprob1.emsoftheform:minF(X)subjectto:A*X三B,Aeq*=Beq(1.inearconstraints)XC(X)=0,Ceq(X)=0(non1.inearconstraints)1.B三X三UB(bounds)X三FMINCoN(FUN,X0rA,8,Aeq,Beq,1.B,UB)definesasetof1.oweranduppe

17、rboundsonthedesignvariab1.es,X,sothataso1.utioni$foundintherange1.B=X=UB.Useemptymatricesfor1.BandUBifnoboundsexist.Set1.B(i)三-Infif(i)isunboundedbe1.ow;setU(i)=Infif(i)isunboundedabove.X=FMIN8N(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,IB,UB,NONICON)subjectstheminimizationtotheconstraintsdefinedinNON1.CON.ThefunctionNON1

18、.CONacceptsXandreturnsthevectorsCandCeq,representingthenon1.inearinequa1.itiesandequa1.itiesrespective1.y.FMINCONminimizesFUNsuchthatC(X)=0andCeq(X)=0.(Set1.B=)and/orUB=()ifnoboundsexist.)X=FMINCON(FUN,XO,AfB,Aeq.BeqB,UBzNON1.CONrOPTIONS)minimizeswiththedefau1.toptimizationparametersrep1.acedbyva1.u

19、esinthestructureOPTIONS,anargumentcreatedwiththeOPTIMSETfunction.SeeOPTIMSETfordetai1.s.Fora1.istofoptionsacceptedbyFMINCONrefertothedocumentation.3.如果我们采用嫉大爆小法进行求解，那么可以利刖MAT1.AB优化工具箝中提供的fmnimax函数进行求解。下面我们就结合前面各小节中所分析的几种方法,讲解一下典型多目标烷划问遨的MAT1.AB求解方法。1 .例利用理想点法求解我们首先根据评价函数法中的理想点法的理论帆底.按照理想点法的求解思路分别对两个

20、单目标规划问跑(？),化)进行求解：求解该线性规划的MAT1.AB的代码和相应的运行结果为：E2;-3);A=32;11;b=(12;8Ib=(0;0)(x,fva1.三1.inprog(cAb,)4,1.bJ)Optimizationterminated.0.006.00fva1.=-18.0000于是可知.当、时.第口标线性规划(耳)的最优函数值为工=一18.c=(-5j-3;A=32;11;b=(12;8)Ib=(0;0)xa1.三inprog(cAb41.0Jb,)Optimizationterminated.x=4.000.0000fva1.=20.0000于是可知，当，=(4.0)

21、时，侬日标践性规划(6)的最优函数值为=-20,由上述两个单目标线性规划的求解结果可知NX?.因而(Tjj=(T8-20)是一个不可能到达的理想点,因而我们构造如下钾价函数:评价函数:构造描述该评价函数的M函数文件objfun.m如下；functionf=objfun()f=sqrt(2*x(1.)-3*x(2)*18r2+(5*x(1.)+3*x(2)-2O)A2);然后用非税性规划的方式求解上述问时的代码为：A=32;11;b=(12;8;b=j;x0=(0;0);x,fva1.,exitf1.ag=fmincon(objfun,xO,A,b4,1.b,()由运行结果可知在该评价函数玩准之

22、下.问应的最优解为：*=(235.%47)此时，各目标函数的取也为：a)=T7847(%)=T8O8.它与埋想点(工)(-18.-20)在评价函数标准下的般小距围为1.9941.2 .例利用评价函数中的线性加权和法求解如下多目标规划问题:其中权系数为4=&4=0.2建立线性加权和法的评价函数为：将相附的权系数代入上式即整理出目标函数)为：于是建立目标函数的M函数文件Objf1.Jn.m：functionf三objfun(x)f=x(1.)A2+1.2x(2)A2+1.4x(3)A2;由丁目标函数非线性函数旦具有线性等式约束和边界约束，因而我们调用MAT1.AB中求解非战性规划的fmincon函

23、数对此问题诳行求解,同时注意如果只考虑第一个目标函数,由这种特殊形式，即在设计变技的和为一定猿,需要求其平方和的最小值时,最优解必然是当这几个设计变量的优机等时取得.干是我们可以将这个蟀设为问区的初始点.开始迭代，故求解该问题的代码为：Aeq=(1.111;beq=3j;1.b=(0;0;0;xO=H;1.;1.b1.17760.9812./(x)=3.53270.8412x,fva1.1.=fmincon(ob)fun,x04,(1.Aeq,beq,1.b41)结果说明，问题的最优斛为：1.71.-J我们在求解多目标规划问题时，可以采用请价函数法中的最大最小法，而MAT1.AB也为这种方法提

24、供了专门的求解由数fmin,max,在讲解这方面的例题之前，我们首先介绍下MAnA8优化工具箱中所提供的最大最小法的求解函数fminimax最大最小法问遨的MAT1.AB标准形式为：函数fminimax的两用方式和其他的最优化函数类似,其中所涉及的输入参数和输出参数的含义与非线性规划的求解函数fmincon类似，使用方法也根本相同，细节问题读者可以多考MATIAB的神助文件。3 .例求解最大最小问题：首先建立描述目标函数的M函数文件objfun.m,注意到一共有五个目标函数，所求目标为这五个函数最大值中的最小值，代码如下：functionf=objfun(x)f(1.)82*x(1.)A2*x

25、(2)A2-48Mx(1.)40*x(2H304;f(2)三-(1)a2-3(2)2;f(3)三x(1.)+3x(2)18;f(4)三-X(1.)X(2);f(5)三(1.)x(2)-8;然后设置求解的初始点为x0=0;0.调用fminimax求解该何即的代码为：0=0;0;(,fva1.zmaxfva1.)=fminimax(objfun,xO)运行结果为：1.oca1.minimumpossib1.e.Constraintssatisfied.fminimaxstoppedbecausethepredictedchangeintheobjectivefunctionis1.essthant

26、hedefau1.tva1.ueofthefunctionto1.eranceandconstraintsweresatisfiedtowithinthedefau1.tva1.ueoftheconstraintto1.erance.Activeinequa1.ities(towithinoptions.To1.Con=1.e-006):1.owerupperineq1.inineqon1.in14.004.0000fva1.=0.000064.0006-1.99998.0000-0.0000maxfva1.=2.6897e-008上述结果说明当X=4,三=4时目标函数/(x),=,25的最大

27、值到达最小，这一加的函数值为0.0000.-64.0006.-1.9999.-8.00.-0.00.于是最大(ft为0.4例利用最大最小法求解根据最大几小法评价函数的建立方法：仍然选择与1:例相同的权值,故可知最大最小法的两个目标函数为：于是我们在MAT1.AB中建立描述目标函数的M-函数文件objfun.m如下:functionf=objfun()f(1.)=O.8*(x(1.)八2+M2F2+x(3)A2);f(2)=O.2(MI)A22*x(2)A2*3(3)A2);之后圜用fminimax函数进行求解,同样设置初始点为代码为:Aeq=(1.111;beq=(3);1.b=(O;O;O)

28、;xO=U；1.；U；hfmin1.max(9objfun,041./AeqeqJb,11)运行结果为：1.oca1.minimumpossib1.e.Constraintssatisfied.fminimastoppedbecausethesizeofthecurrentsearchdirectionis1.essthantwicethedefau1.tva1.ueofthestepSiZeto1.eranceandnstraintsweresatisfiedtowithinthedefau1.tva1.ueoftheconstraintto1.erance.Activeinequa1.it

29、ies(towithinOptionsToICon=1.e-006):1.owerupperneq1.inIneqnon1.in1XB1.001.00001.00fva1.三2.40001.2000上述结果说明该问题的最优解为：X=U1.可见最大最小法与前面的线性加权和法所求得的结果不同,这主要是因为所采取的评价标准不同.即评价函数形式的不同.在实际应用中,我那么nonIcon必须在第三个和第四个输出参数返回相应的梯度值，即不等式约束函数的梯度值GC和等式约束函数的梯度值GCeq.需要注意的是，只有当设置了控制参数GradObj的值为IrV时，将控制参数GradConstr的值为IN才彳)效,

30、同时,由于优化工具箱只接受doub1.e卡数据的帖人，故用户提供的目标函数和非线性约束函数必须返回的是d。UbIe型数据.weight输入参数中的weight变显为权重向愤，可以控制低于或超过fgoa1.attain函数指定目标的相时程度.当goa1.的值都是非零值时,那么算法为了保证有效的目标值超过或低于的比例相当将权理函数设置为abs(goa1.).需要注意的是,如果将Weight向员中的任一元索设置为0时,那么究法将把时应的目标约束当归是硬约束来处理，另一种设置硬约束的方式是通过参数nonIcon来设汽相应的约束当设置weight为不同的数值时,fgoa1.attain将对目标函数采取不

31、同的处现方式：(1)当权重Weight设置为iE时.fgoa1.attain函数那么试图使目标函数优小于期望值：(2)当权且Weight设置为负时：fgoa1.attain函数那么试图使目标函数(大于期里伯：(3)当海要目标函数值尽可能等于期不值时，那么应设置控制参数GoaIsExactAchieve的值为相应的目标函数的序号。需要注意的足，这类目标函数必须安排在参数fun返回的函数向量的F的心前面，当然.输入螫数还包括优化仲制参数options,其具体的设置我们将在捽制参数设置一节中给出.3 .输出参数attainfactor输出参数attainfactor指明了目标到达的情况.当attai

32、nfactor为负时，说明目标函数值溢出期望值goa1.,当attainfactor为正时,说明目标函数还未到达期望值.attainfactor参数包含了最优解处的丫值,假设Y值为负,那么说明目标与Hhexitf1.ag优化终止状态指示结构变业exitf1.ag的M性侑及其对应的物理位义如去所示参数exitf1.ag的物理意义值物理意义1收敛于解X处4搜索方向向量的校长小于指定fft且约束破坏小I-OptionsJo1.Con5搜索方向上偏导数的模长小于指定值,且约束破坏小于OptionsToICon0己经到达最大迭代次数限制Max1.ter或者已经到达南数调价次数的最大允许值FUnEVaIS

33、-1算法被输出函数终止-2无可行解而其他输出参数如1.ambda和output那么和fmi11con等其他优化的数类似.在此也就不再赘述了.4 .命令详解(1)=fgoa1.attai11(fun,x0.goa1.,weight)从初始点x开始搜索多目标规划问跑的最优解X.尽量使得fun中所指定的各目标函数到达goa1.所指定的目标值.及中参数fun为目标函数向Jk参数goa1.为设定的期里值.参数Weight为指定权重.X=fgoa1.attan(fun,xO,g3,weight,A,b)在的根底上堵加了线性不等式约束Axb之后进行多目标规划问题的求解.(3) X=fgoa1.attain(

34、fun,xO,goa1.,veight,A,b,Aeq.beq)在的根底上继续增加税性等式约束Aeqx=Kq之后进行多目标规划向区的求解.(4) X=fg3attan(fun,xO,g3,weight,A,b,Aeq,beq,1.b,ub)在的根底上增加对设计变量的边界约束，使得设计变域的值满足1.bxfub(5) X=fgoa1.attain(fun,xO,goa1.,weight,A,b,Aeq.beqJb,ub,non1.con)在的根底上增加非税性约束nonIcon,具巾包含了C(X)50和ceq(x)=0(6) X=fgoaIattain(fun,x0.goa1.,weight.A,

35、b,Aeq,beq,1.b,ub4non1.n,options)按照指定的控制参数options进行优化(7) (x,fva1.Bfgoa1.attain(.)在优化结束之时返回解X处的目标函数值.(8) x,fva1.,atta1.11factor=fgoa1.attan(.)在优化结束之时返回指明目标到达的侍况的梦数attainfactor.(9) x,fva1.,attainfactor,exitf1.ag三fgoa1.attain(.)在优化结束之时返回算法终止的状态指示结构变ktexitf1.ag.(10) Xjva1.atu1.nfactocexItf1.agzOutput=Woa1.attaM(.)在优化结束之时返回输出结构变量output.(11) (,fva1.,attai11factocexitf1.ag,output,1.ambda三fgoa1.attai11(.)在优化结束之时返网解X处的拉格朗日乘于结构变砧1.ambda.