第17讲：高频考点分析之极限、导数和定积分探讨.docx

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1、【备战2013高考数学专题讲座】第17讲：高频考点分析之极限、导数和定积分探讨12讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，38讲，对数学思想方法进行了探河，912讲对数学解遨方法进行了探讨,从第13讲开始我们对高菰考点进行探讨.在我国现在中学数学新教材中,微枳分处于一种特殊的地位，是图中数学知识的一个曳要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问鹿的重要工具.微枳分的思想方法和根本理论有新广泛的应用.结合中学数学的知识,高考中微积分问题主要有以下几种：1 .极限的计算:2 .应用导数求困数的最（极）值；3 .应用导致讨论函数的增减性：4 .炉数的几何意义和应用,#数求曲战的切线；5 .定积分的计算和

2、应用.结合2012年全国各地高芍的实例，我们从以上五方面探讨极Rb导致和定积分问题的求解，一、极限的计算：典型例题：-9q例1.（2012年四川省理5分）函数/（X）=X一3在X=3处的极限足口1.n（.v-2）,3A,不存在B、等于6C,等于3D、等于0【答案】A。【考点】分段函数.极限.【解析】分段因数在x=3处不是无限推近同一个值,故不存在极限。应选A,例2.（2012年重庆市理S分）Iim-j-J=.11-+5-【答案】除【考点】被瞅的运算Crzv4c三1.1i.yn2+5n+/I.V2【分析InnI-=Iim=IimJ_-=一.用f田Jn2+s_n-R511-R55I例3.(2()1

3、2年上海市理4分)有一列正方体,校长组成以1为首项.Q为公比的等比数列,体积分别记为苗丛.匕.-，那么Um(K+匕+VJ=.rt-*X【答案W。【考点】无力递缩等比数列的极限，等比数列的通理公式.【解析】由正方体的梭长组成以I为首项，；为公比的等比数列，可知它们的体积那么组成了一个以1为首项.！为公比的等比数列.因此,1.im(+.+V,)=-=-.8n178二、应用导致求函数的最(极)值；典型例题：例1.(2012年K庆巾理5分)设函数/(X)在k上可导,其导函数为/(X),且函数F=(I-X)F(X)的图像如SS图所示，那么以下结论中一定成立的是【】（八）函数fix)有极大值/(2)和极小

4、值.1)(B)函数/(X)有极大值/(-2)和极小伤/(I)(C)的数/(X)有极大值/(2)和板小值/(-2)(D)函数/(XMi极大值/(-2)和极小伯/【答案】D,【考点】函数在某点取得极值的条件,函数的图象.【分析】由图飘如，y=(1.-X)F(X)与X轴有三个交点,-2.1.2./(-2)=0,/(2)=0.由此得到X.y,1-X,八X)和f(x)在(,+8)上的情况：X-2(-Z1)I(12(2,+)y00+0I-X+十+0/(X)十00+/(X)/极大值非极值X极小值Z./(x)的极大值为/(-2)./(X)的极小值为/(2).应选D.例2.(2012年陕西省现5分)设函数/(X

5、)=X。,那么【】A.K=I为J(X)的极大值点B.X=I为/(X)的极小值点CX=T为/(X)的极大值点D.X=T为“X)的极小值点【答案】D.【考点】应用号数求用数的极值,MWr1.V/(X)=(a-+1)*,令fx)=0,得X=-1.当.r1时，,(.r)I时，f(x)0./(x)=xe为增函数，所以X=-I为/(x)的极小位点.应选D例3.(2012年陕西省文5分)设函数/(x)=1+1.n那么【】A.K1为/(X)的极大值点B.K为/(X)的极小值点C.X=2为/(x)的极大值点Dx=2为/(x)的极小值点【答案】D.【考点】应用导致求函数的极值，21r-2I1.Wf1.V7x)=-

6、1=令X0=0.得x=20X*X尸,、2当0工2时，/(幻2时，,(.v)0./(K)=一十Inx为增函数。X.=2为幻的极小值点.应选D.例4.(2012年广东省理14分)设0,8=kef2.V-3(1+)x+60),D=A(I)求集合。(用区间表示)(2)求函数f(x)=2x1-3(1.+a)xi+6ax在。内的极值点.【答案】解：(1)设g(x)=2/-3(1.+a)*+6,方程(幻=0的判别式口=9(1+”)二4*=9(-Xw-3)当;“1时，D0恒成立,=x7f2.r-3(1.+).v+6=K-D=A=A=-O),即集合D=(O.+?当0。？时，D?0,方程g(x)=O的两根为3+3

7、-9-300+9on_M+3+W30+9；U9*，_4-4.,=2x2-3(1+u)x+6OC.-n.3+3-W-30+9寸3。+3+加小-30+9、D=4=A=.vO).44即集合A(03+3-W-30+94)j(3+3+J%-30”当“0时，D0,方程g()=O的两根为3+3-92-30a+9C3+3+9-304+9C,七O.X2=JqO.=xeR2x2-3(1+)x+6a0M+3-J%-3()+9,CP3+3+的标-3()4+91=.v.r.443+3+92-30+9.：.D=AB=A=xx.4即集合D=(生竺隹运9,+?)。4(2)令f(X)=(2x,-3(1+a)x2+6m=6.v2

8、-6(1+o)x+6=6(-XX-I)=O得x)=2r-3(1+a)x2+6av的可能极值点为,1.当gva1.时,由(1)知。=(0.+8).所以/()J(x)Bfix的变化情况如下表:X(0.)a(.)1(i.-o)()十00十/(X)/极大伯、极小值Z，/(幻=2/-3(1+“)*2+&-在。内有两个极。*(点为“：极大值点为x=”,极小值点为X=I当0=(Q，2-)U(2-,+?)=(0.,)J(x,.-ko)o:/(x)=2x(x-xi)(A-X3)，.0.IX2,/.(x),(-t)1.的变化情况如下表:X(0.)a(a,x)(.%+),(V)+0+/()Z极大值Z.(x)=2V-

9、3(1.+)+69a2-30+9_3a+3+J3(1.-3)(1.-)3a+3+y3(-3a)4443a+3+J(1.-3叽3+/+初0.J)3+5=-1O444_.3+3+J9a2-30a+94.x)=2x3-3(1+a)x2+(xx在D内没有极值点。【考点】分类思想的应用,集合的计算,例不等式.导数的应用.【解析】(I)根据g(x)=2F-3(1.+a)x+6。根的判别式应用分类思想分gI,()a?；、“()讨论即可,计算比拟聚。求出(x)=2-3U+)F+6rr=62-6(1.+)x+6=6(,r-M-1)得到/*)的可能极值点为41。仍然分1,00.DgR.的数/(x)=4f1.F-2

10、6x-+).(I)证明：当0x1.时，(i)函数/(x)的最大值为I勿-R+a：(11) f(x)+2a-b+a0i(I1.)要设-1*)1对AO,1J恒成立，求+b的取值范围.【答案】(I)证明：(i)*(v)-1.2-2.当蚂0时，,()-1W-20在0r1.上恒成立，此时/()的最大Gi为：/(1.)三4三3-1.a-b*：当心0时，()=12加-乃在0口上的正负性不能判断，此时/()的最大Gi为：t.(v)11ux(0)./(1)|etnax(fr-).(3-fr)三；=|2.v三当b0时，(r)-12+2(Su-|2a*a：当。Vo时，屋(V)-12a+3在0r1.上的正负性不能判断

11、，0在0W1上恒成立.(II席：由(I)1.:函数/()在0r1.上的最大伯力|加一臼，且函数/()在0x上的及小值比-加一I“)要大.；-I(x)二1对为洪轴，”为横轴.0(a0承么可行城为：W2b2a.目标函数为z=+瓦A-1作图如下：由图得：当目标函数为2=“+/，过PG，2)时，有：a=3.所求“+，的取(ft范因为：(-1，3【考点】分类思想的应用.不等式的证明，利用导致求闭区间上函数的最值,简总线性规划.【解析】(1)i)求导后，分fr0和*0讨论即可.(ii)利用分析法.要证，(K)+12“0.EPiiE(r)=-/（八）W2“一加a,亦即i三g(x)在Oae在0I上垠网递战.对

12、于任意的XaaI).都有/(x)0二由/(0)=-0：由f(1)=+(1)一e0得v1.又当“=0时，而于任意的XW(I).都有/()=-o,函数符合条件：当。=1时，对于任意的I),都有f(x)=(x2-1.)d0,.g(x)在0,1J上的最小值是g(0)=1.,最大值Jg=e：(ii)当a=1.时，对于任意XW(O(I)有g0.2a假设上N1,11pof1.-tbMX)在10,I1.上是增函数，2a3.g(x)在0,1上最大值是g(1.)=(a)e,最小值是K(O)=I+a:假设占VI,即！aV1.时,g(x)在X=三取得最大iftg(F)=2aeg,在2a32a2aX=O或*=1时收到最

13、小值SVD)=1.+ag=(!-e.二当;。4三时，()在X=O取到最小侑g(0)=1+“；当-a1.f1.jR(X)在X=I取刎最小值W=(1.-a)e.e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最假，利用导数研究函数的单调性.【解析】(I)由魄意，函数f(x)=(a+Zu+c)e在0,11上单调速MI1.满足f(0)=1./(1)=0,可求出函数的导数，将函数在0,1)上单询递减转化为导数在0,1上的函数值但小于等于0.再结合/(0)=1,/(I)=O这两个方程即可求得取值范困。由题设条件,先求出g()=()-()的解析式,求出导函数g(x)=(-2arr+1.)H由于多数“的影响，函数在0,

14、1)上的单调性不同，站合(I)的结论及g(x)分。=0,a=,Qa=0=1.：.J,即1,化简得4,解得/(2)=c-1.68rt+2+c=c-164a+b=-Sb=-2(I1.)III(I)得/(x)=Tj1.2x+c.,()=3-2令f,(x)=0,得.r=-21&=2。X/(X)和/(X)在(Y,+8)上的情况如下表：X(x,-2)-2(-Z2)2田)O+O/（八）极小值/极大值XH1.此可知/(X)在司=一2处取得极大值/(-2)=16+c./(x)在占=2处取得极小值/=C-16。.f(x)有极大值28，.16+c=28,解得C=12.此时f(-3)=9+c=21J(3)=-9+c=

15、3,/(2)=c-1.6=-4二f(x)上13.3)的城小值为/(2)=-4【考点】函数的导致与极值，最值之间的关系.【分析】(I)先对函数/(x)进行求导,根据/=O=0,八2)=c-16,求出。、的值.（三）根据(I)对函数/(x)进行求件，令/()=0,解出X,列衣求出团数的极大值和极小曲。再比拟函数的极值与端点函数值的大小，端点函数假与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数Irt与极小值中最小的为函数的最小值.例比(2012年江苏省16分)假设函数F=/(X)在X=Z处取得极大值或极小值,筋么称/为函数y=/(X)的极值点。a,是实数，I和-I是函数/()=x+u的两个极值点(1)求和

16、b的值:(2)设函数以幻的导函数g(x)=()+2,求g(.。的极值点;(3)设MD=f(f()-c.其中cw-2,2.求函数y=Mx)的零点个数.【答案】解：(I)i1.1./(.V)=.r3+ax2+bx.fif(x)=3x2+2ax+b.I和-1是函数/(x)=x5+r+/次的两个极值点，/(1)=3+2+=O,/(T)=3-2+匕=0,解解=0,b=-3.(2)/由得,/()=-3x.g(x)=/()+2=f-3x+2=(xIf(X+2),解得M=X?=1,X1=-2。Y当v-2时,s(x)v:当-2VXVI时.(x)0.X=-2是*)的极值点.Y当-2VXV1.或1.时，g(x)O,

17、.=1不是g的极值点。.g(x)的概值点是一2.令/(x)=r,那么力(X)=f(r)-C先讨论关于X的方程f(X)=,/根的情况：4w-2.2当同=2时，由(2)可知，/(x)=-2的两个不同的根为I和一2,注感到/(X)是奇因数，./Cr)=2的两个不同的根为一和2。当同V2时，Vf(-1.)-d=f(2)-d=2-0,f()-d=f(-2)-d=-2-d0,于是/是单调增函数，从而3(2)=2.,此时/(x)=d在(2.+8)无实根，当K(1.，2)时./(X)0.于是/CO是单调增函数，又.(1.)-v./(2)-J0.%”x)-d的图象不间断.f(x)=d(1.2)内有唯一实根。同珅

18、,/()=4在(-2,1)内有唯一实根.当w(-1.,1)时，/(x)v,于是f(x)是单调减两数，XV/(-D-J0./(I)-J0.)，子(X)d的图象不间断.二f(x)=d在(-1,1)内有唯一实根，因此,当同=2时，/(x)=d有两个不同的根与三满足=1,闷=2：当同v2时/(x)=有三个不同的根Xyx1.xi,满足IxJV2,r=3.4,5.现考虑出数=Hx)的零点：(i)当同=2时，/)=有两个根/满足M=1.,4=2.而/(x)=4有三个不同的根/()=4有两个不同的根,故，=A(X)有5个零点(II)当d2时，/Ac有三个不同的根小“小满足-V2,i=3,4,5.而/U)=/(

19、/=3,4.5)有三个不同的根,故y=(x)有9个零点.琮上所述，当卜|=2时，函数y=(x)有5个零点：当d2时，函数)=Mx)有9个零点。【考点】函数的概念和性质,导数的应用.【解析M1.)求出F=/(M的导数，根据1和T是函数y=/(*)的两个极值点代入列方程组求解即可。(2)由(1)得，/(x)=-3x,求出g(x).令g(x)=O,求解讨论即可。(3)比拟发杂，先分同=2和同2讨论关于K的方程/=J根的情况；再考虑函数.V=Wn)的零点。例9.(2012年山东省现5分)设函数f(x)=1.g(x)=ax2+bx(a,bR.aO),假设y=f(x)的图像X与y=g(x)图像有且仅有两个

20、不同的公共点A(x,.八).B(m,对那么以卜为断正崩的选项是【】A.当a0时x+xz()B.当aOy+j,20C.当QO时，xX20ry1+yX)【答案】B【考点】导致的应用，【解析】令1.=ax+bx,那么1.=ax+b2(xw).XF(x)=ax,+bx2,F(x)=3ax2+2bx.令F(x)=3a2+2bx=O,那么=-0要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点必须：F(=a(-)3+b-)2=I.整理得4b3=27a2.&!&!&取值讨论：可取a=Zb=3来研咒.当a=2b=3时，2x3+3x2=I.解得XI=TX此时=-1,y?=2.此时x1+x2O：当a

21、=-2b=3时，-2x,+3x2=I.斛得x=I.x2=一；，此时y=1,y2=-2,此时X1+x20y+y2x-1n+”)的蛇小伯为0,其中“X)(I)求的值；(II)假谀对任意的K0,+0c),(.v)Icv成立，求实数4的最小位：n2(III)证明1.n(2r+1.)-|2i-1.【答案】裤：(I)函数的定义域为(Y,+8).求导函数可汨/()=I-=三变.x+ax+a令/(v)=-a当X变化时,/(X)和/Cv)的变化情况如下表:X(Q,一1)-a(1.-,+o),()0+/()X极小值/：./(X)在=1.处收褥极小值.由胭逆，得/(1.-)=1.-In1.=I-=0,.=1.(II

22、)当J1.wo时,iu,r=1.(1.)=1.-1.n20时,令联x=(x)-,即g()=x-1.n(x+1.)-A.1.7.r_.“、I.x+1.-1.-2-*-2vx(-2kx-2k)求导函数可得身(x)=I2kx=-ox+1x+1+I令gCv)=OH1.v1.=O.X.=21-i2k当A1.时，上30,身(x)0在(O.+oc)上恒成立，因此g(x)=f(x)-kx222k在(0,+)上单调通M，从而对任意的.re0,+8),总有g()g(0)=0,即对任意的Xa0,y),书/U)kx2成立.421符合题意.21 1-2A1-2*当Ovk0,时于XC(O,1.),gXx)O,因此g(x)

23、在2 Ik2k(0.)上单调递增,因此取X(0.)时,g(G8()=(),即有)A不成立.22.0vJ1.1不合题感，2琮上,实数A的最小侪为!(III)证明：当=1时，不等式左边=2Tn32=右边，所以不等式成立。当“22时，=-H2-).在(2)中，取火=；ft)().v2(.vO).f-1.-7-reV2)U-1J(2-1.)2(2i-3)(2f绘rn(2n-1.)*岛上(2瑙f(哥25啮高利=2-1.n3+yi-=2-1.n3+1.-U-32i-)综上,Y-rz-111(2J+1)2(IiGN).M21【考点】导致在最大伯、生小便问Sfi中的应用，利用导数求闭区间上函数的最位.【分析】

24、(I)确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小伯，利用函数3=x-1.n(.r+0)的G小值为O,即可求得。的值.（三）当AO时,取x=1.,有/=I-In2O时,令g()=(力-小，I-2jI求号函数，令导函数等于0,分类讨论：当K时，1.0,g(x)在(0.P)上单调递减，从22k而对fE意的xw,+),总有g(x)g(O)=O。当0火0,对于*(0,-).u22k2ki-2kgXxO,ff1.jt.v)ft(O.1.)上单网递增.由此可确定A的最小(ft.2k(111)当=1时，不等式左边=2Tn3V2=右边，所以不等式成立。当2时，由/含。心7在(HM取同得亭,从而

25、可3岛卜嵩0)ae(I)求/在0+)上的JR小值,（三）设曲城y=(x)在点(2./(2)的切线方程为y=.r:求力的值。【答案】解：(I)设=eYN1.),原么y=+at.，Ia2r-y=r=1.arar当1.时，0.)-=6+8在r1.上是增函数.Ut二当r=1.(x=()时,/(X)的最小值为+1+.a当01.时，=at+-+b2+ba1.：.当且仅当at=1(/=e=1.,x=Tn)时,f(x)的最小值为+2.a(I1.)：f(x)=ae+-+b.f,(x)=ae,一一aeae/=3由题意得：I.3，即/=5【考点】发令函数的应川，数的应用，函数的增M性，根木不等式的应用,【解析】(1

26、)根据导数的的性质分和O0.b0A.假设2+2，=2&+幼，那么ZB.假设2+2=2b+劝,那么abC.假设2-2a=2z-助，那么“力D.假设2“-2a=2-3，那么a21+2构造函数：/（八）=2F2x,那么/(*)=21.n2+20恒成立，故有函数/()=2+2x在x0上单调递增.即成立.其余氐项用同样方法排除。应选A.例2.(2012年湖南省文5分)设定义在式上的函数/(X)是最小正周期为2”的偶函数./(X)是/(X)的导函数,当XWO时.O(X)(),知XG0,5时/(x)()，/)为增函数，又xe0,r时.Ojrtx)1.,在R上的函数/U)是最小正周期为2万的偶函数，在同一坐标

27、系中作出y=sinx和y=(x)点图像如下，由图知y=x)-si11在2*,1.11上的零点个数为4个。例3.(2012年辽宁省文5分)函数y=：,-InX的单调速战区间为【】2（八）(-,1(B)(0.1.(C.)I,+)(D)(0.+)【答案】B.【考点】用导致求用数的单调区间.MWg=%j+例4.(2012年辽宁省理S分)假设xe0.+8),那么以下不等式恒成立的是【】（八）/,1+X+./(C)cos.1.-.V22【答案】C.(B)-J=1.=O.a1.)在-1.2上的最大值为4,根小值为m.H.函数g(X)=(1-4m)JT在O.)上是增函数，那么a=.【答案】!。4【考点】函数的

28、增减性。1.1.Vf(x)=a(aO,a!),f(x)=a1.na,当a1时，V(x)=aIna0,函数f(x)=afc(aO,aHI)是增函数，在1，2上的地大值为f(2)=r=4,a=2,眼小值为f(-1)=2=n,11=此时g(x)=-,它在0.3)上是诚函数，与即设不符。当Ovav1.时V(x)=atInaO,a*I)是取函数.二在1.-1.2上的最大值为f(-1.)=a=4.a=.最小值为f2)I-I=mm=-44J16此时g()=j7,它在也+)上是增函数,符合题意.综上所述,满足条件的a=:例6.(2012年浙江省文15分)aGR,函数/(x)=4w-2+(1)求f(x)的单调区

29、WJ(2)证明：当wx时.fx+2-00.【答案】解：由题意得r*)=12-24,当SO时,r*)0恒成立.此时/(x)的单调递增区间为(,皿)：当“0时，广CV)=I2(x-J，Nx+此时函数外的总调递增区间为/.当OMXM1.时.总有g(.r)=4.，-4x+2O.(2)巾于0x41.当“42时./（八）+1-2=4-2+24-4,v+2：当2时，/(.v)+w-2j=4j+2(I-.v)-24+4(1-)-2=4x,-4.v+2.g(x)=4.v*-4,v+2.()X1.原么g(x)=12-4=12(x-：./(x)+-24-4a+20.【考点】分类思想的应用，利用导数求闭区间上函数的最

30、值和单调区间，不等式的证明。【解析】(1)求出导数.分“40和a0讨论即可.(2)根据2-,分2和2两种情形，得到了+小一24.F-4x+2,从而设出新函数g)=4V-4x+20Vx41.,应用导数,证出g(x)M=1.g(-y)=1.一一0.得到g(x)O恒成立，BPfx+1-24x,-4.r+2O.例7.(2012年天津市理5分)函数J(O=2+/-2在区间(OJ)内的零点个数是（八）O(B)I(C)2(D)3【答案】B.【考点】函数的零点的概念,函数的胞谓性,导致的应用.【分析】：/(x)=2*M2+30,函数/(x)=2+父一2在定义域内单窗通脸又,：/(0)=2H)-2=-1VO,/

31、(1.21.+1.,-2=1.0.函数/(x)=2+*-2在区间(O.I)内有唯一的零点.应选B例8.(2012年福建省文14分)函数Ar)=gin一紧R),且在,却.的最大值为宁.(I)求函数凡。的解析式；(I1.)判断函数KX)在(0JO内的零点个数，并加以证明.【答案】ft?：(1)/(x)=0当o.x(o,f)n,ro,(o.习时，o,从而/io在(o,内单调递增，又在o.T上的图象是连续不断的.故危)在o,如：的最大(ft为艰,即aV=ii解得=1.综上所述，函数9的解析式为./(x)=.xsiiu(H) KX)在(0刈内有且只有两个零点.证明如下：由(I)知，/(X)=XSiiu-

32、9,从而有川)=一江0.卷)=J0又假砸，如:的图象是连续不断的,所以.在他，珈至少存在一个零点.又由0(即:单调递增，故用)在(0,珈有且仅有个零点。当Ke亍可时，令8(x)=(x)=sin+cosx由,闾=10,5(11)=-110,ftg(x)在，小的图象是连续不断的,故存在11)使得8(，)=“由8(X)=2co&vxsinx,知Xf卷.时,有&Xry0,从而凡O在你”，内单调遢增，故当*cT时小以)=0,故凡t)在俘上无零点：当*G(i,x)时，有g(n)=O,即/()V0,从而应r)在On,x)内单调递减.又(M0,U)0,且儿r)在”，可上的图象是连续不断的，从而再目在(，,IO

33、内有且仅有一个零点。踪上所述.凡。在“),R内有且只有两个零点.【考点】利用导致求闭区间上函数的以位，函数的零点，利用导数研究函数的极位.【解析】(I)由SS意，可借助导致研究函数=疝u一，在(oE1.上的单调性，确定出最值，令最做等产U，即可得到关于。的方程，由于a的符号对函数的最值有影响，故可以对的取值范围进行讨论，分类求解。(I1.)借助导数研究函数KK)在(0,X)内单调性,由零点判定定理即可得出零点的个数.例9.(2012年全国大纲卷现12分)设函数,f(x)=at+cosx.re10.。(1)讨论八x)的中调性：(2)设/(x)1.+sinx,求。的取值范的。【答案】解：f(x)=a-sinxt.(I) VXO.Osinx1.当“I时,(x)0,f(x)在*0,加上为雅调递增函数：当aMO时，f()O,.”x)在x0.上为单调递减函数：当Oa00.varcsin。或n-arcsinax11i由JxO得arcsinax11-arcsina.,.当OVaV1.时/()在|0.arcsin和“-arcsina.”上为为单调递增曲数：在arcsinw,-arcsin”|上为的调递及函数.2(2)由f(,r)1+sin*谊成立可得f(11)1.w-1.1.=-0.当XW(arcsin-,-)W.g(x)0.11112又g(0)=g(3