第三章-两自由度系统振动.docx

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1、第2次作业1 .如图2T所示，一小车（重/）自高处沿斜面滑下，与缓冲器相搔后，随同缓冲器一起作自由振动。弹黄常数人，斜而倾角为,小车与斜面之间摩擦力忽略不计.试求小车的振动周期和振幅.2 .确定图2-2所示系统的固仃领率.阿盘质显为入图2-3第三章两自由度系统振动3-1概述单自由度系统的振动理论是振动理论的根底。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。两自由度系统是最简单的多自由度系统.从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的根底所谓由4度余统是指要

2、用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统例如，车床刀架系统3）、车床两顶尖间的工件系统（b）.磨床主轴及砂轮架系统（c）o只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。以图3.1（C）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上,因此可以把它看成是支承在砂

3、轮架内的一个弹簧一质量系统，此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，那么砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统.在这一系统的动力学模型中，叫是砂轮架的质量，区是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，S是砂轮及其主轴系统的质量，是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度.取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移汨及后分别作为各质*的独立坐标。这样用和用就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。（工程实际中西4由度振动余院

4、）工程实例演示3-2两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程（为序给力学加量）双律簧质量系统为例。设弹簧的刚度分别为左和左，质量为加、&质量的位移分别用汨和%来表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正方向.（分析）在振动过程中的任一瞬间t，11h和位的位移分别为汨及网此时.，在质量叫上作用有弹性恢复力A内及自（与-阳），在质量叱上作用有弹性恢复力区（三-）。这些力的作用方向如下图。雇用）退”定#,可建立该系统的振动微分方程式：m1.x1+1x1.-2（x2-x1）=OA772x22（x2-X1）=O（3.1）k+k、.kk、&=r,b=,c=,由（3.8）式知，A因为上式的等式右边恒小于

5、零，所以。一;2，由（3.8）式知，A表示A和4,的符号相同，即第一主振动中两个质点的相位相同.因此，假设系统按第一主振型进行振动的话，两个质点就同时向同方向运动，它们同时经过平衡位置，又同时到达最大偏离位置。而儿0,那么表示第二主振动中两个质点的相位相反，永远相差180。当质量In1.到达最低位置时，质量m恰好到达最高位置。它们一会相互别离，一会乂相向运动，这样，在整个第二主振动的任一瞬间的位置都不改变。这样的点称为“节点（noda1.point）o振动理论证明，多自由度系统的i阶主振型一般有i-1.个节点.这就是说，高一阶的主振型就比前一阶主振型多一个节点。阶次越高的主振动，节点数就越多，

6、故其相应的振幅就越难增大。相反，低阶的主振动由于节点数少，故振动就容易激起。所以，在多F1.由度系统中，低频主振动比高频主振动危险。三、系统对初始条件的响应思维方式：前面分析了两自由度系统的主振动，而这些主振动又都是简谐振动，但两自由度系统在受到干扰后出现的自由振动究竞是什么形式呢？这要取决于初始条件。从微分方程的理论来说，两阶主振动只是微分方程组的两组特解。而它的通解那么应由这两组特解相叠加组成。从振动的实践来看，两自由度系统受到任意的初干扰时，一般来说，系统的各阶主振动都要激发.因而出现的自由振动应是这些尚谓振动的合成。所以，在一般的初干扰下，系统的响应是:x1.=1.Sin(yn1./+

7、)+1.1.21sin(r+2)x2=1.1.1.0sin(y,+i)+2Asin(z2)J式中，4，4，例，例四个未知数要由振动的四个初始条件来决定。设初始条件为：t=0时，K=K0,W=%)，X=X0,2=比20经过运算,可以求出：将(3.12)式代入(3.11)就得到系统在上述初始下响应。四、振动特性的讨论1 .运动规律从(3.11)式可以看出，两自由度系统无阻尼自由振动是由两个简谐振动合成的。但从(3.7)式来看，这两个分振动的频率与例日的比值却不一定是有理数，因此合成不一定呈周期性。所以系统的自由振动一般来说是一种非周期的复杂运动.在这一振动中，各阶主振动所占的比例由初始条件决定。但

8、由于低阶振型易被激发，所以通常情况下总是低阶主振动占优势。只有在某种特殊的初始条件卜.，系统才按一种主振型进行振动。2 .频率和振型两自由度系统有两个不同数值的固有频率.称为立:阜，当系统接任一个固有频率作自由振动时，即称为主根系统作主振动时，任何瞬间的各点位移之间具有一相比照值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主根量。3.节点和节面在两自由度系统的高阶主振型中存在着节点，而在第一阶主振型中却不存在节点。对多自由度系统来说也是如此，而且主振型的阶数越高，那么节点数也就越多。一般来说，第i阶主振型有i-1个节点。对于弹性体来说，节点已经不再是一个点，而是联成线或面,称为节线(noda1.1.i

9、ne)和节面(noda1.surface)4 .阻尼假设系统存在阻尼，那么阻尼对多自由度系统的影响和单自由度系统相似.由于在工程结构中一般阻尼较小，故可略去不计。例试求如图3.4所示的系统的固有频率和主振型。M1.=tn,in2=2m,k=k2=k、k、=2k。又假设初始条件为Mo=12/2o=X。=*20=,试求系统的响应.解：该系统的运动微分方程式为令q=勺上纭=坛，c=K_,d=3w1z1m2m2那么可解出：类比前而形式：立行列灰势零2k.kkj3k因为c=,b=一,C=丁，二丁tnin2rn2m2k根据给定的初始条件.代入(3.12)式得：故东统的响0为：五、主振型的正交性如前所述，两

10、臼山度系统有二个固有频率和二个相应的主振型。现在我们来研究这二个主振型之间的关系。为了便于分析研究，我们先来讨论以下几个例子。例1一个质量为In的小球,固定在垂直安装的细长圆截面弹性杆的顶端,杆子下端固定在地面，如图3.6所示。杆子质量略去不计。现分析其振动情况.设O点是平衡位置，小球在水平面Xoy上的小范围内运动，其任一瞬时的位置可以用矢量r来确定。小球的坐标那么可通过方向余弦求得：式中：i,j分别表示X,y轴上的单位矢量。当小球偏离平衡位置0点后，就要受到圆杆的弹性恢曳力F的作用。由于圆杆在任何方向上的刚度k都相等，故将F力投影到X,y轴上得：因此，可建立系统的运动微分方程式：这是两个彼此

11、独立的单自由度系统的运动微分方程式,在X方向和y方向两个H由度上没有耦合,而且由于在这两个方向上k相等，故两个方向的振动频率也相等即所以两个方向的H由振动都是简谐振动，且频率相等。其合成结果一般情况下是个椭圆。由此可见，在X,y方向，系统均按其固有频率作自由振动，故均为主振动。也就是说，在X和y方向，系统均具有确定的振动形态。所以系统的两个主振型也分别沿X和y方向，也就是说，系统的两个主振型是互相垂直的.例2假设将图3.6所示系统中的弹性杆的裁面改成矩形，试分析其振动情况.一由于弹性杆截面为矩形,故杆件在两个互相垂直的方向上抗弯刚度就有所不同。现取杆截面的两个惯性主轴作为x、y坐标轴，那么X轴

12、方向上的刚度为hy轴方向上的刚度为,因而系统的运动微分方程式即成为：两个方向上的频率不等，它们分别为：这时，在X,y两个方向上是不同频率的简谐振动，其合成结果就是不同频率的李沙如图.根”遗册等如飙在X和y方向，系统仍按固有频率。K=作自由振动，故仍是主振动,因而主振型分别沿X和y方向，所以系统的两个主振型仍互相垂直.系统的第一主振型和第二主振型互相垂直，主振型这种互相垂直的性质,叫做主振型的正交性(orthogona1.propertiesofprincipa1.mades)主振型的正交性的几何意义就是两个主振型直线互相垂直.(包4个装*,不加干加)3-3两自由度系统的受迫振动一、系统的运动微

13、分方程和单自由度系统一样，两自由度系统在受到持续的激振力作用时就会产生受迫振动，而且在一定条件下也会产生共振.两自由度无阻尼受迫振动系统的动力学模型。我们称倚谐激振力作用的四-匕质量弹簧系统称为主系统。把不受激振力作用的叫一质量弹簧系统称为副系统。这一振动系统的运动微分方程式为：71X1+A1x1.-k2(x2-X1)=()sin加m2x2+2(,2-X1)=0J.k+k、Ik2k2PQ令a-，=2-,c=-,=3wmim2zzj1.那么(3.13)式可改写成:(3.14)x1+Cixi-bx2=PosintX2-+GX2=0这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程组，其通解由两局部组成.是对应于

14、齐次方程组的解，即为上一节讨论过的自由振动。二是对应于上述非齐次方程组的一个特解，它是由激振力引起的受迫振动，即系统的稳态振动.我们只研究稳态振动，故设上列微分方程组有简谐振动的特解：x=B1.sintx2=B2sint式中，B-B；,是叫、m的振幅，在方程组中是待定常数。对(3.15)式分别求一阶、二阶导数，x1.=B1.costX=-B1.2sint*x2=B2cG3(otx2=-B1arsinyr，将(3.15)及(3.16)式代入(3.14)式得：(a2)bibB2=p-cB1.+(c-2)2=OJ(3.这是一个:元非齐次联立代数方程，它的解可用行列式原理求出：故b1=1._4二叫、(

15、人(?)-be2_PC(3.(4-1*_2)_be这就是说，我们期待的方程组(3.14)式的简谐振动特解是可以得到的。二、振动特性的讨论1 .运动规律1.H3.15)式得知，两自由度系统无阻尼受迫振动的运动规律是茴谐振动。2 .频率两自由度系统受迫振动的频率与激振力的频率口相同。3 .振幅由(3.18)式得知，两自由度系统受迫振动的振幅决定于激振力力幅、激振力频率，以及系统本身的物理性质。现分别讨论如下：(1)激振力幅值P。的影响因为PoCP0,所以PO与Bi、B2成线性关系。即PO越大，振幅Bi、Bz也越大O(2)激振力频率3的影响为了说明。对振幅的影响，我们以&、R,为纵坐标，以为横坐标，

16、将(3.18)式作成曲线示图3.9中，称之为振幅频率响应曲线，或称幅频特性曲线。它说明了系统位移对频率的响应特性。讨论：当。=M4=约=，这说明，此时激振力的作用和静力的作用相当。当0=Q”或=七2，即激振力频率等于系统第一或第二阶固有频率时，系统即出现共振现象，振幅B1B1.均急剧增加。这就是说，在两自由度系统中，如果激振力的频率和系统的任何一阶固有频率相近时，系统都将产生共振。也就是说，两自由度系统有两个共振区.现在我们来分析一下系统共振时的振型。由(3.18)式可得质量m和触的振幅比为：B2_cBc-2两个质量的振幅比的即为:(3.20)(3.21)这说明，在一定的激振频率下，两个质量的

17、振幅比是一个确定值.当激振频率力等于第一阶固有频率0小时，这说明，系统以那一阶固有频率共振，那么此时的共振振型就是那一阶主振型。这是34度东的受连缴”的一个仅为我要的检长。在实践中，用兵法理文东能的者:隼，并根据测出的振型来判定固有频率的阶次，就是利用了上述这一规律。当=Vd,x2=82Sint=-sintb故kX-p0sint这就是说，副系统通过弹簧ka传给主系统的力，正好与作用在主系统上的激振力相平衡这样，主系统的受迫振动就被副系统吸收掉了.主系统的质量皿就如同不受激振力作用一样，保持静止.这计观象可以极利局家作先篇小叔给的一叶於北当口-8时用、B,0,即激振力的频率很高时，两个质量皿和此

18、都几乎不动.这时受迫振动现象也进入惯性区了.4 .相位由于系统是无阻尼的情况，所以只要观察振幅的正负变化就可以说明相位的变化。现将振幅计算公式(3.18)式的分母作如下的变换：(a-2c-2)-bc=iY4+c)6+c(a-b)(3.23)由系统的频率方程(3.6)式，可以得知频率方程的两个根切:、喙必定满足以下关系式：(代数方程的性质)22a+c可;；2=C(Q-)(3.24)将(3.24)式代入(3.23)式得：-6Jc-2)-bc=4-n+说)j+-1.-2=(2-p-)25)因而(3.18)式可改写成:p（c-z）一一（疗一我脑“JH吁、26）二一荷一式M脸从（3.26）式中可以看出：

19、在33,阶段，B卜B1.均为正值.故质量nu、皿的位移和激振力是同相的，即两个质量的位移也同相.当”二小时，运动的相位对于激振力要出现相位突跳的反相.当0=无时，B1=O,此后，B1.又重新成为正值，但BJ却仍保持负值。这就是说，在正阶段，B1.与激振力同相，BJ与激振力反相。即两个质量之间的相位相反.当Su以后，B1.又改变为负值，而B1.却保持正值。相频特性曲线三、动力减振器根据两自由度系统受迫振动的振动特性的分析得知，只要适当地选择系统的参数，就可以使主系统的受迫振动被副系统所吸收，从而使主系统不动，助力Iit是应用这一原理泉故计的动力减振器是用弹性元件把一个辅助质固定到振动系统上的一种

20、减振装置，其动力学模型如图3.11所示.图中nh、k为原振动系统（主系统）的质量（主质量）和弹簧刚度。m?、1.为动力减振器（附加系统的质量（辅助质量）和弹簧刚度，c为动力减振牌的阻尼。POd”为作用在主系统上的激振力。从图3.1】可以看出，在主系统上增加了附加系统后，即使原来的单自由度系统变为两自由度系统其运动微分方程式为：(3.27)w1x1.+c(x2-x1)+(1.+k2)x1-k2x2=Pg*n2x2+c(x2-i1.)+2x2-kg=O设上列方程组的特解为：稳态振动)x1=BTeiMtx2=B2eieot(3.28)将(3.28)式及其一阶、二阶导数代入(3.27)式得：(-/?)

21、2+k+k2+icW-(k2+ic)B2=Po_(&+ic)B1+(-m1+A2+ic(oB1=O(3.29)解上列联立方程，求出主系统的振福Bi,并化成实数形式:b=PM1.-吗疗)+(CSyJKK-rnsk2-m22)-k2n22f+(c)2(k-ny2-m22)为了简化计算，引进以下符号:K_Pn久一彳主系统在激振力力幅PO作用下产生的静变位;主系统的固有频率;矶2=标附加系统的固有频率:A=-%激振力频率与主系统固有频率之比:减振器固有频率与主系统固有频率之比;tt2a=为m2=嬴一一辅助质量与主质量之比:4=2&M一一减振器的阻尼比。那么(3.29)式可改写成以下无量纲形式：IbJ(

22、1.-2)(a2-i2)-2a2f+4长矛(1-2-zZ21(3.31)现根据减振器分类进行讨论，(普遍式)1 .无阻尼动力减振器假设减振器没有阻尼元件，那么4=,故(3.31)式简化为：B1.or2-A2K=(I_HMN尤W32)由此可见，当。=力即“,2=时，氏=0。即当减振器的固有频率。：2等于激振频率3时，辅助皿通过弹性元件k作用于主质量皿上的力，正好和激振力大小相等，方向相反，互相抵消，所以主系统振幅为零，从而到达消振的目的。当激振频率等于主系统固有频率n,即=1.时，主系统产生共振。处了堵“余优兴融，鹿彼或根布：率0二子主东如同才*阜d,*=1。假设再取质量比二2,那么(3.32)

23、式中的四个变量就固定了两个。对即可作出主系统的幅频响应曲线，如图3.12所示。从图中可以看到，主系统共振点的振幅已经消失。但又出现了两个新的共振点4及小.这两点的坐标值可以从(3.32)式的分项等于零时求出:因为=1.故上式成为(1.-2)2-zzz22=()所以裾2=1+A/+?(3.33)刻于=1.,质量比为的系统，两个固有频率(主频率)为：果然，阜0/好手子。“I灰”2时，*会被余统产於我的央根。根据(3.33)式可作出矛与它们表示了系统的两个主频率n或“2的相隔范围。我们希望这两个主频率相距较远.但对于稳定的定速运转机械，值那么还可以取得小些。由以上分析可见，使用无阻尼动力减振器时要特

24、别慎重，应用不当会带来新的祸患.所以，这种减振器主要用于激振频率变化不大的情况。I教学演示片：2 .有阻尼动力减振器(本科自学)当减振器有阻尼元件时，那么根据(3.31)式，以为参变量，仍令.10=1，=与，所作出的主系统的幅频响应曲线如图3.15所示。与、二一万)+412万一,(1-2)(a2-2)-M2Ct22+延沿1一万一麻)一)从图上可以看出：D无论阻尼的J为何值，幅频响应曲线均经过P、Q两点，也就是说，*力率比枚于P支8Q支为成的立牵出4和4位H,*余优的臭地懒动的懒幡身B1.足此J的大小无关，这一物理现象是设计有阻尼动力减振器的重要依据.2)假设令J=OH的/值与岁=8时的合值相等

25、就可求得P点和Q点的横坐标值4和4当4=8时从(3.31)式得：(3.35)=1%-尤-令(3.32)式与(3.35)式相等得上式等号左边假设取正号，那么解出=0,这对减振没有意义。故取负号,那么上式可展开得:2+2+=(3.36)解上列代数方程得:於写产+a+/.a2+Ia1JR(3.37)将求得的4和4值代入(3.32)式(3.35)式，即可得P、Q两点的纵坐标值：f,1.C-121一尼一西(3.38)这里需要说明一点，即Q点的纵坐标值之所以为负值，是因为P、Q两点在共振点(2=1)的两侧，两者的相位是相反的，所以这两点的振幅的符号也相反，因此，在图3.15中，在；1=1右边的曲线，实际上

26、应该画在横坐标轴的下方，(现在为了直观起见)。3）既然无论J值是多少，所有的幅频响应曲线都要经过P、Q两点.因此，*的最高点都不会低于P、Q两点的纵坐标。思想方法为了彼*机工决号发哥的疝气故累，AP.Q用支，舞被P,QMt*op那么Jw=JW（3.45）（3）设计步骤（）D根据主系统的振动情况，测定振动频率啰，计算主系统固有频率“二B1.和振幅放大系数U.然后根据减振要求，按（3.43）式计算出质量比4的值。2）测定主系统的静刚度k,然后算出主系统的当量质*叫，再根据叫与值，计算减振器质火叱，即a：Pk2=a13）根据（3.41）式，计算最正确频率比叩。再根据叩、岫、叫及k1计算减振器弹簧刚度

27、k3.因为所以4）根据（3.45）式计算减振器最正确阻尼比4叩及相应的阻尼系数G,CoP2IW，君o,3.46)然后，根据G来计算减振器中油的粘度。第3次作业题:【、如下图起市机小车，其质量为m=2220kg,在质心A处用绳悬挂一瓶物B,其质量为im=2040kg。绳长1.=1.4m,左侧弹簧是缓冲器，刚度系数k=852.6kNn=设绳和弹簧质量均忽略不计，当车连同市物B以匀速VO=InyS碰上缓冲器后，求小车和重物的运动。2、两个质量块m和m2用一弹簧k相连，m的上端用绳子拴住，放在一个与水平面成a角的光滑斜面上，如习题以下图所示。假设I=O时突然割断绳子，两质量块将沿斜面下滑。试求瞬时I两

28、质量块的位置。答案：3、如图，m2=2m=m,k5=2k=2k2=2k,X1.o=1.2,x20=%=%=0,试求系统的固有频率，主振型以及响应。广答案：利用程序，易得固有频率：r1.=3.162277rads,2=5rad/s主振型：系统响应：3-2：网W=_；W=谓./H卜激振力频率rt=3rads,试求系统的稳态响应。答案：利用给定程序，输入给定数据，即获得系统的稳态响应。3-3如下图，质量比4=0.1,固有频率比4=0.909,放大系数r=1.55,0.1846,m1.=1.1.,k1.=100,根据程序求动力吸振器弹簧的刚度及其质量k1.k2k3答案：m23-4一辆汽车重17640N

29、,拉着一个重15092N的拖车。假设挂钩的弹簧常数为171500Nmo试确定系统的固有频率和模态向量。图3T答案：1.1.1.=(X,=14.38：3-5一个电动机带动一台油泵。电动机转子的转动惯量为油泵的转动惯量为人，它们通过两个轴的端部连接起来。试确定系统的运动微分方程、频率方程、固有频率和模态向量。图3-2答案：%=0;_f2.21GEj1.W.FTIqp2J,(J14A+j1.),36试确定图3-3所示皮带传动系统的固有频率和特征向量。两皮带轮的转动惯量分别为4和，2,直径分别为a和出。图3-3答案：51=0.w=14j，刚体运动;3-7写出图3-4的运动方程及频率方程，设静止时，钢绳

30、k为水平，起垂臂与铅垂线成为角，机体可视为刚体。答案:性图3-41.20o+k2i2sm2o-JIjSin4JqjO1.-AJsin4&U1.*3-8解定图题3-5系统的固有频率，假设两圆盘直径相等。图3-53-9试确定图3-6系统的固有频率，略去滑轮重量。图3-6答案：-A-A-m1.w12n1J2w1W23-10如图3-7所示的行车,梁的弯曲截面矩/=Se4,E=2OGNm2,1.=45tn1,小车/重U760N,另挂一重物叫，其重量为49000N,钢丝绳弹簧常数k-343(XX)711r.试确定系统的固频率和振型比。图3-7答案：%=3.75;Q2=20.65;3-11一重块有自高人处自

31、由落下，然后与弹簧-质量系统公-丛-K一起作自由g振动,如图3-8所示,试求其响应。W1.=W2=1匕勺=&=k,h=I(X)VV/ku图3-8答案：xiWIArIO.3sin(0,1.r+)+3.913sin(2/+.)1，X2=IV/A:116.67sin(n1.r+)-2.418sin(,2r+):i=0.618加八J,以2=I.6I87h7，匈=-6o31.37r.曲=-2o301.0,。3-12一卡车简化成见4-叫系统，如图3-9所示。停放在地上时受到后面以等速V驰来的另一辆车树的搔击。设撞击后，车辆用可视为不动，卡车车轮的质量忽略不计，地面视为光滑，试求撞击后卡车的响应。图3-9免於mvz1、wv/1合茶：.V1=sn)，x2=(tsmnr)；+m2rn叫+吗n3-13如图3T0所示，一刚性跳板，质量为3,“，长/,左端以较链支承于地面,右端通过支架支承于浮船上，支架的弹簧常数为A,阻尼系数为,浮船质量为”,。如果水浪引起一尸=ESind的鼓励力作用于浮船上。试求跳板的最大摆动角度RU7图3-10答案：=同=岛J3_/蒙+；占.3-14试确定图311所示系统的稳态响应。图3-12(k-,-m2)me2答案.X1.=六七一3TTCoSaww2(y-%)(-)3-15确定图3-13所示系统的稳态响应。假定7=TSin函。图3-32