等比数列知识点并附例题及解析.docx

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1、等比数列知火点并附例题及解析1、等比数列的定义,乡=q(,w)(之2H.gN),g称为公比a.12、通项公式，c1.t=a1.qn,=-qn=4-n(i70.4-0),首项：6；公比：q推广：4=%(=?oq=-衽3、等比中项,(1)如果4.)成等比数列，那么A叫做。与方的等差中项，即：A?=ab或A=必注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个(2)数列同是等比数列o凡2=,1y.4、等比数列的前“项和S”公式，(1)当4=1时，Se=Mrt1(2)当时，S”=也出=幺二里q-q=乌-q=A-A,=A1.v-A(A,8,A,8为常数)q1.-5、等比数列的判定方法：(1)用定义

2、：对任意的，都有4“=Wn或也=q(q为常数，40)=11为等比%数列(2)等比中项：Y=%(4MW0)o叫为等比数列(3)通项公式：q=AB(AB0)q为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：假设詈=q(q0)(“2,且”M)或a-=q=au为等比数列7、等比数列的性质：(2)对任何).*,在等比数列,中，有4=%f-(3)假设r+=s+(A),那么j,q=,q.特别的，当】+=2A时，得j,q=注：rw=,n-1=5rt.2(4)数列,也为等比数列，那么数列&，伙q,0,则%为递增数列(9)当gI时，10,则%为递减数列当0g1.时，tqO,则&为逆增数列当g=1.时，该数列为常数列(

3、此时数列也为等差数列)；当q0时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列伍中，当项数为2俄6，)时，&=?snq二例题解析【例1】Sn是数列(ar)的前n项和，Sn=pn(pR.nN*),那么数列ar1.(A.是等比数列B.当p0时是等比数列B.C.当PWO,pHI时是等比数列D.不是等比数列【例2】等比数列1,X,X2，X2n，2,求XX2X32n【例3】等比数列aj中，(1)已知叼=4,a,=-g,求通项公式：(2)3“4”5=8,求a2a3a4a5a6的值【例4】求数列的通项公式：(I)(w),ft=2=-3ac=-93、在等比数列“中，=1.,q=3,那么4/七44/44等于.(.81B

4、.21i21C.3D.2434、在等比数列“中，a9+at0=（O）%+%=,那么%+/0等于（5、在等比数列*中，4和%是二次方程.F+依+5=0的两个根，那么火”,缘的值为（.25B.55C.-55D.556、假设q是等比数列，且40,假设%/+24%+4%=25,那么4+勺的值等于考点五:公式巴/5.(=1)IS,-S“2)的应用1、假设数列的前n项和SEaI+a满足条件10gS=n,那么an是（）.公比为2的等比数列B.公比为;的等比数列C.公差为2的等差数列D.既不是等差数列也不是等比数列2、等比数列前n项和S.=211,那么前n项的平方和为（）.(2n-1.)2B.-(2-D,C.

5、4n-1.D.-(40-1.)333、设等比数列aj的前n项和为S=3r,那么r的值为一、等差和等比数列比拟：等差数列等比数列定义3-a”=dS=%递推公式11=n-+:n=om.u-mdJV-11h=11-i7三%=4M通项公式an=a1.+(n-1.)u=w1.(tt.Z0)中项a=*、(MWNFAAAO)G=JdEAo)(小&waRaO)前“项和S=彳(4+0/Hzt-1)S=呵+,dr1.(-q-q重要性质M+/=%,+%(m.r,p.qGN.n+n=p+q)-4=4q(m.n.p.qwN.m+n=p+q二、等差敷列的定义与性质定义：Id为常数)，通项：an=ai+(j-1)G?=冲，

6、或G=而前项和:Mf1.1(7=1)%0T)q(0b0Hab.在a,b之间插入n个正数x.x2,.xn使得a.x.，xrb成等比数列，求ia+b证”MfV丁.1例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：(b-cp+(c-a)2+(d-b)2=(a-dp.例6求数列的通项公式：(1.)anp1.,.a=2,an+=3an+2(2)ant1.a1=2.112=5.11.an+2-3an+2an=0【例7】若实数即、a2.a3.a,都不为零，且满足（a：+a；就一2a?（a1+a、）a,+a；+a；=（1.：a、a2,a、成等比数列，且公比为a【例X】假设a、b、C成等叁数列,且a+1.、b、C与a、

7、b、c+2都成等比数列,求b的值.例9等差数列(an)的公差和等比数列%的公比都是d,又知d1.F1.4=b4.aIO3zbIO:求a与d的值:(22坨是不是C中的项？M1.O1.设an是等差数列，产，已知E+b?+b、=1,求等差数列的通顼.O【例11】三个数成等比数列，假设第：.个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列,求这三个数.r例12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与笫四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.【例13】三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得

8、到8S,76.84.求这两个数列.【例14在数列an中,a卜2a3成等差数列，a2、a?、叫成等比数列,a?、3、a5的倒数成等差数列,证明：“、a?、a5成等比数列.【例15(bc)1.ognx+(c-a)1.ogny+(a-b)1.ogmz-0.(1)设a.b.C依次成等差数列,且公差不为零求证：X.y.Z成等比数列.(2)设正数X,y,Z依次成等比数列，且公比不为I,求证：a,b.c成等基数列.等比数列例Jn呻【例1】Sn是数列出)的Inn项和，Sn=Pn(PER，nN1*).那么数列).I1A,足等比数列B.当p0时是等比数列C.当pKO,PW1.时是等比数列D.不是等比数列分析由Sn

9、=PnSWN*),有a=S=p,并且当n32时,an=sn-sn-1=pn-pn,=(P-I)Pn1p0故啊=(P-I)p,因此数列a11成等比数列Op-0(P-I)PZ_P(PT)(p-2)p-2P但满足此条件的实数p是不存在的，故此理应选D.说明数列a4成等比数列的必要条件是如neN*),还要注意对任nN*,n2.-J都为同一常数是其定义规定的准确含义.a11-【例2】等比数列1,X,，X2r2,求XX2X3*2n解VUX,x2n,2成等比数列，公比qXX2X3X2n=qq2,q3-q2n=q-=q,*,2n+=2n【例3】等比数列aj中，(I)已知a?=4,as=-,求通项公:(2)aj

10、a4,a$=8,求a2a3a4a5的假.解a$=a?q2an=a2q=4(-)-2=(-)114Ya,a5=a;a,a4a,=a；=8.114=2又aa6=aM=a：.,.a,a,a4a5a6=a：=32【例4】a().b0且aWb在ab之间插入n个正数x2xn*使得5,，xrb成等比数列，求Fza+bV12,1-证明设这n+2个数所成数列的公比为q那么b-Wq=-aH”x2Xn=Vaqaq:aqn=aq1=如等【例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：(b-cp+(c心十一b)2=(a-dp证法；a、b、c、d成等比数列,abc-=-bedb2=ac.c-=bd.ad-be.左边=b2-2b

11、c+c2+c2-2ac+a2+(j22bd+b2=2(bac)2(c-bd)+(a-2bcd2)=a2-2ad+,a=2.an+=3an+2(2)antj.a=2.a2=，B.an+23ao+j+2an=0思路：转化为等比数列.解()三bh=3a.+2anM+1=Xa0+1).an+)是等比数列an+1=331.,an=3n-1(2)a11.,-3an.,+2an=0=an.2-an.1.=2(an1-aft).ar+-an是等比数列.即an+1-an=(a2-a)2n-,=32n-1再注意到a2-a=3,a3-a2=321.a4-a3=322,，an-an.j=32n2,这些等式相加，即可以

12、得到2n,1a,1=31.+2+2i+2n1.=3C,=3(2T-I)2-I说明解密的关键是发现个等比数列，即化生疏为.(1)中发现an+1.是等比数列，(2)中发现an+-an)是等比数列,这也是通常说的化归思想的一种表达.1例7】若实数为、叫、a,、a3都不为零，且一足(a：+a；)a：-22(a+aja,+aj+a;=0求证：apa?、成等比数列,且公比为a证Vaj32a3、ai均为不为率的实数.(a；+a；)x?-2a,(a1.+a,)x+a；+a；=0为实系数一元二次方程等式(a：+a；)a*-2a,(a1.+a,)a4+a；+a；=O说明上述方程右,实数根a.,上述方程的判别式ao

13、,即2aj(a1+a3)2-4(a?+a;)(a;+a5)=4(a;-a1.a,)0.,.(aj-a1.a1.)20X*.,a、吃、33为实数.(a；a1.ajt)20必有a；-aa.=O即a；=a1.a3因而町、a2.a3成等比数列2a,(a1+a1)a,(a1.+a,)a,Xa,=；r=;=一2(a;+a；)a;+a,a1.a1.a4即为等比数列a卜也、a3的公比.【例8】假设a、b、C成等差数列，且a+1、b、C与a、b、c+2都成等比数列，求b的值.解设a、bC分别为bd、b、b+d.1.hb-d+1.,b、b+d与b-d、b、b+d+2都成等比数列.有1.=(b-d+1.)(b+d)

14、b2=(b-d)(b+d+2)整理,得Ib-=b2-d2+b+db-=b-di+2b-2db+d=2b-2d即b=3d代入，得9d2=(3d-d+K3dd)9d2=(2d+1.)4d解之，得d=4或d=0(舍)b=1.2I：例91等差数歹由an)的公差和等比数列%的公比都是d,又知dN1.,且a4=b4.aIO=bIO;(I)求a与d的值:(2)b6是不是中的项？思路：运用通项公式列方程解由：；naIf1.-bIOa1.+3d=a1.dja1.+9d=ada1(-d3)=-3dna,(1.-dQ)=9d=d6+d,-2=0=d,=1.()wXd,=三2/.a1.=d=V2d=-v2(2)Vb6

15、=bd1.5=-32b且a4=a1.+3d=-2s2-b1b4=b1.d,=-2b1.=-22,.b1.=a,=*2.b16=-32b1=-32a1.如果bg型门簿中的第k项,那么-32a=aj(k-IJd(k-)d=-33a=33dk=34即b6是an中的第34项.【例10设a.是等差数列，b.=4r,已知bi+E+E=?,b1.b.b,=,求等差数列的通项.解设等差数列Iun)的公差为丁那么?=町+513.b.=-,d叱=(5w)3=eb：rJb1b,b,=.解得=：,解得b2=：,代入已知条件oo2bb2b=Ob!b=72产理得J17E+b,+b,=1bb=T解这个方程组.得E=2,%=

16、(或b=!,bj=2AOaj=-1.d=2或a=3d=-2，当a=-1,d=2时，an=a+(n-1.)d=2n-3当町=3,d=20j.an=a+(n1)d=5-2n例II三个数成等比数列，假设第：个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列,求这三个数.Wft-按等比数列设三个数，设版数列为a.aq,叫2由：a.aq+4.aq2成等经数列即：2(叫+4)=a+aq2a.峋+4,aq2+32成等比数列WJ：(aq4)=a(aq32)=aq+2=4a,两式联立解得：f3=9q=3，这三数为：2,6.18或-.解法二按等差数列设三个数，设原数列为b-d，b-4,b+dIih三

17、个数成等比数列即：(b4)2=(b-d(b+d)=8b-di=16b-d.b.b+d+32成等比数列即b-=(b-d)(b+d+32)=32b-dz-32d=()9Ib=10、两式联立，解得：;或一O(1=0.三数为2或2,618.解法三任速设三个未知数设原数列为5,a2.a3由:a,a2-a3成等比数列a,a2+4,a3成等差数列得:2(a24)=a+a3a32+4a3+32成等比数列Ph(a2+4)=a(aj+32)a=、式联立，解得：&=一9a=2或,a?=6a3=18说明-Jfii.个成等基数列的数i殳为a-d.a,a+d：将：个成等比数列的数设为a,叫，aqi或2,a,aq）是一种常

18、用技巧，可起到q简化计算过程的作用.【例12有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且笫一个数与第四个数的和是16.第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.分析此题行三种设未知数的方法方法一设前二.个数为a-d,a,a+d,那么第四个数由条件可推得:(a+d)2方法二设后三个数为b.bq.bq2,那么第一个数由条件推得为2b-bq.方法三设第一个数与第二个数分别为X,y,那么第三、第四个数依次为12-y,16-.由这三种设法可利用余下的条件列方程组艇出相关的未知数,从而解出所求的四个数.解法一设前：个数为a-d,a,a+d.则第四个数为曳也.,.(ad)依题意，科aa+(a+

19、d)=12解方程组得：=：或d1=4!d,=6所求四个数为：0.4.8,16或15,9.3,I.修法二设后三个数为：b,bq.bq2,那么第一个数为：2b-bq依题意仃:2bbq+bq?=16bbq=12b1.=4解方程组得：,或4q1=2b,=91q所求四个数为：0.4.8,16或15,9,3,I.解法三设四个数依次为X,y,12-y,16-x.x+(12-y)=2yy(16-)=(12-y)解方程组得：J=：或回=4y2=9这四个数为0.4.8.16或15.9.3.1.I：例131三个数成等基数列，其和为126：另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85,76.84.求

20、这两个数列.解设成等差数列的三个数为b-d,b,b+d,1.h.b-d+b+b+d=1.26b=42这三个数可写成42-d,42.42+d.再设另三个数为a,aq叫2由双设，忠a+42-d=85ap42=76aqi42d=84a-d=43整理，得卜1=34aq2+t=42解这个方程组.御a=17或纥=68当a=17时，q=2d=-26当a=68时.q=g，d=25从而得到：成等比数列的三个数为17,34,68.此时成等差的三个数为68,42.16；或者成等比的三个数为68,34.17.此时成等差的三个数为17.42.67.1例14)在数列arJ中.a、吆、a3成等差数列a2、aj、a4成等比数

21、列,03、a4”的例数成等差数列，证明;a|、a3,a5成等比数列.证明中.有2a2=a+a3a；=aa211=+a4a3a5由，得知=二-a,+a,由，得a,=gM代入，得:_aI+a2a.a,a2a,+aj整理，得a,=也0a3+aj即a3(a3+a5)=a5(a+a3)ajajaj=a1.a3+a3aj.a331a$所以叫、a3,a5成等比数列.【例151(bc)1.g11,x+(ca)1.og11y+(ab)1.ogmz=O.(D设a,b,C依次成等差数列，且公叁不为零，求证：X,y,Z成等比数列.(2)设正数X，y,z依次成等比数列，且公比不为I,求证：a，b,c成等差数列.证明(I：,b,c成等差数列，且公差dKOb-c=a-b=-d.c-a=2d代入条件，得：d(1.ogmx21ogmy+ogmz=O1.g11,x+1.ogmz=21.ogny2=xzVx.y.Z均为正数.y.Z成等比数列(2)Vx,y,Z成等比数列且公比qW1.,.y=xq7=xF代入条件得：(bc)1.ogmx+(c-a)1.ogmxq+(a-b)1.ogmx(p=0变形、整理得：(c+a2b)1.ogmq=0.qW1.ogmq0c+a-2b=0W2b=a+c即a,b,c成等差数列