线性代数新版教案.docx

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1、学院教案2014-2015学年第2学期线性代数14级合班汪轶讲师金数学院高数课程名称授课专业班级授课教师职称教学单位教研室学期授课计划说明课程类别必修总学分3总学时48本学期学时教学周次同学时学时分配48163讲授实验上机考查其他-18教学目的要求教学目的通过本课程的教学，使学生掌握战性代数的根底理论与方法，培养学生正确运用数学知识来解决实际问题的能力，并为进一步学习后续课程与相关课程打好根底.根本要求通过本课程的教学，使学生系统地掌握行列式、矩阵、n维向盘、线性方程组、特征伯与特征向地、二次型的根本概含、根本理论及根本方法.具有比拟热练的焰算能力、一定的逻辑推理能力和抽象思维能力,并且培养学

2、生运用获取的根本知识和根本理论去分析何超和解决问遨的能力.教学重点难点帙学点线性方程组解的结构：线性变换应用.教学魔点矩阵和向用祖的扶及其性质；戌性无关概念，选用教材同济大学应用数学系,线性代数I第五版）,高等教育出版社,2007年主要叁考资料1张禾瑞,郝炳新：高等代数（第四版）,高等较言出版社，1999年;2胡金德,王飞然:线性代数（第二版）,清华大学出版社,1995年3李永乐：线性代数辅导讲义西安交大大学出版社2010年备注单元教案知板单元主题第一章行列式学时10教学内容（摘要）1二阶与三阶行列式2全排列及其逆序数3阶行列式的定义4时换5行列式的性质6行列式按行（列）展开7克拉默法那么教学

3、目的要求1 .会计算二阶和三阶行列式，了解阶行列式的定义：2 .理解代数余子式的定义及性质：3 .会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的”阶行列式：1.掌握克拉默法那么.教学重点难点里点：1.行列式的性质及其计算：2.克拉钛法那么.建点；”阶行列式的定义；对换。教学方法手段多媒体课件教学辅以板H推演教学后记X-tn阶行列式定义的理解有点困难，需要通过对二三阶行列式展开式的特点逐渐引入.需适当加强学生对行列式计算技巧的训练.分教案授课主题第一章卜3课次2教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演学时4教学目的要求会计算二阶和三阶行列式：会计算排列逆序数：了解”阶行列式的定义.教学重难点二三阶行

4、列式的对角战法那么；阶行列式的定义.教学内容纲要备注1二阶与三阶行列式一、二元线性方程Ia与二阶行列式1用加减消元法解线性方程组anxi+anx2=b1.a2tx1.+aj2x2=hi2二阶行列式的定义41%=a1.1.a22-a1.2a21.5an二阶行列式的值等于主对角元乘枳减副对向元乘积.例1解二元线性方程组32a：=122x1.+xj=13三阶行列式ii2f1.I2a22,)31%=+122111V+f1.1.jf1.311.2-1.j22-211112-f1.2,jiI2-4例2计算三阶行列式-22I-34-2例3求解方程1 112 3X=O49X22全排列及其逆序数一、全排外与逆序

5、知识导入在中学，我们接触这二元、三元等简单的线性方程组.提问1在中学时我们要得到一个爱性方程沮的一组确定解的条件是什么？提问2例1的方程阻有几个方程？提间3用1、2、3三个数字，定义2.1由个不同元素排成一列,称为这个无素的一个全排升(或简称“级排列).个不同元素的所有不同的排列共有e=川种.规定一个标准排列次序：称1,2.为标准序。在1、2、所构成的任一排列中，假设某两个元素的排列次序与标准顺序不同，就称为个逆序一般地个自然数1,2,的一个任意排列记作外p”.假设第i个位置上的元索p1.的左边有4个元素比p1.就说元素化的逆序是乙。一个排列中所有逆序的和，称为这排列的逆序数.记作，.因此排列

6、化小P,的逆序数就是：r=(+G+=Zo例1求排列32514的逆序数.例2求排列M-1.)1的逆序数解：”级排列的标准序为1,2,，】排列(-1)1的逆序数为r=(r(j-1)-1=0+1+(m-2)+(M-I)=逆序数r为奇数的排列称为奇排列,而逆序数/为儡数的排列称为偶排列.例1中的排列就是一个奇排列；揖列56M23也是一个偶排列.易知：！个不同的”级排列中.奇排列和烟排列在占一半.3阶行列式的定义定义3.1由，一个元素%j=1.2,，”)排成行列,构成的运算式aWf1.1.2f1.In2=?；7=Sg%1.421称为阶行列式，简记为de(),其中4称为行列式de(%)的元索，q,%,亿,

7、可以组成多少个没有重复数字的三住数？讨论所有n级排列中逆序数最大的排列的逆序数是多少？为】,2,”的一个排列，为排列4,%,%的逆序数.从上面定义可知，阶行列式的运鸵式(T)4%:中，一般项(-D,2v,由个位于不同行不同列的元素相乘而得符号由排列/，%，公的逆序数的奇偶性决定特别规定，一阶行列式M=0.注意行列式记号不要与绝对值记号混沿.在行列式。中，将Mx所组成的对角戏称为。的主对角线.这些元素称为主对角元而叫,g.2，褊所组成的对由跋那么称为D的!对角线.除了主时用线尤素外其它元素都为专的行列式称为对角行列式q例6证明阶对角行列式R=02.=4%4：q%D2=.=(-1)u1.u2an称

8、主对角线以上(b)的元素全为零的行列式称为下(上)三角形行列式u例6证明。=aiia1.iam.(%a1.tumIf1.I2,f1.In八a21,211,D=.=rtH-.W(I.w请同学们理解逆序数的求法U(U-I)课后作业P25-261,2,分教案授课主题第一章4-6课次2教学方却段多媒体课件教学辅以板书推演学时4教学目的要求掌握行列式的性旗并利用性侦计算行列式.教学黛难点行列式的性质及计算教学内容纲要备注1对换的IK念定义4.1在列的手续叫做时换.2对换的性质定理1一个知证先证相邻推论奇序列i为偶数.证由定理1.为学的偶排列，故Y3定理2P其中，为排列小外.一行列式的f把行列式力的i记a

9、D=a那么11r=tt1.行列H4对换一个排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排假设时换的是相邻的两个元素，那么称为相邻对换.F列任意两个元素对换.排列改变奇偶性.对换的情形：再证一般对换的情形.用成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的时换次数I知对换的次数就是排列奇偶件的变化次数,而标准排列是逆序数电论成立.介行列式也可定义为Q=Z(T)%心2化,的逆序数.5行列式的性旗A本性质了、列互换所得到的行列式称为。的转置行列式，记作力，假设rII2an,222%4,2a.,.aa2an(11222,.26“2:与它的转置行列式相等，即D=Dr.I1.板演示一般的对换可以通

10、过一系列的相邻对换来实现，且为奇数次邻换实现提问元排列共有加个.其中奇、偶排列的个数相等，各有多少个？提问如何计算行列式？讨论具有怎样特点的行列式可用定义计弊？证将O=det(,y)的转置行列式记作b1.1.b21.b“r7b2%D=.,bn%,h,1n那么号=Ojy(i,=1.2.).由定义知。,=Z(T)4,膜%.=i),2%于是由定理1.2推出：D=(-1.),wp,2ap=D1的性质1可知，行列式中行与列具有对等的地位，对行成立的性质,对列也成立,反之亦然。以下我们仅讨论行的性质，然后引申到列即可.性质2行列式两行(列)互换，行列式的假变号.以小衣示第i行，却表示笫i列，那么9”a表示

11、交换i,j两行，Gq衣求交换两列.由性质2即可得到下面的推论推论假设行列式。中有两行(列)元素对应相等，那么。的值为零.tt3用数A乘以行列式。，等于将数女乘到。的某一行(列)中所有的元素上。证按定义，D=(%ain=Z(T)%,QF那么%rtH,4”kD=(-Dfu1.tfQ=Z(T)%(5)%,=kaa3”axn推论1.行列式某一行列)的所有元泰的公因子可以提到行列式符号的外面.第i行(列)乘以A，记为qxK(c,x*)；第i行(列)提出公因子A.记为4十&(c1).推论2假设行列式行-行(列)的元素全为零,那么其值为零.性质4.线设行列式有两行元素对应成比例，那么其值为零.下面的性质称为

12、“拆行”：性质5假设。的某一行(列)的元素都可表为两致之和.那么以下等式成立:=(-,),Z(T)%ZVF性质5把行列式某一行（列）的各元素A倍加到另行的对应元素上去，行列式的伯不变.行列式性质2、3、5涉及到行列式的:种运算：IMr（列）、倍累、倍加.即rr.r1.k.。+3和GCCj,ctk.cj+kci二、运用性朋计靠行列式利用行列式的性质可右.效地谕化行列式的让豫.如利用性质把行列式化成上三角行列式，便可应接得到行列式的值。对于元素排列有某些明显规律的行列式.可根据具特点采用一些计算技巧，常用的如钟立迤推公式工】用数学妇晌法等.31111311例8计算行列式D=.；Cia讨论111适用

13、递推和1113数归法计算例9计算行列式的行列式具abcd有什么特aa+b+c4+幼+2c+da3a+b6u+3+c10a+6+女+d证对。作运算，,+45，把。化为下三角形行列式:PUDi=PiI-Pu/%P对。2作运算C,+tC把。?化为下三角形行列式:于是，XJD的前k行作运算r1.-kr1.,再对后11列作运算cz+kci,就可把D化为下三角形行列式A1CU故D=%Pdw=PhP)(q”qm.b(IMii计尊2”阶行列式A,=6一、余子式与代数余子式行列式按行（列）开定义1在”阶行列式上中任取一个元素4,划去q所提问行列式中各项的元素如何取得的？在的第，行、第J列,倒下来的-1阶行列式称

14、为元素4的余子式.记作M.：记A=()人称为元素4的代数余子式.147=-6,而它例如在。=258中，元素q,=4的余子式是Mr=369的代数余子式是Az=(T)GMs=-(F)=6引理如果”阶行列式。的第i行除%.外的其余元素描为零,那么这个行列式等于知与其代数余子式AJ的乘枳,即D=at1.Ai,证先证班筒单的情况：设1.1.OO%a22-a21.1.%41.aw这是例10中A=I时的脩况.由例1.6的结论，WJj=1.1.11.又因A1.=(T)WU=M”.故得=1.1.A11.时轮此处证明为何不作2次的对调实现？再证一般的情况,设D的第i行除.外的其余元崇都为零：ii1/D=0aii0

15、如%将Z)的第i行依次与上面的行逐行对换，再将第j列依次与左面的/-1列逐列对调,共经i-1.+J-I次对调,将“11调到了第1行第1列的位置上,所得的行列式记为D1,那么D=(-),i-2D=(-y*iD.而与在。中的余子式仍然是.在。中的余子式八九利用己证的结果有D=gM,.因此D=(-1)D,=(-I).=-A,.定理3阶行列式。等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘枳之和，WD=a1.1.Aa+ai2A1.2+6,、=工出(=1,2,.m)X-IJW或D=%.%+%/“+/AV=ZaMA(J=1.Z-Ji).证任选D的第，行，把该行元素都写作个数之和:O=,.A+a1.2

16、At2+-+（IivAu=axAii（/=1.2.n）按第4列展开可类似证明.这个定理称为行列或按一行（列）展开法那么.它为行列式计莫提供了乂种思路:将阶行列式的计算转化为”-1阶行列式的计算，这称为降阶.3I-12按定理3计算例7D=-5I3-4201-11-53-3例12证明他德蒙行列式其中记号“IT表示全体同类因子的乘积.推论行列式某一行（列）元案与另一行（列）对应元素的代数氽子式旗枳之和等于事.即%Af1.+%A.+必”=ai1.Ajk=O.(/)X-I或4A+g+/=N/A=0(i).GD,.当：=_/时，注/%A=,y0.当iwj时：(_J.当i=/时，2rA=w方程组存在唯一解：

17、7dDnD1DD2x1.+X,-5xj+X4=8,?组为一3再-64=9,2x,-X,+2x4-5,x1.+4-Jxs+6,=0.f(x)=a0+atx+a2xz+,x通过四点(1.3)、(24)3,3).(4,-3),试求系数”“心,必.解将在四个点的坐标代入,=/(得，美于4吗。2.%的线性方程组/V(/K/+1+a2+C“(+(1.)q+其系数行列式是是一个四阶范得蒙行列式，得V=(-1-1)(2-1)(-2-1)(2+1)(-2+1)(-2-2)=-720.于是由克莱默法那么知，方程组有啡一解勺=*,(J=OJ,2,3),再分别计算：Dvt=-576,O1=72,H,=144,s=-7

18、2故0=8,1.=-1.a2=-2,ai=I于是所求曲线方程为),=/(x)=8-x-2x2+讨论命也与逆否命题等价问题ICmmer法那么)的逆否命题是：定理4如果线性方程组(I)的系数行列式。x,那么(I)一定有唯一解.定理4如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式定为零.二、齐次线性方程蛆如果线性方程组(1)的常数项仿.久仇都等于零，即q内a,2Ar2+a1.,xn=Oa21x,+a22x2.2,x,=Oa,N,2三+4,X=称为齐次线性方程组利用克莱默法那么容易得到下面的定理：定理5假设齐次方程组(2)的系数行列式。w,那么它只有零解。其逆否命题是：定理6假设齐次方程

19、组(2)有非零解，那么它的系数行列式一定为零.事实上，齐次线性方程组(2)有非零解o它的系数行列式为零.例16问2取何值时，齐次线性方程组(5-)x+2y+2z=02x+(6-)y.=02x+.(4-2)z=0有非零解？Cramer法那么只能应用于方形的方程组,I1.系数行列式不能为零.在计算时需要计算+1个”阶的行列式，当“较大时计算量通常很大。因此Cramer法那么的主要意义是在理论上，它明确指出了方程组的解与系数之间的关系，并汽出了种新颖的“块状处理”的模式.P28课后作业10、H单元教案知识单元第二章矩阵及其运算学时10教学内容（摘）1矩阵2矩阵的运算3逆矩阵4矩阵分块法教学目的要求1

20、、理解矩阵的概念，了解零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等矩阵的特点.2、熟练掌握矩阵的线性运算、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式以及它们的运算规律.3、理解可逆矩阵的概念、性质、以及矩阵可逆的正要条件，理解伴随矩阵的概念和性侦，会用伴陵矩阵求阻阵的逆阵，4、知道分块矩阵及其运W规律，掌握分块对角矩阵的计算.敦学重点难点1 .矩阵的计算2 .矩阵的按行，列分块难点：逆矩阵的求法：分块矩阵的运亢被学方法手段多媒体课件教学辅以板竹推演教学后记对一般分块矩阵只做了解，只掌握分块对角矩阵的计算，其它可弱化分教案授课主题第一章1-2课次2教学方法手段多媒体课件教学辅以板书推演学时4教学目的要

21、求U理解矩阵的概念.了解零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称电阵等矩阵的特点.2、熟练掌提矩阵的线性运算、矩阵与掂阵的乘法、矩阵的转妣、方阵的行列式以及它们的运算规律.敦学网难点矩阵与矩阵的乘法教学内容纲要备注第二章矩阵及其运算第一章讨论的Cramer法那么，时于战性方程如不是方形的或其系数行列式等于零，便不能用了.但它的那种集成化处理的思想方法还是可以借鉴的.由此可以引向线性代教更理要的概念一一矩阵.矩阵是许多学科使用痂率很高的一个集成化的数学工具,凡涉及到多个方面相互美联的多元数敢关系，往往可用矩阵来诳行整体描述和处理。本主要学习矩阵的根本代数运算一一加法、数乘、乘法、游置、（方阵）取行列式、

22、（可逆矩阵）求逆.以及电阵的分块及分块矩阵的根本代数运算.1矩阵一、矩阵的定义定义21由，“X”个数ai=1.,2.,m;三I,2,.）排成/n行、”列,并加上括号,这样排成的数表：122122初，1,限称为一个加行列矩阵.他称1X矩阵，通常记为A或A有时也记作A=（%）或八=（4）.“，其中与称为矩阵4的（第i行第j列的）元素二、一些常用的怖殊矩阵/X个元索全为零的矩阵称为零矩阵,记为Oirxn.只有一行的矩阵称为行矩阵：A=（i.2,）.只有一列的矩阵称为列矩阵：提问矩阵与行列式的本质区别？B=行数等于列数(BPm=M)下面是几种特殊的方阵：假设ij时%=0,即阵.假设ij时41=0,Wb

23、2、bz)的矩/A=A=A=*阵称为阶方阵n?.,那么称人为阶下三角矩阵.|%Jff1.I1.12-an-；那么称A为”前上三角炬ZrtI1.那么称它为对角矩阵.它既是上k)提问时角线上的元素行列标特点？三角阵.也是下三角阵，可以记作A=MIW).以、假设A为”阶对角矩阵，且主对角元素全相等，即=.那么称Ak)为口纯婚轧P特别地,假设2=I.即E=.服么称为阶单位矩阵1.m2*wKI称为饯性方程姐的，广矩阵.例3蜴设A,B,C都为同阶的对角矩阵(bfcA=.,B=.C=.1M1,C1.W1.容易脸证AHC仍为对角矩阵,且iiiciiABC=,.怎也小”推广之，布限个同阶对角矩阵的乘枳还是对的矩

24、阵,其主对加元就是各个对的矩阵对应的主时角元相乘积，有了知，阵的乘法，可以定义”阶方阵的事：定义25设A是”阶方阵，当为正整数时,A的第运不规定为：Ai=A,4=AA,=AA.A0=E.从定义知，T就是4个A的连娓,显然只有方阵才有事,由于矩阵乘法符合结合律.所以方阵的哥满足以下运算律(其中久/为正整数)：TH=Af(i)=Att,注时两个阶方阵A、8来说，一般(AB)“WTb1.因此，一些熟知的的乘法公式一般不再成立,如(A+B)2*4:+2AB+fi2.(4+BKA-B)A1-Bz.等等.但只要A与8可交换，那么这些公式就都成立了.rz101例4设A=01.求A*（422为正整数）。N%解

25、：逐次相乘心f0I1.10I才02I万2,0000Z00万12a0(I0、MV91.WV4r-m/nro那么有%=*/,：=，CJ=Zaj)IbH,dii=EbJW=Eaa,.1.-1.A-I故(AB)r=BA.假设K=A,即有%=%，(i.=1.2,-.11),那么称A1.J对靠矩阵：收设Ar=-A即有询=一%(iJ=.Z-sn),那么称A为反对赛矩阵：对称矩即的元素以主对角线为对称轴对附相等.而反对称矩阵的主对角线上所有元宏。“均为零,其余元能以主对角线为对称轴时应相反.例5设列矩阵X=(X1.,与，/J满足XX=1.E为阶单位矩阵，H=E-2XX.证明足时称矩阵,F1.WHr=E.五、方

26、阵的行列式定义2.7由n阶方阵A的元素所构成的行列式各元素的位置不变)，称为方阵A的行列式,记作IA1.或M（八）。对方阵取行列式,是梏加于方阵的一种运算,且满足以下运算律(人、8为”阶方阵,大为数)：IAI=IAI：=冏4M=刚.aaI1.Mi1.4Aj例6设A=?；?,记A=?；?.41仆244”Amj其中A,是行列式同中元素的代数余f试证A,=A,A=E：记A=C=Cc0.据第一章的性质8.有：，j4i=JiS=f11y+i,三=n.，)=12，)，U*7M故Af=M.=IA1.E,W类似地亦可证有/Va=同从本例中的方阵4,是由方阵A所唯确定的，豚为A的伴陂矩阵.六、共奥矩阵设八=(%

27、)为纪矩阵时，=(%)称为A的共柜矩阵.奏盘同学注意此处公式2,再次强调数乘行列式和矩阵的区别.课后作业P53-563、4(4)、7、9授课主题笫二章374课次2教学方法手段把媒体课件教学辅以板书推演学时4教学目的要求1、理解可逆矩阵的概念、性旗、以及矩阵可逆的31要条件,理解伴随矩阵的慨令和性质,会用伴随矩阵求矩阵的逆阵，2、知道分块矩阵及其运算规律.掌握分块对角矩阵的计算.教学重难点分块矩阵及其运算规律教学内容纲要各注3逆矩阵1、可逆矩阵的僭念定义2.8对于阶方阵A.假设存在个同阶方阵3.能使AB=BA=E,那么称方阵4可逆,称8是A的逆矩阵.A的逆矩阵记为A-.注1假设方阵A可逆那么人的

28、逆矩阵是唯一的.事实上，叙设5、C都是A的逆矩阵，由A3=BA=、AC=CA=E,便可推出B=BE=BiAO=(BA)CEC=C,所以A的逆矩阵唯一.2、矩阵八可逆的充妥条件以及求逆阵的公式定理2.1方阵A可逆的充分必要条件是四工O.匹必蹙性：设A可逆，即AT存在，由v=A-1=f=,知H.充分性：设|4工0,由例2.5知有A4=AN=IWE.因0,便可导出Ai)=(h=a于是由定义知A可逆.且得求逆公式：AT=1.假叫A1.W0称A为非奇异的，即“A可逆”等价于“AIE奇异”.推论设A、B是同阶方阵,设有AS=(或BA=E),那么A、8皆可逆，且A、H互为逆矩阵.3、逆矩阵的性质(!)假设A

29、UJ逆，那么4”亦可逆，且(A-I)7=A：(2)假设A可逆，数尤#0,那么乂亦可逆，J1.(4)-,=4-A,；A(3)假设4、8同阶且皆可逆.那么AB亦可逆,Ii(AS)=BA1i(4)假设A可逆.那么Ar亦可逆且(AT)T=(AT),：注2假设A可逆，那么由八3=AC可推出3=C：即时可逆矩阵，消去律成立.当INHO时.定义：A-A=(AT)其中Z为正整数)当火、,为整数(正或负)时屋人=人*、,*)=A均成立.例1求二阶矩阵A=(；的逆矩阵.课题到入:矩阵与数相仿,有加、减、乘三种运算，矩悻的乘法是否也和数一样有逆运算呢？提:类比记忆此处公式3和矩阵乘积转置公式.123)例2设A=22

30、I.求A1.343XI23z)I例5假设方阵A满足V-A-2K=O.证明A+2E可逆，并求其逆.证由A-A-2E=O及A与EUJ交换得：(A-3E)(A+2E)=4E,即3a+2E)F4田定理2.推论知.A+2A：可逆.且宜(A+2E)=(A3)44矩阵分块法把一个现格较大的矩阵划分成假设干小块，用分块方式来处理，把大矩阵的运算转化为小矩阵的运能，不仅能使运匏较为简明，更重要的是使运用微型计能机细合来计算大矩阵成为可能。一、矩阵的分块定义29用一些纵、横虑雄将矩阵八分割成假设十小矩阵，以这些小矩阵为元素的矩阵称为分块如阵，各个小矩阵称为A的子块.二、分块矩阵的运算对分块矩阵进行运售时，可以把姆一个子块当作矩阵的个元素来处理，但应保证运蚱的可行.1、分块矩静的加法、敷果和转量设矩阵A、B是两个同型矩阵,I1.分块法一致，即：.4A?Ar)4%BjA=A2iA124,.B