抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程.docx

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1、有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线铲=2PX(P0)的焦点F作一条宣线1.和此抛物线相交于A(XQ1.)、B(x2,力)两点结论1:；八“=x1.+x2+P结论2：若直线1.的倾斜角为。，则弦长Mq=2sin-O证：(1)若8=2时，直线1.的斜率不存在，此时AB为抛物线的通2径，.A4=2p.结论得证若”立时，设直线1.的方程为：y=(x-K)tan夕即x=ycote+2代入抛222物线方程得y:-2pyc(-p2=0由韦达定理V1j=-y+y2-2cot0由弦长公式得IAd=J1.+coJ*-y2=2/H1.+COr)=.结论3：过焦点的弦中通径长最小.si1.悬22布的最小值为2，即过焦

2、点的弦长中通径长最短.结论4：隽=(为定值)结论5：(1)yiy,=-p2(2)X1.xa=J4证X_支1.Wrr_Gg2Mt.X1-2p,x2-2p,.X1X2-4p1.-4结论6:以AB为直径的圆及抛物线的准线相切证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA”过B点作准线的垂线BB1,过M点作准线的垂线MM1,由梯形的中位线性质和抛物线的定义MM=网网=网故结论得证11222结论7：连接ARB1F则A1.FiB1.F同SZfi1.FO=NBIFB.ZA1FB1=90oA1FB,F结论&(1)AM1IBM1(2)M1F1.AB(3)M1.F1.=Af-BF(4)设AM1.及AF相交于H,MI

3、B及FBI相交于Q则%,Q,F,H四点共圆(5)AM2-tMiH2=4MtM:证：由结论(6)知此在以AB为直径的圆上.AM1IBM1.AFB为直角三角形，M1是斜边A1.B1.的中点.M1F1AB.M1.Ff=AFBFVM11BM.Zz1.W1Zf=WoXvA1F1.B1F/.ZA1FB1=90所以M”Q,F,H四点共圆，IAMr+MfifTAfif结论9：(1)4,0B1三点共线(2)B,0,Ai三点共线(3)设直线AO及抛物线的准线的交点为B1,则BB1.平行于X轴(4)设直线Bo及抛物线的准线的交点为A”则AA1.平行于X轴证：因为酊=4=女,编=勺=-生，而,，通=-/2，2所以%=

4、2=一生=人所以三点共线。同理可征(2)(3)(4)-pPX结论10：高+盛一FA1.阀P证：过A点作AR垂直X轴于点R,过B点作BS垂直X轴于点S,设准线及轴交点为E,因为直乡儿的倾斜角为9结论线段Er平分角NPEQ同理可得温=II-COSe(.三1.1.P则IEM=IEq+1尸M=P+IAF1.CO$6=网IM=(4)当。=E时AE_1.BE.当。H匹时AE不垂直于BE22证:.BB1UEFUM骨图网=忸同%IA&周假(4)当=K时，AFEF=FB.ZAEB=9002,X1.XZ=E假设AE1.BE则KaeKwi=T二=14x+P.x+11.十)七)结论12：过抛物线的焦点作两条相互垂直的

5、弦AB、CD,则推广及深化I深化1：性质5中，把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点E(a,0),则有力以=-2pa.证：设AB方程为my=-a,代入V=2p.得:y2-2pmy-2ap=0,yJ,2=-2pa.深化2：性质12中的条件改为焦点弦AB不垂直于X轴，AB的中垂线IFRII交X轴于点R,则IABI-2证明：设AB的倾斜角为a,直线AB的方程为：y=，ga(X-2代入y-p得(XJPX+=2px,HnX?-x(p+2ga)+二=O即：4.由性质1得IFMT22Hpe为又设AB的中点为M,则cosaCoSa,深化3：过抛物线的焦点F作n条弦A向、ABAnB.,且它们等分周角2兀，则有Y!-1.-(1)WIAF1.fb,I为定值；(2)5ABJ为定值.证明：(1)设抛物线方程为=MNAF=a.由题意ZA,Fx=a+-.ZA,Fx=a+-ZA1,Fx=a+-三11nnn_I-CoSa1-8$(一+a)_I-COsa_Sin1.a所以IAF1.IFBJ=FP=P1.=-p-sin2(a+-11)同理|A#HFB/pjIAnFIIFB11111)=-1.B1.=(2),.P1.sin;a+sin(a+-)sina+-)+sin2(a+-易知nnn2p2p-cosa1.-cos(11+a)I-cos-asin2a,