一阶倒立摆控制仿真-论文.docx

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1、一阶倒立摆控制仿真摘要：倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，研究倒立摆的精确控制对工业复杂对象的控制有着重要的工程应用价值。本文对仿真的分类、过程、发展、应用及仿真环境等作了简单的介绍，同时也介绍了倒立摆系统的特性、分类、应用、发展等基本情况。文中采用牛顿-欧拉方法建立一阶倒立摆的数学模型，对精确模型在工作点附件进行线性化和降价处理，利用固高公司的一阶倒立摆参数，计算出传递函数。在数学模型的基础上进行了PID控制的理论分析。利用MATLAB中的SimUlink仿真工具对一阶倒立摆的单回路PlD控制进行仿真分析，在仿真中整定出合理的PlD参数。仿真证实，单回路PlD控制方案能

2、满足对倒立摆摆杆角度的控制要求。关键词：倒立摆；PID控制；仿真；MATLAB-SimulinkSimulationofsingleinvertedpendulumAbstract:Theinvertedpendulumsystemischaracterizedasafastmulti-variablenonlinearessentiallyunsteadysystem.Theresearchonprecisecontroloftheinvertedpendulumisofgreatpracticalengineeringvalueforcontrolproblemsofcomplicated

3、industrialobject.Inthispaper,theclassification,process,development,applicationofsimulationandsimulationenvironmentaresimplyintroduced.ThebasicsituationincludeCharacteristics,classificationapplicationdevelopmentandsoonoftheinvertedpendulumsystemisintroduced.ThistextusestheNewton-theEulemethodtoestabl

4、ishingthemathematicalmodelofsingleinvertedpendulum,carriesonthelinearizationandfallstepprocessingtotheprecisemodelnearbythework-point,usestheparametersofgoogossingleinvertedpendulum,calculatesitstransferredfunctions.AnddotheoreticalanalysisofthePIDcontrolbasedonthemathematicalmodel.ThistextusestheMA

5、TLABSimulinksimulationtoolstodosimulationanalysisofthesingleinvertedpendulum,ssingleloopPIDcontrol,collatedreasonablePIDcontrolledparametersinsimulation.SimulationprovesthatthesingleloopPIDcontrolledplanscansatisfiedtothecontroloftheangleofpendulumrod.Keywords:invertedpendulum;PIDcontrol;simulation;

6、MATLAB-Simulink1绪论11.1 仿真技术的简介1I .1.1仿真概念1II 2仿真分类1II 3仿真过程1III .4系统建模2IV 5模型验证21.2倒立摆系统介绍31.2.1倒立摆的分类31.2.2倒立摆的特性41.2.3倒立摆的发展51.2.4倒立摆的应用51 .3本论文研究的主要内容62一阶倒立摆系统的建模72 .1一阶倒立摆的物理模型73 .2一阶倒立摆的数学模型74 .3一阶倒立摆的实际模型113 PID控制器简介123 .1PID控制原理124 .2PlD控制器的参数整定134 一阶倒立摆PlD控制器系统的仿真研究164.1MATLAB/SIMULINK仿真环境16

7、4.2一阶倒立摆的PID控制理论分析174.3一阶倒立摆的PID控制仿真分析185结论23致谢24参考文献251绪论1.1 仿真技术的简介1.1.1 仿真概念自动控制系统是由被控对象、测量变送装置、执行器和控制器所组成，当选定测量变送装置和执行器后，对自动控制系统进行设计和分析研究，也就是对被控对象的动态特性进行分析和研究，然后根据被控对象的动态特性进行控制器的设计，以求获得能满足性能指标要求的最优控制系统。在控制器类型确定后，则分析和研究控制系统的主要目的之一是获得控制器的最佳整定参数。对于比较简单的被控对象，可以在实际系统上进行实验和调整来获得较好的整定参数。但是在实际生产过程中，大部分的

8、被控对象是比较复杂的，并且要考虑安全性、经济性以及进行实验研究的可能性等，这在现场实验中往往不易做到，甚至根本不允许这样做。例如研究导弹飞行、宇航、反应堆控制等系统时，不经模拟仿真实验就进行直接实验，将对人类的生命和健康带来很大的危险，这时，就需要把实际系统建立成物理模型或数学模型进行研究，然后把对模型实验研究的结果应用到实际系统中去，这种方法就叫做模拟仿真研究，简称仿真。因此，仿真就是用模型（物理模型或数学模型）代替实际系统进行实验和研究。1.1.2 仿真分类仿真所遵循的基本原则是相似原理，即几何相似、环境相似、性能形似。依据这个原理，仿真可分为物理仿真、数学仿真和混合仿真。物理仿真就是应用

9、几何相似原理，制作一个与实际系统相似但几何尺寸较小或较大的物理模型（例如飞机模型放在气流场相似的风洞中）进行实验研究；数学仿真就是是应用数学相似原理,构成数学模型在计算机上进行研究。它由软硬件仿真环境、动画、图形显示、输出打印设备等组成；混合仿真又称数学物理仿真，它是为了提高仿真的可信度或者针对一些难以建模的实体，在系统研究中往往把数学仿真、物理仿真和实体结合起来组成一个复杂的仿真系统，这种在仿真环节中有部分实物介入的混合仿真也称为半实物仿真或者半物理仿真。1.1.3 仿真过程第一步：根据仿真目的确定仿真方案，即根据仿真目的确定相应的仿真结构和方法，规定仿真的边界条件与约束条件。第二步：建立系

10、统的数学模型。对于简单的系统，可以通过某些基本定律来建立数学模型。而对于复杂的系统，则必须利用实验方法通过系统辩识技术来建立数学模型。数学模型是系统仿真的依据，所以，数学模型的准确性是十分重要。第三步：建立仿真模型，即通过一定算法对原系统的数学模型进行离散化处理，就连续系统言，就是建立相应的差分方程。第四步：编制仿真程序。对于非实时仿真，可用一般高级语言或仿真语言。对于快速的实时仿真，往往需要用汇编语言。第五步：进行仿真实验并输出仿真结果，即通过实验对仿真系统模型及程序进行校验和修改,然后按系统仿真的要求输出仿真结果。在仿真中涉及系统、模型与仿真三个具体部分，并且共有两次模型化。系统是被研究的

11、对象,模型是对系统的描述，仿真是通过对模型的实验以达到研究系统的目的。通常将实际系统抽象为数学模型称之为一次模型化，它涉及到系统辩识技术问题，又称为建模问题。将数学模型转化为可以在计算机上运行的仿真模型，称之为二次模型化，它涉及到仿真编程、运行、修改参数等技术，又称为系统仿真技术。1.1.4 系统建模由于控制系统的数学仿真是以其数学模型为前提的，所以对于仿真结果的可靠性来讲，系统建模至关重要，它在很大程度上决定了数学仿真实验的成败。系统建模是一项复杂而细致的工作，需要我们认真对待其过程中的每一个环节，而目的、方法、验证是建模工作中至关重要的三要素，即在建模过程中要做到目的要明确、方法要恰当、结

12、果要验证。建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的前提。系统建模可以分为机理建模法、实验建模法和综合建模法。所谓机理模型实际上就是采用由一般到特殊的推理演绎方法，对已知结构、参数的物理系统运用相应的物理定律或定理，经过合理分析简化而建立起来的描述系统各物理量动、静态变化性能的数学模型。机理建模法主要是通过理论分析的推导方法建立系统模型，根据它们所依据的基本定律，如电学中的基尔霍夫定律，力学中的牛顿定律，热力学中的热力学定律等，即利用各个专门学科领域提出的物质和能量的守恒性和连续性原理，以及系统设备的结构数据推导出模型，这种方法得出的数学模型称之为理论模型或解析模型，这种建立模型的方法称之为

13、解析法。所谓实验建模法，即使采用由特殊到一般的逻辑归纳方法，根据一定数量的系统运行过程中实测、观察的物理量数据，运用统计规律、系统辨识等理论合理估计出反映系统各物理量相互制约关系的数学模型。其主要依据是来自系统的大量实测数据，因此又称之为实验测定法。在人们对其内部结构与特性有部分了解，但又难以完全用机理建模的方法来描述时，需要结合一定的实验方法确定另外一部分不甚了解的结构与特性，或者是通过实际测定来求取模型参数。这种将机理建模法与实验建模法有机结合起来的方法称之为综合建模法。1.1.5 模型验证一个系统模型能否准确而有效地描述实际系统，其应从如下两方面来检验：其一是检验系统模型能否准确地描述实

14、际系统的性能与行为；其二是检验基于系统模型的仿真实验结果与实际系统的近似程度。模型验证的基本方法有：基于机理建模的必要条件法、基于实验建模的数理统计法、实验模型验证法。所谓必要条件法，就是通过对实际系统所存在的各种特性、规律和现象（人们通过推演或经验可认识到的系统的必要性质和条件）进行仿真模拟或仿真实验，通过仿真结果与必要条件的吻合程度来验证系统模型的可信度和有效性。所谓数理统计法又称为最大概率估计法，它是数理统计学中描述一般随机状态或过程发生的可能性大小的一种数学描述。所谓实物模型验证法，就是根据相似原理运用实物（或半实物）仿真技术在可能的条件下实现最高精度的模型验证。1.2 倒立摆系统介绍

15、倒立摆是处于倒置不稳定状态、通过人为控制使其处于动态平衡的一种摆，是一个复杂的快速、非线性、多变量、强耦合、自然不稳定系统，是重心在上、支点在下控制问题的抽象。倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50年代，麻省理工学院（MlT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从

16、而从中找出最优秀的控制方法。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。1.2.1 倒立摆的分类倒立摆已经由原来的直线一阶倒立摆扩展出很多种类，典型的有

17、直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置，由于在相同的运动模块上可以装载不同的倒立摆装置，倒立摆的种类由此而丰富很多。按倒立摆的阶数来分：有一阶倒立摆、两阶倒立摆、三阶倒立摆和四阶倒立摆，一阶倒立摆常用于控制理论的基础实验，多阶倒立摆常用于控制算法的研究，倒立摆的阶数越高，其控制难度更大，目前，可以实现的倒立摆控制最高为四阶倒立摆。按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆：（1）直线倒立摆（或称为“小车倒立摆系统”）直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类

18、别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。（2）环形倒立摆（或称为“转倒立摆系统”）环形倒立摆在圆周运动模块上装有摆体组件，圆周运动模块有一个自由度，可以围绕齿轮中心做圆周运动，在运动手臂末端装有摆体组件，根据摆体组件的级数和串连或并联的方式，可以组成很多形式的倒立摆。（3）平面倒立摆是在可以做平面运动的运动模块上装有摆杆组件，平面运动模块主要有两类：一类是XY运动平台，另一类是两自由度SCARA机械臂；摆体组件也有一阶、二阶、三阶和四阶很多种。（4）复合倒立摆复合倒立摆为一类新型倒

19、立摆，由运动本体和摆杆组件组成，其运动本体可以很方便的调整成三种模式，一是2）中所述的环形倒立摆，还可以把本体翻转90度，连杆竖直向下和竖直向上组成托摆和顶摆两种形式的倒立摆。1.2.2 倒立摆的特性虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性：（1）非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。也可以利用非线性控制理论对其进行控制。倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。（2）不确定性主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚

20、珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。（3）耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。（4）开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。（5）约束限制由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。1.2.3 倒立摆的发展倒立摆系统的研究具有重要的理论意义和应用价值，对其控制研究是控制领域研究

21、的热门课题之一，国内外的专家学者对此给予了广泛的关注。倒立摆系统研究最早始于上世纪50年代，麻省理工学院(MIT)机电工程系的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一阶倒立摆实验装置。1966年SChaefer和Cannc)n应用BangBang控制理论将一个曲轴稳定于倒置位置。其实，正式提出倒立摆概念的是60年代后期。在此基础上，世界各国专家和学者对倒立摆进行了拓展，产生了直线二阶倒立摆、三阶倒立摆、多阶倒立摆、柔性直线倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆、环形并联多阶倒立摆以及斜坡倒立摆等实验设备，并用不同的控制方法对其进行了控制，使研究成为了具有挑战性的课题之一。国内对倒立摆的研究始于80年代

22、，虽然起步较晚但发展迅速，取得了可喜的成果。对于一阶倒立摆和二阶倒立摆系统的研究已经历了很长的历程，并且有很多控制成功的报道。在此基础上,三阶倒立摆及多级倒立摆的研究也取得了很大进展，不仅在系统仿真方面，而且在实物实验中，都出现了控制成功的范例。尹征琦等成功的以模拟的降维观测器实现了二阶倒立摆的控制。梁任秋等针对二阶倒立摆系统给出了三种实用的数字控制器和降维观测器。1994年，北京航空航天大学教授张明廉将人工智能与自动控制理论相结合，提出“拟人智能控制理论”，实现了用单电动机控制三阶倒立摆实物以及后来实现对二维单倒立摆控制。张乃尧等用双闭环模糊控制方法对倒立摆进行了控制。李祖枢等人利用拟人智能

23、控制理论研究了二阶倒立摆的起摆和控制问题。李德毅教授利用反映语言值中蕴涵的模糊性和随机性，给出云发生器的生成算法，解释多条定性推理规则同时被激活时的不确定性推理机制，利用这种智能控制方法有效地实现了单电机控制的一、二、三阶倒立摆的多种不同动平衡姿态，显示其鲁棒性，并给出了详细试验结果。北京师范大学李洪兴教授领导的模糊系统与模糊信息研究中心暨复杂系统实时智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制理论，分别于2001年6月和2002年8月完成了四级倒立摆系统的仿真和实物实验。朱江滨等人提出了一种基于专家系统及变步长预测控制的实时非线性系统控制方法，仿真实现了二阶倒立摆的摆起及稳定控制侧。王永等通过对多

24、阶倒立摆动力学分析，得到了任意阶旋转倒立摆的数学模型。2005年国防科学技术大学的罗成教授等人利用基于LQR的模糊插值实现了五阶倒立摆的控制1.2.4 倒立摆的应用倒立摆系统是检验各种控制算法、研究控制理论很有效的实验设备。目前应用在倒立摆上的算法主要有：经典控制理论一一PID控制、现代控制理论一一状态反馈、模糊控制理论、神经网络控制理论、拟人智能控制理、云模型控制理论、自适应控制理论、非线性控制理论、遗传算法、支持向量机、变结构控制理论一一滑模控制等。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新

25、的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。通过对倒立摆的研究不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论涉及的三个主要基础学科一一力学、数学和电学进行有机的综合应用。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、海上钻井平台

26、的稳定控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制、太空探测器着陆控制和测量仪器展开稳定控制等。因此，倒立摆提供一个从控制理论通往实践的桥梁。1.3 本论文研究的主要内容本论文中重点研究的关键问题是一阶直线倒立摆系统的建模和仿真。建模是为了对系统进行简化，方便模型的仿真；仿真是为了更好地对模型进行分析，从而完成本课题研究。在建模中，首先需要对倒立摆系统的受力进行分析，主要是运用力学知识推到出系统状态空间表达式的模型，这就建立了系统的数学模型。其次，为了方便对系统的研究还需要对系统模型进行线性化处理，这就完成了从数学模型到仿真模型的转化。最后，在MATLAB环境下对系统模型进行仿真，并通过

27、仿真结果来对系统进行可控性的研究。本文将运用机理建模的方法，通过分析一阶倒立摆的物理过程与力学系统，建立相应的数学模型，在此基础上，根据PlD控制器的控制原理，设计PID控制算法，构成相应的控制器。并且学会使用MATLAB中的Simulink模块对数学模型的仿真，得到能稳定控制倒立摆的PID控制器。2一阶倒立摆系统的建模系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入一输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是

28、在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入一状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。我们采用其中的牛顿欧拉方法建立直线型单级倒立摆系统的数学模型。2.1 一阶倒立摆的物理模型倒立摆的物理构成可以表述为：光滑的导轨，可以在导轨上自由移动的小车，和一个质量块的摆杆。它们的较接方式决定了它们在竖直平面内运动。水平方向的驱动力R使小车根据摆角的变化而在导轨上运动，从而达到倒立摆系统的平衡。

29、该系统的被控变量为（摆杆偏离垂直正方向的角度）。X为小车相对参考点（导轨的最左端位置）的相对位移。摆杆的中心坐标为（Xr以）。实际上，倒立摆系统要保持竖直方向的稳定状态，前提是摆杆与竖直方向所成的角度必须在一定的范围之内。一般情况下，要求不得小于5。图2.1直线一阶倒立摆的物理模型2.2 一阶倒立摆的数学模型为简化系统，我们在建模时忽略了空气阻力和各种摩擦，并认为摆杆为刚体。在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将一阶倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。我们不妨做以下假设：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数1 摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力摆杆与垂直向上方向的夹角摆杆与垂

30、直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下)倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设：2 .摆杆及小车都是刚体。3 .皮带轮与皮带之间无相对滑动，传动皮带无伸长现象。4 .小车的驱动力与直流放大器的输入成正比，而且无滞后，忽略交流伺服电机电枢组中的电感。图2.2小车受力分析图5 .实验过程中的库仑摩擦、各种动摩擦等所有摩擦力足够小，在建模过程中可忽略不计。图2.3摆杆受力分析图在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。分析小车水平方向所受的合力，见图2.2,可以得到以下方程：Mx=F-bx-N(2-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可

31、以得到下面等式：N=Y(X+/sin，)(2-2)即：N=nix:+mlcos-ml2sin(2-3)把这个等式代入式(2-1)中，就得到系统的第一个运动方程:(2-4)+m)x+bx+rrdcos-ml2Sine=尸为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，见图2.3所示，可以得到下面方程：P-mg=m-y(cos9)(2-5)P-mg=-mlsm-ml2cos(2-6)力矩平衡方程如下：一尸/sinS-McosS=I(2-7)注意：此方程中力矩的方向，由于6=+。簿05。=一(305仇5111。=一5111夕，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和4得到第二个运

32、动方程：(/+m/2+mglsin=一ml文cos(2-8)设8=+。(。是摆杆与垂直向上方向之间的夹角)，该系统是明显的非线性系统。为便于控制器的设计，需要将系统在工作点(。=0)进行线性化处理。当摆杆与垂直向上方向之间的夹角。与1(单位是弧度)相比很小，即。1时，则可以进行近似处理：COSe=_1,Sine=一,资)=0为了与控制理论的表达习惯相统一，用U表示被控对象的输入力，经线性化处理后系统的数学模型成为如下微分方程表达式：(I+ml2Y)-mgl=mix/(2-9)M+m)x+bx-ml=u对式(2-9)进行拉普拉斯变换，得到(/+m2)(5,)5,2-mgl(三)=mlX(三)s2

33、色助M+m)X(三)S2+bX(三)S-ml(三)s2=U(三)注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度中，求解方程组的第一个方程，可以得到：X(三)=(/二.)V卜(三)(2-11)或隼=7雾(2-12)X(三)I+ml2)s-mgl如果令P=X，则有:(三)_mlV(J(/+mZ2.把上式代入方程组的第二个方程，得到：2-mgl(2-13)(/+m/2)gmls整理后得到传递函数:(三)=U(三)ml2SQ-mlss1=U(三)+(I+ml2ml(2-14)bI+m2)3(M+m)mgls-bmsQ(2-15)其中q-(M+m)(+ml-(m)2j由现代控制理论原理可知，控制系

34、统的状态空间方程可写成如下形式：XAX+Buz、(2-16)y=CX+Du式(2T6)中，U表示系统控制输入向量，X表示系统状态变量，y表示系统的输出向量，A表示系统的状态矩阵，B表示系统控制输入矩阵,C表示系统输出观测矩阵，D表示系统输入输出矩阵。方程组对元,3解代数方程，得到解如下：元二一(/+加1方.J加2奴2放+(/+加(2-17)lM+m)+Mml2lM+m)+Mml2lM+m)+Mml2彳_-mlbmgM+m)mlQI(M+m)+Mml2+Z(M+m)+Mml2+/(M+m)+MmZ2整理后得到系统状态空间方程:4I+m2而I(M+m)+Mml20-mlb+m)+Mml20m2gl

35、2I(M+m)+Mml20mgl(M+m)+m)+Mml20010+XxO0O/+机产I(M+m)+Mml2OmlM(2-18)(2-19)X_1000o0102.3一阶倒立摆的实际模型M小车质量1.096Kgm摆杆质量0.109Kgb小车摩擦系数0.IN/m/sec1摆杆转动轴心到质心的长度0.25mI摆杆惯量0.0034kg*m*m把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。摆杆角度和小车位移的传递函数：(三)0.027251X(三)0.0102125S1-0.26705固高公司实际系统的模型参数如下:(2-20)摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：(三)_0.02725Vf)0.01021

36、25-0.26705摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：(2-21)(三)2.35655SU(T)ly3+0.0883167-27.91695-2.30942(2-22)以外界作用力作为输入的系统状态方程:010-0.0883167000-0.23565500.629317027.8285(2-23)1000XX0一+U0(2-24)3 PlD控制器简介3.1 PlD控制原理当今的自动控制技术都是基于反馈的概念，反馈理论的要素包括三个部分：测量、比较和执行。测量输出变量，与期望值相比较，用这个误差调节控制系统。PID(比例一-积分一-微分)控制是一种简单而又优秀的控制方法，在生产过程自动化

37、控制的发展历程中，PID控制是一种历史最悠久、生命力最强的基本控制方法”。PID控制器作为最早实用化的控制器已有50多年的历史，并且直到现在仍然是应用最广泛的工业控制器。在PlD中因将偏差的比例(P)、积分和微分通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称PID控制器，其原理图如下所示：图3.1PlD控制器原理图PID控制器各个校正环节的作用如下：比例环节：成比例的反馈控制系统的偏差信号e(0)仪产生，控制器立即就产生控制作用，使被PID控制的对象朝着使偏差减小的方向变化。其控制作用的强弱取决于比例系数Kp的大小，KP值越大则过渡过程越短，控制结果的静态偏差也越小。加大KP虽然可以减小偏差

38、，但是KP过大会导致系统的超调量增大或产生震荡现象，最终使系统的动态性能变差。(2)积分环节：主要用于消除静差，提高系统的无差度。从积分环节的数学表达式可以看出，只要存在偏差，其就会不断增加。积分作用的强弱取决于积分时间常数Ti的大小，Ti越大则积分作用越弱，反之则越强。当Ti较大时，积分作用较弱，这时系统在过渡过程中不易产生震荡，但是过渡时问较长：当Ti较小时，积分作用较强，这时过渡时间较短，但是有可能产生震荡。(3)微分环节：反映偏差信号的变化趋势(变化速度)，并能在偏差信号变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修定信号，从而加快系统的动作速度，减少调节时间。微分部分作用的强弱由微分时间

39、常数Td的大小决定，KQ越大则抑制偏差变化的作用越强，反之则越小。同时Td的大小对系统的稳定性也有很大的影响。PID控制以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的其它技术难以采用时,系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定,这时应用PID控制技术最为方便。即，当我们不完全了解一个系统和被控对象，或不能通过有效的测量手段来获得系统参数时，最适合用PID控制技术。PID控制器是一种线性控制器，它根据给定rin(t)与实际输出值yout(t)构成控制偏差：e(t)=rin(t-yout(t

40、)(3-1)PID的控制规律为：u(t)=K(e(t)+e(0+吵)(3-2)J刀Jo3dtJ或写成传递函数的形式：G(三)=%=KJI+，+小(3-3)(三)1Tis)式中，&7为比例系数；K,为积分时间常数；Kd为微分时间常数。PID控制具有以下优点：(1)原理简单，使用方便，PID参数可以根据过程的动态特性及时整定。虽然倒立摆模型是非线性的，但通过对其简化可以变成基本线性的系统，这样PlD就可控制了。另外PID参数较易整定。也就是，PlD参数K,KZ)和K,可以根据过程的动态特性及时整定。如果过程的动态特性变化，例如可能由负载的变化引起系统动态特性变化，PID参数就可以重新整定。(2)适

41、应性强，按照PID控制规律进行工作的控制器早己商品化，使得其的应用范围十分广泛。虽然很多被控对象是非线性的或时变的，但是通过适当的简化，可以将基本线性和动态特性不随时间变化的系统，这样就可以通过PID控制了。(3)鲁棒性强，即其控制品质对被控对象特性的变化不太敏感。同时PID控制也具有其固有的缺点：PlD在控制非线性、时变、耦合及参数和结构不确定的复杂过程时，效果不是很好。虽然PlD控制具有以上缺点，但是其仍因其自身的优点而得到了最广泛的应用，PID控制规律仍是应用最普遍的控制规律。3.2 PlD控制器的参数整定PID控制器的参数整定是控制系统设计的核心内容。它是根据被控过程的特性确定PID控

42、制器的比例系数、积分时间和微分时间的大小。PID控制器参数整定的方法很多，概括起来有两大类：一是理论计算整定法。它主要是依据系统的数学模型，经过理论计算确定控制器参数。这种方法所得到的计算数据未必可以直接用，还必须通过工程实际进行调整和修改。二是工程整定方法，它主要依赖工程经验，直接在控制系统的试验中进行，且方法简单、易于掌握，在工程实际中被广泛采用。PID控制器参数的工程整定方法，主要有经验数据法、试凑法和扩充临界比例度法。三种方法各有其特点，其共同点都是通过试验，然后按照工程经验公式对控制器参数进行整定。但无论采用哪一种方法所得到的控制器参数，都需要在实际运行中进行最后调整与完善。用经验数

43、据法确定PID控制器参数PID控制器的参数整定不是唯一的，事实上比例、积分和微分三部分作用相互影响。从应用的角度看，只要被控对象主要指标达到设计要求即可。为此人们根据长期的实践经验发现，各种不同被控对象的PID的参数都是有一定的范围。这就给现场调试提供了一个基准。用试凑法确定PID控制器参数试凑法就是根据控制器各参数对系统性能的影响程度，边观察系统的运行，边修改参数，直到满意为止。一般情况下，增大比例系数KP会加快系统的响应速度，有利于减少静差。但过大的比例系数会使系统有较大的超调，并产生振荡使稳定性变差。减小积分系数K,将减少积分作用，有利于减少超调使系统稳定，但系统消除静差的速度慢。增加微

44、分系数Ko有利于加快系统的响应，是超调减少，稳定性增加，但对干扰的抑制能力会减弱。在试凑时，一般可根据以上参数对控制过程的影响趋势，对参数实行先比例、后积分、再微分的步骤进行整定。比例部分整定。首先将积分系数K,和微分系数Ko取零，即取消微分和积分作用，采用纯比例控制。将比例系数K由小到大变化，观察系统的响应，直至速度快，且有一定范围的超调为止。如果系统静差在规定范围之内，且响应曲线已满足设计要求，那么只需用纯比例调节器即可。积分部分整定。如果比例控制系统的静差达不到设计要求，这时可以加入积分作用。在整定时将积分系数K,由小逐渐增加，积分作用就逐渐增强，观察输出会发现，系统的静差会逐渐减少直至

45、消除。反复试验几次，直到消除静差的速度满意为止。注意这时的超调量会比原来加大，应适当的降低一点比例系数K,O微分部分整定。若使用比例积分(PI)控制器经反复调整仍达不到设计要求，或不稳定，这时应加入微分作用，整定时先将微分系数Ko从零逐渐增加，观察超调量和稳定性，同时相应地微调比例系数Kp、积分系数K,逐步使凑，直到满意为止。总结出试凑法整定方法的规律为：参数整定找最佳，从小到大顺序查。先是比例后积分，最后再把微分加。曲线振荡很频繁，比例度盘要放大。曲线漂浮绕大湾，比例度盘往小扳。曲线偏离回复慢，积分时间往下降。曲线波动周期长，积分时间再加长。曲线振荡频率快，先把微分降下来。动差大来波动慢，微

46、分时间应加长。理想曲线两个波，前高后低4比1。一看二调多分析，调节质量不会低。扩充临界比例度法这种方法适用于有自平衡的被控对象，是模拟系统中临界比例度法的扩充。其整定步骤如下:选择一个足够短的采样周期To让系统作纯比例控制，并逐渐缩小比例度,系统产生临界振荡。此时的比例度和振荡周期就是临界比例度K和临界振荡周期Tko在一定的控制度下通过公式计算得到PID控制器的参数。4 一阶倒立摆PlD控制器系统的仿真研究4.1MATLAB/SIMULINK仿真环境在科学研究和工程应用中，为了克服一般语言对大量的数学运算，尤其当涉及矩阵运算时，编程难、调试麻烦等困难，美国MathWork公司于1967年构思并

47、开发了“MatrixLaboratory(缩写MATLAB,即矩阵实验室)”软件包，经过不断更新和扩充，该公司于1992年推出了具有划时代意义的MATLAB4.0版本，并于1993年推出了其微机版。到2007年为止先后推出了MATLAB4.x、MATLAB5.x、MATLAB6.x和MATLAB7.x版,使之应用范围越来越广。用MATLAB编程运算与人进行科学计算的思路和表达方式完全一致，所以使用MATLAB进行数学运算就象在草稿纸上演算数学题一样方便。MATLAB大大降低了对使用者的数学基础和计算机语言知识的要求，既使用户不懂C或FORTRAN这样的程序设计语言，也可使用MATLAB轻易的再现C或FORTRAN语言几乎全部的功能，设计出功能强大