集合公式汇总.doc

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1、集合公式汇总集合（简称集）是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。最简单的说法，即是在最原始的集合论朴素集合论中的定义，集合就是“一堆东西”。集合里的“东西”，叫作元素。由一个或多个元素所构成的叫做集合。若*是集合A的元素，则记作*A。集合中的元素有三个特征：1.确定性（集合中的元素必须是确定的） 2.互异性（集合中的元素互不相同。例如：集合A=1，a，则a不能等于1） 3.无序性（集合中的元素没有先后之分。）并交集并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作AB（或BA），读作“A并B”（或“B并A”），即AB=*|*A,或*B。并

2、集越并越多。交集定义：由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作AB（或BA），读作“A交B”（或“B交A”），即AB=*|*A,且*B。交集越交越少。若A包含B，则AB=B，AB=A补集相对补集定义：由属于A而不属于B的元素组成的集合，称为B关于A的相对补集，记作A-B或AB，即A-B=*|*A，且*B绝对补集定义：A关于全集合U的相对补集称作A的绝对补集，记作A或u（A）或A。U=；=U（一）元素与集合1、元素与集合的关系：若是集合的元素，就说属于，记作：，读作“属于”若不是集合的元素，就说不属于，记作：，读作“不属于”。2、集合的表示： 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表

3、示集合. 形如：1,2,3,5 描述法：|具有的性质，其中为集合的代表元素. 形如：*|*22*30 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 3、常见数集的符号表示：自然数集（非负整数集）； 正整数集或； 整数集； 有理数集； 实数集； 正实数集符号法N：非负整数集合或自然数集合0,1,2,3,N*或N+：正整数集合1,2,3,Z：整数集合,-1,0,1,Q：有理数集合Q+：正有理数集合Q-：负有理数集合R：实数集合(包括有理数和无理数）R+：正实数集合R-：负实数集合C：复数集合：空集合（不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集）（二）集合间的基本关系概念写法含义相等子集读作“包含于” 或“包含

4、”（1） （2）（3）真子集读作“真包含于” 或“真包含”（1） （2）非空真子集 且A空集空集是任何集合的子集注：1、任何集合都是它本身的子集、空集是任何集合的子集。2、集合个数：*集合A中有n个元素，则集合A的子集有（）个，真子集有（）个，非空真子集有（）个元素子集真子集非空子集非空真子集（三）集合的基本运算及运算法则集合韦恩图数轴表示交集在画数轴时，要注意层次感和实心空心！并集只要是线下面的部分都要！补集注：1、集合运算法则：从括号内开始，由内而外Cu（AB）=Cu ACu B Cu（AB）=Cu ACu B2、常见结论：若AB=B，则若，则一知识归纳：1集合的有关概念。1）集合(集)：

5、*些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）其中每一个对象叫元素注意：集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。集合中的元素具有确定性（aA和aA，二者必居其一）、互异性（若aA，bA，则ab）和无序性（a,b与b,a表示同一个集合）。集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3）集合的分类：有限集，无限集，空集。4）常用数集：N，Z，Q，R，N*2子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。1）子集：若对*A都有*B，则A B（或A B）；2）真子集

6、：A B且存在*0B但*0 A；记为A B（或 ，且 ）3）交集：AB=*| *A且*B4）并集：AB=*| *A或*B5）补集：CUA=*| * A但*U注意： A，若A，则 A ；若 ， ，则 ；若 且 ，则A=B（等集）3弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1） 与 、的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别。4有关子集的几个等价关系AB=A A B；AB=B A B；A B C uA C uB；ACuB = 空集 CuA B；CuAB=I A B。5交、并集运算的性质AA=A，A = ，AB=BA；AA=A，A =A，AB=BA；Cu

7、(AB)= CuACuB，Cu (AB)= CuACuB；6有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n1个非空子集，2n2个非空真子集。二例题讲解：【例1】已知集合M=*|*=m+ ,mZ,N=*|*= ,nZ,P=*|*= ,pZ，则M,N,P满足关系A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M分析一：从判断元素的共性与区别入手。解答一：对于集合M：*|*= ,mZ；对于集合N：*|*= ,nZ对于集合P：*|*= ,pZ，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。分析二：简单列举集

8、合中的元素。解答二：M=， ，N=， , , ，P=， , ，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。= N， N，M N，又 = M，M N，= P，N P 又 N，P N，故P=N，所以选B。点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。变式：设集合 ， ，则（ B ）AM=N BM N CN M D解：当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B【例2】定义集合A*B=*|*A且* B，若A=1,3,5,7,B=2,3,5，则A*B的子集个数为A）1 B）2 C）3 D）4分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的

9、个数，然后再利用公式：集合A=a1，a2，an有子集2n个来求解。解答：A*B=*|*A且* B， A*B=1,7，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。变式1：已知非空集合M 1,2,3,4,5，且若aM，则6aM，则集合M的个数为A）5个 B）6个 C）7个 D）8个变式2：已知a,b A a,b,c,d,e,求集合A.解：由已知，集合中必须含有元素a,b.集合A可能是a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,e.评析 本题集合A的个数实为集合c,d,e的真子集的个数，所以共有 个 .【例3】已知集合A=*|*2+p*+q=0,B=*|*

10、24*+r=0,且AB=1,AB=2,1,3,*数p,q,r的值。解答：AB=1 1B 1241+r=0,r=3.B=*|*24*+r=0=1,3, AB=2,1,3,2 B, 2AAB=1 1A 方程*2+p*+q=0的两根为-2和1，变式：已知集合A=*|*2+b*+c=0,B=*|*2+m*+6=0,且AB=2,AB=B，*数b,c,m的值.解：AB=2 1B 22+m2+6=0,m=-5B=*|*2-5*+6=0=2,3 AB=B 又 AB=2 A=2 b=-(2+2)=4,c=22=4b=-4,c=4,m=-5【例4】已知集合A=*|(*-1)(*+1)(*+2)0,集合B满足：AB

11、=*|*-2，且AB=*|1分析：先化简集合A，然后由AB和AB分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。解答：A=*|-21。由AB=*|1-2可知-1,1 B，而(-,-2)B=。综合以上各式有B=*|-1*5变式1：若A=*|*3+2*2-8*0，B=*|*2+a*+b0,已知AB=*|*-4，AB=,求a,b。（答案：a=-2，b=0）点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。变式2：设M=*|*2-2*-3=0,N=*|a*-1=0，若MN=N，求所有满足条件的a的集合。解答：M=-1,3 , MN=N, N M当 时，a*-1=0无解，a=0 综得：所求集合为-1，0， 【例5】已知集合 ，函数y=log2(a*2-2*+2)的定义域为Q，若PQ，*数a的取值范围。分析：先将原问题转化为不等式a*2-2*+20在 有解，再利用参数分离求解。解答：（1）若 ， 在 内有有解令 当 时，所以a-4,所以a的取值范围是变式：若关于*的方程 有实根,*数a的取值范围。解答：点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。