大学物理刚体运动学.ppt
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1、1,1.刚体运动学,1.1 刚体的平动和转动(1)刚体、刚体的平动刚体:无论在多大的外力作用下,总是保持其形状、大小不变,理想化的模型。(2)刚体的平动,刚体内任何一条给定的直线,在运动中始终保持它的方向不变。,各质点具有相同的速度和加速度,所以刚体平动时任何一点的运动都可代表整个刚体的运动。,刚体的平动时可看成质点。,2,(3)刚体的转动,刚体中各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动.转轴固定不动,称为定轴转动.,P为刚体上一质点,在转动平面内绕0点作圆周运动。,0,d,dt,K,d,转动平面:任取一垂直于转轴的平面,(4)转动运动学的物理量,再任取一点K,在同一个dt内,也转过同样的d角。,所
2、以:刚体中任何其它质点都具有相同的,,3,即(,)三量具有普遍性。知一点的(,),可知整个刚体的运动。,故用(,)描写刚体的转动。,所以:定轴转动刚体中任何其它质点都具有相同的,,4,0,转轴,P,1.2 角速度矢量,5,例:一刚体以每分钟60转绕z轴做匀速运动,(沿z轴正方向),设某时刻刚体上一点P 的位置矢量为:(单位为“10-2m”),若以“10-2ms-1”为单位,则该时刻P点的速度为:,解:,还可解行列式,6,(1)求角加速度 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N;(2)求制动开始后t=25s 时飞轮的角速度;,解(1)初角速度为0=21500/60=50 rad/s,方向如图,刚体
3、运动学综合例题:一飞轮转速n=1500r/min,受到制动后均匀地减速,经t=50 s后静止。,从开始制动到静止,飞轮的角位移 及转数N分别为,对于匀变速转动,应用以角量表示的运动方程,在t=50s 时刻=0,代入方程=0+t 得,(2)t=25s 时飞轮的角速度为,的方向与0相同;,7,对轴的角动量和对轴的力矩,矢量代数的一般处理方式:在具体的坐标系中,角动量(或力矩)在各坐标轴的分量,就叫对轴的角动量(或力矩)。,Lz:质点对z轴的角动量,Mz:质点对z 轴的力矩,P63,8,求力对z 轴的力矩Mz的(教材)简化步骤:,结论:z轴转动平面内的分量的运算就是对z轴的力矩,第2步,认定位矢和力
4、在转动平面内的分量,第3步,算出力对z轴的力矩.,第1步,通过质点画z轴转动平面(过质点垂直转轴的平面,即过质点的xy平面),9,2.1力对转轴的力矩.(1)外力在垂直于转轴的平面内。,如果:,2 转动定理 转动惯量(刚体动力学),10,(2)外力不在垂直于转轴的平面内,P,P63 结论:z轴转动平面内的分量的运算就是对z轴的力矩。,11,2.2 转动定理,合外力矩M,合内力矩=0,12,M=I 转动定理,定轴转动定理(律)在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律,13,例:几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上,如果这几个力的矢量和为零,则此刚体(A)必然不会转动(B)转速必然不变
5、(C)转速必然改变(D)转速可能不变,也可能改变,答案:(),D,参考解答:在应用转动定律M=I 时应注意M是合外力矩,是外力力矩之和,而不是合外力的力矩。几个力的矢量和为零,有合外力矩也为零或不为零的两种情况,所以定轴转动的刚体其转速可能不变,也可能改变。,例:一个有固定轴的刚体,受到两个力的作用。当这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定为零吗?举例说明之。,答:并不是一定为零。如汽车的方向盘可绕垂直于转盘且过盘中心的定轴转动。当驾驶员用两手操纵方向盘时,就可在盘的左右两侧加上方向相反、大小相等的两个力。对转盘而言,合外力为零,但这两个力的力矩大小相等,方向一致,故合力矩不为零。,14
6、,dm质元的质量,r 质元到转轴的距离,刚体的质量可认为是连续分布的,所以上式可写成积分形式,按转动惯量的定义有,2.3 转动惯量的计算,转动惯量是转动中惯性大小的量度。,质量是平动中惯性大小的量度。,类比:,平动:一维直线运动,转动:定轴转动,15,注意:转动惯量与质量有关,与运动速度无关。质量一定时,与质量的分布有关,并且与转轴的位置有关。转动惯量计算:,例:,m,m,m,d,d,d,A,0,三个质点m组成一个正三角形刚体结构。求IA、I0。,叠加原理,与转轴的位置有关。,16,(2)转轴过顶端,与棒垂直,x,取dx:,转动惯量与转轴的位置有关,0,例:细棒质量m,均匀分布,长l,(1)转
7、轴过中心,与棒垂直.,x,0,dx,x,取dx:,质量连续分布:,17,平行轴定理:,d 两平行轴之间的距离。,例:均匀薄圆盘,转轴过中心与盘面垂直,求I0。,r,0,r,dr,取半径为r,宽为dr的圆环,18,(m2 m1),T2,a,T1,m1g,a,又,绳与轮间无滑动,滑轮边缘的切向加速度R,和物体的加速度相等.,例:如图所示,滑轮质量m,半径R(注意:在中学里一般滑轮质量略去不计)求:物体的加速度和绳的张力。,19,例:一半径为R,质量为m匀质圆盘,平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为,令圆盘最初以角速度0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转,问它经过多少时间才停止转动?,解:由于
8、摩擦力不是集中作用于某一点,而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上,其力矩的计算要用积分法。,质元,圆盘所受阻力矩,如图,把圆盘分成许多如图的质元,每个质元的质量为dm,dm=dV=rddre,(e是盘的厚度)所受到的阻力矩dM=rdmg。,阻力矩向下,与0方向相反!,20,也可以把圆盘分成许多圆环形质元,每个质元的质量dm=dV=2rdre,所受到的阻力矩是rdmg。,因m=eR2,代入得,根据定轴转动定律,阻力矩使圆盘减速,即获得负的角加速度.,设圆盘经过时间t 停止转动,则有,由此求得:,21,例:均质矩形薄板绕竖直边转动,初始角速度为0,转动时受到空气的阻力阻力垂直于板面,每一小面积所受阻
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