大学物理刚体力学基础.ppt
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1、3-1刚体 刚体的定轴转动的描述,刚体是指在任何情况下,都没有形变的物体。,当物体自身线度l与所研究的物体运动的空间范围r相比不可以忽略;物体又不作平动而作转动时,即必须考虑物体的空间方位时,我们可以引入刚体模型。,刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布的质点系。,质点模型基本上只能表征物体的平动特征。,平动和转动是刚体的两种基本运动形式。刚体的任何复杂运动都可以看成平动与转动的合成。,本节讨论转动中最简单的运动定轴转动。,一、刚体,二、刚体定轴转动的描述,若物体在运动过程中,其所有的质元都绕某一直线作圆周运动,这种运动称之为转动。该直线称为转轴。,若转动轴固定不动,即既不能改变方
2、向又不能平移,这个转轴为固定轴,这种转动称为定轴转动。,我们只讨论定轴转动。,、转动瞬轴、定轴转动,若转轴的方向或位置在运动过程中变化,这个轴在某个时刻的位置称为该时刻的转动瞬轴。,垂直于转动轴的平面为转动平面。,)角量描述:,角位移,角速度,角加速度,由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周运动,因此前面关于质点圆周运动的全套描述方法,此处全部可用。,以转动平面与轴的交点为原点,任引一射线为极轴,原点引向考察点的矢径与极轴的夹角为角位置,并引入,2、定轴转动的角量描述,)刚体定轴转动的特点,所有质点的角量都相同;质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比。,一、力矩,1、力对固定点的
3、力矩,1)定义:作用于质点的力对惯性系中某参考点的力矩,等于力的作用点对该点的位矢与力的矢积,即,力矩是矢量,M 的方向垂直于r和 F所决定的平面,其指向用右手螺旋法则确定。,2)力矩的单位、牛米(Nm),3-2 力矩 刚体定轴转动的转动定律,3)力矩的计算:,M 的大小、方向均与参考点的选择有关,在直角坐标系中,其表示式为,力矩在x,y,z轴的分量式,称力对轴的矩。例如上面所列 x,My,Mz,即为力对轴、轴、轴的矩。,、力对轴的矩:,设力 的作用线就在Z轴的转动平面内,作用点到轴的位矢为r,则力对轴的力矩为,式中为力F到轴的距离,若力的作用线不在转动在平面内,则只需将力分解为与轴垂直、平行
4、的两个分力即可。,1.力对固定点的力矩为零的情况:,力F等于零,力F的作用线与矢径r共线(力F的作用线穿过0点,即,有心 力对力心的力矩恒为零)。,2.力对固定轴的力矩为零的情况:,3.质点系内一对内力对任一点的力矩之矢量和为零,二、刚体定轴转动的转动定律:,刚体绕定轴转动,在刚体上取一质元,绕轴作半径 的圆周运动,作用在质点上的合力矩,由牛顿第二定律可知,则质点所受力矩,对刚体所受所有力矩求和得:,由于刚体各质点相对轴距离不变,令,2、刚体定轴转动的转动定理,作定轴转动的刚体,其转动角加速度与外力对该轴的力矩之和成正比,与刚体对该轴的转动惯量成反比。,其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动
5、中地位相当。,转动定律说明了 J是物体转动惯性大小的量度。因为:,即 J 越大的物体,保持原来转动状态的性质就越强,转动惯性就越大;反之,J越小,越容易改变其转动状态,保持原有状态的能力越弱,或者说转动惯性越小。,如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒,若 受力和力矩一样,谁转动得快些呢?,转动惯量计算举例:,转动惯量的单位:千克米2(kgm2),4、转动惯量的计算,对于单个质点,质点系,若物体质量连续分布,,解(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直,例如图所示,求质量为m,长为l的均匀细棒的转动惯量:(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直;(2)转轴通过棒一端并与棒垂直.,在棒上任取一质元,其长度为d
6、x,距轴O的距离为x,设棒的线密度(即单位长度上的质量)为,则该质元的质量dmdx.该质元对中心轴的转动惯量为,整个棒对中心轴的转动惯量为,(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时,整个棒对该轴的转动惯量为,由此看出,同一均匀细棒,转轴位置不同,转动惯量不同.,解(1)求质量为m,半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图2.36(a)所示,在环上任取一质元,其质量为dm,该质元到转轴的距离为R,则该质元对转轴的转动惯量为,考虑到所有质元到转轴的距离均为R,所以细圆环对中心轴的转动惯量为,例设质量为m,半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动,求圆环和圆盘的转动惯量.,则整个圆盘对
7、中心轴的转动惯量为,(2)求质量为m,半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许多半径不同的同心圆环构成.为此,在离转轴的距离为r处取一小圆环,如图2.36(b)所示,其面积为dS2rdr,设圆盘的面密度(单位面积上的质量),则小圆环的质量dmdS2rdr,该小圆环对中心轴的转动惯量为,以上计算表明,质量相同,转轴位置相同的刚体,由于质量分布不同,转动惯量不同.,(1)刚体的转动惯量,以上各例说明:,与刚体的总质量有关,,与刚体的质量分布有关,,与轴的位置有关。,(3)由于刚体是一个特殊质点系,即各质点之间无相对位移,对于给定的刚体其质量分布不随时间变化,故对于,定轴而言,刚体的转动
8、惯量是一个常数。,例如图(a)所示,质量均为m的两物体A,B.A放在倾角为的光滑斜面上,通过定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连.定滑轮是半径为R的圆盘,其质量也为m.物体运动时,绳与滑轮无相对滑动.求绳中张力 和 及物体的加速度a(轮轴光滑).,解物体A,B,定滑轮受力图见图2.37(b).对于作平动的物体A,B,分别由牛顿定律得,对定滑轮,由转动定律得,由于绳不可伸长,所以,联立式,得,例转动着的飞轮的转动惯量为J,在t0时角速度为.此后飞轮经历制动过程,阻力矩M的大小与角速度的平方成正比,比例系数为k(k为大于零的常数),当 时,飞轮的角加速度是多少?从开始制动到现在经历的时间是多少?,解(1
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