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1、电磁场数学方法,第二篇 数学物理方程,要想探索自然界的奥秘,就得解微分方程-牛顿,课程内容,三种方程四种求解方法二个特殊函数,行波法分离变量法积分变换法格林函数法,波动方程热传导拉普拉斯方程,贝赛尔函数勒让德函数,第四章 分离变量法,第二篇 数学物理方程,4.2 非齐次振动方程和输运方程,4.3 非齐次边界条件的处理,4.1 齐次方程的分离变数法,一维弦振动方程(一维波动方程)一维传导方程二维拉普拉斯方程亥姆霍兹方程,基本思路:首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解,然后由叠加原理作出这些解的线性组合得到通解,最后由其余的定解条件确定叠加系数。,适用范围:波动问题、热传导问题、稳定场问题
2、等,特点:a.物理上由叠加原理作保证,数学上由解的唯一性作保证;b.把偏微分方程化为常微分方程来处理,使问题简单化。,第四章 分离变量法,知识复习,一、常见齐次微分方程的解:,欧拉型方程,知识复习,二、三角函数的正交性,知识复习,三、函数的傅里叶级数展开,5.1.9,5.1.11,4.1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),无界/半无界波动方程可由达朗贝尔公式求解。,齐次泛定方程,边界条件,初始条件,有界弦自由振动定界问题为:,接下来讨论利用分离变量法求解:,4.1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),常微分方程,令,代入
3、泛定方程:,令,第一步:分离变量:,无关,4.1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),由原问题定解条件得到常微分方程定解条件:,第二步:解常微分方程,1、求X(x),特征(固有)值问题:含有待定常数常微分方程在一定条件下 的求解问题,特征(固有)值:使方程有非零解的常数值,特征(固有)函数:和特征值相对应的非零解,c)令,为非零实数,4.1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),分情况讨论:,a),b),舍去,舍去,4.1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),本征值),考虑到 与n取值有关
4、,故令,4.1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),2、求T(t),0,3、得到分离变量形式的通解,本征振动,本征振动的角频率为:,n=1,称为基波;,n 1,称为 n 阶谐波。,由叠加原理:本征振动的线性叠加仍满足泛定方程和边界条件。,4.1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),第三步:由定解条件确定待定系数,将所有基波与谐波线性叠加,得到方程通解:,=?,4.1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),由傅里叶展开:,分离变量法流程图,1)分离变量,2)根据边界条件求特征值和特征函数,3
5、)求另一个函数,4)求通解,5)确定常数,分离变量法求解步骤:,4.1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),例:设有一根长为10个单位的弦,两端固定,初速为零,初位移为,求弦作微小横向振动时的位移。,解:,4.1 齐次方程的分离变数法,4.1 齐次方程的分离变数法,零解,无意义!,无意义!,4.1 齐次方程的分离变数法,4.1 齐次方程的分离变数法,4.1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),例:一端自由的均匀杆振动问题:,泛定方程:,边界条件:,初始条件:,弦一端自由一端固定,解:由分离变量法,代入泛定方程,整理得,4.
6、1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),(续上例),由边界条件,1)0时,,无意义!,4.1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),2)=0时,,(续上例),无意义!,3)时,,4.1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),(续上例),4.1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),(续上例),由初始条件:,4.1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),例:两端自由振动的自由杆定解问题:,泛定方程:,边界条件:,初始条件:,弦
7、两端自由,解:由分离变量法,代入泛定方程,整理得,如:磁致伸缩换能器,鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆,它作纵振动,研究两端自由杆的自由振动。,4.1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),(续上例),由边界条件,1)0时,,仅得无意义的解,4.1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),2)=0时,,由,(续上例),4.1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),3)0时,,(续上例),4.1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),(续上例),线性叠
8、加,得到通解,4.1 齐次方程的分离变数法,(一)有界弦的自由振动的定解问题(一维波动方程),(续上例),由傅里叶展开,时,时,同理:,4.1 齐次方程的分离变数法,(二)有限长杆上的热传导定解问题(一维传导方程),细杆热传导问题,初始一端温度为0,另一端为 u0,零的一端温度保持不变,另一端与外界绝热。求细杆温度分布。,泛定方程,边界条件,初始条件,接下来讨论利用分离变量法求解:,4.1 齐次方程的分离变数法,(二)有限长杆上的热传导定解问题(一维传导方程),常微分方程,令,代入泛定方程:,令,第一步:分离变量:,4.1 齐次方程的分离变数法,由原问题定解条件得到常微分方程定解条件:,第二步
9、:解常微分方程,1、求X(x),分情况讨论:,a),无意义!,(二)有限长杆上的热传导定解问题(一维传导方程),c)令,为非零实数,4.1 齐次方程的分离变数法,b),(二)有限长杆上的热传导定解问题(一维传导方程),无意义!,4.1 齐次方程的分离变数法,本征值,2、求T(t),3、得到分离变量形式的通解,通解:,(二)有限长杆上的热传导定解问题(一维传导方程),4.1 齐次方程的分离变数法,第三步:由定解条件确定待定系数,(二)有限长杆上的热传导定解问题(一维传导方程),分离变量流程图,4.1 齐次方程的分离变数法,(二)有限长杆上的热传导定解问题(一维传导方程),令,代入方程:,解:,4
10、.1 齐次方程的分离变数法,(二)有限长杆上的热传导定解问题(一维传导方程),例:求定解问题,4.1 齐次方程的分离变数法,(二)有限长杆上的热传导定解问题(一维传导方程),(续上例),先求X(x):,4.1 齐次方程的分离变数法,(二)有限长杆上的热传导定解问题(一维传导方程),(续上例),4.1 齐次方程的分离变数法,(二)有限长杆上的热传导定解问题(一维传导方程),(续上例),再求T(t):,写出通解:,确定系数:,(令),4.1 齐次方程的分离变数法,(二)有限长杆上的热传导定解问题(一维传导方程),(续上例),由三角函数正交性:,令,代入方程:,令,例:求下定解问题,解:,4.1 齐
11、次方程的分离变数法,先求解X:,4.1 齐次方程的分离变数法,求解T:,写出通解:,4.1 齐次方程的分离变数法,4.1 齐次方程的分离变数法,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,解:,代入方程:,令,由边界条件:,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,先求X:,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,再求Y:,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,写出通解:,(三)稳定场问题(
12、二维拉普拉斯方程),1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,由边界条件定解:,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,解方程组,得,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,例:求解问题,解:令,则原问题变为:,令,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,代入方程:,解X得:,解Y得:,写出通解:,由边界条件定解:,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,4.1 齐次
13、方程的分离变数法,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),2、圆域内的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),2、圆域内的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,将直角坐标系下拉普拉斯变换到柱坐标系下为:,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),2、圆域内的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,例1、均匀电场空间中,存在接地导体圆柱体,求圆柱体外电位分布u。,在极坐标系下:,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),2、圆域内的拉普拉斯问题,令,由三角
14、函数周期性,知 为周期为 的周期函数,即,第二步:解方程,第一步:分离变量,4.1 齐次方程的分离变数法,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),2、圆域内的拉普拉斯问题,不满足周期性要求,排除,当 时,,当 时,,a.先求,4.1 齐次方程的分离变数法,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),2、圆域内的拉普拉斯问题,b.再求,(欧拉方程),c.写出通解,4.1 齐次方程的分离变数法,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),2、圆域内的拉普拉斯问题,c.写出通解,第三步:定解,4.1 齐次方程的分离变数法,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),2、圆域内的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法
15、,欧拉方程,例 求下列定解问题,解:隐含条件,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),2、圆域内的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,令:,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),2、圆域内的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),2、圆域内的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,通解为:,思考:,解又为如何?,(三)稳定场问题(二维拉普拉斯方程),2、圆域内的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,(四)补充:亥姆霍兹方程(高维混合问题),4.1 齐次方程的分离变数法,高维混合问题求解基本步骤:,1、时空变量的分离:,2、空间变量的分离
16、:,3、求解固有值问题:,4、求解关于T(t)的常微分方程,5、构造叠加解并求出定解。,例1 求定解问题:,(四)补充:亥姆霍兹方程(高维混合问题),4.1 齐次方程的分离变数法,(四)补充:亥姆霍兹方程(高维混合问题),4.1 齐次方程的分离变数法,解:,1、时空变量的分离:,代入方程整理后得:,得关于时空的微分方程:,亥姆霍兹方程,(四)补充:亥姆霍兹方程(高维混合问题),4.1 齐次方程的分离变数法,(续上例),2、对方程(2)做空间变量分离,代入方程(2)整理后得:,3.求解固有值问题,(四)补充:亥姆霍兹方程(高维混合问题),4.1 齐次方程的分离变数法,(续上例),分别求解两个本征
17、值问题,得,(四)补充:亥姆霍兹方程(高维混合问题),4.1 齐次方程的分离变数法,(续上例),4、求T(t),5、一般解为:,由初值条件,再由多元傅立叶展开得:,(一)傅里叶级数法,4.2 非齐次方程和输运方程,回顾:齐次波动方程,的求解结果,本征函数,(一)傅里叶级数法,4.2 非齐次方程和输运方程,傅里叶级数法基本思路:,1、将待求函数展开为傅里叶级数形式,为对应齐次方程在齐次边界条件下本征函数,2、将表达式代入方程,求解,令,代入方程,(一)傅里叶级数法,4.2 非齐次方程和输运方程,例:求解定界问题,解:由齐次边界条件可知,解得本征函数为,(一)傅里叶级数法,4.2 非齐次方程和输运
18、方程,(续上例),由边界条件:,(一)傅里叶级数法,4.2 非齐次方程和输运方程,(续上例),定解可得:,(一)傅里叶级数法,4.2 非齐次方程和输运方程,(续上例),(二)冲量定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,冲量定理法只适用于初始条件均取0值的定解问题。,齐次方程,?,(二)冲量定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,齐次化原理,也称冲量定理。,冲量定理1:设 是方程,的解(L表示自变量为x,y,z的常系数线性偏微分算子),则,的解为:,(二)冲量定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,冲量定理2:设 是方程,的解(L表示自变量为x,y,z的常系数线性偏微分算子),则,的解为:,(二)冲量
19、定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,冲量定理法的物理思想:,将非齐次方程中等式右边函数视作持续作用力,求解时将该作用力分离成许许多多“瞬时”作用力的叠加。考察单个“瞬时”作用力作用时段内,由于时间极端,因此在该期间内作用力可视作一冲量,在该时段内,方程可变化为齐次方程(齐次化)。通过求解该齐次方程,求得在单个瞬时时段内的方程解,将该解对时间积分,则可求得方程解。,(二)冲量定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,例:求解定解问题,解:令,由叠加原理,有:,(二)冲量定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,(续上例),利用分离变量法求解方程(I),很明显,本征值为,本征函数为,方程解为:,(二)冲
20、量定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,(续上例),利用冲量定理法求解方程(II),由冲量定理1,构造方程,边界条件不变,时间变为,值不变,时间变为,值等于函数,(二)冲量定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,(续上例),利用分离变量法求解:,通解写为:,很明显,本征值为,本征函数为,由定解条件:,(二)冲量定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,(续上例),(三)输运问题,4.2 非齐次方程和输运方程,例:求解定解问题,解:方程满足冲量定理要求(初始条件为0)用冲量定理法求解。由冲量定理2,构造方程:,(三)输运问题,4.2 非齐次方程和输运方程,(续上例),利用分离变量法求解:,很明显,本征
21、值为,本征函数为,通解为:,由冲量定理2,,(二)冲量定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,(续上例),4.3 非齐次边界条件的处理,非齐次边界条件定解问题:,必须对非齐次边界定解问题进行处理,才能利用先前所学方法进行求解。,基本思路:选取适当的未知函数进行代换,使新的未知函数的定解问题和边界条件均为齐次的。,4.3 非齐次边界条件的处理,(一)一般处理方法,解:引入线性函数,并令其满足非齐次边界条件,即:,4.3 非齐次边界条件的处理,(一)一般处理方法,(续上例):,利用叠加原理,令,将上式代入原方程,整理即得:,非齐次方程,可用上节方法进行求解。,4.3 非齐次边界条件的处理,(二)特殊处理方法,例:弦x=0端固定,x=l端受迫做谐振动,弦的初始位移和初始速度都是0,求弦的振动。,解:引入线性函数,并令其满足非齐次边界条件,即:,4.3 非齐次边界条件的处理,(一)一般处理方法,(续上例):,利用叠加原理,令,将上式代入原方程,整理即得:,因此原问题可视作是两个边值问题叠加:,常微分方程,齐次偏微分方程,4.3 非齐次边界条件的处理,(一)一般处理方法,(续上例):,问题(I)为常微分方程,求解得:,方程(II)为:,齐次方程,
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