静电场练习题.ppt

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1、1,一个半径为R的球体内，分布着电荷体密度=kr，式中r是径向距离，k是常量。求空间的场强分布，并画出E-r图.,补充题,球内时,据高斯通量定理，得,解：,R,dr,球外时，,O,E,r,R,2,例：*图为一球对称电荷分布的静电场的 曲线,请指出它是下面哪一种带电体产生的？,1.半径为R的均匀带电球面,2.半径为R的均匀带电球体,4.半径为R,电荷体密度(A为常数）的非均匀带电球体,3.半径为R,电荷体密度(A为常数）的非均匀带电球体,解：,(1),（2）,（3）,（4）,（常数）,3,半径为R的无限长圆柱体，柱内电荷体密度=ar-br,r为某点到圆柱轴线的距离，a、b为常量。试求带电圆柱体内

2、外电场分布。,解:,选取长为l，半径为r，与带电圆柱同轴的柱形高斯面S.,2,补充题,R,l,r,因此可用高斯定理求解。,由高斯定理可知:,当rR时，高斯面S内所包围电荷的代数和为:,代入(1)可得:,当rR时，高斯面S内所包围电荷的代数和为:,代入(1)可得:,因为电荷相对轴线呈对称分布，所以距轴线为r的场点的场强数值相等，场强方向沿圆柱径向.,S,4,实验发现,在地球大气层的一个广大区域中存在着电场,其方向是竖直向下的.在2.0102米高度,场强为1.0102伏特/米;而在3.0102米高度,场强为0.60102伏特/米.求从离地200米至300米之间大气中电荷的平均体密度,解：,选取厚为

3、h，半径为r的园柱形高斯面S.,由高斯定理:,得,h,r,E,补充题,5,补充题 如图所示，一半径为R的半球面，其上均匀地带有正电荷，电荷面密度为，试求球心处的电场强度E。,解:取坐标轴OX，将带电半球面分成许多宽度极窄的半径不同的带电圆环，其上任意一个圆环上的带电量为:,为便于计算，可采用角量描述。,因为:,据带电圆环在轴线上一点的场强公式，,可得该带电圆环在P点产生场强dE的大小为,注意:,斜边,由于dq为正，故dE方向沿X轴正方向。,将dq带入上式，可得:,则整个半球面在球心P点处产生的场强的大小为:,方向沿X轴正方向,6,补充题 如图所示，一无限大均匀带电平面，电荷面密度为+，其上挖去

4、一半径为R的圆孔。通过圆孔中心O，并垂直于平面的X轴上有一点P，OP=x。试求P点处的场强。,解:本题可用取圆环带的方法求解，也可用补偿法求解。,解法一 取一细圆环带，其半径为r（rR），带宽为dr，则圆环带的面积为dS=2rdr,其上带电量为dq=dS=2rdr;应用已知带电细圆环在轴线上的场强公式，可得该圆环带在轴线上,7,P点产生电场的大小:,因此，该系统在P点产生总场强的大小为:,方向沿X轴正方向。,8,解法二 半径为R的圆孔可以看成是其上均匀地分布着电荷面密度为+和-的两种电荷。,若在圆孔上补一个半径为R、电荷面密度为-的圆盘，则P点处的场强可以看成是电荷面密度为+的无限大均匀带电平

5、面在P点产生的场强E1和电荷面密度为-、半径为R的带电圆盘在P点产生的场强E2的矢量和，由于E1和E2方向均沿X轴方向，P点的总场强E的大小为:,方向沿X轴正方向。,9,补充题,解：,据高斯通量定理，得,当rR时，,当rR时，,q,R,O,E,R,r,.p,.p,10,电荷q均匀分布在半径为R的球体内。求距离球心r处（r小于R）的电势。,据高斯通量定理,得,.p,解：,.p,补充题,11,两个均匀带电的同心球面，内半径为，外半径为，电量分别为，。求内球和外球的电势。要求：用多种方法求解。,q1,q2,R1,R2,方法(一)：,由高斯定理可得带电系统在空间的电场分布为,解：,用电势定义求解,补充

6、题,由电势的定义可得：,内球电势为,外球电势为,12,q1,q2,R1,R2,解：,方法(二)：,应用电势叠加原理求解,半径为R的均匀带电球面的电势分布为：,球内,球外,根据叠加原理，有,13,高斯面,两同心均匀带电球面，带电量分别为 q1、-q2,半径分别为 R1、R2,求各区域内的场强和电势。,三个区域中的任意点分别作同心球面高斯球面，设面内电荷为q，则,解：,补充题,14,高斯面,电势分布 可由叠加原理和场强积分,两种方法求出。,下面用叠加原理方法求解。,15,据高斯通量定理，得,又,补充题 球形电容器是由内半径为RA和外半径RB的两个同心的金属球壳所组成.求其电容为多少？,设内球带电+

7、q,外球带电-q，,解：,RA,RB,O,+q,-q,16,例 计算电量为 Q 的带电球面球心的电势,解：在球面上任取一电荷元,则电荷元在球心的电势为,由电势叠加原理球面上电荷在球心的总电势,思考：电量分布 均匀？圆环？圆弧？,17,两条平行的无限长直均匀带电线，相距为a，电荷线密度分别为，求：（1）这两根线构成的平面上任一点P的场强；（2）任一带电线每单位长度上所受的吸引力。,作业题1-12,18,19,根据量子理论，正常状态的氢原子可以看成一电量为+e的点电荷和球对称地分布在其周围的电子云，电子云的电荷密度-,式中,试求（1）氢原子内的电场分布；（2）计算 处的电场强度，并与经典原子模型计

8、算所得的结果相比较。,称为玻尔半径。,作业题1-14,7,（1）在半径为r的球面内的电子电量 与 之比为,由对称性和高斯定理得,解：,20,(2)当取 时,按经典原子模型，电子以半径 作绕核运动，原子核带电e 它在电子所在处 产生的场强为;,21,解：,选取厚为h，半径为r的园柱形高斯面S.,由高斯定理:,得,h,r,E,实验表明，靠近地面处存在着电场，场强E垂直于地面向下，大小约为100V/m，在离地面1.5km高的地方，场强E也是垂直于地面向下的，大小约为25V/m。（1）计算从地面到此高度的大气中电荷的平均体密度。（2）若这些电荷全部分布在地球表面，求面电荷密度。,作业题1-15,（2）

9、当电荷全部分布在地球表面时，地表面可以看成无限大带电导体平面，由导体表面附近一点场强公式得,其中 为地表面外法线方向单位矢量,作业题1-26*求均匀带电圆面(盘)轴线上任一点的电场。,解：由均匀带电圆环(模型)轴线上一点的电场,知,强调:,斜边,半径为R的圆面（盘）均匀带电，电荷的面密度为。求：轴线上距离圆心坐标为 的P处的场强。,讨论：,即无限大均匀带电平面的场强为,可视为点电荷的电场,即带电平面在无限远处的场强为,24,半径分别为 和 的两个同心球面都均匀带电，带电量分别为 和，两球面把空间分划为三个区域。求各区域的电势分布，并画出 曲线。,作业题1-36,根据高斯定理,得三个区域，场强变

10、化规律是,解：,25,点电荷q处在导体球壳的中心，球壳的内半径为R1，外半径为R2.求场强和电势的分布,并画出E-r和U-r曲线.,作业题1-50,解：,点电荷位于球壳的中心，由静电感应知，球壳内表面将均匀带有总电量-q，球壳外表面均匀带有总电量+q，,可用两种方法求球壳的电势。,1）积分法,2）叠加法,q,R1,R2,-q,+q,III,I,II,根据高斯定理得,O,O,r,r,E,U,R1,R1,R2,R2,26,半径为R1的导体球带有电荷q，球外有一个内外半径分别为R2、R3的同心导体球壳，壳上带有电荷Q。求(1)两球的电势 和;(2)两球的电势差;(3)若用导线把内球和球壳连接起来后，

11、,和 分别为多少？(4)在情形(1)和(2)中，若外球壳接地，,和 分别为多少？(5)设外球离地面很远，且内球接地,和 各为多少？,（1）由静电感应知，球壳内表面带电为-q，外表面带电为Q+q,如图，根据电势叠加原理得,解：,（2）由式式得,作业题1-52,27,（3）用导线把内球和球壳接起来后，电荷只分布在球壳外表面上，且二者等势，如图,则有,（4）当外球壳接地时如图所示，外球壳电势为零由电势定义有,28,（5）当内球接地时，内球电势为零，因无限远外的电势也为零，这就要求导体球所带电量重新分布。,由电势叠加原理知,由上式得,设内球表面带电为，则球壳内表面带电-,球壳外表面带电,29,一球形电

12、容器内外薄壳的半径分别为R1和R4，今在两壳之间放一个内外半径分别为R2和R3的同心导体壳.求半径为R1和R4两球面间的电容。,作业题1-62,因静电感应，各球面带电情况如图所示，导体内部无电场。,解：,30,半径分别为 r与R 的两个球形导体，各带电荷 q，两球相距很远若用细导线将两球相连接求(1)每个球所带电荷；(2)每球的电势,),补充题,两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响，球上电荷均匀分布，,而,则两球电势分别是,解：,导线连接后电荷分别为q1和q2.,两球连接后电势相等，,由此得到,两球电势,r,R,q1,q2,q,q,31,电量为q的点电荷绝缘地放在导体球壳的中心，球壳的内半径

13、为R1，外半径为R2，求球壳的电势.,解：,点电荷位于球壳的中心，由静电感应知，球壳内表面将均匀带有总电量-q，球壳外表面均匀带有总电量q，,电场的分布具有球对称性，,此时可用两种方法求球壳的电势。,1）积分法,2）叠加法,补充题,32,如图所示，半径为R1的导体球带电量q，在它外面同心地罩一金属外壳，其内外壁的半径分别为R2与R3，已知R2=2R1，R3=3R1,今在距球心为d=4R1处放一电量为Q的点电荷，并将导体球壳接地，试问：（1）球壳带的总电量是多大？（2）如果用导线将壳内导体球与壳相连，球壳带电量是多大？,(1)由于静电感应球壳内表面为，设外表面带电为，如图所示，导体球与导体球壳之

14、间的电势差为,导体球的电势为,由于导体球壳接地，故,补充题,解：,33,导体球与导体球壳之间的电势差为,（2）当用导线将壳内导体球与壳相连后，导体球与导体球壳等势，电势为零。电荷只能分布在导体球壳外表面上，设外表面带电为,故,34,半径为R1的导体球带有电荷q，球外有一个内、外半径分别为R2，R3的同心等体球壳，壳上带有电荷Q,如果在球壳外再放一个内半径为R4、外半径为R5的同心导体球壳，壳上带有电荷。问：（1）,和 各为多少？（2）内球与最外球壳之间的电势差 是多少？,补充题,解：,(1)根据静电感应知，各球壳内外表面带电量如图所示,(2),35,如图所示，在一个接地导体球附近放一个点电荷q

15、，已知球的半径为R，点电荷q与球心的距离为a。试求导体表面上总的感应电荷q。,由电势叠加原理可知，球心O处的电势V0 是点电荷q以及球面上感应电荷q共同产生的。,根据静电感应规律，导体是一个等势体。,因导体接地，故令导体球的电势为零。则，球心O的电势也为零。,接地后 导体球表面的感应电荷q在球面上的分布是不均匀的，设感应电荷面密度为。,点电荷q在球心O处产生的电势为:,因导体球上感应电荷q在球面上的分布不均匀，各处也不一样，所以感应电荷q在球心的电势由积分计算，为:,所以，球心O处的总电势为:,（负号表示感应电荷与球外电荷q的符号相反）,.q,R,a,补充题,解：,故,q,O,强调,36,半径

16、为R的金属球与地相联接,在与球心相距d=2R处的一点电荷q(q0),求球上的感应电荷q 有多少?,静电平衡时,导体为一等势体,即为电势为零的等势体,从而球心处的电势零。而感应电荷相距球心是等距的,从而我们有,补充题,解：,37,解:令无限长直线如图放置，电荷线密度为。计算在x轴上距直线为r的任一点P处的电势。,因为无限长带电直线的电荷分布延伸到无限远的，所以在这种情况下不能用连续分布电荷的电势公式来计算电势V，否则必得出无限大的结果，显然是没有意义的。同样也不能直接用公式来计算电势，不然也将得出电场任一点的电势值为无限大的结果。,计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。,为了能求得P点的电势，可

17、先应用电势差和场强的关系式，求出轴上P点与参考点P1的电势差。无限长均匀带电直线在X轴上的场强为,过P点沿X轴积分可算得P点与参考点P1的电势差,由于ln1=0，所以本题中若选离直线为r1=1 m处作为电势零点，则很方便地可得P点的电势为,这个例题的结果再次表明，在静电场中只有两点的电势差有绝对的意义，而各点的电势值却只有相对的意义。,补充题,38,均匀带电圆环，带电量为q，半径为R，求轴线上任意一点的P电势。,解：,法一),法二),补充题,39,解：,已知均匀带电圆盘，半径为R,面电荷密度为,求圆盘轴线上任一点P的电势，并从电势出发计算E。,取圆环rr+dr,补充题,40,解：,采用补偿法来

18、求解，,电荷密度均匀为 的球体内，有一球形空腔，将坐标原点建立在球心o上，空腔球心的位置矢量为，试求空腔内任意点的场强。,利用高斯定理可求均匀带电（没有空腔的）球体内的任意点的场强：,同理负电荷均匀带电球体产生的场强：,在空腔内任意点处的场强：,腔内为均匀电场。,补充题,41,例7-20 金属球A与金属球壳B同心放置。已知球A半径为R1，带电为q，金属壳B内外半径分别为R2，R3，带电为Q。求：(1)系统的电荷分布(2)空间电势分布及球A和壳B的电势。(3)若B接地，结果又如何？,解：,（1）静电平衡时，导体（净）电荷只能分布在导体表面上。,球A的电量只可能在球的表面。,壳B有两个表面，电量分

19、布在内、外两个表面。,由于A、B对称中心重合，电荷及场分布应该对该中心是球对称。,电荷在导体表面均匀分布,42,按照高斯定理和电荷守恒定律，电荷分布如图所示。,可以等效为：真空中三个中心相互重合的均匀带电球面。,（2）利用叠加原理求电势,43,44,（3）若B接地，,球壳外表面的电荷将消失。,思考：若A、B用导线连接，结果如何？,45,已知：导体板A，面积为S、带电量Q，在其旁边放入导体板B。,求：(1)A、B上的电荷分布及空间的电场分布,(2)将B板接地，求电荷分布,a点,b点,A板,B板,解方程得:,电荷分布,46,场强分布,两板之间,板左侧,板右侧,47,半径为R的导体球，放在内、外半径

20、为 和 的同心导体球壳内，若球和球壳分别带电q和Q，试求：（1）球和球壳的电势；（2）若用导线将球和球壳连接，此时它们的电势又为多少？,解：,-q,q+Q,48,补充题 由无限长直线电荷的场推导无限大平面电荷的场。,设电荷面密度,场点距平面a,如图1.7,电荷元线密度,=dy,利用长直电荷的结果，有,利用对称关系，可只考虑方向,49,均匀带电圆环，带电量为q，半径为a，求轴线上任意一点的P势。,解：,法一),法二),50,解：,例 已知均匀带电圆盘，半径为R,面电荷密度为,求圆盘轴线上任一点P的电势，并从电势出发计算E。,取圆环rr+dr,51,例 在氢原子内,电子和质子的间距为 求它们之间电

21、相互作用和万有引力,并比较它们的大小.,解,52,在真空中有电量分别为+Q和-Q的A、B两带电平板，相距为d（已知d很小），面积为S。试分析两板间的相互作用力的大小。,补充题,对于两板间的相互作用力，有人说，根据库仑定律，则,又有人说，根据F=QE，据题意可知A、B两板可近似认为是无限大带电板，于是,则,实际上两种说法都不对。,在第一种说法中，因为d很小，因此两带电板已不能看作是点电荷系统。因此，该问题不能直接用库仑定律求解。,在第二种说法中，虽然F=QE是正确的，但对E的理解有误。因为F=QE中的E是指Q所在处的场强，而在第二种说法却把两板的合场强看作为Q所在处的场强，因此也是不对的。,正确

22、的解法是，A板上的电荷Q在B板Q产生的场中，其,因此，A板上的电荷Q能受的电场力为:,同理,这是一对作用力和反作用力。,解：,d,A,B,+Q,-Q,53,如图所示，有一无限长均匀带电直线，其电荷线密度为+1.另外，在垂直于它的方向放置着一根长为L的均匀带电线AB,其电荷线密度为+2.试求它们间的相互作用力。,由无限长带电直线场强公式可知，dq处的场强为:,方向沿X轴正向。于是有:,由于各电荷元所受力的方向均沿X轴正向，所以:,A,B,a,L,+1,+2,解：,补充题,带电直线L处于无限长带电直线产生的电场中，若把带电直线L视为许多电荷元dq的集合，,则电场对每个电荷元的作用力为dF=Edq,

23、各电荷元的dF的矢量和，即为带电直线L所受的电场力。,在距无限长带电直线x处,任取一电荷元dq=2dx，,X,O,x,dx,根据作用力和反作用力的关系可知，无限长带电直线所受的作用力F，其大小与F相等，方向相反。,54,例题1 电荷量q均匀分布在半径为R的金属圆环上，在环的轴线上有一条均匀带电的直线，单位长度的电荷量为，直线的一端在环心，另一端趋向无穷远。试求它们之间的相互作用力。,【解】如图，环上电荷元 作用在直线上p处电荷元 上的库仑力为,q,根据对称性，整个圆环的电荷 作用在 上的力为,力的方向沿轴线向外（当 时）或向内（当 时）,故 整个直线上的电荷受到的作用力为,55,例题1 电荷量q均匀分布在半径为R的金属圆环上，在环的轴线上有一条均匀带电的直线，单位长度的电荷量为，直线的一端在环心，另一端趋向无穷远。试求它们之间的相互作用力。,【解】如图，环上电荷元 作用在直线上p处电荷元 上的库仑力为,q,根据对称性，整个圆环的电荷 作用在 上的力为,力的方向沿轴线向外（当 时）或向内（当 时）,故 整个直线上的电荷受到的作用力为,