矩阵相似的若干判别法及应用.doc

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1、目 录摘 要IAbstractII前 言1第一章 根本概念2矩阵2 1.1.1 矩阵的概念2 矩阵的性质2 矩阵相似3 矩阵相似的概念3 矩阵相似的性质4第二章 矩阵相似的判别5 特征值与特征向量法判定5 2.1.1 特征值和特征向量的定义与求法5 2.1.2 特征值和特征向量的根本性质与矩阵相似的判定5用初等变法换判定8 应用分块矩阵相似判定10第三章 矩阵相似的应用13 利用相似变换把方阵对角化13 矩阵相似性质的简单应用13 矩阵相似在实际生活中的应用14结 论16参考文献17致 谢18摘要相似矩阵是高等代数课程围,一个很重要的根本问题,并且矩阵相似是矩阵中很重要的一种关系. 本文从矩阵

2、的根本理论出发,以定性分析法,以综述的形式总结了几个重要的判定矩阵相似的定理和结论.通过矩阵的特征值与特征向量、矩阵的对角化、可逆矩阵、矩阵的初等变换和分块矩阵对矩阵相似进展判别,并运用例证对每一种判别法加以说明;另外,还对相似矩阵的一些应用进展了介绍,以便对矩阵的相似有更进一步的了解.关键词：特征值;特征向量;相似矩阵;判别;分块矩阵AbstractThe similarity of matrix is one of the most important problem within the area of the advanced algebra. In addition, the sim

3、ilarity of matrix is an elementary relationship between the matrixes. This paper reviews several important criteria which are used to judge the similarity of matrix. These criteria are generally based on the calculation of the Eigen value and Eigen vector, the diagonalization of matrix, the invertib

4、le transformation of matrix, the elementary transformation of matrix, and the partition of the matrix. Further, the examples follow and elucidate the counterpart criteria. At the end, the application of the similarity of matrix is given to deepen the understanding.Keywords: Eigen value;Eigen vector;

5、Similarity of matrix;Distinguish;Partitioned matrix不要删除行尾的分节符，此行不会被打印前 言在数学中,矩阵就是一个平面上的数阵,矩阵理论的起源可追溯到18世纪,在以后的开展中，又相应的产生了许多理论知识,例如初等矩阵,，矩阵相似理论也是在矩阵的开展之后才进一步开展和应用的起来的，可以让我们在解决一些特殊和复杂的问题时更加的简便,而且矩阵相似在实际生活中同样有着巨大的作用.本文主要介绍了矩阵的各种性质和特点,什么是矩阵相似,以与矩阵相似的判断和矩阵相似的一些应用.在第一章中,我们主要介绍了矩阵以与由它延伸出来的相关理论知识,例如矩阵的相似与它的

6、一些简单的性质;在第二章中,着重介绍和总结了矩阵相似的三种判别方法.借助矩阵的特征值与特征向量将矩阵对角化，进而来对矩阵进展相似的判别，是对相似矩阵性质的综合运用，理论与方法都较为简单便于理解和掌握；初等变换法逻辑性强、理论系统；利用分块矩阵判别矩阵的相似，是对特型矩阵相似的一种判别法，较为简洁，但有局限性.第一章 根本概念矩阵 矩阵是现代数学中极其重要、应用非常广泛的一个重要容.利用这一数学工具,可以把所研究的多数据、多数量关系的问题化成简明的易于理解和分析的形式.矩阵的概念定义1.1 由排成的的数表们把它称行列阵,简阵,其称为阵的第第列素;如果阵的行和数相等,如此我也把阵叫做方. 定义1.

7、2 如果一矩的元全为,我们就之为矩,记,我们也可以简单的记为. 定义1.3 如果方阵中的元素能够满足条件,如此我们就把方阵叫做对角阵. 定义1.4 如果一个矩阵除了主对角线上的元素,别的元素都是,且主对角线是的元素我们把它称之为级单位矩阵,记作,一般情况下简写为.矩阵的性质定义1.5 设,那么矩阵,其中 (1-1)们将其称之与的乘,记为. 注意,在乘法预算中方阵,要求前面方阵的行与后面方阵的列数位一样 定义1.6 由方阵中的元素保持其原来相对的位置不变而构成的行列式称为方阵的行列式,记作或. 定义1.7 对于数域上的阶方阵,如果满足,如此我们称其为非退化的;反之我们称它为退化的.义1.8 对于

8、级方阵,如果有一个级方阵,使得 (1-2)成立,我们就称方阵是可逆的,这里的是级单位矩阵.我们就方是可的,这里的是级位矩.义1.9 如果有级方阵适合1-2,那么我们就把方阵叫做方阵的逆矩阵,记作. 引理1.1 是阶方阵可逆的充要条件. 定义1.10 设是矩阵中元素的代数余子式,如此矩阵就是矩阵的伴随矩阵.定理1.1 如果方阵是非退化的,那么它是可逆的;反之方阵可逆,如此它也一定是非退化的有 (). (1-3) 定义1.11 矩阵的行秩是指以矩阵每一行的元素作为行向量而构成的行向量组的秩;矩阵的列秩是指以矩阵每一列的元素作为列向量而构成的列向量组的秩. 定理1.2 矩阵的行秩和列秩相等. 因为矩

9、阵的行秩和列秩相等,所以我们将行秩和列秩统称为矩阵的秩,矩阵的秩记为. 矩阵相似相似的矩阵有很多共同的性质,所以只要从与相似的矩阵中找到一个特别简单的矩阵,只需通过对这个简单矩阵性质的研究就可以知道的性质.矩阵相似的概念1 有,方阵在数域上,假设是上有阶可逆方阵使等式：成立,那么就说与相似,并且写作1 设是数域上的多项式,以为元素的矩阵称为矩阵. 记表示数域的矩阵的全体. 定义1.14 方阵上的相似关系与数域上的阶方阵之间的关系是互推的,对任何,存在集合如此我们可称矩阵形成的相似等价类.矩阵相似的性质性质1.1 反身性：由于所以每一个.性质1.2 对称性：如果,那么 ;如果 ,那么有,使令就有

10、所以.传递性：如果,那么.事实上,由和得 2-1由等式可知,对于维向量空间上的两个线性变换的基它们相似.矩阵相似还有具有如下一些性质.1相似矩阵的行列式相等;2相似矩阵有一样的秩;3相似矩阵有一样的可逆性,且它们可逆时,它们的逆矩阵也相似;4相似矩阵的幂仍相似;5相似矩阵有一样的特征值.第二章 矩阵相似的判别研究矩阵相似的好处很多,最大的好处是通过相似变换可以让任何一个矩阵变为假设当标准型.假设当标准型是尽可能最简单的一种矩阵,这种矩阵在运算上有许多方便之处.另一种好处是矩阵相似有许多一样的属性,这样可以将对形式复杂矩阵的研究转化为对简单形式矩阵的研究.本章给出三种判别矩阵相似的方法.特征值与

11、特征向量法判定矩阵的特征值与特征向量作为一个极为重要的数学概念,它在数学中有着最为广泛的应用.应用特征值与特征向量将矩阵对角化,进而做矩阵相似的判断,是较为常用的、根本的判别矩阵相似的方法.特征值和特征向量定义与求法矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的两个根本概念,是判定矩阵相似的工具之一.1 我们假设为阶方阵,如果有复数与维非零列向量得 (1-1)或者 (1-2)那么把看作是的特征向量,而如此是的特征向量. 求阶矩阵的特征值与特征向量有一般如下步骤： 第一步：我们应先求出矩阵的特征多项式; 第二步： 那么接下来我们应需要知道的所有根值并且便是矩阵的所有特征值; 假设是特征方程的单根,如此称为

12、的单特征值;假设是是特征方程的重根,那么的重特征值是,并且的重数是. 第三步：对的相异特征值中的每个特征值,再求得齐次线性方程组 (1-3)的一个根底解系,如此有即为对应于特征值的特征空间的一个基,如此有的属于的全部特征向量为其中是不全部为零的任意常数.2.1.2 特征值和特征向量的根本性质与矩阵相似的判定性质2.1 设的全部特征值为,如此存在着 在这里咱们可以利用性质去简化特征值的问题的一些相关的运算. 性质2.2 如果是方阵的特征值,是相应的特征向量矩阵,然后任意正整数,有是的特征值的特征向量且特征值为. 性质2.3 假使是可逆矩阵的一个特征值,假设为的一个特征值,且为的一个特征值. 性质

13、2.4 如果有是方阵的相互存在差异的特征值的特征向量,那么存在着线性无关的向量组.并且,如果的线性无关特征向量为,那么向量组为线性无关. 性质2.5 假使是方阵的重特征值,那么有不多过的个数的性无关的特征向量.如下图为特征值与特征向量的一些结论特征值对应特征向量 定理6 设存在着两个阶的方阵与,它们有个互不一样的特征值,并且它们两个的特征值是完全一样的,那么如此矩阵与矩阵相似. 证明 假使是的个互不一样的特征值,那么存在着可逆的 方阵,使得 又因为方阵的特征值也是,那么如此会有可逆矩阵,使得 所以. 而,即存在可逆矩阵,使得,而矩阵与矩阵相似. 存在着阶方阵,且它的每一个重特征值,能使得秩那么

14、相似于对角矩阵,否如此不相似. 例2.1 证明矩阵与相似. 解 的特征多项式为 所以的全部特征值为的属于特征值的全部特征向量分别为.假设令,如此有,而的特征值为所以的全部特征值为的属于特征值的特征向量为令,如此有.显然,记,有,所以与相似. 例题2.2 证明下方矩阵是否相似于对角矩阵.(1) (2) 解 1由于,所以的特征值是重数),(重数).又由, 可知矩阵相似于对角矩阵. 2因为,所以的特征值是重数,又由于,故不相似于对角阵.用初等变换法判定 引理2.1 如果是数域P上的一个方阵,那么有数域上的可逆方阵,使得为上三角方阵. 引理2.2 如果,是数域上的两个级方阵,那么与相似的充要条件是数域

15、上会有两个可逆的方阵,能让 1-1并且与相似时有,使得是在时的左值.12假使,是数域上的两个级方阵,那么方阵与相似的充要条件是在数域上有可逆的矩阵,成立 1-2有方阵与相似时有,并且是在时的左值. 证明 充分性：当存在,可逆,我们把1-2式两端同时都在右边乘上有令,那么可逆,且,由引理2.2可知,与相似. 必要性：可在1-1式中让与,那么是在时的左值.6 如果有两个阶矩阵,存在于数域上,如此存在可逆的方阵在数域上,他们是矩阵与相似的充分必要条件可以使得： 1-3当方阵与相似时会有有,同时有是在时的左值. 证明 充分性：假使可逆,当我们把1-3式两端同时左乘上得到令 如此可逆,并且有与相似. 必

16、要性: 可以在(1-2)式中让与,那么是在时的左值.例题2.3 设.判断与两个方阵是否相似,并且当相似时求可逆矩阵,使得. 解 所以,与相似.令如此令如此故所以分块矩阵相似判定 在上一节我们通过利用矩阵的特征值与特征向量定理研究了矩阵的相似,那么这一小节我们来了解矩阵中的分块矩阵是否相似,现有两个分块矩阵着和,在著名的Roth罗斯定理中表示和相似的一个充要条件是方阵方程 (1-1)有解定理10 如果有,两个矩阵,并且有与,那么如此是分块矩阵与相似的充分必要条件. 证明 必要性分块矩阵,要是它中的和和相似,那么也是幂等方阵的,也就是=把两边矩阵分别展开得到. 充分性和这两个幂等方阵,因此它们可以

17、分解为 (1-2)把它们代入1-1式中,得知 (1-3)我们让 (1-4)通过1-4式可知 (1-5) 那么和是方程有解的充要条件,我们通过1-2,1-4,如此可明确的知道等价于和 所以这两个方程也等价于.由此可知,在条件下,方程1-1有解,所以两个分块方阵和相似,证明完毕. 例题2.4 设存在两矩阵和,并且其中,求证. 证 因为,且矩阵所以又由于故第三章 矩阵相似的应用利用相似变换把方阵对角化 定义3.1 相对应阶方阵,假使存在可逆矩阵,让变为对角矩阵,那么我们就称矩阵可对角化，且可对角化为. 定理3.1 如果阶矩阵可对角化,那么它对角矩阵相似. 中存在着个线性无关的特征向量. 推论3.1

18、如果阶矩阵存在个不同的特征值,那么矩阵与对角矩阵相似. 例题3.1 利用相似变换将矩阵对角化. 解得 当时,齐次线性方程组的根底解系为当时,齐次线性方程组的根底解系为因为所以线性无关,即有个线性无关的特征向量,所以,利用线性变换,可将矩阵对角化为,即矩阵与矩阵相似. 矩阵相似性质的简单应用 应用矩阵相似的简单性质我们可以在方阵乘法的运算中可以简化运算的过程,大量的节省时间,极大的方便了我们. 例3.2 设 ,求证. 解1先算出所以,的3个互异特征值为故可以对角化,对每个求得分别属于的特征向量为（2） 令, 有（3） 因为所以 矩阵相似在实际生活中的应用 矩阵相似有许多一样的属性,如秩矩阵,行列

19、式,微量对角,特征值,特征多项式,主要因素是一样的.一个矩阵很重要的一点就是它的特征值.通过相似变换的性质特点,可以使复杂运算变成更加简单的求值计算. 例3.3 一实验生产线每年二月为熟练和非熟练工人的数量统计,然后把熟练工人支持其他生产部门,招募新的非熟练工人完成的空缺.旧的和新的非熟练工人通过培训和时间,年终考核将有年在二月份的一次统计中熟练工人与非熟练工人在总人数中为百分之与百分之,我们把它写为向量 1求和的关系式并写成方阵： 2求证有这两个不相关的特征向量,然后在分别算出他们的特征值; 解 1根据上述有化简得对其用矩阵表示即为于是 2 令如此由知,所以这个特征向量属于矩阵.并且相应的为

20、特征值.因 故为的特征向量,且相应的特征值结 论本文以矩阵与矩阵的性质和矩阵相似的一些相关的性质为主要理论依据,从矩阵和矩阵相似的相关性质与应用处着手,主要论述了矩阵相似的几个判别方法,并在第三章中将矩阵相似的一些应用展示给了大家,通过将矩阵和矩阵相似的一些相关理论进展整理分析，矩阵相似的性质和判别法,解决了几类较为根本的矩阵相似的应用问题.参考文献1 禾瑞,郝鈵新,禾瑞郝鈵新编.高等代数M.:高等代数,2007:327-328.2 冯天祥,世宏.矩阵的QR分解J.西南民族学院学报,20:4(2001),418-421.3 雷雪萍.高等代数中一道习题的推广J.大学数学,2006,22(4):1

21、61-.4 屠伯埙,四元数矩阵的UL分解J.复旦学报自然科学版,1988,(2),121-128.5 奇;孟道骥 编.线性代数教程M.南开大学,216-225.6 吴强. 基于矩阵初等变换的矩阵分解法J.数学理论与应用,20:4(2000), 105-107.7 黄宝强 主编.线性代数M.同济大学. 223-226.8 允龙编.数学分析M.：复旦大学，2002：75-89.9 J.2005,19(3):57-60.10 程士珍两个方块矩阵相似性的研究J.数学的实践和认识2005,35(3):191-.11 王新民.矩阵环FA中元素的可逆性J.数学的实践与认识,2002,3823;223-226.12 王新民.袁强.关于矩阵相似的条件与其相似变换矩阵.聊城大学学报J.2009,22(2):14-16.13 天德,韩振来.数学分析同步辅导M.某某:某某科学技术,2010:2629.14 Liujia.Similarity matrix and its application.China western science and technology J.2010,9(26):46-48.15 Jefferson. Linear AlgebraJ.USA:Create Space.2008,124-205.