信源熵习题答案.ppt

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1、一、摸球模型,二、分球入盒模型,五、几何概率,六、小结,古典概型中的基本模型,三、随机取数模型,四、典型例题,抛硬币、掷骰(tu)子、摸球、取数等随机试验,在概率问题的研究中,有着十分重要的意义.,一方面,这些随机试验,是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型.它们的内容生动形象,结构清楚明确,富有直观性和典型性,便于深入浅出地反映事物的本质,揭示事物的规律.,另一方面,这种模型化的处理方法,思想活泼,应用广泛,具有极大的普遍性,不少复杂问题的解决,常常可以归结为某种简单的模型.,本部分主要讨论古典概率中的三类基本模型(摸球模型、分球入盒模型、随机取数模型),给出它们的一般解法,指出

2、它们的典型意义,介绍它们的常见应用.,因此,有目的地考察并掌握若干常见的概率模型,有助于我们举一反三,触类旁通,丰富解题的技能和技巧,从根本上提高解答概率题的能力.,一.古典概型的基本模型:摸球模型,(1)无放回地摸球,问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球,现从袋中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率.,解,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,(2)有放回地摸球,问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率.,解,第1次摸球,6种,第1次摸到黑球,4种,第3次摸到红球,基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为,课堂

3、练习,1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率.,2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的概率.,摸球模型,袋中有个白球,个黑球：(1)从中任取出ab个(a,bN,a,b,试求所取出 的球恰有a个白球和b个黑球的概率；(2)从中陆续取出3个球(不返回),求3个球依次为“黑白黑”概率；(3)逐一把球取出(不返回),直至留在袋中的球都是同一种颜色为止,求最后是白球留在袋中的概率.,思路：,这里的三个小题,摸球的方式各不相同,必须在各自的样本空间中分别进行处理.,(1)中的每一个样本点,对应着从+个球中任取a+b个球的一种取法,无需考虑顺序,属于组合问

4、题.,(3)中事件的有利场合(摸剩白球)包含了种不同情形：摸剩个白球,-1个白球,1个白球.因此,必须对各种情形分别加以考虑.,(2)中的每一个样本点,对应着从+个球中依次取出三个球的一种取法,需要考虑先后次序,属于排列问题.,(1)从中任取出ab个(a,bN,a,b,试求所取出的球恰有a个白球和b个黑球的概率；,解,设A1=“所取的a+b个球中恰有a个白球和b个黑球”.,此即样本空间所包含的样本点总数.,而事件A1所包含的样,P(A1)=,(2)从中陆续取出3个球(不返回),求3个球依次为“黑白黑”概率；,解,设A2表示事件“取出的3个球依次为黑白黑”.,点总数.,对于有利场合,第一个和第三

5、个黑球可在个,黑球中依次取得,第二个白球可在个白,球中任取,因此,A2所包含的样本点数为,，于是,P(A2)=,(3)逐一把球取出(不返回),直至留在袋中的球都是同一种颜色为止,求最后是白球留在袋中的概率.,解,设A3表示事件“袋中只剩白球”.,此时,取出的球必为个黑球,i个白球(i=0,1,-1).,用Bi表示事件“取出个黑球,i个白球,袋中留下的全是白球”(i=0,1,-1),则事件B0,B1,B-1必两,两互不相容,且A3=B0+B1+B-1,依概率的有限可加性,有,P(A3)=P(B0)+P(B1)+P(B2)+P(B-1),依事件Bi的含义,对于确定的i,它的样本空间就是从+个球中任

6、取i+个球的排列.,所以,样本点总数为,.,(),注意到i+个球取出后,留在袋中的全是白球,因而在这i+个球中,最后取出的一个应是黑球.,有利场合,就是i+-1个球的全排列(个黑球中扣除1个,以保证最后取出的一个必为黑球).,这样,事件Bi的,-1个黑球可从个黑球中取得,有,种取法,从而事件,Bi所包含的样本点数为,.,，于是,P(Bi)=,把诸P(Bi)的值代入()式,并注意到:,+,即得,P(A3)=,=,=,评注:,如果把题中的“白球”、“黑球”换为“正品”、“次品”或“甲物”、“乙物”等等,我们就可以得到各种各样的“摸球模型”.,(1)杯子容量无限,问题1 把 4 个球放到 3个杯子中

7、去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可放任意多个球.,4个球放到3个杯子的所有放法,二.古典概型的基本模型:分球入盒模型,因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为,(2)每个杯子只能放一个球,问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能放一个球,求第1 至第4个杯子各放一个球的概率.,解,第1至第4个杯子各放一个球的概率为,分球入盒模型,把n个球以同样的概率分配到(n)个盒子中的,试求下列各事件的概率：(1)：某指定n个盒子中各有一球；(2)：恰有n个盒子,其中各有一球;(3)：某指定盒子中恰有m(mn)个球.,思路:,解答本题时,要发掘“n个球以同样的概率分配到个盒子中

8、的每一个中去”一语的含义.这句话意思是说,每一个球,被分配到任意一个盒子中去是等可能的；也就是说每一个球各有种不同的去向.,每一个中去,(1)：某指定n个盒子中各有一球；,解,(2)：恰有n个盒子,其中各有一球;,因为n个球中的每一个球,都以同样的概率进入个盒子中的任意一个,所以样本点总数为Nn.,(1)n个球分别分配到个预先指定的盒子中去,相当于n个球的全排列,因此事件所包含的样本点数为n!,于是,P(A),个样本点,于是,P(B)=,(3)：某指定盒子中恰有m(mn)个球.,解,事件中的个球,可以从n个球中任意选取有,种选法,其余的n-m个球可以任意分配到另外-1个盒子中去,有(N-1)n

9、-m种分配法.,因而事件包含,个样本点.,这样,P(C)=,.,评注:,不难发现当n和确定时P(C)只依赖于m.如果把P(C)记作Pm,依二项式定理有,注：,上述等式的概率意义是十分明显的.就是对于某个指定的盒子来说,进入盒子中的球数不外是0,1,.,n;从而这n+1种情形的和事件为必然事件,其概率必为1.这个问题实质上就是贝努利(Bernoulli)概型.,n个球在个盒子中的分布,是一种理想化的概率模型,可用以描述许多直观背景很不相同的随机试验.为了阐明这一点,我们列举一些貌异质同的试验：,(1)生日.个人的生日的可能情形,相当于个球放入=365个盒子中的不同排列(假定一年有365天).,(

10、2)性别.个人的性别分布,相当于把个球放入=2个盒子中.,(3)意外事件.如果把个意外事件按其发生在星期几来分类,相当于个球放入=7个盒子中.,(4)掷骰子.掷颗骰子的可能结果,相当于把个球放入=6个盒子中.,(5)质点入格.个质点落于个格子中的可能情形,相当于个球分入个盒子中.,(6)旅客下站.一列火车中有名旅客,它在个站上都停.旅客下站的各种能情形,相当于n个球分到个盒子中的各种情形.,(7)住房分配.n个人被分配到个房间中去住,则人相当于球,房间相当于盒子.,(8)印刷错误.个印刷错误在一本具有页的书中的一切可能的分布,相当于个球放入个盒子中的一切可能分布(必须小于每一页的字数).,2o

11、 生日问题 某班有20个学生都是同一年出生的,求有10个学生生日是1月1日,另外10个学生生日是12月31日的概率.,课堂练习,1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.,三.古典概型的基本模型:随机取数模型,从1,2,10这十个数中任取一个,假定各个数都以同样的概率被取中,取后还原,先后取出7个数,试求下列各事件的概率：,(1)A1：7个数全不相同；(2)A2：不含10与1；(3)A3：10恰好出现两次；(4)A4：10至少出现两次；(5)A5：取到的最大数恰好为6,思路:,本题所及的随机试验,就取样方法来说,属于返回取样.也就是说,把某数

12、取出后还原,下次仍有同样的可能再取到这个数.,(1)A1：7个数全不相同；,解,依题设样本空间就是10个相异元素允许重复的7元排列.所以样本点总数为107,(1)事件A1,要求所取的7个数是互不相同的,考虑到各个数取出时有先后顺序之分,所以有利场合相当于从10个相异元素里每次取出7个相异元素的排列.因此,A1所包含的样本点数为,，于是,P(A1)=,.,(2)A2：不含10与1；,解,事件A2：先后取出的7个数中不含10与1,所以,这7个数只能从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中取得.注意到实验属于有返回取样,则A2的有利场合,相当于8个相异元素允许重复的7元排列.于是,A2所包含的样本

13、点数为87,有,P(A2)=,(3)A3：10恰好出现两次；,事件A3中出现的两次10,可以是7次取数中的任意两次,有,解,种取法,其余的5次,每次可以取剩下的9个数中的任一个,共有95种取法.于是A3的有利场合为,，由此,P(A3)=,.,(4)A4：10至少出现两次；,解,事件A4是六个两两互不相容事件“10恰好出现k次”(k=2,3,4,5,6,7)的和,因此,P(A4)=,.,也可以先考察A4的逆事件.这里,是事件“10恰好,出现一次或一次也不出现”显然,(5)A5：取到的最大数恰好为6,解,事件A5的有利场合,就是6个相异元素(1,2,3,4,5,6)允许重复的最大数恰好为6的7元排

14、列.这种排列可以分为6出现1次,2次,3次,4次,5次,6次,7次等七类,显然,它们的排列数依次是,于是,P(A5)=,.,事件A5的有利场合数也可以这样来考虑：最大数字不大于6的7元重复排列,有67种,它可以分为两类,一类是最大数恰好是6的7元重复排列；一类是最大数小于6的7元重复排列.注意到第二类重复排列有57种,则第一类重复排列有67-57种.于是,P(A5)=,.,解,四、典型例题,在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法共有,于是所求的概率为,解,在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有,例3 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的,即都等于 1/365,求 6

15、4 个人中至少有2人生日相同的概率.,64 个人生日各不相同的概率为,故64 个人中至少有2人生日相同的概率为,解,说明,我们利用软件包进行数值计算.,定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量(长度、面积、体积)相同的子区域是等可能的，则事件 A 的概率可定义为,说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型.,三、几何概型,那么,两人会面的充要条件为,例7 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间 t(tT)后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面

16、的概率.,会面问题,解,故所求的概率为,若以 x,y 表示平面上点的坐标,则有,例8 甲、乙两人约定在下午1 时到2 时之间到某站乘公共汽车,又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为 1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙约定(1)见车就乘;(2)最多等一辆车.求甲、乙同乘一车的概率.假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在 1 时到 2 时的任何时刻到达车站是等可能的.,见车就乘的概率为,设 x,y 分别为甲、乙两人到达的时刻,则有,解,蒲丰投针试验,例91777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为a(a0)的一些平行直线,

17、现向此平面任意投掷一根长为b(ba)的针,试求针与某一平行直线相交的概率.,解,蒲丰资料,由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题.,蒲丰投针试验的应用及意义,历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1),利用蒙特卡罗(Monte Carlo)法进行计算机模拟.,单击图形播放/暂停 ESC键退出,最简单的随机现象,古典概型,古典概率,几何概型,试验结果连续无穷,四、小结,蒲丰资料,Born:7 Sept.1707 in Montbard,Cte dOr,FranceDied:16 Apr.1788 in Paris,France,Georges Louis Leclerc Comte de Bu

18、ffon,作 业,P52 1.14-1.16,预习内容：1.4 请大家做好预习！,例3 在12000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?,设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”，则所求概率为,解,于是所求概率为,例4 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.,假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.,解,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,故一周内接待 12 次来访共有,小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的.,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,周二,周四,12 次接待都是在周二和周四进行的共有,故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为,