第八章欧氏空间.docx
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1、第八章欧氏空间教学内容欧氏空间的定义和性质,标准正交基,同构,正交变换,子空间,对称矩阵的标准形,向量到子空间的矩离、最小二乘法*。教学过程1定义、性质定义1:设V是R上的一个线性空间,在V上定义了一个二元实函数,称为内积,记为(0,0,如果它具有以下性质:(1)(a,)=(,a)(2) (ka,)=k(a,)(3) (a+,)=(a,)+(A/)(4) (,)O当且仅当a=0时(,)=O这里/A/eK&wR,则V称为欧几里得空间(简称欧氏空间)例1、例2。练习:Pw1(I)o定义2:非负实数府方称为的长度,记为Ial性质:伙同=愀单位向量:长度为1的向量。单位化:Cauchy-ByHHKOB
2、CKMfi不等式:Da,有3M咽等号成立当且仅当/线性相关。在不同内积中,Cauchy-EyHHKoBCKH以不等式的具体例子:例1中,1Z?1+a2b2H1他J+a;4卜a;Nb;+b;Hkb;例2中,/(x)(x)J=I/(x)J-Wg(x)d21、(2)中,iyjJx-Jajyyj-j=li=lV=1/=IVj=li=l定义3:非零向量a,/的夹角伍为(a,)=arccos,01+x22+xnn二%与+为?+乂芦”(a,P)=ZZ(,,j)项匕=ZZ匕,这里为=(,%);=1=l;=1Z=I由于(i,j)=(/,),故%=aji,令A=(%,Ar=A/Z则()=XAY,其中X=,y=,则
3、A称为基卬J,的度量矩阵。性质:不同基的度量矩阵是合同的。证明:设7,叫4是V的另一组基,(7,%,以)=(g*2,,)C,设C=(Cj/则%=%向,=声火(%,1)=(G向,CkFk)=ZZ(J,陵刈l=lhi/=I=则B=(如,“=(之际=CACo证毕。若对Va0,即X,有Qa)=XAX0,则称度量矩阵A是正定的。练习:P3942;作业:1o2标准正交基一、标准正交基1、定义:在维欧氏空间V中,由个向量组成的两两正交的向量组称为正交基,若个向量均是单位向量,则称为标准正交基。由此可知:有正交基得到标准正交基的方法就是把正交基中的向量全部单位化。2、性质:(I)若今,,%是标准正交基,则有(
4、与,Cj)=t=Wj即标准正交基的度量矩阵是单位矩阵,反之也成立。(2)VaV,a=xil+x22+xnn(与,)=x1(与,与)+xi(i,与)+xn(i,J)=Xi即:=(e,)e+(2,a)2+(%,)3若尸=MG+必邑+%,则(。,6)=(2项与,Zy产)=xM+/为+X”=XY。Z=Ij=二、标准正交基的求法:设V是数域尸上的维线性空间任一组线性无关的向量均能正交化,任一组正交向量组均能扩充为一组正交基,然后进行标准化(即单位化)即可。若%,%,。”是一组线性无关的向量,令=a1=Cx2g,)3=a3-SA)(%,夕1)(,)=a4%*)-)6(4,1SM)(打血)(-p-1)可验证
5、四,区,我两两正交,再单位化,令“扁%底”高,即为要求的标准正交向量组。鸟69例;练习:尸3957;作业:6,9o三、由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵。证明:与,4,”与7,小,,%是线性空间v的两组标准正交基,且(7,%,%)=(4,4,%)AA=(%).x1=j口如九J因为:i=av+a2i2+anitl,j=aijl+a2j2+anjn日口fl,/=j即为)/G+%+F1,w而aualj+a2ia2j+Clnianj是ArA的第(i,力兀素,故A,A=E,即A-1=A,o正交矩阵:我们把满足AN=E(或Av=E)的矩阵称为正交矩阵。四、结论:由标准正交基到标准正交基
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