第14课二次函数及其图象精品教育.ppt

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1、第14课 二次函数及其图象,1定义：形如函数 叫做二次函数2利用配方，可以把二次函数yax2bcc表示成.,要点梳理,yax2bxc(其中a、b、c是常数，,且a0),ya 2,3图象与性质：二次函数的图象是抛物线，当 时抛物线的开口，这时当 时，y的值随x的增大而；当 时，y的值随x的增大而；当x 时，y有.当 时抛物线开口，这时当 时，y的值随x的增大而；当 时，y的值随x的增大而；当x 时，y有.抛物线的对称轴是直线x，抛物线的顶点 是.,a0,向上,x,减小,x,增大,最小值,a0,向下,x,增大,x,减小,最大值,4图象的平移：,1正确理解并掌握二次函数的概念以及解析式的三种形式的转

2、化 根据定义可知，二次函数需满足两个条件：a0，x的最高次数为2.一般式yax2bxc(a0)如果抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点(x1,0)，(x2,0)，则解析式可以写成交点式ya(xx1)(xx2).将解析式yax2bxc通过配方法可化成顶点式ya(xh)2k；将顶点式、交点式展开，合并同类项后，即可化成一般式yax2bxc.,难点正本 疑点清源,在已知抛物线上三个点的坐标时，我们通常设一般式，然后将三个点的坐标分别代入关系式中，解方程组，求出各系数，以确定函数关系式；在已知拋物线顶点坐标时，我们通常设顶点式，只要再找到一个条件，即可求此函数关系式；在已知抛物线与x轴两个交点

3、坐标时，我们通常设交点式，再寻找一个条件即可求函数关系式,2正确认识二次函数与二次方程间的关系 已知二次函数yax2bxc的函数值为k，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2bxck；反过来，解一元二次方程ax2bxck，就是把二次函数yax2bxck的函数值看做0，求自变量x的值学习这部分知识，可以类比一次函数与一元一次方程的关系 抛物线yax2bxc与x轴的两个交点(x1,0)，(x2,0)，同样满足、x1x2，x1x2；两交点间的距离x1x2.,1(2011北京)抛物线yx26x5的顶点坐标为()A(3,4)B.(3,4)C(3,4)D(3,4)解析：yx26x5(x26x9)4(x3

4、)24，则抛物线顶点坐标为(3,4),基础自测,A,2(2011乐山)将抛物线yx2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是()Ay(x2)2 Byx22 Cy(x2)2 Dyx22 解析：抛物线yx2向左平移2个单位，得y(x2)2.,A,3(2011重庆)已知抛物线yax2bxc(a0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是()Aa0 B.b0 Cc0 Dabc0 解析：当x1时，对应的点(1,y)在 第一象限内，yabc0.,D,4(2011威海)二次函数yx22x3的图象如图所示当y0时，自变量x的取值范围是()A1x3 Bx1 Cx3 Dx3或x3 解析：如图，可知

5、x1或3时，y0；当1x3时，y0.,A,5(2011孝感)如图，二次函数yax2bxc的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：ac0；ab0；4acb24a；abc0.其中正确的个数是()A.1 B.2 C3 D4,(,1),C,解析：根据图象可知：a0，c0，ac0，正确；顶点坐标横坐标等于，ab0正确；顶点坐标纵坐标为1，1，4acb24a，正确；当x1时，yabc0，错误 正确的有3个故选C.,题型一待定系数法确定二次函数的解析式【例1】已知一抛物线与x轴的交点是A(2,0)、B(1,0)，且经过C(2,8).(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标 解：(1)设y

6、a(x2)(x1)，又抛物线过C(2,8)，8a(22)(21)，a2.y2(x2)(x1)2(x2x2)2x22x4.(2)x，y2 22 4 144，顶点坐标为.,题型分类 深度剖析,探究提高 根据不同条件，选择不同设法(1)若已知图象上的三个点，则设所求的二次函数为一般式yax2bxc(a0)，将已知条件代入，列方程组，求出a、b、c的值(2)若已知图象的顶点坐标或对称轴方程，函数最值，则设所求二次函数为顶点式ya(xm)2k(a0)，将已知条件代入，求出待定系数(3)若已知抛物线与x轴的交点，则设抛物线的解析式为交点式ya(xx1)(xx2)(a0)，再将另一条件代入，可求出a值,知能

7、迁移1已知二次函数yx2bxc图象如图所示，它与x轴交点坐标为(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)(1)求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；(2)根据图象，写出函数的值y为正数时，自变量x的取值范围 解：(1)由题意，得 解之得 yx22x3.(2)令y0，得x22x30，解之得x11，x23.当y0时，x的取值范围是1x3.,题型二利用二次函数的性质解答【例2】已知点A(1,1)在二次函数yx22axb的图象上(1)用含a的代数式表示b；(2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标 解：(1)点A(1,1)在抛物线yx22axb上，112ab，b2a

8、.(2)抛物线yx22ax2a与x轴只有一个交点，(2a)2412a0，4a28a0,4a(a2)0，a0，a20，a2.yx24x4(x2)2，顶点坐标为(2,0),探究提高 某点在函数图象上，该点的横坐标、纵坐标满足函数解析式函数yx22axb的图象与x轴只有一个公共点，可知关于x的方程x22axb0有两个相等的实数根，根据此两个条件可列出关于a、b的二元一次方程，解之即得函数的解析式,知能迁移2(1)抛物线ya(x1)(x3)(a0)的对称轴是()A直线x1 B直线x1 C直线x3 D直线x3 解析：令y0，可得x11，x23，所以对称轴是直线x 1，选A.,A,(2)二次函数y(x1)

9、22的图象上最低点的坐标是()A(1,2)B(1,2)C(1,2)D(1,2)解析：因为a10，抛物线有最低点，其坐标为(1,2)，选B.,B,题型三利用二次函数解决实际应用题【例3】我市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去(1)设每间包房收费提高x(元)，则每间包房的收入为y1(元)，但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；(2)为了投资少而利润大，每间包房提高x(元)后，设酒店

10、老板每天晚餐包房总收入为y(元)，请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由,解：(1)y1100 x，y2 x.(2)y(100 x)(100 x)x250 x10000(x50)211250，因为提价前包房费总收入为10010010000，当x50时，可获得最大包房收入11250元，因为1125010000，又因为每次提价为20元，所以每间房费应提高40元或60元 所以为了投资少而利润大，每间房费应提高60元探究提高 解决最值问题的关键是根据已知条件建立二次函数模型，利用二次函数的最大值或最小值来解,知能迁移3某商品的进价为每件40元，售

11、价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？,解：(1)y(21010 x)(50 x40)10 x2110 x2100(0 x15，且x为整数)(2)y10(x5.5)22402.5.a100，当x

12、5.5时，y有最大值2402.5.0 x15，且x为整数，当x5时，50 x55，y2400.当x6时，50 x56，y2400.当售价定为每件55元或56元，每个月的利润最大，最大利润是2400元,(3)当y2200时，10 x2110 x21002200，x211x100，解之得x11，x210.当x1时，50 x51；当x10时，50 x60.当售价定为每件51元或60元时，每个月的利润为2200元 当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元.(或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时，每个月的利润不低于2200元),题型

13、四结合几何图形的函数综合题【例4】如图，已知直线y x1交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E.(1)请直接写出点C、D的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若正方形以每秒个单位长度的 速度沿射线AB下滑，直至顶点D 落在x轴上时停止设正方形落 在x轴下方部分的面积为S，求S 关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；,(4)在(3)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！解：(1)C(3,2)，D(1,3)2分(2)

14、设抛物线为yax2bxc，抛物线过(0,1)，(3,2)，(1,3)，解得 y x2 x1.6分,(3)当点A运动到点 F 时，t1，当0t1时，如图1，OFAGFB，tanOFA，tanGFB，GB t，SFBG FBGB t t2；8分,图1,当点C运动到x轴上时，t2，当1t2时，如图2，ABAB，AF t，AG，BH，S梯形ABHG(AGBH)AB t；10分,图2,当点D运动到x轴上时，t3，当2t3时，如图3，AG，GD，SAOF 121，OA1，AOFGDH，2，SGDH 2，S五边形GABCH()2 2 t2 t.12分,图3,(4)t3，BBAA3，S阴影S矩形BBCCS矩形

15、AADDADAA 3 15.14分探究提高 二次函数知识常与方程、不等式、三角函数、几何图形等知识综合考查，这类问题综合性强，应用知识较多、思维能力强，本题的难点在第(3)小题，解决的关键要进行分类讨论,知能迁移4(2011桂林)已知二次函数y x2 x的图象如图(1)求它的对称轴与x轴交点D的坐标；(2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为A、B、C三点，若ACB90，求此时抛物线的解析式；(3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作D，试判断直线CM与D的位置关系，并说明理由,(1)由y x2 x得 x 3，D(3,0),解(2)如

16、图1,设平移后的抛物线的解析式为y x2 xk，则C(0,k)，OCk.令y0，即 x2 xk0，得 x13，x23，A(3,0)，B(3,0)AB2(3(3)216k36，AC2BC2k2(3)2k2(3)2 2k28k36.AC2BC2AB2，即2k28k3616k36，得 k14，k20(舍去)抛物线的解析式为y x2 x4.,图1,(3)如图2,由抛物线的解析式y x2 x4可得A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)，M(3，)过C、M作直线，连结CD，过M作MH垂直y轴于H，则MH3.CM2MH2CH232(4)2.在RtCOD中，CD 5AD.点C在D上，DM2()2，CD2CM

17、252，DM2CM2CD2.CDM是直角三角形，CDCM.直线CM与D相切,图2,6二次函数错例分析考题再现1用配方法求二次函数y x2 x 图象的顶点坐标及对称轴2已知函数y3x24x1，当0 x4时，求y的变化范围学生作答1解：y x2 x(x24x3)(x2)21 该函数图象的顶点坐标是(2,1)，对称轴是直线x2.2解：当x0时，y3x24x13024011；当x4时，y34244133.当0 x4时，y的变化范围是1y33.,易错警示,规范解答1解：y x2 x(x24x3)(x2)21(x2)2 该函数图象的顶点坐标是(2,)，对称轴是直线x2.2解:y3x24x1，抛物线的对称轴

18、是直线x.当x，y最小值.当x0时，y1；当x4时，y33.于是当0 x时，y1，当 x4时，y33，综上，当0 x4时，y33.,老师忠告 1配方法是重要的数学方法，必须熟练掌握二次函数yax2bxc可配方写成ya(xm)2k，后者图象的顶点坐标是(m,k)，对称轴是直线xm，须牢记 2求二次函数值的范围，理解二次函数yax2bxc有最大值或最小值的条件 当a0时，函数图象开口向上，当x 时，函数有最小值y；当a0时，函数图象开口向下，当x 时，函数有最大值y.当涉及到实际问题时，一定要符合实际问题的意义和条件要求.,方法与技巧 1.对于二次函数的解析式，要根据不同条件选用不同形式的解析式：

19、(1)已知图象上三点，选一般式：yax2bxc(a0)；(2)已知顶点或对称轴，选顶点式：ya(xh)2k(a0)；(3)已知图象与x轴的两个交点(x1,0)，(x2,0)，选交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)2.字母a、b、c的符号a的符号决定抛物线的开口方向；c的符号决定图象与y轴的交点的纵坐标；a、b的符号共同决定对称轴，当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧，当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧，当b0时，对称轴是y轴,思想方法 感悟提高,3.二次函数与一元二次方程的关系：二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点横坐标就是y0时自变量x的取值，即是一元二次方程ax2bxc0(a

20、0)的根 4.抛物线的顶点常见的几种变动方式：(1)开口反向(或旋转180)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反；(2)两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a的符号相反；(3)两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号不变,失误与防范1在考查二次函数概念的有关问题上，常常忽略a0这个条件，对二次函数几种不同形式不能正确运用在解决二次函数有关增减性、最值等问题时，忽略二次项系数的符号就造成了错误，比如：二次函数yax2bxc(a0)在对称轴左侧y随x的增大而减小；在对称轴右侧y随x的增大而增大2利用二次函数yax2bxc图象的位置与a、b、c的取值关系，解决a、b、c的关系式的符号问题3在解决与二次函数有关的实际问题时，常犯以下错误：一是不能建立正确的函数关系，缺乏建模思想；二是对自变量取值范围的忽略,