2023考研讲座(1—8)高数线代复习导引.docx

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1、(1)考好数学的基点木桶原理己经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地实行措施，以求得满足的结果。实在是一件不简洁的事。非数学专业的本科学生与数学专业学生的最基本差别，在于概念意识。数学科学从最严密的定义动身，在精确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。各向齐茂，形成一棵参天大树。在高等数学中，动身点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。在线性代数的第一学问板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而其次学问板块中，则是矩阵的特征值与特征向量，在概率统计中，第一重要的概念是分布函数：不过，概率不是第一层次基础课程。学习概率须要学生有较好的高等数学基础

2、。非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念动身分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。高校数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的须要。老师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧与大一那会儿学的不一样。缘由就在于学过的概念早忘完了。做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你

3、的大脑要饱受交混回想的检验。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟识程度。从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，学问千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法特别经典，概念特别重要.学生们要做的是接受，理解，记忆，驾驭计算方法，学会简洁推理。首先是要记得住。你要玩好嬉戏，你也得先了解嬉戏规则，把它记得滚瓜烂熟啊。你要考得满足吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算特别熟识。数学专业的学生面壁苦修的一个方式是画联络图。每学完一章，抽肯定时间复习小结，静心地用笔理线索。先默写出各个定义，中心定理，协助定理，简洁

4、结论，思索其相互关系。再回顾主要定理证明一关键步骤是哪步，有无特色细微环节，可否仿照。哪些可以收编为练习。条件能否减弱，有无相应反例。在主要参考书上，有没有更细化的评注或说明或应用。有没有重要算法与公式。假如有，是否有前提条件，是否要推断分类，.。这是一个下意识的系统消化手段，也是一个有效的记忆方法。记住了而还没有消化好的内容，则一点一点地成为定向思维的材料。当然要做题。有了肯定的学问打算后，首先做教科书习题。演练简洁的题目，体念并熟识概念与公式。剖析困难的题目，了解如何综合考查自己，学习分步逻辑推理。把典型题目与相关概念或定理或典型方法归纳记忆在一起。进一步做参考书及资料上的题，感受了解考研

5、题目如何考查自己。渐渐形成用猎奇的眼光去选择典型题目的实力数学专业的学生面壁苦修的又一个方式是积累一个材料库。尽可能熟识课程探讨的基本对象。就如我将在讲解时(微积分部分)举荐的，三个典型的(极限)不存在，X趋于+8时，指数函数，基函数，对数函数的无穷大阶数比较内三个典型的不行导，四个典型的不行积，等等。概念记得越精确，视察推断的眼光越犀利。基本定理，基本方法记得越清楚，分析题目时方向越明白。当你面对一个题目时，你的自然反应是，这个题目涉及的概念是，而非在哪儿做过这道题，才能算是有点入门了。讲座(2)笔下生花花自红在爱搞运动的那些年头里，数学工作者们常常受到这样的指责，”一支笔，一张纸，一杯茶，

6、鬼画桃符，脱离实际。发难者不懂基础探讨的特点，不懂得考虑数学问题时写与思同步的重要性。或许是计算机广泛应用的影响，今日的学生们学习数学时，也不太懂得写的重要性。考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案，或看题想解翻答案。动笔的时间很少。数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。或依据已知条件，我首先能得到什么？(分析法)；或要证明这个结论，就是要证明什么？(综合法)。在许多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简洁的例。连续函

7、数与不连续函数的和会怎样？”写成连续A+不连续B=?后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。(穷尽法)。假如，连续A+不连续B=连续C则连续C-连续A=不连续B这与定理冲突。所以有结论：连续函数与不连续函数的和肯定不连续。有相当一些数学定义，比如函数在一点可导，其中包含有计算式。能否驾驭并运用这些定义，关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如，题面上有已知条件f,(1)O,概念深，写得熟的人立即就会先写出h趋于。时，lim(f(l+h)-f(l)h0然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。而写不出的人就抓瞎了又比如线性代数中特征值与特征向量有定义式A=,a0,要是移项写成(A

8、-E)Q=0,a0,这就表示a是齐次线性方程组(A-E)X=O的非零解，进而由理论得到算法。数学思维的特点之一是发散性。一个数学表达式可能有几个转换方式，或许从其中一个方式会得到一个新的说明，这个说明将导引我们迈出下一步。车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。望山跑死马。思索一步写一步，观测分析迈下步。路只能一步步走。陈景润那篇名扬世界的”1+2论文中有28个引理，那是他艰难地走向辉煌的28步。对于许多考生来说，不熟识基本计算是他们思索问题的又一大障碍。高等数学感觉不好的考生，第一缘由多半是不会或不熟识求导运算。求导运算差，探讨函数的图形特征，积分，解微分方程等，反应必定都慢。线性代数中矩阵的

9、乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。好些看似很难的问题，选择一个分块变形就明白了。概率统计中，要娴熟地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。对于考数学三的同学来说，二重积分又是高等数学部分年年必考的内容。驾驭了二重积分,就能在两类大题上得分。要考研吗，要去听指导课吗，最好先自己动笔，尽可能地把基本计算练一练。经济类考生还特别有个短板。就是不熟识解析几何。要先下点功夫，做到能娴熟地建立平面直角坐标系下的直线方程（点斜式，两点式），求两条直线的交点，随意能画出基本初等函数的图形等等。我始终向考生建议，接近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。在限定的考试时间内作某年

10、研考的全卷。中途不翻书，不查阅，凭己有实力做究竟。看看成果多少。不要以为你己经看过这些试卷了。就算你知道题该怎么做，你一写出来也可能会面目全非。多动笔啊，写心思同步步履轻，笔下生花花自红。讲座（3）拓扑预备说质变高等微积分（数学分析）的第一章，讲实数的完备性。即全体实数与数轴上的点胜利一一对应。于是我们从今点K数不分0数轴的一段称为区间。区间是特殊的数集。为了便利起见，通常也把半直线说成区间。记数轴的右端趋向为+8（正无穷大），左端趋向为-8（负无穷大）。有的数学分支虚拟了一个8点，把直线说成是半径无穷大的园。+8与-8则是这个虚拟点的两侧。不含端点的区间叫开区间。以点XO为中心的开区间称为X

11、O的邻域。历史上约定，说在点XO的邻近，.就是指在点XO的某个邻域内，。（画外音：开区间的拓扑定义是，开区间随意一点，总有至少一个邻域，全含于这个开区间内。）一元微积分的拓扑基础是区间。建立在区间基础上的积分叫黎曼积分。自然数集与区间都是含有无穷个数的数集，但两者也有差别。从有限到无穷，这是质变。只含有限个数的数集，肯定有最大及最小的数，而无穷集则不肯定。比如自然数集有最小值而没有最大值。数集（0,D则既没有最小值，也没有最大值。两个有限集相比时，肯定可以分出，谁含有的数较多。而无限集之间不能这样比。只能看两个无限集是否能建立一一对应关系。假如两个无限集之间能建立一一对应，则称这两个数集属于同

12、一级别。（专业词：有同样的势。）相当于说这两个数集所含有的数一样多,很好玩也很哲学的是，通过对应2n-n,偶自然数集可以与自然数集建立一一对应。即它们属于同一级别。这表明，无限集的真子集可以与全集建立一一对应，而有限集明显不行。能与自然数集建立一一对应的无限集，称为可列集。可列集中的全体数，可以与自然数对应排成一个序列：xl,x2,Xn每个不行列的无限集，都肯定能与数集（0,1）建立一一对应。这样一来，从含有数的多少意义来看，只有两类无限集。可列集或不行列集。最令人惊讶的是，尽管有理数具有稠密性，即随意两个实数之间必定至少有一个有理数，但是全体有理数是一个可列集。实轴上几乎全是无理数。（画外音

13、：一个小数学试验一可列集的测度让我们用一个个小区间来顺次包装可列集的点。第1个小区间长2,装入Xl,第2个小区间长4,装入x2,第3个小区间长8,装入x3,第n个小区间长/（2的n次方，装入Xn,，根据一一对应方式，将可列集的点全体点，装入了可列个小区间内。各个小区间的长，顺次组成公比为1/2的无穷递缩等比数列，因而可以算得这可列个小区间的总长为,由于可以取成随意小的正数，因而这个试验说明白，把一个可列集的点挤着排起来，也不会在数轴上占有长度。用数学专业用语说，可列集的测度为0,所以实轴上几乎全是无理数.，）讲座（4）函数探讨先“微观“微分学探讨函数。函数是描述过程的最简洁的数学模型。定义任给

14、定义域内一点X,通过某一对应规律，有唯一确定的y值与之对应，就称变量y是变量X的函数。记为y=f（X）所谓对应规律，可能是解析表达式，这是我们所常见的。可能是一句话显示的规定。例如，肯定值函数y=b取整函数y=x,（y=不超过X的最大整数）也可能是表格等方式，在高数学习过程中，还有含参极限，变上限积分，级数等方式。定义中的唯一确定，排斥了多值情形，有利于探讨反函数。美国，台湾的微积分教材都不出现反三角函数。由于三角函数是周期函数，反三角函数须要选定对应区间，以保证反三角函数值能唯一确定。其中，y=aresinx,-11,-2y2y=arctgx,X可为随意实数，一n2yn2记法y=f（X）”有

15、双重含义。理解X为定义域内随意一点，它表示这个函数。理解X为定义域内一点（相对不变），它表示相应的函数值。在函数概念的深化探讨中，常常用到后一理解。我们早已接触了六类基本初等函数一常函数，基函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。（画外音：圈内戏称为反，对，幕，指，三。不如干脆记两对加一累,）初等函数由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的，且由一个数学式子所表示的函数，统称为初等函数。这个定义有可能使得函数的定义域是一个可列集。比如，y=（cos2-1）,一般教材上会说，我们所探讨的函数，其定义域是区间或区间的并。高校数学还让学生学习两类分段函数。或是在不同的定义区间

16、内，分别由不同的初等函数来表示的函数；或者是有孤立的特殊定义点的函数。微分学探讨函数的特点，是先做微观分析。即探讨函数的连续性，可导性，可微性。再通过函数的导数来宏观地探讨函数的图形特征。即单调性，有界性，奇偶性，周期性等。所谓微观分析，即是任取一点x,探讨及描述函数的相对改变。选定一个中心点0,从坐标的角度讲，可以看成是把原点平移；从物理角度说，是给定一个初始点；从视察角度议，是选好一个边际点。把动点X在x邻近变动称为自变量X（在x处）获得增量x（潜台词：关键词增量，既是一个词，又是一种新的思维方式。）微量分析考虑的问题是：在x点邻近，假如自变量X有一个增量x,则函数相应当有增量Ay=f（x

17、+x）-f（x）鉴于函数的随意性与困难性，减号只能表示事实，没有一般的计算意义。我们如何表述，探讨或估计这个Ay呢？第一考虑自然是改变关系。当x-O时，Ay会有什么改变趋势呢？三种可能，Ay或趋于0,或不趋于0,或没有肯定的趋向。假如xf0时，必有Ay-0,就称函数在x点连续。其次考虑是改变率。中国人把除法称为归一法。无论的肯定值是多少，商式Ay的含义总是，、当自变量改变一个单位时，函数值平均改变多少。有了极限观念，自然会考虑，当x-0时，函数的平均改变率Ayx有什么改变趋势呢？两种可能，或者极限存在，或不存在。假如-0时，Ayx有极限，就称函数在点0可导。称极限值为函数在点0的导数。请看看，

18、连续与可导的概念，出现得多么自然啊。这理的关键是极限观念。我们中国人在极限问题上先天不足。学了微积分，知道从有限到无穷是质变。牵涉无穷的问题都得用极限工具。形成一点极限思维，那就是很大的收获。函数在区间上每一点连续，就称函数在区间上连续。函数在区间上每一点可导，就称函数在区间上可导。所产生的对应关系称为该函数的导函数。微积分以中值定理为桥粱，用导函数探讨函数的宏观特征。这是一元微分学的基本目的。因此，可导性探讨与导数计算是第一基础。考研复习高数的第一任务，是基本上理解导数定义并能作简洁的定义探讨，最重要的是能娴熟地求各类函数的导数。导数定义作用于基本初等函数，生成一套有序的求导公式。伴随着初等

19、函数的结构依次，高等数学建立了和，差，积，商函数求导法则”与处理复合函数的链锁法则。进而还有取对数求导法，用参数式表述的函数求导法，隐函数求导法，分段函数求导法”，等等。一切函数皆可探讨可导性，计算导数。练习求导，实在可行。娴熟地计算与探讨导数，是探讨函数宏观特征，乃至比较与估计定积分的前提与手段。导数好，则心有灵兮一点通，求不定积分，解微分方程，必定是到处反应特好。要先练完教材上的求导练习，再买本高等数学习题集，做完全部求导题。练！练！练！让你明年开春复习提高时，运算障碍最少。（画外音：回忆一下吧。小时候，九九表你背了用了多少年？！初中时，有理数运算算了多少年？！中学里，代数式运算你又算了多

20、少年？！而学习微积分，你花了多少时间作求导计算？！自己就明白高数差的基本缘由之所在了。）讲座（5）极限概念要体验极限概念是微积分的起点.极限首先是个观念。面对没完没了的过程，用什么方法去精确描述与探讨变量的发展趣势？自然是极限。只能是极限。说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，一尺之竿，日取其半，万世不竭。近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到，、割而又割，即将n取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。”国人朴实的体验持

21、续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上领先突破。极限概念起自于对过程的视察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。自变量的改变趋势分为两类，一类是XfXO;一类是Xf8探讨Xf0的情形，通常设X不会取到x,这样一来，你可以体验到，XfXO的过程，和Xf8一样没完没了。无论哪一种情形，我们都不会考虑X从何处动身，也不会考虑X详细如何趋于x或趋向无穷。是蛙跳般不停不息，或是左右左右摇摇摆摆，还是连续地一步一趋？假如真的选择连续地一步一趋方式，对x来说只有从左侧或右侧两种靠近方式。对Xf8而言，则有干脆向+8或干脆向-8两种趋向。通常称这为两条道路，其它形式统称为子路径

22、。当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a?假如是，则称数a为函数的极限。无限接近还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。学习极限概念，首先要学会视察，了解过程中的变量有无肯定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或探讨极限值。自然数列有无限增大的改变趋势。根据嬉戏规则，我们还是说自然数列没有极限。我们早有阅历，若分子不变，而分母的肯定值越来越大，则分数的肯定值只会越来越小。由此即可以体验到，自然数n趋于无穷时，数列1/n的极限是0；X趋于无穷时，函数1/x的极限为0；进而得到第一个求极限的方法：x-8,要考查一个有理分式函数(

23、即：多项式/多项式)的改变趋势，将分子分母同除以分式中出现的X最高次方。再分别视察各项。(画外音：我称之为化零项法处理8/8型未定式。)回顾我们最熟识的基本初等函数，最直观的体验推断是，X趋于正无穷时，正指数的基函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。X趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。底数大于0而小于1的指数函数则无限接近于0Xf0+时，对数函数InX趋于-8；X趋于正无穷时，InX无限增大，没有极限。X-8时,正弦SinX与余弦COSX都周而复始,没有极限。在物理学中，正弦y=Sinx的图形是典型的波动。我国高等数学教科书上普遍都选用了震荡因子y=sin(lx)o当

24、X趋于。时它没有极限的缘由是震荡。你体验过它的震荡吗？详细想来，当X由0.01变为0.001时，只向中心点X=O靠近了一点点，而中间变元U=I/X的跨步却长达900个单位，正弦Sinu相应完成了140多个周期。函数的图形在+1与-1之间上下波动140多次。你可以进一步体验下去，想想在X=0的邻近，函数各周期的图形是多么紧紧地挤”在一起，象是一片电子云。当年我探讨美国各高校的高等数学教材时，曾看到有的教材竟然把函数y=sin(lx)的值整整印了一大页，他们就是要让学生更详细地体验它的数值改变。用震荡因子能生出许多怪例。我的导师陈庆益先生爱说，怪例更深刻地揭示自然。XfO时，(1/x)Sin(1/

25、x)不是无穷大。直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。1/x-8,它为虎作依，让震荡要多疯狂有多疯狂。(画外音：让我们分别取两个子过程来视察。取x=l2nn,相应的函数值列是0数列，又取x=l(2n+2),相应的函数值列是2nn+n2,趋向+,你能否体会到猛烈的震荡。)Xfo时，明显有0Ixsin(1/x)x|夹逼着xsin(1/x)-*0,你可以体验X好比是个摩擦因子，让震荡渐渐消逝。事实上摩擦因子可以是X的次方，是适当小的正数。有摩擦震荡就会最终平静。能够翻阅分析中的反例的同学可以在其书目页中看到，许多反例都用到了震荡因子。在同一个过程中，假如有多个变量趋于0,（或肯定值无限增大。）

26、那更深化一步的体验是，它们的肯定值变小（或变大）的速率是一样呢还是不同的？我们早就有初等数学学问，若OVXV1,则对同一个X,累次n越高，鼎函数X的n次方值越小。由此可以粗略体验到，趋于0的各个变量，其肯定值变小的速率可能是不同的。可能有的函数趋于。时跑得更快。这在理论上促成了高阶，低阶概念。考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，（即语言）。没有这套语言，我们没有方法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。比如前述的最简洁结论，x趋于无穷时，函数1/x的极限为0”；但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的

27、本科学生很难搞懂。数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用-语言的题目。探讨生入学考题中，考试中心往往用更深刻的符号体验来考查极限概念。这就是若X趋于8时，相应函数值f（X）有正的极限，则当IXI充分大时，（你不仿设定一点x,当IXIx时，）总有f（X）0若X趋于x时，相应函数值f（X）有正的极限，则在x的一个适当小的去心邻域内，f（X）恒正这是已知函数的极限而回头视察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和近朱者赤，近墨者黑一个道理吗。除了上述苻号体验外，能驾驭下边简洁的数值体验则更好。若X趋于无穷时，函数的极限为0,则X的肯定值充分大时，（你不仿设定一点x,当IXIx时，）函数的肯定值恒小于1

28、（潜台词：为什么是、1，简洁便利！换个别的正数也可以。）若X趋于无穷时，函数为无穷大，则X的肯定值充分大时,（你不仿设定一点x,当IXIx时，）函数的肯定值全大于1*若X趋于。时，函数的极限为0,则在。的某个适当小的去心邻域内，或X的肯定值充分小时，函数的肯定值全小于1（你不仿设定有适当小的数0,当OVlXlv时，函数的肯定值全小于1）没有什么好说明的了，你得反更领悟极限概念中无限接近的意义。你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点x,或充分小的数0,并利用它们。讲座（6）无穷小与无穷大微积分还有一个名称，叫无穷小分析”。1 .概念定义一在某一过程中，若函数f（X）的极限为0,就称f（X）

29、（这一过程中）为无穷小。为了回避-语言，一般都粗糙地说，无穷小的倒数为无穷大。无穷小是个变量，不是O；是在中心点，过程，O极限背景下，我们给特定函数的称呼。y=O视为常函数，在任何一个过程中都是无穷小。但这是平凡的，没有实际意义。通常被解除在探讨之外。依据极限定义，无穷大不存在极限。但是为了强调在改变过程中，变量有肯定值无限增大的趋势，历史上约定，非法地运用等号来表示无穷大，以记述这个特点。比如X从右侧趋于。时，IimInX=-8X从左侧趋于n/2时，Iimtg=+（潜台词：仅仅表明其肯定值有无限增大的趋势，并不表示极限存在。）2 .无穷大与无界变量无穷大与无界变量是两个概念。无穷大的视察背景

30、是过程，无界变量的推断前提是区间。无穷小和无穷大量的名称中隐含着它们（在特定过程中）的发展趋势。而无界变量的意思是，在某个区间内，其肯定值没有上界。在适当选定的区间内，无穷大可以是无界变量。y=tg（在Xn/2左（RIJ时）是无穷大。在（0,2）内y=tgx是无界变量X趋于0时，函数y=（lx）sin（lx）不是无穷大，但它在区间（0,1）内无界。不仿再用高级语言来作个对比。随意给定一个正数E,不管它有多大，当过程发展到肯定阶段以后，无穷大量的肯定值能全都大于E；而无界变量只能保证在相应的区间内至少能找到一点，此点处的函数肯定值大于E。3 .运算与比较有限个无穷小量的线性组合是无穷小；、88则

31、结果不确定。（未定式！）乘积的极限有三类可以确定：有界变量无穷小=无穷小无穷小无穷小=（高阶）无穷小无穷大无穷大=（高阶）无穷大其它情形都没有必定的结果，通通称为未定式。例1作数列X=1,0,2,0,3,0,0,n,0,-y=0,1,02,0,3,00n,0两个数列明显都无界,但乘积Xy是零数列。这表示可能会有无界无界=有界！两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即无穷小的比较。假如极限为1,分子分母为等价无穷小；极限为0,分子是较分母高阶的无穷小；极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。无穷大有类似的比较。无穷小（无穷大）的比较是每年必考的点。X趋于。时，O=Xsin

32、（1/X）和B=X都是无穷小，且明显有IIII；但是它们的商是震荡因子sin（lx）,没有极限。两个无穷小不能比较。这既说明白极限存在是比较的前提，又再一次显示了震荡因子Sin（lx）的用途。更有意思的是，若Y=X的k次方，则无论k=0.9,还是k=0.99,k=0.999,.,O总是比Y高阶的无穷小。回到基本初等函数，我们看到X趋于+8时，y=的次方，指数0的幕函数都是无穷大。且习惯地称为阶无穷大0(潜台词：这多象汽车的1档，2档，一啊。)X趋于+时，底数a大于1的指数函数y=a的X次方都是无穷大；底数小于1的都是无穷小。X趋于+8或X趋于0+时，对数函数y=Inx是无穷大。X趋于8时，si

33、nx及COsx都没有极限。正弦，余弦，反三角函数都是有界变量。请体验一个很重要也很好玩的事实。(1) Xf+8时，Iim(X的n次方/e的X次方)=0,这表明：x趋于时，指数函数exp(x)是比随意高次方的幕函数都还要高阶的无穷大。(2) X-+8时，Iim(InX/X的次方)=0；是随意取定的一个很小的正数。这表明：对数函数InX是比都还要低阶的无穷大。只需简洁地连续运用洛必达法则就能求出上述两个极限。它让我们更深刻地理解了基本初等函数。假如只知道极限值而不去体验，那收获真是很小很小。例2函数f(x)=xsin,则（八）当X-8时为无穷大。(B)在(-,+)内有界。(C)在(-8,+)内无界

34、。(D)在Xf8时有有限极限。分析这与y=(lx)sin(lx)在X趋于。时的状态一样。(选(C)例3已知数列Xn和yn满足nf8时，Iimxnyn=0,则（八）若数列Xn发散，数列yn必定也发散。(B)若数列Xn无界，数列yn必定也无界。(C)若数列Xn有界，数列yn必定也有界。(D)若变量1/Xn为无穷小量，则变量yn必定也是无穷小量。分析尽管两个变量的积为无穷小，我们却无法得到其中任何一个变量的信息。例10给了我们一个很好的反例。对本题的（八）(B)(C)来说，只要yn是适当高阶的无穷小，就可以保证IimXnyn=0无穷小的倒数为无穷大。故(D)中条件表明Xn为无穷大。要保证IimXny

35、n=0,yn必需为无穷小量。应选答案(D)。线性代数一(37)欲说线代先方程初等数学以引入负数为起点，以方程为其重心之一。最简洁的方程是一元一次方程。最基本的概念是方程的根或解Q什么东东叫一个方程(组)的根一把东东代入这个方程(组)，方程(组)化为恒等式。这个概念是学习线性代数的基本须要。不少人读到齐次线性方程组有限个解的线性组合，仍旧是该方程组的解感觉盲然没反应，一是忘了概念，二是不动笔。应对这些貌似理论的语句，其实方法很简洁。是不是解，代入方程(组)算一算。(潜台词：关键是要勤动笔。)由一元一次方程动身，关于方程的探讨向两个方向发展：(1) 一元n次方程(2) n元一次方程组(线性方程组)

36、高校数学线性代数教材有两大板块。第一板块解线性方程组。基本工具是矩阵，核心概念是矩阵的秩，理论重心是齐次线性方程组解集的构造。其次板块是矩阵特征理论基础学问，在更高层次讨方阵及其应用。n阶方阵A的特征方程是个一元n次方程。一元n次方程的探讨点为：求根公式，根的个数，根与系数的关系。一元二次方程有求根公式，在复数范围内有两个根。（二重根算两个根有韦达定理显示根与系数的关系。从十六世纪到十八世纪，人们努力探究了近两百年，也没能找到一元五次方程及五次以上方程的求根公式。回头又花去整整六十年，才证明白所期盼的求根公式不存在。以后在理论方向发掘，又证明白一元n次方程在复数范围内有n个根。（k重根算k个根

37、。）还同样找到了高次方程的韦达定理。对线性方程组的探讨则衍生出若干基本理论。可以合称为线性理论。依靠着完备透彻的线性理论，全部的线性问题（线性方程组，线性微分方程组，.）都得到了园满解决。在探讨非线性问题时，人们找到了有限元，、边界元等线性化计算方法。但是一个非线性问题用线性化计算方法产生的齐次线性方程组可能有成千上万个方程。这样一来，方程组的表达方式自然就上升为首要问题。描述一个齐次线性方程alxl+a22+ann=O,事实上只需按依次写出它的系数组就行了。这就产生了形式上的n维向量（al,a2,an）0方程组的两种同解变换，即方程两端同乘以一个数与两个方程相加（减）,正好相应照数乘向量与向

38、量加法。假如是有m个方程的齐次线性方程组，则m个系数行就排成一个mn阶矩阵。假如把n个未知量也按依次排成一个向量，（xl,x2,.,Xn）,则每个方程的左端alxl+a2x2+anxn，正好是，系数向量与未知量向量的对应重量两两相乘，加在一起。数学家们把这个计算方式规定为向量的内积（数量积）。进而规定出矩阵的乘法”。运用有限元方法转换模型时，要多方交互运用每个节点处的数据。这就不行避开地会产生一个负面效应。即所得齐次线性方程组中可能有相当数量多余的方程。（假如用几个方程的左端作线性组合，可以得到组内别的某个方程，那个方程就会在同解变换中化为恒等式。所以是多余的方程。）这就产生了其次个问题：、一

39、个齐次线性方程组中，原委有多少个方程是相互独立的？”由此有相应概念一矩阵的秩，n维向量组的秩。解决一个困难的数学问题，往往须要发展一门甚至多门基础理论。人类的最终收获，常常是远远超越问题本身。欧洲历史上有许多理鬓师与钟表匠热衷于数学探讨。中国民间也有大量的数学爱好者。中国数学协会常常收到许多诸如证明哥德巴赫猜想之类的民间论文，无人敢于拜读只能束之高阁。作者们责难专家们为什么不能帮帮老百姓。回答日，解决这样巨难的数学问题，必定须要新的基础理论。没有这个前提，你的证明自然是错的。知道一点实际背景，会感到一切都自然而然。因为须要而创生新的描述方式；因为须要而定义新的概念；因为须要而规定集合中的运算；

40、O愿这能有助于你削减一点抽象感。(38)提升观念学集合数学所说的集合，往往依靠数或形而生。隐含集合中的元素有肯定的共性特征。1 .集合与线性运算线性代数的基本探讨对象是矩阵集合一全体mXn阶矩阵mn个元所排成的矩形阵列。n阶方阵是矩阵集合最重要的子集合。在我们学习范围内，n阶方阵有两个特殊的重要的子集合：满秩方阵一(下含)正交阵，对称阵一(下含)正定阵n维向量集合就是全体n元有序数组(al,a2,-,an)。有时候也把n维向量看成特殊的矩阵，即(n1)阶行矩阵或(1n)阶列矩阵。矩阵集合与n维向量集合上都定义了数乘与加法。在微分学中，常用集合记号Ca,b表示区间a,b上的全体连续函数。用Cl(

41、a,b)表示在区间(a,b)上有连续的一阶导数的全体函数。.，用C8(a,b)表示在区间(a,b)上随意阶可导的全体函数。只不过一般高等数学教材上都没有引入这些记号。探讨函数集合时，首先考虑的也是数乘与加法。数乘与加法合称为线性运算。由于有负数，因而加法”事实上包含了通常的减法。人们在探讨一般的集合时，往往都希望能在集合中定义线性运算。集合中的若干个元素既作数乘又作加法，称为这些元素作线性组合。学到这个地步,要会体验数学式的双重含义。一个线性组合式，它既表示相应的运算过程，又代表整个运算的结果。说向量的线性组合，有时就指的是线性运算最终所得到的向量。还比如：有限个无穷小量的线性组合是无穷小量。

42、(、线性组合表示运算结果)有限个连续函数的线性组合连续。有限个可导函数的线性组合可导。(画外音：也不要随口说啊。无穷大的线性组合不肯定是无穷大。”8-8是未定式。)对于一个集合，我们既要考虑能否定义线性运算，又还要进一步考虑，这个集合对于线性运算是不是封闭的。即集合中的随意有限个元素的线性组合，是否还属于这个集合。是！我们就说集合对于线性运算是封闭的。高一个层次的理论中，这是集合能否被称为线性空间首要条件。明显，mn阶矩阵集合，n维向量集合，Ca,b函数集合，Ck(a,b)函数集合，对于线性运算都是封闭的。2 .向量内积与矩阵乘法由于理论或应用的须要，人们常常须要考虑在集合上定义更特殊的运算。

43、这些运算在观念上要比四则运算高一个层次。本质上是人为规定的，集合中随意两个元与唯一的第三者的特殊对应规律。高级语言称之为集合上的一个二元关系”。内积是n维向量集合上的一个二元关系一两个n维向量对应唯一确定的一个数。即对随意两个n维行向量。=(lz。2,an)z=(l,2,，n),规定内积a=az=all+a22+.+ann(=a)(画外音：喜爱口诀吗？左行右列作内积。对应重量积相加。)内积又叫数量积。定义内积是深化探讨的常用手段，理论背景深远，应用范围广袤。比如，更高层次的探讨中，在Ca,b函数集合上定义内积为内积(f,g)=积函数f(X)g(X)在a,b上的定积分线性代数教材中通常把n维向量

44、设为列向量。借助于列向量可以把mn阶矩阵A表示为A=(al,a2,.,an),称为矩阵A的列分块式。其中，列向量al=(a11,.,an1),.,an=(aIn,ann)x假如把每个列块视为一个元素，可以说A=(al,a2,an)是一个形式向量。这个观念对学习线性代数大有好处。比如，让形式向量与未知列向量X作形式内积,可以把齐次线性方程组Ax=O改写为(al,a2,.,an)(xl,x2,.,xn)=0即xlal+x2a2+xnan=O后面将会利用这个形式转换，把、(列)向量组的线性相关性与齐次线性方程组有无非零解相连系。矩阵乘法是矩阵集合上的一个二元关系。它的计算基础是向量内积。详细规定为m

45、n阶矩阵A(aij)与ns阶矩阵B(bij)可以有乘积矩阵AB=(cij),AB是mxs阶矩阵，它的元素Cij详细为cij=A的第i行与B的第j列的内积。即cij=aiIbjl+ai2bj2+.+ainbjn,1im,1js阶数规则(mn)(ns)=(ms),保证左行右列作内积可行。最特殊的两种情形是(mxl)(Ixs)=(ms)与(ln)(nl)=(IXI)后一情形就是两个向量作内积。进一步有分块矩阵乘法。根据应用须要，线性代数常常会将矩阵改变为某种分快形式。并实施矩阵乘法。较常见的是改变矩阵为列分块式或行分块式。要分块矩阵乘法可行，必须要在宏观与微观两方面都确保可乘。宏观可乘：把各分块看成一个元素，满足阶数规则。微观可乘：全部要相乘的子块，全都满足阶数规则。乘法变形1.(mn)(ns)=(ms)-(IXl)(ls)=(Ixs)AB=A(bl,b2,.,bs)=(Ab1,Ab2,.,Abs)宏观可乘：各分块看成一个元素，满足阶数规则(Ixl)(ls)=(Ixs)