概率定义的发展与分析知识点梳理汇总.docx

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1、一、概率定义的发展与分析1 .古典定义的历史脉络古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博.博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能,16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（15011576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点.在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作.直到1812年，法国数学家拉普拉斯（17491827）在概率的分析理论中给出概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比.2 .古

2、典定义的简单分析古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法.它适用的条件有二：（1）可能结果总数有限；（2）每个结果的出现有同等可能.其中第（2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提.如何在更多和更复杂的情况下，体现出“同等可能”？伯努利家族成员做了这项工作，他们将排列组合的理论运用到了古典概率中.用排列（组合）体现同等可能的要求，就是将总数为P5/）的各种排列（或总数为C（刀的各种组合）看成是等可能的，通常用“随意取”来表达这个意思.即使如此，古典定义的方法能应用的范围仍然很窄，而且还有数学上的问题.“应用性的狭窄性”促使雅各布?伯努利（16541705）“寻找另一

3、条途径找到所期待的结果”，这就是他在研究古典概率时的另一重要成果：伯努利大数定律.这条定律告诉我们“频率具有稳定性”，所以可以“用频率估计概率”，而这也为以后概率的统计定义奠定了思想基础.“古典定义数学上的问题”在贝特朗（18221900）悖论中表现得淋漓尽致，它揭示出定义存在的矛盾与含糊之处，这导致了拉普拉斯的古典定义受到猛烈批评.3 .统计定义的历史脉络概率的古典定义虽然简单直观，但是适用范围有限.正如雅各布伯努利所说：“这种方法仅适用于极罕见的现象.”因此，他通过观察来确定结果数目的比例，并且认为“即使是没受过教育和训练的人，凭天生的直觉，也会清楚地知道，可利用的有关观测的次数越多，发生

4、错误的风险就越小”.虽然原理简单，但是其科学证明并不简单，在古典概型下，伯努利证实了这一点，即“当试验次数愈来愈大时，频率接近概率”.事实上，这不仅对于古典概型适用，人们确信“从现实中观察的频率稳定性”的事实是一个普遍规律.1919年，德国数学家冯米塞斯（18831953）在概率论基础研究一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值定义为这一事件的概率.4 .统计定义的简单分析虽然统计定义不能像古典定义那样确切地算出概率，但是却给出了一个估计概率的方法.而且，它不再需要“等可能”的条件，

5、因此，从应用的角度来讲，它的适用范围更广.但是从数学理论上讲，统计定义是有问题的.在古典概率的场合，事件概率有一个不依赖于频率的定义一一它根本不用诉诸于试验，这样才有一个频率与概率是否接近的问题，其研究导致伯努利大数定律.在统计定义的场合这是一个悖论：你如不从承认大数定律出发，概率就无法定义，因而谈不上频率与概率接近的问题；但是你如承认大数定律，以便可以定义概率，那大数定律就是你的前提，而不是一再需要证明的论断了.5 .公理化定义的历史脉络正因为古典定义和统计定义数学理论上的这样或那样的问题，所以到了19世纪，无论是概率论的实际应用还是其自身发展，都要求对概率论的逻辑基础作出更加严格的考察.1

6、900年，38岁的希尔伯特(18621943)在世界数学家大会上提出了建立概率公理系统的问题，这就是著名的希尔伯特23个问题中的第6个问题,这引导了一批数学家投入这方面的工作.在概率公理化的研究道路上，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(1903-1987)成绩最为卓著，1933年，他在概率论基础中运用集合论和测度论表示概率论的方法赋予了概率论严密性.6 .公理化定义的简单分析为什么直到20世纪才实现了概率论的公理化，这是因为20世纪初才完成了勒贝格测度与积分理论以及抽象测度与积分理论，而这都是概率论公理化体系建立的基础.柯尔莫哥洛夫借助实变函数论和测度论来定义概率概念，形成了概率论的公理化体系，他的公

7、理体系既概括了古典定义、统计定义的基本特性，又避免了各自的局限.例如，公理中有一条，是把事件概率的存在作为一个不要证明的事实接受下来，在这个前提下，大数定律就成为一个需要证明且可以得到证明的论断，这就避免了“4”中统计定义的数学理论上的问题；而公理中关于“概率存在”的规定又有其实际背景，这就是概率的古典定义和统计定义.所以，我们说，概率论公理体系的出现，是概率论发展史上的一个里程碑，至此，概率论才真正成为了严格的数学分支.二、关于概率定义教学的几点思考对于概率的定义，教科书是先给出古典定义，然后再给出统计定义.这与历史上概率定义的发展相吻合，从“简单到复杂”.在教学中，我们不仅要明了这种顺序的

8、设计意图，而且还要抓住不同定义的特点和思想，以引导学生更好地理解概率.1 .古典定义的教学定位在前面的分析中，我们说“等可能”是古典概率非常重要的一个特征，它是古典概率思想产生的前提,正是因为“等可能”，所以才会有了“比率”,因此，“等可能性”和“比率”是古典定义教学中的两个落脚点.“等可能”是无法确切证明的，往往是一种感觉，但是这种感觉是有其实际背景的，例如，掷一枚硬币，“呈正面”“呈反面”是等可能的，因为它质地均匀；而掷一枚图钉，“钉帽着地”“顶针着地”不是等可能的，因为图钉本身给我们的感觉就是帽重钉轻.因此，“等可能”并不要多么严密的物理上或化学上的分析，只需要通过例子感知一下“等可能”

9、和“不等可能”即可，以便让学生明白古典定义的适用对象须具备的条件.2 .统计定义的教学定位从直观上讲，统计定义是非常容易接受的，但是它的内涵是非常深刻的，涉及到大数定律.在初中阶段，我们不可能让学生接触其严格的形式和证明.因此，统计定义定位在其合理性和必要性是比较恰当的.如何让学生体会其合理性和必要性？罗老师的课堂教学比较好地实现了这两点.从教学顺序来看，罗老师将“掷硬币”作为归纳统计定义的例子，“掷硬币”可以用古典定义求概率，所以概率值是明确的，而通过试验的方法计算得到的频率就可以和这个明确的概率值相比较，如此更容易让学生体会到“频率具有稳定性”这一事实，从而感受到“用频率估计概率”的合理性

10、；罗老师将“掷图钉”作为统计定义的应用，“掷图钉”不能用古典定义求概率，由此能让学生体会到学习统计定义计算事件概率的必要性,从教学手段来看，罗老师主要采用了“学生试验”的方法，学生的亲自试验在这节课所起的作用是无可代替的：“亲自试验”获得的结果能够给学生以真实感和确切感；“亲自试验”能够让学生感受到频率的随机性和稳定性等特点.所以，像概率与统计的学习，学生应该有更多的主动权和试验权，在动手和动脑中感受概率与统计的思想和方法.3 .概率与统计教学的背后：专业素养的提升在课题研讨时，教师们表现出这样一些困惑：随着试验次数的增加，频率就越来越稳定？频率估计概率，一定要大量试验？实验次数多少合适？事实

11、上，这些问题涉及的就是概率与统计的专业素养.对于大多数教师而言，概率与统计相对而言比较陌生，这是很自然的，因为在教师自身接受的数学专业学习中，概率与统计就是一个弱项.但是，既然要向学生教授概率与统计，那么还是需要有“一桶水”的.就像上面的问题，翻阅任何一本概率论与数理统计，都可以给我们知识上的答案，而翻阅一下相关的科普读物或史料，就可以给我们思想方法上的答案.举个例子：伯努利大数定律：设m是n重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中a1Itm-e)-l出现的概率为p(P0,有1I狄莫弗-拉普拉斯极限定理：设m是n重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在ItmKEJ坐匚UTdt每次试验中出

12、现的概率为p(Pl),贝U-闹标J.m伯努利大数定律只是告诉我们，当n趋于无穷时，频率7依概率收敛于概率p.伯努利的想法是：只要n充分大，那么频率估计概率的误差就可以如所希望的小.值得mm赞赏的是，他利用了“依概率收敛”而不是更直观的7p,因为频率7是随着试验m结果变化的，在n次试验中，事件A出现n次也是有可能的，此时7p就不成立了.伯努利不仅证明了上述大数定律，而且还想知道：若想要把一个概率通过频率而确定到一定的精确度，要做多少次观察才行.这时，伯努利大数定律无能为力，但是狄莫弗-拉普拉斯极限定理给出了解答：e折利*=w器卜幅礁“例如研究课中掷硬币的问题，若要保证有95%的把握使正面向上的频

13、率与其概率0.5之差落在0.1的范围内，那要抛掷多少次？根据(*)式，可以估计出界1537.三、概率论发展简史概率论有悠久的历史，它的起源与博弈问题有关。可追溯到15世纪末至16世纪中期，意大利的一些学者开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题，例如比较掷两个骰子出现总点数为9或IO的可能性大小。1494年，意大利数学家巴乔利(LPacioIiJ445T517),在其著作算术、几何及比例性质摘要中记载：AzB两人进行一场公平赌博，约定先赢得s=6局者获胜。而在A胜Si=5局且B胜S2=2局时中断。巴乔利认为该赌博最多需要进行2(S-I)SlS2W=与+1=11局，因而赌金分配方案应为n与R之比，即

14、可-2的比例来分配赌本.1539年，卡尔达诺(G.CardanoJ5011576),通过实例指出巴乔利的分配方案是错误的，指出这样不考虑赌徒可能再赢得局数的算法是错误的。他认为，对于A有利的情形是：若再赌1场则A胜；若再赌2场，则B先胜A后胜；若再赌3场，则B先胜2场而A胜最后1场；若再赌4场，则B先胜3场而A胜最后1场。只有在赌4场B全胜时才对B有利。于是得出应按(1+2+3+4)/1来分赌本。他也没有找到正确的解法。1556年，塔塔利亚(NiCCoIOFontand,1499-1557,绰号TdrtagIia)也批评了巴乔利的解法，并甚至怀疑能找到数学解答的可能性。“类似问题应属于法律而非

15、数学，故无论如何分配都有理由上诉。”不过，他也提出一种解法(略)17世纪中叶，法国数学家帕斯卡、费马及荷兰数学家惠更斯基于排列组合的方法研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了合理分配赌注问题(即得分问题”，)、输光问题等等。1654年，法国一位名叫梅累的狂热赌徒向帕斯卡提出一个困扰他很久的问题:“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢S局就算是谁赢。可是当一个赌徒A赢J局(as),而另一个赌徒B赢b局(bs)时，赌博因故终止了，问赌本应如何分配？”帕斯卡将这个问题和他的解法寄给费尔马，这是1654年7月29日电事情。帕斯卡在信中先以特例说明了其对问题的解法。A、B都拿12枚金币，5局3胜。(1) A已赢

16、2局，B赢1局。再赌1局，若A胜，则拿走24枚金币；若B胜，则他们各自取回12枚金币，因此，A所得金币应为24/2+12/2=18枚，B应为0/2+12/2=6枚。(2) A已赢2局，B赢0局。再赌1局，若A胜，则拿走24枚金币；若B胜，则结果同(1)他们各自取回12枚金币，因此，A所得金币应为24/2+18/2=21枚，B应为0/2+6/2=3枚。(3)费尔马从不同的理由出发也给出正确的解法。其方法不是直接计算赌徒赢局的概率，而是计算期望的赢值。(4) 费尔马认为，两赌徒离全胜所差局数分别为s-a局,sb局，则最多再进行2sa-b+l局即可定胜负。所以再赌2局，共有4种情况：MM,MP,PM

17、,PP；前3种情况都是梅累先胜3局，只有第4种情况保罗先胜3局，所以梅累所得金币应为24*3/4=18枚，保罗应为24*1/4=6枚。1657年荷兰数学家惠更斯是从与帕斯卡差不多的理由出发解决了这一问题：如果某人在u+v个等概率的场合中有U个场合可赢得。，而有V个场合可赢得仇则他所期望的收入可用(UCl+v0)(u+v)来估计，从而导致了现今称之为数学期望的概念(惠更斯在1657年出版的论赌博中的计算一书，成为概率论的早期著作，首次明确提出数学期望的概念)O使概率论成为言学的一个分支的真正奠基人则是瑞士数学家雅各布第一伯努利，他考虑了掷n个骰子时所得点数总和等于m的可能性问题，指出这种场合的数

18、目等于(XX2+x3+x4+x5+x6的展开式中XM这一项的系数,开了母函数方法的先河。他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数律；该定理断言：设事件A的概率P（八）=p(0pl),若m表示前n次独立重复试验中事件A出现的次数，从而m/n为事件A出现的频率，limP(-Jc)-1则当n-8时，HI式中为任一正实数。这一结果发表于他死后8年(1713)出版的遗着推测术(ArSConjeetdndi)中。这里所说的事件的概率，应理解为事件发生的机会的一个测度，即公理化概率测度（详见后）。1716年前后，Ao棣莫弗对p=l2情形，用他导出的关于n!的渐近公式（即所谓斯特林公式）进一步证明了渐近地

19、服从正态分布（德国数学家C。Fo高斯于1809年研究测量误差理论时重新导出正态分布，所以也称为高斯分布）。棣莫弗的这一结果后来被法国数学家P。S。拉普拉斯推广到一般的P（0pl）的情形，后世称之为棣莫弗-拉普拉斯极限定理，这是概率论中第二个基本极限定理（见中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯对概率论的发展贡献很大。他在系统总结前人工作的基础上，写出了概率的分析理论（1812年出版，后又再版6次）。在这一着作中，他首次明确规定了概率的古典定义（通常称为古典概率，见概率），并在概率论中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函数等，从而实现了概率论由单纯的组合计算到分析方法的过渡，将概率论推向一个新的

20、发展阶段。拉普拉斯非常重视概率论的实际应用，对人口统计学尤其感兴趣。继拉普拉斯以后，概率论的中心研究课题是推广和改进伯努利大数律及棣莫弗一拉普拉斯极限定理。在这方面，俄国数学家口。儿切比雪夫迈出了决定性的一步，1866年他用他所创立的切比雪夫不等式建立了有关独立随机变量序列的大数律。次年，又建立了有关各阶绝对矩一致有界的独立随机变量序列的中心极限定理；但其证明不严格，后来由A。Ao马尔可夫于1898年补证。1901年A。M。李亚普诺夫利用特征函数方法，对一类相当广泛的独立随机变量序列，证明了中心极限定理。他还利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。继李亚普

21、诺夫之后，Ao只。辛钦、AoHo柯尔莫哥洛夫、Po莱维及W。费勒等人在随机变量序列的极限理论方面作出了重要贡献。到20世纪30年代，有关独立随机变量序列的极限理论已臻完备。在此期间，由于实际问题的需要，特别是受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。1905年A。爱因斯坦和Ro斯莫卢霍夫斯基各自独立地研究了布朗运动。他们用不同的概率模型求得了运动质点的转移密度。但直到1923年，No维纳才利用三角级数首次给出了布朗运动的严格数学定义，并证明了布朗运动轨道的连续性。1907年马尔可夫在研究相依随机变量序列时，提出了现今称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）的概念；而马尔可夫过程的理论基础则由柯尔莫哥洛夫

22、在1931年所奠定。稍后一些时候，辛钦研究了平稳过程的相关理论（1934）0所有这些关于随机过程的研究,都是基于分析方法,即将概率问题化为微分方程或泛函分析等问题来解决。从1938年开始，莱维系统深入地研究了布朗运动，取得了一系列重要成果，他充分利用概率的直觉性，将逻辑与直觉结合起来，倡导了研究随机过程的一种新方法，即概率方法。这种方法的特点是着眼于随机过程的轨道性质。莱维对概率论的另一重要贡献是建立了独立增量过程的一般理论。他的着作随机过程与布朗运动（1948）至今仍是随机过程理论的一本经典着作。现代概率论的另外两个代表人物是J。L。杜布和伊藤清,前者创立了鞅论，后者创立了布朗运动的随机积分

23、理论。在概率发展史中特别值得一提的是柯尔莫哥洛夫在1933年建立了概率论的公理化体系。概率论公理化体系的建立早在拉普拉斯给出概率的古典定义之前，人们就提出了几何概率的概念，这是研究有无穷多个可能结果的随机现象问题的，着名的布丰（曾译蒲丰）投针问题（1777）就是几何概率的一个早期例子。19世纪，几何概率逐步发展起来。但到19世纪末，出现了一些自相矛盾的结果。以着名的贝特朗悖论为例：在圆内任作一弦，求其长超过圆内接正三角形边长的概率。此问题可以有三种不同的解答：由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4点与3/4点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。设所有交点是等可

24、能的，则所求概率为1/2（图1之a）图由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60。120。之间，其长才合乎要求。设所有方向是等可能的，则所求概率为1/3（图1之b）。弦被其中点位置惟一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。设中点位置都是等可能的，则所求概率为1/4（图1之C）O这个问题之所以有不同解答，是因为当一随机试验有无穷多个可能结果时，有时很难客观地规定等可能这一概念。这反映了几何概率的逻辑基础是不够严密的。几何概率这类问题说明了拉普拉斯关于概率的古典定义带有很大的局限性。当严密的概率公理化系统建立后，几何概率才能健康地发展且有广泛的应

25、用。虽然到了19世纪下半叶，概率论在统计物理学中的应用及概率论的自身发展已突破了概率的古典定义，但关于概率的一般定义则始终未能明确化和严格化。这种情况既严重阻碍了概率论的进一步发展和应用，又落后于当时数学的其他分支的公理化潮流。1900年，D.希尔伯特在世界数学家大会上公开提出了建立概率论公理化体系的问题，最先从事这方面研究的是庞加莱、波莱尔及伯恩斯坦。关于概率论与测度论有联系这一重要思想就出自波莱尔。伯恩斯坦于1917年构造了概率论的第一个公理化体系。20年代以后，相继出现了J。M0凯恩斯及R。VOn米泽斯等人的工作。凯恩斯主张把任何命题都看作是事件。例如，”明天将下雨，土星上有生命，”某出

26、土文物是某年代的产品，等等。他把一事件的概率看作是人们根据经验对该事件的可信程度，而与随机试验没有直接联系，因此，通常称为主观概率。从凯恩斯起，对主观概率提出了几种公理体系，但没有一种堪称权威。也许，主观概率的最大影响不在概率论领域自身，而在数理统计学中近年来出现的贝叶斯统计学派。和主观概率学派相对立的是以米泽斯为代表的概率的频率理论学派。米泽斯把一事件的概率定义为该事件在独立重复随机试验中出现的频率的极限，并把此极限的存在性作为他的第一条公理。他的第二条公理是，对随机选取的子试验序列，事件出现的频率的极限也存在并且极限值相等。严格说来，这第二条公理没有确切的数学含义。因此，这种所谓公理化在数

27、学上是不可取的。此外，象某个事件在一独立重复试验序列中出现无穷多次这一事件的概率，在米泽斯理论中是无法定义的。这种频率法的理论依据是强大数律，它具有较强的直观性，易为实际工作者和物理学家所接受。但随着科学的进步，它又已逐渐被绝大多数物理学家所抛弃。20世纪初完成的勒贝格测度（见测度论）和勒贝格积分理论以及随后发展起来的抽象测度和积分理论，为概率论公理体系的确立奠定了理论基础。人们通过对概率论的两个最基本的概念即事件与概率的长期研究，发现事件的运算与集合的运算完全类似，概率与测度有相同的性质。到了30年代，随着大数律研究的深入，概率论与测度论的联系愈来愈明显。例如强、弱大数律中的收敛性（见概率论

28、中的收敛）与测度论中的几乎处处收敛及依测度收敛完全类似。在这种背景下，柯尔莫哥洛夫于1933年在他的概率论基础一书中第一次给出了概率的测度论式的定义和一套严密的公理体系。这一公理体系着眼于规定事件及事件概率的最基本的性质和关系，并用这些规定来表明概率的运算法则。它们是从客观实际中抽象出来的，既概括了概率的古典定义、几何定义及频率定义的基本特性，又避免了各自的局限性和含混之处。这一公理体系一经提出，便迅速获得举世的公认。它的出现，是概率论发展史上的一个里程碑，为现代概率论的蓬勃发展打下了坚实的基础。现代概率论的内容由于科学技术中许多实际问题的推动以及概率论逻辑基础的建立，概率论从20世纪30年代

29、以来得到了迅速的发展。目前其主要研究内容大致可分为极限理论，独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程和时间序列，鞅和随机微分方程，点过程等。此外，包括组合概率（用组合数学方法解决只涉及有限个基本事件的概率问题）、几何概率等在内的一些属于古典范畴的问题，至今仍有人在继续研究，并有新的发展。极限理论是研究与随机变量序列或随机过程序列的收敛性有关的问题的理论。20世纪30年代以后，有关随机变量序列的极限理论（主要是中心极限定理）的研究，是将独立序列情形的结果推广到鞅差序列和更一般的弱相依序列等情形，以及研究收敛速度问题。近年来，由于统计力学的需要，人们开始研究强相依随机变量序列的非中心极限定理。自195

30、1年Mo唐斯克提出不变原理（见随机过程的极限定理）后，有关随机过程序列的弱收敛的研究成了极限理论的一个中心课题。K）oBo普罗霍洛夫及A。Bo斯科罗霍德在这方面作出了最主要的贡献。1964年Vo斯特拉森的工作出现后，引起了有关随机过程序列的强收敛的研究，这就是强不变原理。近年来，鞅论方法已渗透到这一领域，使许多经典结果的证明得到简化和统一处理，并且还导致一些新的结果。人们最早知道的独立增量过程是在物理现象中观察到的布朗运动和泊松过程，一般的独立增量过程的研究，归功于莱维，它在20世纪40年代已臻成熟。在这些研究中，包含了许多重要的方法和概念，概率论的许多近代研究课题都直接或间接地受其启发与影响

31、。在实际中遇到的很多随机现象有如下的共同特性：它的未来的演变，在已知它目前状态的条件下与以往的状况无关。描述这种随时间推进的随机现象的演变模型就是马尔可夫过程。20世纪50年代以前，研究马尔可夫过程的主要工具是微分方程和半群理论（即分析方法）；1936年前后就开始探讨马尔可夫过程的轨道性质，直到把微分方程和半群理论的分析方法同研究轨道性质的概率方法结合运用，才使这方面的研究工作进一步深化，并形成了对轨道分析必不可少的强马尔可夫性概念。1942年，伊藤清用他创立的随机积分和随机微分方程理论来研究一类特殊而重要的马尔可夫过程一扩散过程，开辟了研究马尔可夫过程的又一重要途径。近年来，鞅论方法也已渗透

32、到马尔可夫过程的研究中，它与随机微分方程结合在一起，已成为目前处理多维扩散过程的工具。此外，马尔可夫过程与分析学中的位势论有密切的联系。对马尔可夫过程的研究，推动了位势理论的发展，并为研究偏微分方程提供了概率论的方法。最近十多年发展起来的吉布斯随机场和无穷粒子随机系统，是由于统计物理的需要而提出的。许多自然的和生产过程中的随机现象表现出某种平稳性。一种平稳性是过程在任意一些时刻上的联合概率分布随时间推移不变，这种平稳性称为严平稳性。严平稳过程的研究与遍历理论有密切的联系。如果上述对概率分布的要求放宽为仅对二阶相关矩的要求，即过程在任意两时刻上的协方差随时间推移不变，则称这种平稳性为宽平稳性。关

33、于宽平稳过程的研究，辛钦、柯尔莫哥洛夫和维纳等人运用傅里叶分析和泛函分析的工具，在40年代已经找出了过程的相关函数及过程本身的谱分解式，并且较完满地解决了有应用意义的预测问题。许多应用问题还要求根据观测数据去建立这些数据所来自的随机过程的模型。为此产生了时间序列分析这一课题，提出了宽平稳序列的自回归滑动平均（ARMA）模型以及一些非线性模型。鞅是另一类重要的随机过程。从20世纪30年代起，莱维等人就开始研究鞅序列，把它作为独立随机变量序列的部分和的推广。40年代到50年代初，杜布对鞅进行了系统的研究，得到有名的鞅不等式、停止定理和收敛定理等重要结果。1962年，PoAo迈耶解决了杜布提出的连续

34、时间的上鞅分解为鞅及增过程之差的问题。在解决这个问题的过程中，出现了很多新鲜而深刻的概念，使鞅和随机过程一般理论的内容大大丰富起来。鞅的研究丰富了概率论的内容，并引起人们用它所提供的新方法新概念对概率论中许多经典的内容重新审议，把以往认为是复杂的东西纳入鞅论的框架而加以简化。此外，利用上鞅的分解定理，可以把伊藤清的对布朗运动的随机积分推广到对一般鞅乃至半鞅的随机积分；因而，更一般的随机微分方程的研究也随之发展。随机微分方程理论不仅可以用来研究马尔可夫过程，它还是解决滤波问题的必要工具。最近出现的流形上的随机微分方程又和微分几何及分析力学的研究发生了密切的联系。鞅论还对本学科以外的位势理论、调和

35、分析及复变函数论等提供了有用的工具。点过程是从所谓计数过程发展出来的，它们的特点是，可用落在不相重叠的集合上的随机点数目的联合概率分布来刻画整个过程的概率规律。最基本的计数过程是泊松过程，1943年,C。帕尔姆将它作为最简单的输入流应用于研究电话业务问题：1955年，辛钦又以严密的数学观点作了整理和发展。在60年代以前，点过程的研究主要限于泊松过程及其推广的过程。以后，由于大量实际问题的需要以及随机测度论和现代鞅论的推动，进一步把实轴上的点过程（即计数过程）推广到一般的可分完备度量空间上，在内容和方法上都有根本性的进展。现代概率论的应用概率论的发展史说明了理论与实际之间的密切关系。许多研究方向

36、的提出，归根到底是有其实际背景的。反过来，当这些方向被深入研究后，又可指导实践，进一步扩大和深化应用范围。概率论作为数理统计学的理论基础是尽人皆知的。下面简略介绍一下概率论本身在各方面的应用情况。在物理学方面，高能电子或核子穿过吸收体时，产生级联（或倍增）现象，在研究电了一光子级联过程的起伏问题时，要用到随机过程，常以泊松过程、弗瑞过程或波伊亚过程作为实际级联的近似，有时还要用到更新过程（见点过程）的概念。当核子穿到吸收体的某一深度时，则可用扩散方程来计算核子的概率分布。物理学中的放射性衰变，粒子计数器，原子核照相乳胶中的径迹理论和原子核反应堆中的问题等的研究，都要用到泊松过程和更新理论。湍流

37、理论以及天文学中的星云密度起伏、辐射传递等研究要用到随机场的理论。探讨太阳黑子的规律及其预测时，时间序列方法非常有用。化学反应动力学中，研究化学反应的时变率及影响这些时变率的因素问题，自动催化反应，单分子反应，双分子反应及一些连锁反应的动力学模型等，都要以生灭过程（见马尔可夫过程）来描述。随机过程理论所提供的方法对于生物数学具有很大的重要性，许多研究工作者以此来构造生物现象的模型。研究群体的增长问题时，提出了生灭型随机模型，两性增长模型，群体间竞争与生克模型，群体迁移模型，增长过程的扩散模型等等。有些生物现象还可以利用时间序列模型来进行预报。传染病流行问题要用到具有有限个状态的多变量非线性生灭

38、过程。在遗传问题中，着重研究群体经过多少代遗传后，进入某一固定类和首次进入此固定类的时间，以及最大基因频率的分布等。许多服务系统，如电话通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队，等等，都可用一类概率模型来描述。这类概率模型涉及的过程叫排队过程，它是点过程的特例。排队过程一般不是马尔可夫型的。当把顾客到达和服务所需时间的统计规律研究清楚后，就可以合理安排服务点。在通信、雷达探测、地震探测等领域中，都有传递信号与接收信号的问题。传递信号时会受到噪声的干扰，为了准确地传递和接收信号，就要把干扰的性质分析清楚,然后采取办法消除干扰。这是信息论的主要目的。噪声本身是随机的，所以概率论是信息论研究中必不可少的工具。信息论中的滤波问题就是研究在接收信号时如何最大限度地消除噪声的干扰，而编码问题则是研究采取什么样的手段发射信号，能最大限度地抵抗干扰。在空间科学和工业生产的自动化技术中需要用到信息论和控制理论，而研究带随机干扰的控制问题，也要用到概率论方法。概率论进入其他科学领域的趋势还在不断发展。值得指出的是，在纯数学领域内用概率论方法研究数论问题已经有很好的结果。在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，也大量采用概率论方法。正如拉普拉斯所说:生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。