线性代数教学资料线性代数13.ppt
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1、第五章,方阵的特征值与特征向量,第十三次课,5.1 特征值与特征向量,眉缠沃救套唁槛喳克荣纷荫则标蔡墨铱呕陵桥悦育却阵驰赵赌铬链磅抛竟【线性代数教学资料】线性代数(13)【线性代数教学资料】线性代数(13),5.1 特征值与特征向量,目的与要求:1.理解方阵的特征值与特征向量的概念与性质。2.会求方阵的特征值与特征向量。,插隐枯内业祟唆恒寨巳劈胀窜曳梧牙佰镇进锰纯塌膛冈志制御通吓隅虾殉【线性代数教学资料】线性代数(13)【线性代数教学资料】线性代数(13),引例:对于方阵,和向量,存在一个特殊关系。,其中A为方阵,为列向量,为数,坷学峙劲实汲件毋两皇淌力羽雏卞署猛泼骗侵柱袜捎响炔嘉着螟娱帆计左
2、【线性代数教学资料】线性代数(13)【线性代数教学资料】线性代数(13),一、基本概念,定义5.1 设A是n阶方阵,为一个 数,为一个非零列向量。如果A=(5.1)成立,则称 为A的特征 值,为A的属于 的特征 向量。,盘填狼到啼藐涕谅不斤莱咬踪蚂治涸侦窗喧砍雹魏浙脯筋雹帛穆绒殃樟痉【线性代数教学资料】线性代数(13)【线性代数教学资料】线性代数(13),二、特征值与特征向量的性质,1、一个特征向量不可能对应两个相异的特征值。2、一对多:每一个特征值对应一系列特征向量。,证明:,馒仰珊奴援掀磷导懒颅练秒婚虐地衡恃玄医莽击傣精预挠举佣系沥审棠准【线性代数教学资料】线性代数(13)【线性代数教学资
3、料】线性代数(13),例1:设方阵A满足A2=A,证明:A的特征值只可能是0或1,幂等阵A的特征值只可能是0或1。,即A为幂等阵,萤亡委阔遗蜒底帘研寿高猩唾祁素觉侦焙竣宦垂拖亢绸人贝团车唤矾秦篮【线性代数教学资料】线性代数(13)【线性代数教学资料】线性代数(13),三、特征值、特征向量的计算,的非零解,从而有,,上式是(5.2)有非零解的充要条件系数行列式,称(I-A)为A的特征矩阵(I-A)x=0为A的特征方程组,为A的特征多项式,为A的特征方程,设A是n阶方阵,若 是A的特征值,是A的属于 的特征向量,则有,即,柄强暖巷菇名站菜拟付飘墩天拽循窝阉氯髓妓蚀灼原机规甚砍条希孺朵蔼【线性代数教
4、学资料】线性代数(13)【线性代数教学资料】线性代数(13),(n次多项式在复数域中必有n个根,即n阶矩阵在复数域中必有n个特征值,我们只研究n个特征值都是实数的情况),于是得到求特征值与特征向量的步骤:1、写出特征方程2、求解特征方程,得到全部特征值(n个,包括重根),3、对于每个特征值,求对应的齐次线性方程组 的一个基础解系,从而得到全部特征向量。,市谤者痊峨决凑吾迭磁单早埃磨篆纬浓篙乍眼坯地钥碾箍咏呜纶雀睁抵矗【线性代数教学资料】线性代数(13)【线性代数教学资料】线性代数(13),例2:求解:A的特征方程,的特征值和特征向量,故A的全部特征值:,对于,对于 解齐次线性方程组,劈赐臆舞胯
5、屏舵首膜雪抿递椭舌抵基隔峪绊弛最内擅亭兢脯遇青淹图专阮【线性代数教学资料】线性代数(13)【线性代数教学资料】线性代数(13),同解方程组 x1-x2=0 x1=x2取x2=1得一个基础解系:(1,1)T于是A的属于1=2的全部特征向量k(1,1)T(K为任意非零常数)对于2=4时,齐次线性方程组(4I-A)x=0,对于得同解方程组:x1+x2=0 x1=-x2取x2=-1得到一个基础解系:(1,-1)T于是,A的属于2=4的全部的特征向量为K(1,-1)T(k为任意非零常数),论岛义沏斩窜狙懊沿极奖布淮秤察弱贯盯固份卵愤悬季履缕涎禄岂宗桑森【线性代数教学资料】线性代数(13)【线性代数教学资
6、料】线性代数(13),例3:求解:A的特征方程为,的特征值和特征向量。,故A的全部特征值:1=-12=3=2(二重根)当1=-1时解齐次线性方程组(-I-A)x=0,却窟峻德擂娠啄镁雨斥酱垫蛤履糜笆鹰辟寝仗公撰逸化具务争锨齿滦砰殷【线性代数教学资料】线性代数(13)【线性代数教学资料】线性代数(13),对于,同解方程组令x3=1得一个基础解系(1,0,1)T于是A的属于1=-1的全部特征向量为k(1,0,1)T(k为任意的非零常数),沙助爵投掩露浮抑墙绊伟螟管涅甘胀宫冕死衔沼袄谜阀象斩桅次耍啼倦芭【线性代数教学资料】线性代数(13)【线性代数教学资料】线性代数(13),当2=3=2时解齐次线性
7、方程组(2I-A)x=0即,对于,得到同解方程组令,她砖挪臃难佣蛋玲了独拟瘫剥综扫喘能市篇刨纵谈厄揭洽祸舍引活秤范壬【线性代数教学资料】线性代数(13)【线性代数教学资料】线性代数(13),2=3=2 二重根取二重根时基础解系有两个解向量。R(2I-A)=1于是得到它的一个基础解系为,故A属于2=3=2的全部特征向量为(k1,k2不全为零的任意实数),跨萄涅蠢栽斤资爱侍弛洗蔑梧告阿黎布疑额避愈癌饯绊续渝叠刹后晤棠剪【线性代数教学资料】线性代数(13)【线性代数教学资料】线性代数(13),例4:求解:A的特征方程,的特征值,特征向量。,故A的全部特征值为1=22=3=1当1=2时,解齐次线性方程
8、组(2I-A)x=0,底吾茸纂了甜菲缅是冤掂权枢痘渤匝涩骤嚎父榨烩浑嘴浚毒碌翁轴冰楞味【线性代数教学资料】线性代数(13)【线性代数教学资料】线性代数(13),R(2I-A)=2基础解系中只含一个解向量同解方程组令x3=1(自由量),(0,0,1)T,对应特征向量(k为任意非零常数),糯辅铃侣膏旦盔像丝鹰辟踩疚凶还逊户定泅擂齐搓尺长颖酣袖辐店帖阵铲【线性代数教学资料】线性代数(13)【线性代数教学资料】线性代数(13),当2=3=1时解齐次线性方程组(I-A)x=0即对于,氧芯武宏远酶煤姐篱爽拌乐佣枕甘外桶直议罕酝敦锅馏窿漂氟鸳梅劣咸峭【线性代数教学资料】线性代数(13)【线性代数教学资料】线
9、性代数(13),R(I-A)=2对应基础解系中只含一个解向量(虽然是二重根,但是只含一个解向量)得同解方程组令x3=1(自由量),得到一个解向量为(-1,-2,1)T。于中属于2=3=1的特征向量为(k为任意非零常数),藐爬及臆难赣蕊晋啸境幼年刽粟藉渴俞程廓坪跌舌湍罗酝玩衬趋虹成梅婚【线性代数教学资料】线性代数(13)【线性代数教学资料】线性代数(13),例5:设矩阵求参数a,b,有特征值1=-2,2=4,解:因为1=-2,2=4都是A的特征值。所以有,解得a=-5,b=4,撮慎万沏茅阐震瘪坤腆综狙潮忿爱霄审汽驮豫裕湖架灼硕笆牌咸拉阎术肆【线性代数教学资料】线性代数(13)【线性代数教学资料】
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